Tài liệu Tài liệu bồi dưỡng hình học 11 (hay)

Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I. Phép tịnh tiến uuuuur  Tvr : M a M  MM '  vr uuuuuu r uuuu r  Tvr (M) = M, Tvr (N) = N  M ' N '  MN �x '  x  a  Tvr : M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '  y  b � II. Phép đối xứng trụcuuuuuur uuuuur  Đd: M a M  M0 M '   M0 M (M0 là hình chiếu của M trên d)  Đd(M) = M  Đd(M) = M  Đd(M) = M, Đd(N) = N  MN = MN �x '  x  ĐOx: M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '   y � �x '   x ĐOy: M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '  y � III. Phép đối xứng tâm uuur uuu r  ĐI: M a M  IM '   IM  ĐI(M) = M  ĐI(M) = M uuuuuu r uuuu r  ĐI(M) = M, ĐI(N) = N  M ' N '   MN  Cho I(a; b). ĐI: M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �x '  2a  x �y '  2b  y � Đặc biệt: �x '   x ĐO: M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '   y � IV. Phép quay �IM '  IM  Q(I,): M a M  �(IM ; IM ')   �  Q(I,)(M) = M, Q(I,)(N) = N  MN = MN  neu �0   � 2  neu � �   2 �x '   y  Q(O,900): M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '  x � �  � �    Q(I,)(d) = d. Khi đó: d , d '  � �  � �x '  y Q(O,–900): M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '   x � V. Phép vị tự uuur uuu r  V(I,k): M a M  IM '  k.IM (k  0) uuuuuu r uuuu r  V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N  M ' N '  k.MN �x '  kx  (1  k )a  Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) a M(x; y). Khi đó: �y '  ky  (1  k )b � Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ABC thành ABC thì nó 1 Hình học 11 Phan Công Trứ cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC. I. PHÉP TỊNH TIẾN 1. Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của ABC. uuuur HD: Vẽ đường kính BB. Xét phép tịnh tiến theo vr  B ' C . Quĩ tích điểm H là đường tròn (O) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó. 2. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF. HD: Gọi H là trực tâm CEF, K là trực tâm DEF. Xét phép tịnh tiến theo uuu r vectơ vr  BA . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O ) ảnh của (O) qua uuur uuu r phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với AA '  BA ). uuu r uuuu r 3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi AB  DM và �  CDM � . Chứng minh: � � . CBM ACD  BCM uuu r HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ AB . � = 900, AB = 6 3 , CD = 12. Tính 4. Cho tứ giác ABCD có �A = 600, B� = 1500, D độ dài các cạnh AD và BC. uuu r HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BA . BC = 6, AD = 6 3 . 5. Cho ABC. Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác. Từ D và E lần lượt dựng các đường vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng hai đường vuông góc đó với đường cao AH của ABC đồng qui. uuu r HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ BE , ABC  AED. 6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến Tvr trong các trường hợp sau: r r r r a) v = (1; 1) b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) r r e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) 7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho A  Tvr (B) trong các trường hợp sau:r r r r a) v   2; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) r r e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2) r 8. Tìm toạ độ vectơ v sao cho Tvr  M   M / trong các trường hợp sau: a) M(10; 1), M’(3; 8) b) M(5; 2), M(4; 3) c) M(–1; 2), M(4; 5) d) M(0; 0), M(–3; 4) c) M(5; –2), M(2; 6) f) M(2; 3), M(4; – 5) 9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x  y + 5 = 0. Tìm phương trình của r đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:r r r r a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 2 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 2 2 10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):  x  1   y  2   4 . Tìm phương trình của r đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:r r r r a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) x 2 y2   1 . Tìm phương trình của elip (E) là ảnh 9r 4 củar (E) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau: r r r a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 11. Trong mpOxy, cho Elip (E): x 2 y2   1 . Tìm phương trình của Hypebol 16 9 r (H) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau: r r r r a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) 12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H): 13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x. Tìm phương trình của Parabol (P) là r ảnhr của (P) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau: r r r a) v   4; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2) r 14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m). Tìm m để phép tịnh tiến Tvr biến d thành chính nó. II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quĩ tích trực tâm H của ABC. HD: Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Quĩ tích điểm H là đường tròn (O) ảnh của (O) qua phép ĐBC. 2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất. HD: Gọi A = Đd(A). M là giao điểm của AB và d. 3. Cho ABC với trực tâm H. a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA có bán kính bằng nhau. b) Gọi O1, O2, O3 là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm O1, O2, O3 có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. 4. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B  Ox, C  Oy sao cho chu vi ABC là bé nhất. HD: Xét các phép đối xứng trục: ĐOx(A) = A1; ĐOy(A) = A2. B, C là các giao điểm của A1A2 với các cạnh Ox, Oy. 5. Cho ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử ĐAB(M) = M1, ĐAC(M) = M2. Tìm vị trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M1M2 có độ dài ngắn nhất. HD: M là chân đường cao vẽ từ A của ABC. 3 Hình học 11 Phan Công Trứ 6. Cho ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD  AB, ME  AC. Gọi � ' M và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vị trí D = ĐBC(D). Tính BD điểm M. � ' M = 1v; MD + ME = BH. HD: BD 7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3). 8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3). 9. Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0. 10. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox: a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy: a) x – 2 = 0 b) y – 3 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) x + y – 1 = 0 12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox: a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4 c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy: a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4 c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy): a) x2 y2 + =1 16 9 b) x2 + 4y2 = 1 c) 9x2 + 16y2 = 144 15. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy): x 2 y2 =1 a) 16 9 b) x2 – 4y2 = 1 c) 9x2 – 25y2 = 225 16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox: a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2 17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy: a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2 III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của ABC và H là điểm sao cho HBHC là hình bình hành. Chứng minh rằng H nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quĩ tích của điểm H. HD: Gọi I là trung điểm của BC. ĐI(H) = H  Quĩ tích điểm H là đường tròn (O) ảnh của (O) qua phép ĐI. 2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành. 4 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố định AB = R 2 . Điểm M chạy trên � thoả mãn MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và cung lớn AB BH cắt (O) theo thứ tự tại A và B. AB cắt AB tại N. a) Chứng minh AB cũng là đường kính của đường tròn (O, R). b) Tứ giác AMBN là hình bình hành. c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên. d) HN cắt AB tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên. HD: a) � b) AM //AN, BM // AN c) HN = BA = 2R A ' BB ' = 1v � ' = 1v  Tập hợp các d) Gọi J là trung điểm AB. Đ J(M) = N, ĐJ(O) = O. OIO điểm I là đường tròn đường kính OO. 4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới. HD: Xét phép ĐO. 5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với: a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3) 6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0): a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1): a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1): a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4 c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 9. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2): a) x2 y2 + =1 16 9 b) x2 + 4y2 = 1 c) 9x2 + 16y2 = 144 10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2): 2 2 x y a) =1 16 9 b) x2 – 4y2 = 1 c) 9x2 – 25y2 = 225 11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0): a) y2 = 2x b) x2 = 2y c) y = x2 IV. PHÉP QUAY 1. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ vuông cân. HD: Xét phép quay Q(A,900). 5 Hình học 11 Phan Công Trứ 2. Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM = 3. 4. 5. 6. 1 FK. 2 HD: Gọi D = Đ(A)(B). Xét phép quay Q(A,900). Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh BMN đều. HD: Xét phép quay Q(B,600). Cho ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC1, CAB1, CAB1. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 bằng nhau. HD: Xét các phép quay Q(A,600), Q(B,600). Cho ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao � cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và DOE = 1200. HD: Xét phép quay Q(O,1200). Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng: a) CM + CN = EF 7. 8. 9. 10. b) 1 CM 2  1 CN 2  1 AB 2 HD: Xét phép quay Q(C,900). Cho ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của ABC. HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông ACIJ. Xét phép quay Q(O,900)  IB  CK. Tương tự CD  BK. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc  với: a)  = 900 b)  = –900 c)  = 1800 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900: a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1 0 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 90 : a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4 c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 V. PHÉP VỊ TỰ 1. Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. uuur uuur Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và GH  2GO . HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H. 6 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của ABC. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự V 1 ( I , ) (A) 3 = G. 3. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi. HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình. b) Xét các phép vị tự V(C,2)(Q) = M; V 1 (C , ) (Q) 2 = N. 4. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ, trực tâm H của MPQ. uur uuur HD: a) Kẻ OI  d, OI cắt PQ tại N. OI .ON  r 2  N cố định. b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO. Tập hợp các điểm O đường trung trực đoạn OI. Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2). 5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C. a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A. b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định. c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ABC. uuu r uuur uuuu r uuur HD: a) AO cắt (AMN) tại D. OA.OD  OM .ON   R 2  D cố định. uuu r uuur b) AO cắt BC tại E. AE.AD  AO 2  R2  E cố định. c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (O2) = V 2 ( A, ) (O1). 3 6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E. a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Tứ giác CDNE là hình gì? c) Tìm tập hợp trọng tâm G của MAC. HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD  CDNE là hình thang. c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, R V ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép ( I ,1 ) . 3 3 7 Hình học 11 Phan Công Trứ 7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(– 3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0). 8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = 1 : A(2; 3), B(– 2 3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0). 9. Phép vi tự tâm I tỉ số k = 1 biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I 2 trong các trường hợp sau: a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M(6; 1) c) M(–1; 4) và M(–3; – 6) 10. Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau: a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M(2; 0) c) I(2; –1), M(–1; 2), M(–2; 3) 11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0 12. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 f) k =  1 2 f) k =  1 2 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + 1 = 0 và 2: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vị tự V(I,k) biến 1 thành 2. 14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2: a) ( x - 1)2 + ( y - 5)2 = 4 b) ( x + 2)2 + ( y +1)2 = 9 c) x2 + y2 = 4 15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1) 2 + (y – 3)2 = 9 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau: a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k = 1 2 16. Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C). Tìm phương trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C) là: a) ( x - 1)2 + ( y - 5)2 = 4 b) ( x + 2)2 + ( y +1)2 = 9 c) x 2 + y 2 = 1 ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố định, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác định. 8 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 2. Cho 2 điểm A, B cố định thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn. 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố định. 4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI. a) Xác định một phép dời hình biến A thành B, I thành E. b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy. 5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R). Xác định các tâm vị tự của hai đường tròn nếu R = 2R và OO = r 3 R. 2 6. Cho v = (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d1: 2x – 3y – 5 = 0. a) Viết phương trình đường thẳng d = Tvr (d). r b) Tìm toạ độ vectơ u vuông góc với phương của d sao cho d1 = Tur (d). r 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C) = Tvr (C) với v = (–2; 5). 8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M. 9. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0; –2), B(1; –1). 10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép đối xứng tâm, biết: a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2) 11. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay , với: a)  = 900 b)  = 400. r 12. Cho v = (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 0 và phép tịnh tiến r theo vectơ v . 13. Cho đường thẳng d: y = 2 2 . Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 1 và phép quay tâm O góc 450. 2 14. Cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + (y – 1)2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy. 15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M(–2x + 3; 2y – 1). Chứng minh F là một phép đồng dạng. ================= 9 Hình học 11 Phan Công Trứ CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Xác định một mặt phẳng  Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))  Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))  Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b)) 2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian  Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.  Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.  Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.  Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt. VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. 1.Cho 2. 3. 4. 5. hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD). Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN). Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ABD, N là một điểm bên trong ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC). VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 10 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho. 1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN). 2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm của AM và (SBD). b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN). 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). 4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong BCD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABO). b) AO và (BMN). HD: a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD). b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO). 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với (SBD). b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC. HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK). b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD). VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui  Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.  Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba. 1.Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =ACBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. 2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng. 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. 11 Hình học 11 Phan Công Trứ 4.Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A, B. Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định. 5.Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B 1, B. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C 1, C. BB, CC cắt nhau tại O; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử OO1 kéo dài cắt SA tại I. a) Chứng minh: AO1, SO, BC đồng qui. b) Chứng minh: I, B1, B và I, C1, C thẳng hàng. VẤN ĐỀ 4: Xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng Muốn xác định thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như sau:  Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian).  Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này.  Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). 2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF). b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b) 3.Cho a2 6 hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). HD: Thiết diện là 1 ngũ giác. 4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong SBC, lấy một điểm M. Trong SCD, lấy một điểm N. a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). b) Tìm giao điểm của SC với (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). HD: a) Tìm (SMN)(SAC) b) Thiết diện là tứ giác. 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1. 6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm SAD. a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD. b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình 12 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) chóp với (CGM). c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM). HD: b) Thiết diện là tứ giác c) Tìm (AGM)(SAC). Thiết diện là tứ giác. 7.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD. a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC). b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). HD: a) Gọi O=ACBD thì I=SOBN, J=AIMN b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM) c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP. 8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua 1 điểm cố định. c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN. HD: a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)(SBD). b) Điểm A. c) Một đoạn thẳng. II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa a �a, b �(P ) a / /b � � �a �b  � P b 2. Tính chất  Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: 1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) 13 Hình học 11 Phan Công Trứ 2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. 3. Áp dụng định lí về giao tuyến song song. 1.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD. 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì? 3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. 4.Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM. a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động. b) E thuộc đoạn AM và EM = 1 EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của 3 BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh: PQ // SA. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC. c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD). VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp:  Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.  Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM). 14 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD: b) 2 (a+b). 5 4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện đó. HD: b) 5a2 51 288 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là � = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song tam giác đều. Ngoài ra SAD với SC. a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB. b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện. HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích a2 14 8 III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa d // (P)  d  (P) =  2. Tính chất  Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d nằm trong (P) thì d song song với (P).  Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d. 15 Hình học 11 Phan Công Trứ  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào đó nằm trong (P). 1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Gọi O, O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 1 1 AE, BN = 3 3 BD. Chứng minh MN // (CDFE). 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G 1G2 // (SBC). 3.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD). HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). 4.Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng: a) Điều kiện cần và đủ để OO // (BCD) là BC AB  AC  BD AB  AD b) Điều kiện cần và đủ để OO song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) là BC = BD và AC = AD. HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác. 5.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN. c) Chứng minh GA = 3GA. VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước. 16 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 1.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA. a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. HD: c) MN // BC � = 600, AB = a. Gọi O là 2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. HD: b) SMNPQ = x (4a  3 x ) 2a . SMNPQ đạt lớn nhất khi x = 4 3 3.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC. a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). 4.Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). 5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. HD: a) Đường thẳng qua C và song song với BC. b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA. c) Hai nửa đường thẳng. 17 Hình học 11 Phan Công Trứ IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa (P) // (Q)  (P)  (Q) =  2. Tính chất  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).  Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.  Cho một điểm A  (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).  Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.  Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.  Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.  Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và A, B, C sao cho: AB BC CA   A ' B ' B 'C ' C ' A ' Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng. VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh (OMN) // (SBC). b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC). 2.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: IA JB  . ID JC a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. 18 Tài liệu bồi dưỡng Hình học 11 (hay) 3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) CMR: (OMN) // (SBC). b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB). c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD). HD: c) Chú ý: ED EC  FS FB 4.Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N. a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM). c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O. 5.Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt uuur uuu r trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ NP  BA . a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. 6.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các � , CAD � , DAB � góc BAC đồng phẳng. HD: Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD). VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp:  Tìm phương của giao tuyến bằng cách sử dụng định lí: Nếu 2 mặt phẳng song song bị cắt bởi 1 mặt phẳng thứ ba thì 2 giao tuyến song song.  Sử dụng định lí trên để xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi 1 mặt phẳng song song với 1 mặt phẳng cho trước. 1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. HD: a) Xét 2 trường hợp: I  OA, I  OC . Thiết diện là tam giác đều. 19 Hình học 11 Phan Công Trứ �b2 x 2 3 a neu �0  x  � 2 � 2 b) Sthiet�dien� � 2 a 2 a �b (a  x ) 3 neu � xa � 2 a2 � 2.Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN nằm trong (Q). a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q). b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC). 3.Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A, B, C, D. a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt). b) Chứng minh ABCD là hình bình hành. c) Chứng minh: AA + CC = BB + DD. 4.Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. a) Chứng minh (G1G2G3) // (BCD). b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G 1G2G3). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S. c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G 1M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M. HD: b) 4S 9 5.Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của AB. a) Chứng minh CB // (AHC). b) Tìm giao điểm của AC với (BCH). c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ. HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC , BC, AB, AB, AC theo các tỉ số 1, 1, 3, 1 , 1. 3 6.Cho hình hộp ABCD.ABCD. a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA) và (BDC) song song. b) Chứng minh đường chéo AC đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA, BDC. Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC làm ba phần bằng nhau. c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(ABG2). Thiết diện là hình gì? HD: c) Hình bình hành. 7.Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Trên AB, CC, CD, AA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0  x  a). a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định. b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định. 20