Tài liệu Sửa chữa sai lầm trong giải phương trình và hệ phương trình

Më ®Çu Trong khi häc To¸n, häc sinh cã thÓ m¾c nhiÒu kiÓu sai lÇm ë nhiÒu møc ®é kh¸c nhau. Cã khi lµ nh÷ng sai lÇm vÒ mÆt tÝnh to¸n c¬ häc, nhng còng cã khi lµ nh÷ng sai lÇm vÒ suy luËn, sai lÇm do hæng kiÕn thøc, hay ¸p dông nh÷ng mÖnh ®Ò hay ®Þnh lý To¸n häc v« c¨n cø… Cã nh÷ng sai lÇm rÊt tinh vi, khã ph¸t hiÖn, vÝ dô nh ®èi víi häc sinh th× ký hiÖu x,y,z… thêng lµ biÓu thÞ mét c¸i cÇn t×m, còng v× thÕ mµ khi gi¶i nh÷ng ph¬ng tr×nh cã tham sè, ta ®em ®æi vai trß cña Èn vµ tham sè cho nhau th× häc sinh rÊt khã chÊp nhËn. Nh÷ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, nhiÒu khi ta ph¶i ph©n kho¶ng ®Ó khö dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, rèt côc lµ t×m cho ra ®îc x. Nhng b©y giê trong bµi to¸n tÝch ph©n chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, th× còng lµ kÝ hiÖu biÕn x nhng ta kh«ng ph¶i ®i t×m x, chÝnh v× vËy mµ gi¶i bµi to¸n Êy theo kiÓu xÐt x <3, x >5…cho riªng lÎ tõng ®¸p sè lµ sai. Cã thÓ nãi nh÷ng sai lÇm kiÓu Êy lµ do c¸c em häc sinh kh«ng hiÓu b¶n chÊt cña ®èi tîng cã mÆt trong bµi to¸n. ViÖc häc To¸n cña häc sinh kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai lÇm, do ®ã nghiªn cøu ®Ó t×m ra nh÷ng ph¬ng ¸n gi¶m thiÓu nh÷ng sai lÇm ®ã lµ rÊt cÇn thiÕt. Cã nhiÒu t¸c gi¶ næi tiÕng cã sù nhÊn m¹nh ý nghÜa cña viÖc lµm nµy, ch¼ng h¹n A.A.Stolia ph¸t biÓu “Kh«ng ®îc tiÕc thêi gian ®Ó ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm cña häc sinh”. Cßn G.P«lia th× ph¸t biÓu “Con ngêi ph¶i biÕt häc ë nh÷ng sai lÇm vµ nh÷ng thiÕu sãt cña m×nh”. ViÖn sÜ G¬n-he-denc« trong lóc nªu ra n¨m phÈm chÊt cña t duy To¸n häc th× ®· ®Ò cËp ®Õn ba phÈm chÊt liªn quan ®Õn viÖc tr¸nh c¸c sai lÇm khi gi¶i To¸n. - N¨ng lùc nh×n thÊy ®îc tÝnh kh«ng râ rµng cña suy luËn, thÊy sù thiÕu c¸c m¾t xÝch cÇn thiÕt cña chøng minh. - Cã thãi quen lý gi¶i mét c¸ch ®Çy ®ñ. - Sù chÝnh x¸c cña lý luËn. Theo c¸c ý kiÕn trªn ®©y cña c¸c nhµ khoa häc th× thõa nhËn r»ng trong gi¶i To¸n, bÊt cø ngêi nµo còng tõng cã lÇn ph¹m ph¶i nh÷ng sai lÇm, cßn nh÷ng víng m¾c vµ khã kh¨n th× dÜ nhiªn lµ thêng xuyªn. Chøc n¨ng cña ngêi thÇy gi¸o lµ ph¶i kÞp thêi v¹ch râ ®Ó häc sinh thÊu hiÓu nh÷ng sai lÇm ®ã sao 1 cho lÇn sau kh«ng cßn tiÕp diÔn n÷a. Tuy nhiªn mét trong c¸c n¨ng lùc cÇn cã cña ngêi thÇy lµ ph¶i ®¸nh gi¸ ®óng møc cña häc sinh ®· m¾c, kh«ng nªn cµo b»ng c¸c møc ®é.TÊt nhiªn s÷a sai lµ ph¶i kÞp thêi, nÕu kh«ng th× “sai lÇm sÏ nèi tiÕp sai lÇm”. Tuú ®èi täng häc sinh ®Ó ®¸nh gi¸ møc ®é sai lÇm cña tõng bµi to¸n. VÝ dô nh mét häc sinh bËc THPT mµ tõ hÖ thøc x+ 1 = y+ x 1 y suy ra x=y lµ ®iÒu kh«ng thÓ chÊp nhËn ®îc. Hay nh häc sinh líp 11 mµ hiÓu r»ng 1 f ( x) f -1(x)= lµ sai lÇm rÊt lín. Tuy nhiªn còng cã nh÷ng sai lÇm hoÆc thiÕu sãt mµ ta kh«ng nªn “bÐ xÐ ra to”, bëi v× theo lý thuyÕt t×nh huèng th× cã nh÷ng chíng ng¹i tr¸nh ®îc vµ còng cã nh÷ng chíng ng¹i kh«ng tr¸nh ®îc. Ch¼ng h¹n häc sinh chøng minh x >sinx víi mäi x thuéc (0;+∞) b»ng c¸ch thiÕt lËp hµm sè f(x) = x- sinx, trªn kho¶ng ®ã f’(x)>0 vµ nãi hµm f(x) ®ång biÕn trªn (0;+∞), suy ra f(x)> 0 th× kÓ ra còng cha chuÈn l¾m v× 0 kh«ng thuéc (0;+∞). Nhng trong t×nh huèng nµy còng kh«ng nªn ph©n tÝch qu¸ nhiÒu ®Ó lµm rèi trÝ häc sinh. §Æc biÖt ngêi thÇy gi¸o ph¶i cã mét n¨ng lùc c¶m thô vÒ mÆt To¸n häc, cã kh¶ n¨ng pháng ®o¸n vµ h×nh dung nh÷ng ®iÒu häc sinh sÏ m¾c, ®Ó cã sù chñ ®éng xö lý c¸c t×nh huèng Êy. VÝ dô nh d¹ng to¸n vÒ dÊu cña tam thøc bËc 2 trªn mét miÒn; T×m ®iÒu kiÖn tham sè sao cho f(x) = x2+mx+1>0  x>3 NÕu  <0 th× ®óng  m - NÕu  >0 f(x) cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 f(x)>0  x thuéc (-∞;x1)  (x2; ∞) KÕt luËn lµ x2≤3 Tuy nhiªn, nh bµi nµy ch¼ng h¹n, gi¸o viªn chñ ®éng h×nh dung ra r»ng ®èi víi c¸c häc sinh kh¸, biÕt ®êng lèi gi¶i còng dÔ r¬i vµo sai lÇm kÕt luËn x 2<3, ®iÒu ®ã rÊt cã lý bëi v× mäi gi¶ thiÕt ®Òu ph¶n ¸nh bÊt ®¼ng thøc ngÆt. 2 Nh vËy, ta thÊy r»ng ®«i khi chØ lµ mét ký hiÖu hay mét dÊu, nhng nã l¹i ph¶n ¸nh rÊt s¸t vÒ tr×nh ®é suy luËn cña ngêi häc, vµ ®iÒu quan träng lµ ë chæ ngêi thÇy ph¶i biÕt tríc ®îc c¸i sai ®ã cña häc sinh. 3 Ch¬ng 1 Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi gi¶i c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh Trong gi¸o dôc, I.A.Komenski kh¼ng ®Þnh: "BÊt k× mét sai lÇm nµo còng cã thÓ lµm cho häc sinh kÐm ®i nÕu nh gi¸o viªn kh«ng chó ý ngay tíi sai lÇm ®ã, b»ng c¸ch híng dÉn häc sinh tù nhËn ra vµ söa ch÷a, kh¾c phôc sai lÇm". C¸c sai lÇm cña häc sinh trong d¹y häc gi¶i To¸n ®îc hiÓu lµ: §iÒu tr¸i víi yªu cÇu kh¸ch quan (môc ®Ých cña gi¶i To¸n, yªu cÇu cña bµi to¸n) hoÆc lÏ ph¶i (c¸c t×nh huèng ®iÓn h×nh trong m«n To¸n: Kh¸i niÖm, ®Þnh lÝ, quy t¾c, c¸c néi dung cña l«gic to¸n, ph¬ng ph¸p suy luËn suy diÔn...), do ®ã kh«ng ®¹t ®îc môc ®Ých cña d¹y häc gi¶i To¸n. C¸c sai lÇm trong gi¶i To¸n thêng do c¸c nguyªn nh©n tõ c¸c gãc ®é kh¸c nhau vÒ tÝnh c¸ch, tr×nh ®é n¾m kiÕn thøc vµ vÒ kÜ n¨ng. Do vËy biÖn ph¸p nµy chñ yÕu dµnh cho häc sinh bëi lÏ ®©y lµ ®èi tîng ®ang tËp dît nghiªn cøu s¸ng t¹o, ®ang lµm quen víi c¸ch tiÕp cËn, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. NhiÖm vô cña gi¸o viªn lµ ph¶i dù ®o¸n vµ gióp ®ì häc sinh kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm khi gi¶i To¸n. §iÒu tra thùc tr¹ng cho thÊy häc sinh cßn ph¹m nhiÒu sai lÇm vµ mäi ®èi tîng häc sinh (c¶ mét sè Ýt gi¸o viªn) ®Òu cã thÓ m¾c sai lÇm. Do ®ã ®Ó n©ng cao chÊt lîng d¹y häc gi¶i To¸n, cÇn ph¶i dù ®o¸n vµ cã híng kh¾c phôc c¸c sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i To¸n.Trong khi gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh, häc sinh thêng gÆp ph¶i c¸c sai lÇm sau. 1.1. Sai lÇm liªn quan ®Õn tÝnh to¸n vµ sö dông sai ®¬n vÞ ®o §©y thuéc d¹ng sai lÇm “th« thiÓn” nhÊt trong c¸c sai lÇm thêng gÆp ë häc sinh. Th«ng thêng c¸c sai lÇm nµy xuÊt ph¸t tõ viÖc häc sinh th«ng n¾m v÷ng bîc b¶n chÊt vµ ý nghÜa cña c¸c yÕu tè cã mÆt trong biÓu thøc, hay nhí sai c«ng thøc hay ®Þnh lý. VÝ dô1. Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c, häc sinh thêng nhÇm lÉn gi÷a hai ®¬n vÞ ®o lµ ®é vµ Ra®ian. Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin(x+30o)= 2 2 , nhiÒu häc sinh gi¶i nh sau: 4 2 2 sin(x+30o)= =sin   4  x 30o 4  k 2   x 30o 3   k 2   4 VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x+22x=20 Lêi gi¶i sai: Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi 2x(1+22) =20  2x.5=20  2x=4  x=2 Tuy nhiªn x=2 thö vµo ph¬ng tr×nh thÊy tháa m·n, nhng lêi gi¶i vÈn sai v× tëng 22x=22.2x Nhí r»ng 22x=(2x)2. Lêi gi¶i ®óng lµ: ®Æt t=2x >0 ta cã: t+t2=20  t2+t-20=0  t=4, t=-5. V× t >0 nªn t=4  x=2. 1.2. Sai lÇm khi ¸p dông ®Þnh lý vµ mÖnh ®Ò to¸n häc NhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn mét ®Þnh lý hay mét kh¸i niÖm còng lµ mét ho¹t ®éng to¸n häc. Ta xÐt sai lÇm cña häc sinh khi vËn dông ®Þnh lý còng cã nghÜa lµ ta ®ang xÐt c¸c sai lÇm trªn tiªu chÝ ho¹t ®éng to¸n häc. CÊu tróc th«ng thêng cña mét ®Þnh lý cã d¹ng: A  B. Trong ®ã A lµ gi¶ thiÕt, B lµ kÕt luËn. NhiÒu sai lÇm khi häc ®Þnh lý lµ do xem thêng ng«n ng÷ vµ c¸c ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt, bëi vËy nhiÒu lóc häc sinh ®a ra c¸c kÕt luËn sai lÇm: Kh«ng cã A vÉn suy ra B, hay kh«ng cã A suy ra kh«ng cã B. VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x.8 x 1 x  500 Sai kiÓu thø nhÊt: Thö mét sè trêng hîp x=1, x=2, x=3… thÊy r»ng 53.82/3=125. 3 64 =500, suy ra x=3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Khi x≠3 th× 53.82/3≠125. 3 64 KÕt luËn: x=3 lµ nghiÖm duy nhÊt. NÕu ph©n lo¹i møc ®é sai lÇm qua viÖc gi¶i bµi to¸n nµy, ta cã thÓ nhËn ra r»ng, ®èi víi häc sinh dõng bíc lËp luËn ngay sau khi thÊy x=3 lµ nghiÖm lµ häc sinh yÕu h¬n, ®èi víi häc sinh cã lµm thªm mét bíc suy diÔn: x≠3 th× 5 53.82/3≠125. 3 64 lµ häc sinh kh¸ h¬n häc sinh thø nhÊt trong khi gi¶i bµi to¸n nµy. KiÓu sai thø hai: 5x.8 x 1 x x 1  500  x.Ln5+ x Ln8= 3Ln5+2Ln2  (x-3)Ln5+ XÐt hµm sè f(x)= (x-3)Ln5+ x  x 3 x 3 Ln2=0 x Ln2, ta cã: f’(x)=Ln5+ 3 x 2 Ln2 >0  x≠0. Suy ra hµm sè ®ång biÕn  x≠0. MÆt kh¸c ta thÊy f(3)=0. Do ®ã x=3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. Sai lÇm mµ häc sinh m¾c ph¶i trong trêng hîp trªn lµ ë chæ: Hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn (-  ;0) vµ (0;+  ) th× ph¬ng tr×nh vÈn cã thÓ cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm trªn kho¶ng ®ã. Ph©n tÝch: ë líp 10 häc sinh ®· ®îc häc kh¸i niÖm vÒ hµm sè ®ång biÕn trªn mét kho¶ng, tuy vËy vÈn cã s¸ch xÐt hµm sè ®ång biÕn trªn mét tËp, dï kh«ng nãi râ nhng vÒ nguyªn t¾c th× 1 tËp sè cã thÓ lµ hîp cña nhiÒu kho¶ng. Trong ch¬ng tr×nh líp 12, trong phÇn mèi liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè, th× cã ®Þnh lý: NÕu ®¹o hµm d¬ng trªn mét kho¶ng th× hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng ®ã. Nhng thùc ra kiÕn thøc cña häc sinh ®¹i trµ kh«ng dÔ g× cã thÓ n¾m v÷ng vµ s©u s¾c ®Ó ph©n biÖt ®îc ph¹m vi ¸p dông cña ®Þnh lý thËt x¸c ®¸ng. Cô thÓ h¬n lµ khi häc ®Þnh lý nµy th× dêng nh häc sinh chØ dµnh sù quan t©m vµo chæ: NÕu ®¹o hµm d¬ng th× hµm sè ®ång biÕn, vµ thùc t×nh th× SGK còng kh«ng cã mét chó ý nµo vÒ ph¹m vi ¸p dông cña ®Þnh lý. V× vËy khi gÆp bµi to¸n mµ hoµn c¶nh cô thÓ kh«ng cßn lµ mét kho¶ng th× häc sinh vÈn ¸p dông ®Þnh lý mét c¸ch b×nh thêng. Lêi gi¶i trªn ®©y ®· ph¹m sai lÇm ë chæ: §¸ng lý ph¶i nãi hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-  ;0) vµ (0;+  ) th× l¹i nãi r»ng hµm sè ®ång biÕn trªn R\  0 . CÇn ph¶i lµ râ cho häc sinh thÊy hµm sè ®ång biÕn trªn  (-  ;0)  (0;+  ) th× ngoµi yªu cÇu f(x1) f(x2)  x1 6  x 0 2  f(x3) f(x4)  0 x  x 3 4  cßn ph¶i thªm yªu cÇu n÷a lµ f(  ) f(  )    0  Cã mét sai lÇm liªn ®íi ngoµi sai lÇm ¸p dông ®Þnh lý trªn ®©y, ®ã lµ sai lÇm ¸p dông mÖnh ®Ò: NÕu hµm sè ®¬n ®iÖu trªn (a;b), x 1,x2 cïng thuéc (a;b) th× f(x1)=f(x2)  x1= x2. Nhng trong trêng hîp nµy th× f(x1)=f(3), rá rµng 3 thuéc (0;+  ), cho nªn míi chØ cã kÕt luËn ®îc r»ng trªn (0;+  ) th× ph¬ng  tr×nh chØ cã 1 nghiÖm, vµ nh thÕ ta cÇn ph¶i xÐt trêng hîp x 0. §èi víi bµi to¸n trªn, ta cã lêi gi¶i ®óng nh sau: (x-3)(Ln5+ 1 Ln2) = 0   x 3  x  Ln 2  Ln 5 x CÇn nãi thªm r»ng, ®èi víi c¸c ph¬ng tr×nh siªu viÖt, ®Æc biÖt lµ khi thùc hiÖn trªn c¸c logarit, häc sinh thêng cã t©m lý nÆng nÒ khi nh×n nh÷ng h»ng sè l¹i kh«ng ph¶i lµ h»ng sè. Kh¸i qu¸t sai lÇm ë vÝ dô nµy ®i ®Õn nhËn xÐt r»ng: Gi¶ thiÕt cña mét ®Þnh lý cã thÓ gåm nhiÒu ý, vµ ph¹m vi ¸p dông cña nã lµ chØ khi nµo héi ®ñ tÊt c¶ c¸c ý trªn. ThÕ nhng nhiÒu khi c¸c em häc sinh lÜnh héi néi dung cßn qua quýt, giµnh sù chó t©m vµo mét sè ý nµo ®ã dÉn tíi sù m¬ hå c¸c ý cßn l¹i. Bªn c¹ng ®ã, vÒ c¸ch gi¶ng d¹y th× gi¸o viªn Ýt khi lµm s¸ng tá nh÷ng chi tiÕt nµy th«ng qua c¸c ph¶n vÝ dô. VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x3-6x2-9x=9(x2-2x-3) (*) +Lêi gi¶i sai: (*)  3x(x2-2x-3) = 9 (x2-2x-3)  3x=9  x=3. Cã thÓ thÊy ngay x=-1 còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, sai lÇm ë ®©y lµ häc sinh ®· chia c¶ hai vÕ cho biÓu thøc x 2-2x-3. CÇn lu ý víi häc sinh r»ng a.b=c.b  b(a-c)=0 + Lêi gi¶i ®óng lµ: (*)  (x2-2x-3)(3x-9)=0  VÝ dô 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3  x  1  x 3   3x  2  x  1 = 7 2 2  ( x  1 ) ( x  2) 0 3   x  3 x  2 0   x  2 +Lêi gi¶i sai: §iÒu kiÖn:   x  1    x  1  0  x  1  VËy kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tËp x¸c ®Þnh, vËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Ta cã thÓ nhËn ra khi x=1 th× biÓu thøc cã nghÜa vµ x=1 chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.VËy sai lÇm cña c¸c em häc sinh n»m ë chæ nµo? §ã lµ em ®· cho r»ng (x-1)2(x+2) 0  x+2 0. + Lêi gi¶i ®óng lµ: §iÒu kiÖn cã nghÜa 2  ( x  1 ) ( x  2) 0   x 1 3   x  3 x  2 0    x  1    x 2    x 1  x  1 0  x=1  Thö x=1 vµo ph¬ng tr×nh ta thÊy tho· m·n, vËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=1. VÝ dô 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh x.ex >  1 e +Lêi gi¶i sai: Ta cã f1(x1)=x vµ f2(x2)= ex lµ c¸c hµm sè ®ång biÕn trªn R, suy ra f(x)=x.ex lµ tÝch cña hai hµm ®ång biÕn nªn còng ®ång biÓn trªn R. Ta cã f(-1)=  1 . e Do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng f(x) > f(-1)  x>-1. Sai lÇm khi nghÜ r»ng tÝch cña hai hµm sè ®ång biÕn lµ hµm sè ®ång biÕn, nÕu c¸c hµm sè ®ång biÕn chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ d¬ng th× míi kÕt luËn ®îc. +Lêi gi¶i ®óng: XÐt hµm f(x) = x.ex víi x  R. Ta cã f’(x)=ex(x+1) nªn ta cã: x - f’(x) f(x) +  -1 0 +  1 e 8 + + Tõ ®ã ta cã f(x) >  1 e  x≠ -1 VÝ dô 5. T×m m ®Ó biÓu thøc sau cã nghÜa víi mäi x ( m  1) x 2  2( m  1) x  3m  3 +Lêi gi¶i sai: BiÓu thøc cã nghÜa víi mäi x  f(x)=(m+1)x2-2(m-1)x+3m-3 0  x  a  0 '    0 m   1   2(m  1)(m  2) 0  m 1 Ta cã kÕt qu¶ m 1. * CÇn thêng xuyªn nh¾c c¸c em häc sinh khi gi¶i d¹ng to¸n nµy r»ng f(x)=ax2+bx+c 0  x khi vµ chØ khi   a b  0   c 0 Vµ lêi gi¶i trªn thiÕu trêng hîp a=0  a  0    0 +Lêi gi¶i ®óng: BiÓu thøc cã nghÜa  x.   a b 0 Trêng hîp 1:   c 0  a  0 Trêng hîp 2:    0  m 1    m  1 kh«ng cã gi¸ trÞ m tho· m·n.  m 1   m 1 Tãm l¹i m 1. 1.3. Sai lÇm liªn quan ®Õn ®Æt ®iÒu kiÖn, biÕn ®æi ph¬ng tr×nh 9 VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2cos(2cosx) = 3 Cã häc sinh ®Æt: t = 2cosx, ®îc ph¬ng tr×nh: 2cost = 3  cos t  3  t =  300 + k 3600 2 Sai lÇm ë ®©y lµ häc sinh kh«ng n¾m ®îc gi¶i ph¬ng tr×nh cost = a víi t = 2cosx lµ t×m tÊt c¶ c¸c sè thùc t lµm cho ®Ò cost = a lµ ®óng, Èn t kh«ng ph¶i lµ gãc, lµ cung lîng gi¸c, do ®ã kh«ng cã sè ®o vµ ®¬n vÞ ®o b»ng ®é. Híng gi¶i ®óng: Gi¶i ph¬ng tr×nh cos t  3  t    k 2 (1) 6 2 XÐt ph¬ng tr×nh: 2cosx = t (2) víi tham sè t lÊy gi¸ trÞ trong tËp hîp x¸c t ®Þnh bëi (1), cã (2)  cos x  . 2 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm  t  �1 � k  �1 . §iÒu nµy kh«ng 2  x¶y ra víi mäi k nguyªn kh¸c kh«ng Víi k = 0 ta cã: cosx =    NhiÖm vô quan träng cña ngêi gi¸o viªn lµ híng dÉn häc sinh dù ®o¸n ®îc nh÷ng sai lÇm ph©n tÝch ®Ó t×m ra nguyªn nh©n c¸c sai lÇm lµ biÖn ph¸p tÝch cùc ®Ó rÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i To¸n. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x §©y lµ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc nªn häc sinh rÊt khã kh¨n khi chän ph¬ng ph¸p gi¶i, v× thÕ rÊt dÔ m¾c sai lÇm. NhiÒu em nhËn thÊy vÕ tr¸i xuÊt hiÖn b×nh ph¬ng nªn khai triÓn ra, sau ®ã dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh phøc t¹p hoÆc t×m c¸ch biÕn ®æi ®a vÒ c¸c hµm lîng gi¶i cña cïng mét gãc. C¸ch gi¶i ®óng: (cos2x - cos4x)2  4 4 + cos23x  4 x R x R 10 � (cos 2x  cos 4x) 2 � VËy (cos2x + cos4x)2 = 4cos23x  � 4  cos 2 3x  4 � (cos 2x  cos 4x)  2 � � cos3x  0 � (1) (2) Gi¶i (1) cos 2x  1 cos 2x  1 � � hay � (1)  � cos 4x  1 cos 4x  1 � � (b) �x  k 2x  k2 � � Gi¶i (a) � � �   4x    k2 x k � � � 4   v« nghiÖm �  x   k � 2x    k2 � � 2  Gi¶i (b) �  x   k � � 4x  k2  � �x  k  �  XÐt (2): 3x  VËy x  (k Z) 3  3k  cos3x = 0 (tho¶ m·n)    k (k  Z) lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh.  VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan7x=tan5x Ta cã: tan7x = tan5x  7x=5x+k  x=k  2 (k  Z) Râ rµng, nÕu k=1 th× x=  l¹i kh«ng ph¶i lµ nghiÖm, bëi v× c¸c gi¸ trÞ nµy 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cos 5x 0, cos7x 0. Sai lÇm ë ®©y lµ häc sinh ®· quªn t×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh. §Ó kh¾c phôc sai lÇm nµy gi¸o viªn cÇn nh¾c nhë häc sinh r»ng: NÕu  lµ mét sè tuú ý th× ph¬ng tr×nh tanx = tan  cã nghiÖm x =  + k  11 KÕt luËn ®ã bao hµm c¶ kh¼ng ®Þnh r»ng c¸c sè x =  +k  tho· m·n ®iÒu kiÖn cosx 0. VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sinx + 3 cosx = (1) 2  cos 2 x  3 sin 2 x Ta gÆp nhiÒu häc sinh lËp luËn nh sau: TËp x¸c ®Þnh cña (1) lµ: 2 + cosx + 3 sin2x  0  2+2( 1 cos 2 x  3 sin 2x ) 0 2 2  2+2 cos(2x   ) 0 3  x  R Khi ®ã vÕ ph¶i kh«ng ©m mµ vÕ ph¶i b»ng vÕ tr¸i nªn vÕ tr¸i còng kh«ng ©m. V× vËy hai vÕ ®Òu kh«ng ©m, b×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: (sinx + <=> 3 cosx) 2 = 2 + cos2x + 3 sin2x 2        2(cos(x  6 ) 21  cos(2x  3 )    <=> 2 1  cos(2 x  ) 2 1  cos(2x  ) 3  3    ®óng víi x  R VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ víi mäi x  R . §©y lµ mét lËp luËn sai, sai lÇm c¬ b¶n nhÊt lµ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh«ng t¬ng ®¬ng. C¸ch lËp luËn trªn ®©y cña häc sinh lµ ®óng khi xÐt trªn tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nhng gi¶i ph¬ng tr×nh l¹i lµ ®i t×m tËp nghiÖm. Do ®ã sau khi t×m ®îc nh÷ng gi¸ trÞ cÇn ph¶i ®èi chiÕu xem nh÷ng x ®ã cã thuéc tËp nghiÖm hay kh«ng, tøc lµ ph¶i lÇn lît kiÓm tra tõng gi¸ trÞ, ®iÒu ®ã nãi chung kh«ng kh¶ thi. +Lêi gi¶i ®óng: Ta cã (1) 12  sin x  3 cos x 0   (sin x  3 cos x)2 2  cos 2x  3 sin 2x  2     2 cos(x  ) 0    k2   k 2  6  3 3  x  R  x  R  2    k2 x   k2, k  z 3 3 VÝ dô 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: f(x) = 3  3 tan 2 x  m(tan x  cot x)  1 0 2 sin x (5) NhiÒu häc sinh lËp luËn nh sau: Tacã (5)  3(tan 2 x  1 )  m(tan x  cot x )  1 0 sin 2 x  3(tan 2 x  1  cot 2 x )  m(tan x  cot x )  1 0  3(tan 2 x  cot 2 x)  m(tan x  cot x)  2 0 §Æt tanx + cotx = t  tan 2 x  cot 2 x t 2  2 Khi ®ã ta cã: 3 (t2-2) + mt + 2 = 0 (5’)  3t2 + mt - 4 = 0 Ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm  ph¬ng tr×nh (5’) cã nghiÖm, v× ph¬ng tr×nh (5’) cã a.c=-12 < 0 nªn ph¬ng tr×nh (5’) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Do ®ã ph¬ng tr×nh (5) lu«n cã nghiÖm. Häc sinh ®· m¾c ph¶i sai lÇm trong lËp luËn ë chç ®· kh«ng quan t©m g× ®Õn ®iÒu kiÖn cña t vµ cho r»ng ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (5’) cã nghiÖm. Lêi gi¶i ®óng cÇn bæ sung §iÒu kiÖn cña t lµ: t 2 Ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm  ph¬ng tr×nh (5’) cã nghiÖm tho¶ m·n t 2 Ph¬ng tr×nh (5’) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt t1, t2 13 MÆt kh¸c, v× t .t  4 nªn ph¬ng tr×nh (5’) kh«ng thÓ ®ång thêi cã hai 1 nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n 2 3 t 1 2 vµ t 2 2 . Do ®ã (5) cã nghiÖm <=> (5’) cã mét nghiÖm trong ®o¹n   2;2 vµ mét nghiÖm ngoµi kho¶ng (-2; 2). <=> f ( 2)f ( 2) 0 <=> (8  2m)(8  2m) 0 <=> m 4. Häc sinh cã thÓ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh (5,) cã nghiÖm tho¶ m·n t 2 theo c¸ch kh¸c. 1.4. Sai lÇm liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn ®æi bµi to¸n NhiÒu khi ta kh«ng ®i gi¶i bµi to¸n ®· cho mµ l¹i ®i gi¶i mét bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi bµi to¸n ban ®Çu, TÊt nhiªn kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng lµ mét mÖnh ®Ò mµ sÏ cã nhiÒu bµi to¸n nªu ra díi d¹ng t×m tßi. Nh÷ng sai lÇm liªn quan ®Õn chuyÔn ®æi bµi to¸n thêng cã liªn quan ®Õn viÖc ®Æt Èn phô, thay biÕn, Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng vµ chuyÓn ®æi ng«n ng÷. ViÖc chuyÔn ®æi ®óng nhiÒu khi cã t¸c dông rÊt râ rÖt v× lóc ®ã viÖc gi¶i bµi to¸n ®· cho gÆp nhiÒu khã kh¨n, nhng khi chuyÔn ®æi hîp lý th× viÖc gi¶i bµi to¸n thuËn lîi h¬n nhiÒu. Nhng nÕu ta chuyÓn ®æi sai th× hËu qu¶ thêng gÆp sÏ lµ: HÖ cña c¸c ®iÒu kiÖn ®Æt ra cho bµi to¸n míi cha ®ñ ®¸p øng yªu cÇu cña bµi to¸n cò. Muèn rÌn luyÖn cho häc sinh chuyÓn ®æi bµi to¸n phßng tr¸nh nh÷ng thiÕu sãt vµ sai lÇm th× tríc hÕt ph¶i rÌn luyÖn cho hä c¸ch nh×n mét vÊn ®Ò linh ho¹t b»ng nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau. CÇn ph¶i rÌn luyÖn nhËn thøc sù t¬ng øng gi÷a c¸c ®èi tîng, tøc cÇn ph¶i trau dåi t duy hµm. CÇn ph¶i trang bÞ cho häc sinh kiÕn thøc vÒ phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, nhÊt lµ sù t¬ng ®¬ng gi÷a c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh. VÝ dô 1: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2 2 (1+m)( 2x ) 2 -3m 2x -4m =0 x 1 x 1 Nh÷ng bµi to¸n d¹ng nµy thêng thÊy häc sinh gÆp ph¶i nh÷ng sai lÇm vµ khã kh¨n nh sau: -V× thÊy mét quy luËt nµo ®ã gi÷a c¸c h¹ng tö, cho nªn häc sinh nhanh chãng ®Æt mét Èn phô, vµ còng v× sù nhanh chãng Êy cho nªn nhiÒu khi kh«ng cã ý thøc ®Æt mét ®iÒu kiÖn t¬ng xøng cho Èn phô. Ta lu«n ph¶i lµm cho häc 14 sinh nhí r»ng nÕu ta ®Æt Èn phô vµ chuyÓn ®æi yªu cÇu cña bµi to¸n th× cÈn thËn víi viÖc ph¸t biÓu kh«ng ®ñ ý víi Èn võa ®Æt. - Dï r»ng c¸c em ®· cã ý thøc ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn phô nhng x¸c ®Þnh kh«ng râ vÒ møc ®é cña ®iÒu kiÖn Êy, tøc lµ nhiÒu khi míi rót ra ®îc mét ®iÒu kiÖn nµo ®ã cña Èn phô th× ®· véi vµng khÐp l¹i viÖc lµm nµy. CÇn cho häc sinh thÊy r»ngvíi nh÷ng bµi to¸n biÖn luËn vÒ sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chøa tham sè th× hÇu nh ta kh«ng cã ®iÒu kiÖn ®Ó t×m ra nghiÖm cô thÓ, mµ thay vµo ®ã lµ t×m mét ®iÒu kiÖn s¸t thùc cho Èn t, nghÜa lµ t ph¶i nh thÕ nµo th× ¾t sÏ cã x t¬ng øng. B¶n chÊt cña vÊn ®Ò ®ã lµ: Hµm f: X  R x  t=f(x) th× t ph¶i thuéc miÒn gi¸ trÞ cña hµm f. 2 - §Æt t= 2x x 1 ®Ó dÉn tíi ®iÒu kiÖn 0 t<1 Th× cã trêng hîp ta diÔn ®¹t ®Çy ®ñ theo lèi cña ph¬ng ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ: x2=t(x2+1)  (1-t)x2=t XÐt hai kh¶ n¨ng: t=1 vµ t 1 NÕu t 1 th× t 1 t ph¶i kh«ng ©m, nghÜa lµ 0 t<1. Cßn nÕu t=1 th× kh«ng chÊp nhËn. Tuy nhiªn còng cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh c¶m nhËn trùc gi¸c vÒ viÖc t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi Èn t chø kh«ng nhÊt thiÕt bµi to¸n nµo còng lµm theo ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ. VÝ dô 2: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (x-3)(x+1)+4(x-3) x 1 x 3 =m (1) cã nghiÖm. Gi¶i: ®iÒu kiÖn x -1, x>3 §Æt t=(x-3) x 1 x 3 , ph¬ng tr×nh trë thµnh t2+4t-m=0 (2) §Æt Èn phô kiÓu nµy sÏ thuËn tiÖn h¬n trong kh©u biÕn ®æivÕ tr¸i so víi c¸ch ®Æt Èn phô kh¸c bëi v× kh«ng cÇn xÐt riªng rÏ c¸c trêng hîp x -1, x>3. Tuy nhiªn v× nhanh chãng rót ra ®îc ph¬ng tr×nh bËc 2 ®èi víi Èn t nªn häc sinh cã thÓ quªn mÊt ®iÒu kiªn cÇn ph¶i cã cña t. Sau khi t×m ®iÒu kiÖn mét c¸ch cÈn thËn th× thÊy r»ng bÊt kú t nµo trªn R còng cã nh÷ng x t¬ng øng, dÜ nhiªn ®ã lµ ngÈu nhiªn. V× vËy häc sinh kh«ng ®Æt vÊn ®Ò t×m ®iÒu kiÖn th× rèt 15 cuéc ®¸p sè vÈn ¾t ®óng nhng lêi gi¶i cha thÓ chÊp nhËn ®îc. §Ó t×m ®iÒu kiÖn cu¶ t, ta cã c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã Limt  vµ Limt  x   x   MÆt kh¸c hµm sè liªn tôc trªn (-∞;-1] vµ [3;+ ∞), do vËy t cã thÓ lÊy bÊt kú gi¸ trÞ nµo. C¸ch 2: t= (x-3)  x  3,t  0  2 t (x  3)( x  1)   x 1  x 3  x  2, t 0   t 2 (x  1)(x  3) DÓ thÊy r»ng ph¬ng tr×nh x2-2x-3-t=0 trong trêng hîp t >0 lu«n cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm lín h¬n 3. NhiÒu t×nh huèng chuyÓn ®æi bµi to¸n th«ng qua mét sè phÐp biÕn ®æi, v× vËy cã thÓ m¾c sai lÇm trong chuyÓn ®æi, ®Æc biÖt lµ c¸c phÐp biÕn ®æi hÖ qu¶ vµ t¬ng ®¬ng. VÝ dô 3: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng 3 f (x ) +3 g (x ) =3 h(x ) (1) Thêng ®îc häc sinh biÕn ®æi nh sau: (1)  ( 3 3 f (x) +3 f (x) +3 g (x ) g (x ) )3=h(x)  f(x)+g(x)+3 3 f ( x ).g ( x) ( )=h(x)  f(x)+g(x)+3 3 f ( x).g ( x ) . 3 h(x ) = h(x)  27f(x).g(x).h(x)=(h(x)-f(x)-g(x))3 Vµ ®· ®a ph¬ng tr×nh vÒ kh«ng chøa dÊu c¨n. Th«ng thêng, gi¸o viªn c¨n dÆn häc sinh cÈn thËn khi luû thõa lªn bËc ch¼n, vµ nãi chung khi luü thõa bËc lÎ th× kh«ng gÆp vÊn ®Ò g×, bëi vËy ®· cã thÓ nhËp t©m víi sù c¨n dÆn Êy cho nªn trong t×nh huèng nµy viÖc dïng c¸c phÐp t¬ng ®¬ng lµ kh«ng cã khóc m¾c g×. Tuy nhiªn cÇn lµm cho häc sinh thÊy ®èi víi ph¬ng tr×nh d¹ng 16 A+B=C  A3+B3+3AB(A+B)=C3  A3+B3+(-C)3=-3AB(A+B) NÕu ta kh¼ng ®Þnh nã còng t¬ng ®¬ng víi A3+B3+3AB(A+B)=C3 th× cã nghÜa lµ ta cho r»ng A3+B3+(-C)3=-3ABC lµ t¬ng ®¬ng víi A+B=C Tuy nhiªn, A3+B3+(-C)3=-3ABC  A3+B3+(-C)3-3AB(-C)=0  [A+B+(-C)](A2+B2+(-C)2-AB-AC-BC)=0 NÕu ta muèn kh¼ng ®Þnh A+B=C th× ta ph¶i kh¼ng ®Þnh A2+B2+(-C)2-AB-A(-C)-B(-C) 0 Nãi c¸ch kh¸c, ta ph¶i ch¾c ch¾n ®îc kh«ng xÈy ra ®ång thêi A=-C vµ B=-C, th× khi Êy míi ch¾c ch¾n cã sù t¬ng ®¬ng nh ®· biÕn ®æi. C¸ch gi¶i thÝch nµy sÏ gi¶i quyÕt tËn gèc b¶n chÊt cña vÊn ®Ò, cßn nÕu kh«ng sö dông c¸ch nµy th× ta cã thÓ chØ ra c¸c ph¶n vÝ dô cô thÓ theo tinh thÇn lµ lùa chon 3 hµm f(x), g(x), h(x mµ hÖ f(x)-g(x)=-h(x) cã nghiÖm. 2 VÝ dô 4: Cho hµm sè y= mx  (2  m) x  2m  1 x m a, T×m m ®Ó hµm sè cã cùc trÞ. b, CMR víi nh÷ng gi¸ trÞ m võa t×m ®îc, th× trªn ®å thÞ lu«n t×m ®îc 2 ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i hai ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi nhau. Gi¶i: a, Hµm sè ®¹t cùc ®¹i  pt y,=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt, viÖc chuyÓn tõ yªu cÇu cã cùc trÞ thµnh yªu cÇu ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®ã còng chÝnh lµ viÖc chuyÓn ®æi bµi to¸n. KiÕn thøc nµy còng cã thÓ coi lµ t duy thuËt gi¶i bëi v× ®èi víi hµm sè bËc hai trªn bËc nhÊt th× sau mét sè lÇn thao t¸c, häc sinh sÏ nhí ®îc quy t¾c: Cã cùc trÞ t¬ng ®¬ng víi ®¹o hµm cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. Tuy nhiªn khi d¹y vÒ cùc trÞ cña hµm sè th× kh«ng nªn cho häc sinh nhí mét c¸ch m¸y mãc vÒ ®iÒu kiÖn ®¹t cùc trÞ cña hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt, cÇn ph¶i xuÊt ph¸t tõ c¸i gèc cña vÊn ®Ò ®Ó häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc h¬n: V× y lµ hµm sè bËc hai trªn bËc nhÊt nªn nªn y , lµ hµm sè bËc hai trªn bËc hai, sù cã nghiÖm cña y, phô thuéc vµo sù cã nghiÖm cña tö sè. NÕu  0 th× ®¹o hµm kh«ng ®æi dÊu cho nªn hµm sè gi÷ nguyªn mét chiÒu biÕn thiªn, v× vËy nã kh«ng thÓ cã cùc trÞ; nÕu  >0 th× ®¹o hµm sÏ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt vµ ®æi dÊu khi x ®i qua c¸c nghiÖm ®ã, nghÜa lµ hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i c¸c ®iÓm ®ã. b, Ta cã y,= 1 mx 2  2m 2 x  m 3  1 =1+ 2 ( x  m) 2 ( x  m) 17 Ta chuyÓn ®æi vÒ bµi to¸n: CMR nÕu m<0 th× tån t¹i x 1,x2 sao cho (m+ 1 ( x1  m) 2 )(m+ 1 ( x 2  m) 2 ) = -1 §Õn ®©y rÊt dÓ ph¹m ph¶i mét sai lÇm, ®ã lµ biÕn ®æi ®Ó dïng ®Þnh lý Viet. Thùc ra x1,x2 chØ lµ hoµnh ®é c¸c tiÕp ®iÓm chø kh«ng ph¶i lµ hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ. NÕu häc sinh sa vµo tÝnh to¸n hay biÕn ®æi th× sÏ gÆp lÊy phøc t¹p, trong khi ®ã nÕu cã kh¶ n¨ng trõu tîng ho¸ th× nhËn thÊy r»ng 1 ( x1  m) 2 vµ 1 ( x 2  m) 2 kh«ng bÞ h¹n chÕ bëi ®iÒu kiªn nµo kh¸c ngoµi ®iÒu kiÖn ph¶i d¬ng. Do ®ã ta cã bµi to¸n t¬ng ®¬ng: CMR  m<0 th× tån t¹i X1 vµ X2 d¬ng sao cho: (m+X1)(m+X2)=-1  (m+X1)= 1 M  X2 1 -m  X1=  X1= M X 2 §Ó ®¶m b¶o X1 vµ X2  X2   m d¬ng, ta chän   mX 2   1  m VÝ dô 5: Cho ph¬ng tr×nh (x—3)(x+1)+4(x-3)  x 1 x 3  1  m 2  mX 2 m  X2  X2   m    1  m2  X2  m  =m (1) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-3 b, T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Gi¶i: ®iÒu kiÖn §Æt t= (x-3) x 1 x  3 0   x   1  x 3 x 1 x 3 (*) , suy ra (x—3)(x+1)=t2 Khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng t2+4t-m=0(2) Víi m=-3, ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh t2+4t+3=0  t=-3, t=-1 *Víi t=-3, ta ®îc (x-3) x 1 x 3 =-3  x=1- 13 18 *Víi t=-1, ta ®îc (x-3) x 1 x 3 =-1  x=1- 5 b, Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm, suy ra (2) cã nghiÖm   0  m -4 Giö sö khi ®ã (2) cã nghiÖm t0 th× to=(x-3) x 1 x 3  Víi to=0 th× x=-1  Víi to  x  3 x 3 0    x=1+  0 suy ra   2 2  ( x  3)( x  1) t o  x 1 4  t0  Víi to  x  3 x 3 0    x=1 0 suy ra   2 2  ( x  3)( x  1) t o  x 1 4  t0 4  t 02 4  t 02 VËy víi m -4 th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. Trong bµi to¸n trªn, häc sinh dÓ m¾c sai lÇm tõ phÐp biÕn ®æi (x-3) x 1 x 3 = ®æi t¬ng ®¬ng, bëi v× (x-3) ( x  3)( x  1) x 1 x 3 = , ®ã dÜ nhiªn kh«ng ph¶i lµ phÐp biÕn  ( x  3)( x  1) x  3  0    ( x  3)( x  1) x  3  0 19 Ch¬ng 2 C¸c biÖn ph¸p s ph¹m nh»m h¹n chÕ vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶I to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh 2.1. C¸c ph¬ng ch©m chØ ®¹o Trong qu¸ tr×nh d¹y häc To¸n, ®Ó häc sinh h¹n chÕ c¸c sai lÇm khi gi¶i to¸n ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh, gi¸i viªn cÇn tu©n thñ c¸c ph¬ng ch©m sau: - Ph¬ng ch©m thø nhÊt: TÝnh kÞp thêi C¸c biÖn ph¸p ph¶i chó ý thÝch øng víi thêi ®iÓm thÝch hîp. BiÖn ph¸p chØ ph¸t huy hiÖu qu¶ nÕu ®îc ¸p dông ®óng lóc, kh«ng thÓ tuú tiÖn trong viÖc ph©n tÝch vµ söa ch÷a, còng nh h¹n chÕ sai lÇm cña häc sinh. §Æc biÖt lµ thêi gian mµ gi¸o viªn tiÕp xóc trùc tiÕp víi häc sinh lµ cã h¹n, do ®ã sù kh«ng kÞp thêi sÏ lµ sù l·ng phÝ thêi gian vµ gi¸o viªn khã cã cã ®iÒu kiÖn lÊy l¹i thêi gi¸n ®· mÊt. tÝnh kÞp thêi cña ph¬ng ph¸p ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i cã sù nhanh nh¹y tríc c¸c t×nh huèng ®iÓn h×nh nh»m t¸c ®éng ®Õn ho¹t ®éng cña häc sinh, tÝnh kÞp thêi ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i nghiªn cøu vµ dù ®o¸n tríc c¸c t×nh huèng cã thÓ m¾c sai lÇm cña häc sinh, ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i lu«n ë vÞ trÝ thêng trùc víi môc tiªu d¹y häc. C¸c sai lÇm cµng söa muén bao nhiªu th× sù vÊt v¶ cña thÇy vµ trß cµng t¨ng thªm bÊy nhiªu. - Ph¬ng ch©m thø hai: TÝnh chÝnh x¸c §ßi hái gi¸o viªn ph¶i ®¶m b¶o ®é chÝnh x¸c tõ ng«n ng÷ th«ng thêng ®Õn ng«n ng÷ To¸n häc, ®ßi hái ph¶i chØ ra chÝnh x¸c nguyªn nh©n dÈn tíi sai lÇm cña häc sinh trong lêi gi¶i. Gi¸o viªn kh«ng ®îc phñ nhËn lêi gi¶i sai mét c¸ch chung chung, ®ßi hái sù ®¸nh gi¸ møc ®é sai lÇm cña häc sinh. TÝnh chÝnh x¸c ®ßi hái gi¸o viªn ®¸nh gi¸ lêi gi¶i cña hä sinh qua sæ ®iÓm mét c¸ch c«ng b»ng, ph¶i biÕt híng dÉn ®iÒu chØnh söa ch÷a sai lÇm b»ng c¸c biÖn ph¸p tèi u. - Ph¬ng ch©m thø ba: TÝnh gi¸o dôc TÝnh gi¸o dôc gióp häc sinh thÊy ®îc tÇm quan träng trong sù chÝnh x¸c cña lêi gi¶i, gióp häc sinh tr¸nh ®îc c¸c sai lÇm khi sai lÇm cha xuÊt hiÖn. TÝnh gi¸o dôc cßn gióp cho cã ý chÝ trong häc To¸n vµ gi¶i To¸n. C¸c em cã 20