Tài liệu Sức bền vật liệu chuong 9 tai trong dong

Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy BÀI GIẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ) 1 CHƯƠNG 9: TẢI TRỌNG ĐỘNG ™ KHÁI NiỆM CHUNG ™ THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI ™ TÍNH VÔ LĂNG QUAY VỚI VẬN TỐC KHÔNG ĐỔI ™ DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO ™ DAO ĐỘNG TỰ DO ™ DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC ™ VA CHẠM 2 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy KHÁI NiỆM CHUNG Trong các chương trước, ta chỉ khảo sát tải trọng tác dụng lên hệ đều là tải trọng tĩnh, tức là tải trọng tăng từ từ và không làm xuất hiện lực quán tính trong hệ đang xét. Trong một số trường hợp, tải trọng tác dụng lên hệ thay đổi một cách đột ngột hoặc biến đổi theo thời gian. Khi đó, biến dạng và chuyển vị trong hệ cũng biến đổi theo thời gian nên trong hệ có xuất hiện lực quán tính. Tải trọng gây ra lực quán tính trong hệ đang xét được gọi là tải trọng động. 3 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI γA g γA z a Ta sẽ tính nội lực động và ứng suất động trong sợi dây cáp. P Pa g P ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT a z Nd L Xét một dây cáp ở đầu có treo vật nặng P, chuyển động với gia tốc không đổi a. Gọi trọng lượng riêng của dây cáp là γ, diện tích mặt cắt ngang của dây cáp là A, chiều dài l. 4 2 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Xét mặt cắt cách nút dây một đoạn là z. Các lực tác dụng lên đoạn dây này gồm: - Trọng lượng vật nặng P. - Trọng lượng bản thân dây cáp phân bố theo chiều dài dây γA. g a γA z γA L - Lực quán tính của trọng lượng P có giá trị Pa/g. Nd a P z - Lực quán tính của trọng lượng dây có giá trị γAa/g. Pa g - Lực dọc động Nđ tác dụng tại mặt cắt đang xét. 5 P THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Theo nguyên lý d’Alembert, tổng hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên dây theo phương thẳng đứng kể cả lực quán tính phải bằng không: a a N d − γAz − γAz − P − P = 0 g g Nên: Đặt: ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT a γA z g a z ⎛ a⎞ N d = N t ⎜1 + ⎟ ⎝ g⎠ a k d = 1 + ⇒ Nd = N t k d g γA L ⎛ a⎞ N d = ( γAz + P ) ⎜ 1 + ⎟ ⎝ g⎠ Trong đó: N t = ( γAz + P ) Nd P Pa g P 6 3 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Ứng suất động: σd = Nd Nt k d = = σt k d A A Ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt trên cùng của dây, khi đó z = L. P ⎞⎛ a ⎞ ⎛ σd _ max = ⎜ γL + ⎟ ⎜ 1 + ⎟ = σ t _ max .k d A ⎠⎝ g ⎠ ⎝ Điều kiện bền của dây cáp là: : σ d _ max ≤ [ σ ]k 7 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Trong bài toán này ta có hai trường hợp có thể xảy ra: - Khi vật chuyển động lên nhanh dần đều và chuyển động xuống chậm dần đều (gia tốc a đều hướng lên, lực quán tính hướng xuống), ta nhận thấy hệ số động lớn hơn 1, nội lực động lớn hơn nội lực tĩnh. - Khi vật chuyển động lên chậm dần đều và chuyển động xuốn nhanh dần đều, (gia tốc a hướng xuống, lực quán tính hướng lên), ta thấy hệ số động nhỏ hơn 1, nội lực động nhỏ hơn nội lực tĩnh. 8 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy TÍNH VÔ LĂNG QUAY VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Xét vô lăng có đường kính trung bình D, chiều dày δ, trọng lượng riêng γ, quay với vận tốc góc ω không đổi. A, γ, δ qd qd dϕ ω σd A D D D σd A 9 TÍNH VÔ LĂNG QUAY VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI  =0 ω R =0 - Gia tốc tiếp tuyến: a t = ω Khi vô lăng quay đều: - Gia tốc pháp tuyến: a n = ω2 D 2 Cắt đôi vô lăng và khảo sát một nửa vô lăng. Bỏ qua ảnh hưởng của nan hoa và trọng lượng bản thân vô lăng. Khi đó, trên vô lăng chỉ có lực quán tính ly tâm phân bố đều: q d = ma n = ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT γA γADω2 an = g 2g 10 5 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy TÍNH VÔ LĂNG QUAY VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI Ứng suất động được xem là phân bố đều trên mặt cắt ngang vô lăng vì chiều dày δ là bé. Phương trình tổng hình chiếu các lực lên phương thẳng đứng: π 2σ d A = ∫ q d ds sin ϕ 0 Mà: ds = D dϕ 2 Điều kiện bền: ⇒ σd = γD 2 ω2 4g σ d _ max ≤ [ σ ]k 11 DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Các khái niệm cơ bản: - Một hệ chuyển động qua lại một vị trí cân bằng nào đó được gọi là hệ dao động. - Bậc tự do là thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí của hệ. Khi tính toán một hệ dao động ta phải chọn sơ đồ tính. Bậc tự do của hệ phụ thuộc vào việc chọn đó. y(t) a) b) ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT y1(t) y2(t) 12 6 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Các khái niệm cơ bản: - Khi hệ đi từ vị trí cân bằng này sang vị trí cân bằng kế tiếp, sau khi đã đi qua mọi vị trí được xác định bởi quy luật dao động của hệ, ta nói hệ đã thực hiện một dao động. - Thời gian để hệ thực hiện một dao động được gọi là chu kỳ, ký hiệu là T(s). - Tần số là số dao động trong một giây, ký hiệu là f (1/s) hay (Hertz) f =1 T - Số dao động trong 2π giây được gọi là tần số góc, ký hiệu là ω ω = 2π T 13 DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Các khái niệm cơ bản: - Dao động cưỡng bức là dao động dưới tác dụng của ngoại lực thay đổi theo thời gian. Ngoại lực thau đổi theo thời gian được gọi là lực kích thích. - Dao động tự do là dao động không có lực kích thích. Một xung lực nào đó làm cho hệ dao động, trong quá trình dao động, hệ không chịu tác động của lực kích thích nào. 14 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do Xét hệ đàn hồi có độ cứng k. Dầm mang vật nặng m đặt tại giữa dầm. Vị trí m được xác định bởi hàm y(t). P(t) y(t) a m .. my(t) löïc quaùn tính . β y(t) löïc caûn ky(t) löïc ñaøn hoài 15 DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do Theo nguyên lý d’Alembert, ta có:  ( t ) + β y ( t ) + ky ( t ) = P ( t ) m.y Chia hai vế cho khối lượng m:  y(t) + P(t) β k y ( t ) + y ( t ) = m m m Đặt: 2α = ⇒  y ( t ) + 2αy ( t ) + ω2 y ( t ) = β 2 k ;ω = m m P(t) m Phương trình vi phân dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do 16 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do không cản: Phương trình vi phân dao động tự do không cản:  y ( t ) + ω2 y ( t ) = 0 Nghiệm của phương trình này có dạng: y ( t ) = C1cosωt + C 2 sin ωt C1 và C2 là các hằng số được xác định từ điều kiện vị trí và vận tốc của khối lượng m tại thời điểm ban đầu (t = 0). Ngoài ra, nghiệm y(t) còn có thể viết ở dạng khác: y ( t ) = A sin ( ωt + ϕ ) 17 DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do không cản: Đồ thị dao động được thể hiện như hình vẽ t y ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT t 18 9 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do không cản: Gọi ω là tần số dao động riêng của hệ: ω= k m Gọi P = mg – là trọng lượng của khối lượng m, ta có: g.k = P ω= g P k Gọi Δt là độ võng của dầm tại vị trí đặt khối lượng m, do chính trọng lượng của khối lượng m đó tác dụng tĩnh gây ra: Δt = P ⇒ω= k g Δt 19 DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do có cản: Phương trình vi phân dao động tự do không cản:  y ( t ) + 2αy ( t ) + ω2 y ( t ) = 0 Phương trình đặc trưng: K 2 + 2 α K + ω2 = 0 Khi: Δ = α 2 − ω2 ≥ 0 Nghĩa là hệ số cản lớn hơn tần số riêng của hệ, nghiệm của phương trình trên có dạng: y ( t ) = C1e K1t + C 2 e K 2 t ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 20 10 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do có cản: Đây là hàm mũ không tuần hoàn, hệ không có dao động, đồ thị dao động có dạng: v(t) v(0) v(0) O t 21 DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do có cản: Khi: Δ = α 2 − ω2 < 0 Đặt: Phương trình có nghiệm ảo: ω12 = ω2 − α 2 K1,2 = −α ± iω1 Nghiệm tổng quát của p/trình: y ( t ) = A1e −αt sin ( ω1t + ϕ1 ) P/trình biễu diễn dao động với tần số góc: ω1 = ω2 − α 2 Do ω1 < ω nên chu kỳ T1 lớn hơn T của dao động tự do. Độ lệch pha ϕ1 được xác định theo điều kiện ban đầu. Biên độ dao động là hàm mũ A1e-αt, tắt rất nhanh trong quá trình dao động. 22 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG TỰ DO Dao động tự do có cản: Đồ thị dao động được thể hiện như hình sau: t t y 23 PHƯƠNG PHÁP THU GOM KHỐI LƯỢNG Trong trường hợp cần độ chính xác cao hơn, ta có thể kể đến trọng lượng bản thân của dầm trong bài toán dao động. Ta có thể tính như hệ một bậc tự do theo phương pháp thu gom khối lượng. Dựa trên sự tương đương về động năng, người ta quy đổi dầm có khối lượng phân bố thành dầm có khối lượng tập trung. Khối lượng tập trung tương đương đó bằng tổng khối lượng của dầm nhân với một hệ số thu gom khối lượng, ký hiệu là μ. 24 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy PHƯƠNG PHÁP THU GOM KHỐI LƯỢNG Hệ số thu gom khối lượng đối với từng sơ đồ tính như sau: - Đối với dầm đơn giản hai đầu khớp, khối lượng thu gom về giữa nhịp thì μ = 17 / 35. - Đối với dầm console, khối lượng thu gom về đầu tự do thì μ = 33 / 140. - Đối với lò xo và thanh thẳng dao động dọc, khối lượng thu gom về đầu tự do thì μ = 1 / 3. 25 PHƯƠNG PHÁP THU GOM KHỐI LƯỢNG Hệ số thu gom khối lượng đối với từng sơ đồ tính như sau: M+m a) μ = 17 / 35 M+m b) μ = 33 / 140 d) c) y(t) μ=1/3 μ=1/3 M+m M+m Như vậy, khối lượng tổng tại vị trí khảo sát là: M1 = M + m. 26 Với m là khối lượng thu gom. ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Phương trình dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do  y ( t ) + 2αy ( t ) + ω2 y ( t ) = P(t) m Trong các bài toán kỹ thuật, lực kích thích có tính tuần hoàn: P ( t ) = P sin rt 0 Phương trình dao động bên trên được viết lại như sau:  y ( t ) + 2αy ( t ) + ω2 y ( t ) = P0 sin rt m (a) 27 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Nghiệm của phương trình có dạng: y ( t ) = y1 ( t ) + y 2 ( t ) (b) Trong đó, y1(t) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất, nó biểu thị một dao động tắt dần và đã được khảo sát ở phần trên. y1 ( t ) = A1e −αt sin ( ω1t + ϕ1 ) (c) y2(t) là nghiệm riêng của phương trình. Vế phải phương trình có dạng sin nên có thể lấy y2(t) có dạng sau: y 2 ( t ) = C1 sin ( rt ) + C 2 cos ( rt ) ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 28 14 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Thay nghiệm y2(t) vào phương trình (a) và tiến hành đồng nhất hai vế, ta tính được hệ số C1 và C2: ω2 − r 2 ) ( P0 C1 = ; m ( ω2 − r 2 ) 2 + 4 α 2 r 2 (ω Đặt: cosθ = (ω 2 2 − r2 ) − r 2 ) + 4α 2 r 2 2 C2 = ;sin θ = P0 2α r m ( ω 2 − r 2 ) 2 + 4α 2 r 2 2α r (ω 2 − r 2 ) + 4α 2 r 2 2 k 1 ω2 2 =ω ⇒ = m m k Và: 29 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Nghiệm y2(t) được viết lại như sau: P0 ω2 y2 ( t ) = k Mà: (ω 2 −r ) 2 2 + 4α r 2 2 ⎡⎣ cosθ sin ( rt ) + sin θcos ( rt ) ⎤⎦ 1 ⎡sin ( rt + θ ) − sin ( θ − rt ) ⎤⎦ 2⎣ 1 sin θcos ( rt ) = ⎡⎣sin ( rt + θ ) + sin ( θ − rt ) ⎤⎦ 2 cosθ sin ( rt ) = ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 30 15 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Rút gọn nghiệm y2(t) được: y2 ( t ) = P0 2 ⎛ r ⎞ 4α r k ⎜1 − 2 ⎟ + ω4 ⎝ ω ⎠ 2 sin ( rt + θ ) 2 2 Đặt V là biên độ dao động cưỡng bức: V= P0 2 ⎛ r ⎞ 4α r k ⎜1 − 2 ⎟ + ω4 ⎝ ω ⎠ 2 ⇒ y 2 ( t ) = V sin ( rt + θ ) (d) 2 2 31 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Thay nghiệm y1(t), y2(t) vào phương trình (b) được: y ( t ) = A1e −αt sin ( ω1t + ϕ1 ) + V sin ( rt + θ ) Ta thấy số hạng thứ nhất là một hàm có biên độ giảm rất nhanh theo quy luật hàm mũ âm. Sau một thời gian ngắn, hệ chỉ còn dao động theo quy luật của số hạng thứ hai: y ( t ) = V sin ( rt + θ ) Đây là một hàm sin biểu diễn một dao động điều hòa. Tần số góc của dao động bằng tần số của lực kích thích r, độ 32 lệch pha θ, biên độ dao động V. ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 16 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Gọi yt là chuyển vị tại điểm đặt khối lượng m do lực có giá trị P0 (biên độ của lực kích thích) tác dụng tĩnh tại đó gây ra, ta có: P yt = 0 k Độ võng lớn nhất xuất hiện trong dầm: y max = V = P0 2 ⎛ r 2 ⎞ 4α 2 r 2 k ⎜1 − 2 ⎟ + ω4 ⎝ ω ⎠ = yt 1 2 ⎛ r 2 ⎞ 4α 2 r 2 ⎜1 − 2 ⎟ + ω4 ⎝ ω ⎠ 33 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức có cản. Đặt kd là hệ số kể đến ảnh hưởng của dao động so với tác dụng tĩnh, gọi là hệ số động: kd = 1 2 ⎛ r 2 ⎞ 4α 2 r 2 ⎜1 − 2 ⎟ + ω4 ⎝ ω ⎠ Ta có thể viết lại như sau: y max = y t k d 34 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 17 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Dao động cưỡng bức không cản. Sử dụng các kết quả đã tính toán bên trên và cho hệ số cản bằng không. Hệ số động: kd = 1 r2 1− 2 ω Độ võng lớn nhất xuất hiện trong dầm: y max = y t k d 35 DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Hiện tượng cộng hưởng Khảo sát hệ số động ta thấy kd là một hàm hai biến k d = f ( r ω , 2α ω ) Ứng với một giá trị 2α / ω ta vẽ đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa kd và r / ω. Ta thấy khi α càng nhỏ thì đỉnh của đồ thị càng cao, và tiến đến vô cùng khi α = 0. ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Kd 5,0 2α = 0,15 ω 4,0 2α = 0,2 ω 2α = 0,3 ω 2α = 0,3 ω 3,0 2,0 1,0 0 2α = 0,3 ω 0,5 1,0 r 36 1,5 ω 2,0 18 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Hiện tượng cộng hưởng Hiện tượng tăng biên độ dao động khi tần số lực kích thích trùng với tần số dao động riêng của hệ được gọi là hiện tượng cộng hưởng. Trên đồ thị, ta thấy khi tỷ số của hai tần số này nằm trong khoảng (0,75 – 1,25), biên độ tăng lên rõ rệt, gọi là miền cộng hưởng. Hiện tượng cộng hưởng rất nguy hiểm cho công trình chịu tải trọng động. Để tránh hiện tượng này, cần làm cho tần số của lực kích thích r khác nhiều với tần số dao động 37 riêng ω. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Tính toán hệ dao động Khi một hệ dao động, ta cần tìm hệ số động của hệ, sau đó tính các đại lượng khác như sau: Sd = St,P0 k d + St,P - St_P0 là đại lượng cần tính (nội lực, ứng suất, độ võng …) do biên độ lực kích thích P0 tác dụng tĩnh tại điểm đặt khối lượng dao động gây ra. - St_P là đại lượng cần tính (nội lực, ứng suất, độ võng …) do các tải trọng có sẵn trên hệ tác dụng tĩnh gây ra mà khi không có dao động vẫn có các tác dụng này (như trọng 38 lượng của môtơ). ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 19 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy VA CHẠM Va chạm đứng Một vật nặng có trọng lượng Q, rơi từ độ cao H, va chạm vào vật nặng có trọng lượng P đặt sẵn trên dầm đàn hồi. H Q P yd Trước khi va chạm, dưới tác dụng của trọng lượng P, dầm đã võng trước một đoạn là Δt. 39 VA CHẠM Va chạm đứng Giả thiết rằng, sau khi rơi xuống, vật nặng Q và P gắn chặt với nhau và cùng đi xuống một đoạn yd. - Gọi trạng thái 0 là trạng thái tại thời điểm ngay trước khi Q va chạm vào P. Lúc này, vận tốc của vật nặng Q là V0, vận tốc của vật nặng P bằng không. - Trạng thái 1 là t/thái tại thời điểm ngay sau khi Q va chạm vào P và cả hai cùng chuyển động xuống với vận tốc V. - Trạng thái 2 là trạng thái tại thời điểm cả hai vật (P+Q) đạt được độ võng lớn nhất yd. Lúc này, vận tốc của cả hai 40 vật đều bằng không. ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 20