TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************
TRIỆU QUỲNH NHƯ
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA HỆ NAVIER-STOKES
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh
Hà Nội, 2013
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Cung Thế Anh đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên,
cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Triệu Quỳnh Như
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn
được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của
các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Triệu Quỳnh Như
3
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1. Toán tử A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2. Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. Các bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1. Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.3. Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Chương 2. Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều . .
14
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều. . . . . . . . . . . . . . . .
18
Chương 3. Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều
22
4
3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa phương trong trường hợp ba chiều
..............................................................................
27
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng
và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát,
và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng
không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . .Hệ phương trình NavierStokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được
viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng:
Bu ν∆u pu ∇q
Bt
∇u0
ở đó u
∆p f
upx, tq là hàm vectơ vận tốc, p ppx, tq là hàm áp suất, ν
là hệ số nhớt,
f là ngoại lực. Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình
Navier-Stokes là:
• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc
nghiệm mạnh. Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian.
• Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo
biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không
gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, . . . ).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian
t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép
dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều
chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.
Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ NavierStokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác về
nghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp
ba chiều. Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tính
duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ
Navier-Stokes trong cả hai trường hợp hai chiều và ba chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
Nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu : Hệ phương trình Navier-Stokes.
Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại : Phương pháp Galerkin.
Nghiên cứu tính duy nhất : phương pháp Lions, phương pháp Serrin.
6. Giả thiết khoa học
Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh.
Tìm được điều kiện đủ để nghiệm là duy nhất trong lớp hàm thích hợp.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rd , d 2, 3 với biên B Ω trơn. Xét bài toán biên
ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes
$ Bu
'
'
'
'
Bt ν∆u pu ∇qu
'
'
& ∇ u 0,
'
'
upx, tq 0,
'
'
'
'
% upx, 0q u0pxq,
∇p f, x P Ω, t ¡ 0
x P Ω, t ¡ 0
(1.1)
x P B Ω, t ¡ 0
xPΩ
pu1, .., udqT , d 2, 3 là hàm vectơ vận tốc, p
v const ¡ 0 là hệ số nhớt.
Ở đó u
: Ω
Ñ
R là hàm áp suất,
1.1. Các không gian hàm
Kí hiệu
V u P pC08 pΩqqd : ∇ u 0q.
Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau:
VpH pΩqq bao đóng của V trong pH01pΩqqd
tu P pH01pΩqqd : ∇ u 0u,
pL pΩqq
H V
bao đóng của V trong pL2pΩqqd.
V
1
0
2
d
d
8
Khi đó V và H là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là
pu, vq pu, vqH
»
Ω
u.vdx
» ¸
d
ui vi dx,
Ωi 1
» ¸
d
» ¸
d
Bui Bvj dx,
ppu, vqq pu, vqV
∇ui .∇vi dx
Ω i1
Ω i,j 1 B xj B xj
ở đó u pu1 , ..., ud qT , v pv1 , ..., vd qT .
Gọi H K là phần bù trực giao của H trong pL2 pΩqd . Từ kết quả trong Temam [4], ta có
HK
tu P pL2pΩqd : u gradp, p P H 1pΩqu.
1
Gọi V là không gian đối ngẫu của V . Kí hiệu |.|, ||.|| lần lượt là chuẩn trong H và
V, ||.|| kí hiệu chuẩn trong V .
1
1.2. Các toán tử
1.2.1. Toán tử A
Giả sử A : V
ÑV
1
là toán tử xác định bởi
xAu, vy ppu, vqq, với mọi u, v P V.
Kí hiệu DpAq là miền xác định của A, ta có:
DpAq tu P H : Au P H u pH 2 pΩqqd X V.
Dễ thấy toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch
Ñ DpAq compact vì phép nhúng H01pΩq Ñ L2pΩq là compact. Do đó phổ
của A gồm toàn giá trị riêng tλj u8
j 1 với
đảo A1 : H
ã
0 λ1
¤ λ2 ¤ ... ¤ λn ¤ ..., λn Ñ 8 khi n Ñ 8,
và các hàm riêng tương ứng twj u8
j 1
DpAq lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H.
9
1.2.2. Toán tử B
Đặt
d »
¸
Bvj w dx.
B xi j
i,j 1 Ω
Khi đó dễ thấy bp., ., .q là một dạng 3- tuyến liên tục trên pH01 pΩqqd , hay nói riêng trên
bpu, v, wq
ui
V . Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được
bpu, v, wq bpu, w, v q với mọi u, v, w
Nói riêng bpu, v, wq 0, với mọi u, v
P V.
P V.
Để thiết lập các đánh giá đối với bpu, v, wq, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.1. [5] Với bất kì tập mở Ω Rd , ta có
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=2
||v||L pΩq ¤ 2 ||v||L pΩq||∇v||L pΩq với mọi v P H01pΩq.
4
1
2
1
4
1
2
2
2
Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=3
||v||L pΩq ¤ C ||v||L pΩq||∇v||L pΩq với mọi v P H01pΩq.
3
4
1
4
4
2
2
Bổ đề 1.2.2. [5] a) Nếu d=2,3 thì
|bpu, v, wq| ¤ ||u||L ||v|||w|, @u P L8, v P V, w P H.
8
b) Nếu u, v, w
c) u P V, v
PV
thì
$
& |u|1{2||u||1{2|w|1{2||w||1{2||v||, d 2
|bpu, v, wq| ¤ k % 1{2 3{4
|u| ||u|| ||v|||w|1{4||w||3{4, d 3.
P DpAq, w P H thì
$
& |u|1{2||u||1{2|v|1{2||Av||1{2|w|, d 2
|bpu, v, wq| ¤ k %
||u||||v||1{2|Av|1{2|w|,
d 3.
Xét toán tử B : V
V ÑV
1
xác định bởi
xB pu, vq, wy bpu, v, wqvới mọi u, v, w P V.
10
Đặt Bu B pu, uq.
Khi đó Bài toán đã cho có thế phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây
Bài toán 1. Cho trước u0
$ d
& pu, vq ν ppu, vqq
dt
% up0q u0.
P H và f P L2p0, T ; V q. Tìm hàm u P L2p0, T ; V q thỏa mãn
1
bpu, u, v q xf, v y, với mọi v
PV
và hầu khắp t P p0, T q,
Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.3. . Giả sử u P L2 p0, T ; V q. Khi đó hàm Bu xác định bởi
xBuptq, vy bpuptq, uptq, vq, với mọi v P V,
sẽ thuộc L1 p0, T ; V q.
1
Chứng minh. Với hầu khắp t P r0, T s, ta có Buptq P V . Ta có
1
xBuptq, vy |bpuptq, uptq, vq| ¤ C ||uptq||2||v|| @ P V,
suy ra ||Bw||V
1
¤ C ||w||2 với mọi w P V . Do đó
»T
»T
||Bwptq||V dt ¤ C ||wptq||2V dt 8.
1
0
0
Vậy Bu P L1 p0, T ; V q.
1
Bổ đề 1.2.4. Cho u P L2 p0, T ; DpAqq X L8 p0, T ; V q, khi đó hàm Bu P L2 p0, T ; H q.
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.2, với hầu khắp t P r0, T s, ta có
|Buptq| ¤ c3|uptq|1{2|Auptq|1{2||uptq|| ¤ c||uptq||3{2|Auptq|1{2,
thì
»T
0
»T
|Buptq| dt ¤ c ||uptq|| |Auptq| dt ¤ c||u||
4
6
2
6
L8 0,T ;V
p
0
»T
q
0
Do đó Bu thuộc L4 p0, T ; H q, nên cũng thuộc L2 p0, T ; H q.
11
|Auptq|2dt 8.
Từ đó ta có bài toán sau đây.
Bài toán 2. Cho trước u0
P H và f P L2p0, T ; V q. Tìm hàm u P L2p0, T ; V q thỏa mãn
1
P L1p0, T ; V q
u νAu Bu f trong V
up0q u0 .
1
1
u
1
1
với hầu khắp t P p0, T q
Dễ thấy Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu u là nghiệm của
bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại.
1.3. Các bất đẳng thức thường dùng
1.3.1. Bất đẳng thức Hölder
Giả thiết 1 ¤ p, q
¤ 8; p1
1
q
1.
Khi đó nếu
u P Lp pΩq, v
»
thì ta có:
P Lq pΩq
|uv|dx ¤ ||u||L pΩq ||v||L pΩq.
p
Ω
q
1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy
ab ¤
a2
2
b2
.
2
1.3.3. Bất đẳng thức Young
Cho 1 p, q
8, p1
1
q
1. Khi đó
ab ¤
ap
p
bq
,
q
12
pa, b ¡ 0q.
1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré
»
»
|∇u| dx ¥ C pΩq |u|2dx, @u P H01pΩq.
2
Ω
Ω
1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall
Giả sử xptq là một hàm liên tục tuyệt đối trên r0, T s và thỏa mãn
dx
dt
¤ gptqx
hptq, với hầu khắp t,
trong đó g ptq và hptq là các hàm khả tích r0; T s. Khi đó
»t
xptq ¤ xp0qe p q
G t
với 0 ¤ t ¤ T , ở đó
0
Gptq
»t
0
eGptqGpsq hpsqds,
g prqdr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
¤ ax
b,
thì
xptq ¤ pxp0q
b at b
qe a .
a
1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions
Giả sử E1
p1
¥ 1,
p0
E
¡ 1 và đặt
E0 , ở đó E, E0 , E1 là các không gian Banach. Ta giả sử
W p1 ,p0 p0, T ; E1 , E0 q tu : u P Lp1 p0, T ; E1 q, u
1
P Lp p0, T ; E0qu.
Khi đó phép nhúng sau là compact
W p1 ,p0 p0, T ; E1 , E0 q Lp1 p0, T ; E q.
13
0
Chương 2
Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes
2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục
trong trường hợp hai chiều
Định lí 2.1.1. Cho trước u0
P H và f P L2p0, T ; V q. Khi đó Bài toán 1 có duy nhất
1
một nghiệm u thỏa mãn
u P C pr0, T s; H q X L2 p0, T ; V q,
du
dt
P L2p0, T ; V q.
1
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Giả sử twj u8
j 1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m ¥ 1,
tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng
u
m
ptq
m
¸
gim ptqwi ,
i 1
trong đó gim thỏa mãn
$ m
du
p
t
q
'
&
, wj
dt
'
% ump0q u0m.
ν pum ptq, wj q
bpum ptq, um ptq, wj q xf ptq, wj y, j
1, .., m,
(2.1)
14
Ở đây u0m
Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H xuống spantw1, .., w2u, không gian con
sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy ra
nghiệm xấp xỉ um ptq tồn tại và xác định trên r0, T s.
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với tum u.
Nhân hai vế của (2.1) với gim ptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
pu mptq, umptqq
1
ν ||um ptq||2
xf ptq, umptqy.
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d m 2
|u ptq|
dt
2ν ||um ptq||2
¤2||f ptq||||umptq||
¤ν ||umptq||2
1
||f ptq||2.
ν
Do đó
d m 2
|u ptq|
dt
ν ||um ptq||2
¤ ν1 ||f ptq||2.
Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 ¤ t ¤ T , ta được
|u ptq|
m
2
»t
ν
0
||u psq|| ds ¤|u0m|
m
2
¤|u0|2
»t
1
ν
2
1
ν
||f ptq||2ds
» t0
||f ptq||2dt.
0
Từ đây suy ra
tumu bị chặn trong L8p0, T ; H q;
tumu bị chặn trong L2p0, T ; V q.
Do đó
tAumu bị chặn trong
L8 p0, T ; V q.
1
Đánh giá tBum u
||Bum||V ||bpum, umq||V ¤ c |um|||um||.
1
Suy ra
»T
0
|Bumptq| dt ¤ c
2
»T
0
1
|umptq| ||umptq|| dt ¤ c ||um||L
2
2
15
8
p0,T ;H q
»T
0
||um||2dt 8,
nên tBum u bị chặn trong L2 p0, T ; V q.
dum
Vì
νAum PmBum Pmf nên suy ra
dt
Bước 3. Chuyển qua giới hạn.
1
"
dum
dt
*
bị chặn trong L2 p0, T ; V q.
1
Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử
um
ãu
trong L2 p0, T ; V q;
ã trong L2p0, T ; V q;
du
dum
ã
trong L2 p0, T ; V q.
dt
dt
Bây giờ ta cần chứng minh Bum ã Bu trong L2 p0, T ; V q.
1
Aum
1
1
Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của tum u mà ta vẫn
kí hiệu là tum u thỏa mãn
um
Ñ u trong L2p0, T ; H q.
Ta chứng minh kết quả sau
Bổ đề 2.1.1. Giả sử um
với mọi w
ã u trong L2p0, T ; H q và um Ñ u trong L2p0, T ; H q. Khi đó
P C 1pQT q ta có
»T
»T
m
m
bpu ptq, u ptq, wptqqdt Ñ
bpuptq, uptq, wptqqdt.
0
0
Chứng minh. Ta có
»T
0
bpu
m
ptq, u ptq, wptqqdt
m
Do đó
»T
bpum , w, um qdt
0
¸2 » T »
i,j 1 0
Ω
pumqi BBwxj pumqj dxdt.
i
»T
qdt bpu, u, wqdt
0
¸2 » T » m
B
wj
m B wj
m
pui uiq Bx uj ui Bx puj uj q dxdt.
0
bpu , w, u
»T
m
i,j 1 0
m
i
Ω
i
Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng
Em
»T»
0
Ω
pvm vqwvmdxdt,
16
ở đó v m
Ñ v trong L2p0, T ; H q, w P L2p0, T ; H q và vm bị chặn đều trong L8p0, T ; H q.Do
||wvm||L p0,T ;H q ® ||w||L p0,T ;H q||vm||L
2
nên Em
2
8
p0,T ;H q
Ñ 0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh.
Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u P L2 p0, T ; H q X L8 p0, T ; H q thỏa mãn
du
dt
Bu f trong L2 p0, T ; V q,
1
νAu
hay
du
ptq
dt
νAuptq
Để chứng minh up0q
Buptq f ptq trong V với hầu khắp t P r0, T s.
1
u0, ta chọn hàm thử ϕ P C 1r0, T s với ϕpT q 0, và lấy tích vô
hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được
»T
»T
puptq, ϕ ptqqdt ν puptq, ϕptqqdt
0
0
»T
xf ptq, ϕptqydt.
pup0q, ϕp0qq
1
»T
0
bpuptq, uptq, ϕptqqdt
0
Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có
»T
»T
pu ptq, ϕ ptqqdt ν pu ptq, ϕptqqdt
0
0
»T
pump0q, ϕp0qq
xf ptq, ϕptqydt.
m
1
m
»T
0
bpum ptq, um ptq, ϕptqqdt
0
Sau đó chuyển qua giới hạn khi m Ñ 8 ta được
»T
»T
puptq, ϕ ptqqdt ν puptq, ϕptqqdt
0
0
»T
pup0q, ϕp0qq
xf ptq, ϕptqydt.
1
»T
0
bpuptq, uptq, ϕptqqdt
0
Từ đó suy ra pup0q, ϕp0qq pu0 , ϕp0qq với mọi ϕ và do đó up0q u0 .
Bước 4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu.
Giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu lần lượt lần lượt
là u01 , u02 . Đặt u u1 u2 ta có
$
& u νAu Bu1
% up0q u01 u02.
1
17
Bu2
Nhân hai vế của phương trình này với u ta có
d
|
uptq|2
dt
2ν ||uptq||2
2bpu2ptq, u2ptq, uptqq 2bpu1ptq, u1ptq, uptqq
2bpuptq, u2ptq, uptqq.
Sử dụng Bổ đề 2.2, ta có
d
|uptq|2
dt
2ν ||uptq||2
®2 |uptq|||uptq||||utptq||
3
2
®2ν ||uptq||2
1
|uptq|||u2ptq||2.
ν
Do đó
d
|uptq|2
dt
® ν1 |uptq|||u2ptq||2.
Suy ra
|uptq| ® |up0q| exp
2
2
» t
1
0
ν
||u2psq|| ds
2
.
Đây là điều phải chứng minh .
2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường
hợp ba chiều
Định lí 2.2.1. Cho f
P L2p0, T ; V 1q, u0 P H. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ
Navier-Stokes thỏa mãn
u PL2 p0, T ; V q X Cw pr0, T s; H q,
du
dt
P L4{3p0, T, V 1q,
u là liên tục yếu từ r0, T s vào H: u P Cw pr0, T s; H q.
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ.
Giả sử twj u8
j 1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m ¥ 1,
tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng
um ptq
m
¸
i 1
18
gim ptqwi ,
trong đó gim thỏa mãn (2.1). Ở đây u0m
Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H
xuống
spantw1 , .., w2 u, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương
trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ um ptq tồn tại và xác định trên r0, T s.
Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với um .
Nhân hai vế của (2.1) với gim ptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được
pu mptq, umptqq
1
ν ||um ptq||2
xf ptq, umptqy.
Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
d m 2
|u ptq|
dt
2ν ||um ptq||2
¤2||f ptq||||umptq||
¤ν ||umptq||2
1
||
f ptq||2 .
ν
Do đó
d m 2
|u ptq|
dt
ν ||um ptq||2
¤ ν1 ||f ptq||2.
Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 ¤ t ¤ T , ta được
»t
»
1 t
m
2
m
2
2
|u ptq| v ||u psq|| ds ¤|u0m| ν ||f ptq||2ds
0
0
»
t
¤|u0|2 ν1 ||f ptq||2dt.
0
Từ đây suy ra
tumu bị chặn trong L8p0, T ; H q;
tumu bị chặn trong L2p0, T ; V q.
Dễ thấy
tAumu bị chặn trong
Đánh giá tBum u
L8 p0, T ; V q.
1
||Bumptq||V ¤ c |umptq|1{2||umptq||3{2.
1
Suy ra
»T
0
||umptq||
{
4 3
V 1 dt
¤c
»T
0
|umptq| { ||umptq||2dt ¤ c||um||L p0,T ;H q
2 3
»T
8
Nên
tBumu bị chặn trong L4{3p0, T ; V q.
1
19
0
||umptq||2dt 8.
- Xem thêm -