Tài liệu Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ navier-stokes

  • Số trang: 33 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 71 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN **************** TRIỆU QUỲNH NHƯ SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Cung Thế Anh Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Cung Thế Anh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Triệu Quỳnh Như 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh luận văn được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác. Trong khi thực hiện luận văn tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Triệu Quỳnh Như 3 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Toán tử A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Toán tử B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Các bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều . . 14 2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều. . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 3. Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm mạnh toàn cục trong trường hợp hai chiều 22 4 3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm mạnh địa phương trong trường hợp ba chiều .............................................................................. 27 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, . . . dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, . . . .Hệ phương trình NavierStokes được xây dựng từ sự bảo toàn của khối lượng, động lượng, và năng lượng được viết cho một thể tích đang xem xét bất kì, và có dạng: Bu  ν∆u pu  ∇q Bt ∇u0 ở đó u ∆p  f  upx, tq là hàm vectơ vận tốc, p  ppx, tq là hàm áp suất, ν là hệ số nhớt, f là ngoại lực. Những vấn đề lí thuyết cơ bản đặt ra khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes là: • Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm: Nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh. Các kết quả nhận được là phụ thuộc theo số chiều của không gian. • Tính chính qui của nghiệm: Tính chính qui ở đây có thể là tính chính qui theo biến thời gian (tính giải tích, tính Gevrey) hoặc tính chính qui theo biến không gian (tính chính qui Hilbert, tính chính qui Holder, mô tả tập điểm kì dị, . . . ). • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời gian t ra vô cùng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn. Trong các vấn đề kể trên trên, vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ NavierStokes là vấn đề quan trọng đầu tiên, là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề khác về nghiệm của hệ Navier-Stokes và vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là trong trường hợp ba chiều. Đây vẫn là vấn đề thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes trong cả hai trường hợp hai chiều và ba chiều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. Nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Hệ phương trình Navier-Stokes. Phạm vi nghiên cứu : Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại : Phương pháp Galerkin. Nghiên cứu tính duy nhất : phương pháp Lions, phương pháp Serrin. 6. Giả thiết khoa học Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm mạnh. Tìm được điều kiện đủ để nghiệm là duy nhất trong lớp hàm thích hợp. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rd , d  2, 3 với biên B Ω trơn. Xét bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình Navier-Stokes $ Bu ' ' ' ' Bt ν∆u pu  ∇qu ' ' & ∇  u  0, ' ' upx, tq  0, ' ' ' ' % upx, 0q  u0pxq, ∇p  f, x P Ω, t ¡ 0 x P Ω, t ¡ 0 (1.1) x P B Ω, t ¡ 0 xPΩ  pu1, .., udqT , d  2, 3 là hàm vectơ vận tốc, p v  const ¡ 0 là hệ số nhớt. Ở đó u : Ω Ñ R là hàm áp suất, 1.1. Các không gian hàm Kí hiệu V  u P pC08 pΩqqd : ∇  u  0q. Để nghiên cứu bài toán, ta giới thiệu các không gian hàm sau: VpH pΩqq  bao đóng của V trong pH01pΩqqd tu P pH01pΩqqd : ∇  u  0u, pL pΩqq H V  bao đóng của V trong pL2pΩqqd. V 1 0 2 d d 8 Khi đó V và H là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượt là pu, vq  pu, vqH  » Ω u.vdx  » ¸ d  ui vi dx, Ωi 1 » ¸ d » ¸ d Bui Bvj dx, ppu, vqq  pu, vqV  ∇ui .∇vi dx  Ω i1 Ω i,j 1 B xj B xj ở đó u  pu1 , ..., ud qT , v  pv1 , ..., vd qT . Gọi H K là phần bù trực giao của H trong pL2 pΩqd . Từ kết quả trong Temam [4], ta có HK  tu P pL2pΩqd : u  gradp, p P H 1pΩqu. 1 Gọi V là không gian đối ngẫu của V . Kí hiệu |.|, ||.|| lần lượt là chuẩn trong H và V, ||.|| kí hiệu chuẩn trong V . 1 1.2. Các toán tử 1.2.1. Toán tử A Giả sử A : V ÑV 1 là toán tử xác định bởi xAu, vy  ppu, vqq, với mọi u, v P V. Kí hiệu DpAq là miền xác định của A, ta có: DpAq  tu P H : Au P H u  pH 2 pΩqqd X V. Dễ thấy toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch Ñ DpAq compact vì phép nhúng H01pΩq Ñ L2pΩq là compact. Do đó phổ của A gồm toàn giá trị riêng tλj u8 j 1 với đảo A1 : H ã 0   λ1 ¤ λ2 ¤ ... ¤ λn ¤ ..., λn Ñ 8 khi n Ñ 8, và các hàm riêng tương ứng twj u8 j 1 € DpAq lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H. 9 1.2.2. Toán tử B Đặt d » ¸ Bvj w dx. B xi j i,j 1 Ω Khi đó dễ thấy bp., ., .q là một dạng 3- tuyến liên tục trên pH01 pΩqqd , hay nói riêng trên bpu, v, wq  ui V . Ngoài ra, dễ dàng kiểm tra được bpu, v, wq  bpu, w, v q với mọi u, v, w Nói riêng bpu, v, wq  0, với mọi u, v P V. P V. Để thiết lập các đánh giá đối với bpu, v, wq, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 1.2.1. [5] Với bất kì tập mở Ω € Rd , ta có Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=2 ||v||L pΩq ¤ 2 ||v||L pΩq||∇v||L pΩq với mọi v P H01pΩq. 4 1 2 1 4 1 2 2 2 Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi d=3 ||v||L pΩq ¤ C ||v||L pΩq||∇v||L pΩq với mọi v P H01pΩq. 3 4 1 4 4 2 2 Bổ đề 1.2.2. [5] a) Nếu d=2,3 thì |bpu, v, wq| ¤ ||u||L ||v|||w|, @u P L8, v P V, w P H. 8 b) Nếu u, v, w c) u P V, v PV thì $ & |u|1{2||u||1{2|w|1{2||w||1{2||v||, d  2 |bpu, v, wq| ¤ k % 1{2 3{4 |u| ||u|| ||v|||w|1{4||w||3{4, d  3. P DpAq, w P H thì $ & |u|1{2||u||1{2|v|1{2||Av||1{2|w|, d  2 |bpu, v, wq| ¤ k % ||u||||v||1{2|Av|1{2|w|, d  3. Xét toán tử B : V V ÑV 1 xác định bởi xB pu, vq, wy  bpu, v, wqvới mọi u, v, w P V. 10 Đặt Bu  B pu, uq. Khi đó Bài toán đã cho có thế phát biểu dưới một trong hai dạng sau đây Bài toán 1. Cho trước u0 $ d & pu, vq ν ppu, vqq dt % up0q  u0. P H và f P L2p0, T ; V q. Tìm hàm u P L2p0, T ; V q thỏa mãn 1 bpu, u, v q  xf, v y, với mọi v PV và hầu khắp t P p0, T q, Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 1.2.3. . Giả sử u P L2 p0, T ; V q. Khi đó hàm Bu xác định bởi xBuptq, vy  bpuptq, uptq, vq, với mọi v P V, sẽ thuộc L1 p0, T ; V q. 1 Chứng minh. Với hầu khắp t P r0, T s, ta có Buptq P V . Ta có 1 xBuptq, vy  |bpuptq, uptq, vq| ¤ C ||uptq||2||v|| @ P V, suy ra ||Bw||V 1 ¤ C ||w||2 với mọi w P V . Do đó »T »T ||Bwptq||V dt ¤ C ||wptq||2V dt   8. 1 0 0 Vậy Bu P L1 p0, T ; V q. 1 Bổ đề 1.2.4. Cho u P L2 p0, T ; DpAqq X L8 p0, T ; V q, khi đó hàm Bu P L2 p0, T ; H q. Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.2, với hầu khắp t P r0, T s, ta có |Buptq| ¤ c3|uptq|1{2|Auptq|1{2||uptq|| ¤ c||uptq||3{2|Auptq|1{2, thì »T 0 »T |Buptq| dt ¤ c ||uptq|| |Auptq| dt ¤ c||u|| 4 6 2 6 L8 0,T ;V p 0 »T q 0 Do đó Bu thuộc L4 p0, T ; H q, nên cũng thuộc L2 p0, T ; H q. 11 |Auptq|2dt   8. Từ đó ta có bài toán sau đây. Bài toán 2. Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V q. Tìm hàm u P L2p0, T ; V q thỏa mãn 1 P L1p0, T ; V q u νAu Bu  f trong V up0q  u0 . 1 1 u 1 1 với hầu khắp t P p0, T q Dễ thấy Bài toán 1 và Bài toán 2 tương đương nhau theo nghĩa nếu u là nghiệm của bài toán này thì nó cũng là nghiệm của bài toán kia và ngược lại. 1.3. Các bất đẳng thức thường dùng 1.3.1. Bất đẳng thức Hölder Giả thiết 1 ¤ p, q ¤ 8; p1 1 q  1. Khi đó nếu u P Lp pΩq, v » thì ta có: P Lq pΩq |uv|dx ¤ ||u||L pΩq  ||v||L pΩq. p Ω q 1.3.2. Bất đẳng thức Cauchy ab ¤ a2 2 b2 . 2 1.3.3. Bất đẳng thức Young Cho 1   p, q   8, p1 1 q  1. Khi đó ab ¤ ap p bq , q 12 pa, b ¡ 0q. 1.3.4. Bất đẳng thức Poincaré » » |∇u| dx ¥ C pΩq |u|2dx, @u P H01pΩq. 2 Ω Ω 1.3.5. Bất đẳng thức Gronwall Giả sử xptq là một hàm liên tục tuyệt đối trên r0, T s và thỏa mãn dx dt ¤ gptqx hptq, với hầu khắp t, trong đó g ptq và hptq là các hàm khả tích r0; T s. Khi đó »t xptq ¤ xp0qe p q G t với 0 ¤ t ¤ T , ở đó 0 Gptq  »t 0 eGptqGpsq hpsqds, g prqdr. Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và dx dt ¤ ax b, thì xptq ¤ pxp0q b at b qe  a . a 1.4. Bổ đề compact Aubin-Lions Giả sử E1 p1 ¥ 1, p0 €€ E ¡ 1 và đặt € E0 , ở đó E, E0 , E1 là các không gian Banach. Ta giả sử W p1 ,p0 p0, T ; E1 , E0 q  tu : u P Lp1 p0, T ; E1 q, u 1 P Lp p0, T ; E0qu. Khi đó phép nhúng sau là compact W p1 ,p0 p0, T ; E1 , E0 q €€ Lp1 p0, T ; E q. 13 0 Chương 2 Nghiệm yếu của hệ Navier-Stokes 2.1. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp hai chiều Định lí 2.1.1. Cho trước u0 P H và f P L2p0, T ; V q. Khi đó Bài toán 1 có duy nhất 1 một nghiệm u thỏa mãn u P C pr0, T s; H q X L2 p0, T ; V q, du dt P L2p0, T ; V q. 1 Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ. Giả sử twj u8 j 1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m ¥ 1, tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng u m ptq  m ¸  gim ptqwi , i 1 trong đó gim thỏa mãn $ m du p t q ' & , wj dt ' % ump0q  u0m. ν pum ptq, wj q bpum ptq, um ptq, wj q  xf ptq, wj y, j  1, .., m, (2.1) 14 Ở đây u0m  Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H xuống spantw1, .., w2u, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ um ptq tồn tại và xác định trên r0, T s. Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với tum u. Nhân hai vế của (2.1) với gim ptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được pu mptq, umptqq 1 ν ||um ptq||2  xf ptq, umptqy. Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra d m 2 |u ptq| dt 2ν ||um ptq||2 ¤2||f ptq||||umptq|| ¤ν ||umptq||2 1 ||f ptq||2. ν Do đó d m 2 |u ptq| dt ν ||um ptq||2 ¤ ν1 ||f ptq||2. Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 ¤ t ¤ T , ta được |u ptq| m 2 »t ν 0 ||u psq|| ds ¤|u0m| m 2 ¤|u0|2 »t 1 ν 2 1 ν ||f ptq||2ds » t0 ||f ptq||2dt. 0 Từ đây suy ra tumu bị chặn trong L8p0, T ; H q; tumu bị chặn trong L2p0, T ; V q. Do đó tAumu bị chặn trong L8 p0, T ; V q. 1 Đánh giá tBum u ||Bum||V  ||bpum, umq||V ¤ c  |um|||um||. 1 Suy ra »T 0 |Bumptq| dt ¤ c 2 »T 0 1 |umptq| ||umptq|| dt ¤ c  ||um||L 2 2 15 8 p0,T ;H q »T 0 ||um||2dt   8, nên tBum u bị chặn trong L2 p0, T ; V q. dum Vì  νAum  PmBum Pmf nên suy ra dt Bước 3. Chuyển qua giới hạn. 1 " dum dt * bị chặn trong L2 p0, T ; V q. 1 Từ các ước lượng tiên nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử um ãu trong L2 p0, T ; V q; ã trong L2p0, T ; V q; du dum ã trong L2 p0, T ; V q. dt dt Bây giờ ta cần chứng minh Bum ã Bu trong L2 p0, T ; V q. 1 Aum 1 1 Áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions, ta nhận được một dãy con của tum u mà ta vẫn kí hiệu là tum u thỏa mãn um Ñ u trong L2p0, T ; H q. Ta chứng minh kết quả sau Bổ đề 2.1.1. Giả sử um với mọi w ã u trong L2p0, T ; H q và um Ñ u trong L2p0, T ; H q. Khi đó P C 1pQT q ta có »T »T m m bpu ptq, u ptq, wptqqdt Ñ bpuptq, uptq, wptqqdt. 0 0 Chứng minh. Ta có »T 0 bpu m ptq, u ptq, wptqqdt   m  Do đó »T bpum , w, um qdt 0 ¸2 » T »  i,j 1 0 Ω pumqi BBwxj pumqj dxdt. i »T qdt  bpu, u, wqdt  0  ¸2 » T »  m B wj m B wj m  pui  uiq Bx uj ui Bx puj  uj q dxdt. 0 bpu , w, u »T m  i,j 1 0 m i Ω i Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng Em  »T» 0 Ω pvm  vqwvmdxdt, 16 ở đó v m Ñ v trong L2p0, T ; H q, w P L2p0, T ; H q và vm bị chặn đều trong L8p0, T ; H q.Do ||wvm||L p0,T ;H q ® ||w||L p0,T ;H q||vm||L 2 nên Em 2 8 p0,T ;H q Ñ 0. Từ đó suy ra bổ đề được chứng minh. Từ các kết quả trên suy ra tồn tại hàm u P L2 p0, T ; H q X L8 p0, T ; H q thỏa mãn du dt Bu  f trong L2 p0, T ; V q, 1 νAu hay du ptq dt νAuptq Để chứng minh up0q Buptq  f ptq trong V với hầu khắp t P r0, T s. 1  u0, ta chọn hàm thử ϕ P C 1r0, T s với ϕpT q  0, và lấy tích vô hướng của phương trình trên với ϕ, sau đó tích phân từng phần ta được »T »T  puptq, ϕ ptqqdt ν puptq, ϕptqqdt 0 0 »T xf ptq, ϕptqydt. pup0q, ϕp0qq 1 »T 0 bpuptq, uptq, ϕptqqdt 0 Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có »T »T  pu ptq, ϕ ptqqdt ν pu ptq, ϕptqqdt 0 0 »T pump0q, ϕp0qq xf ptq, ϕptqydt. m 1 m »T 0 bpum ptq, um ptq, ϕptqqdt 0 Sau đó chuyển qua giới hạn khi m Ñ 8 ta được »T »T  puptq, ϕ ptqqdt ν puptq, ϕptqqdt 0 0 »T pup0q, ϕp0qq xf ptq, ϕptqydt. 1 »T 0 bpuptq, uptq, ϕptqqdt 0 Từ đó suy ra pup0q, ϕp0qq  pu0 , ϕp0qq với mọi ϕ và do đó up0q  u0 . Bước 4. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu. Giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu lần lượt lần lượt là u01 , u02 . Đặt u  u1  u2 ta có $ & u νAu  Bu1 % up0q  u01  u02. 1 17 Bu2 Nhân hai vế của phương trình này với u ta có d | uptq|2 dt 2ν ||uptq||2   2bpu2ptq, u2ptq, uptqq  2bpu1ptq, u1ptq, uptqq   2bpuptq, u2ptq, uptqq. Sử dụng Bổ đề 2.2, ta có d |uptq|2 dt 2ν ||uptq||2 ®2 |uptq|||uptq||||utptq|| 3 2 ®2ν ||uptq||2 1 |uptq|||u2ptq||2. ν Do đó d |uptq|2 dt ® ν1 |uptq|||u2ptq||2. Suy ra |uptq| ® |up0q| exp 2 2 » t 1 0 ν ||u2psq|| ds 2 . Đây là điều phải chứng minh . 2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu toàn cục trong trường hợp ba chiều Định lí 2.2.1. Cho f P L2p0, T ; V 1q, u0 P H. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu u của hệ Navier-Stokes thỏa mãn u PL2 p0, T ; V q X Cw pr0, T s; H q, du dt P L4{3p0, T, V 1q, u là liên tục yếu từ r0, T s vào H: u P Cw pr0, T s; H q. Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin. Bước 1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ. Giả sử twj u8 j 1 là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của toán tử A. Với mỗi m ¥ 1, tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng um ptq  m ¸  i 1 18 gim ptqwi , trong đó gim thỏa mãn (2.1). Ở đây u0m  Pmu0, với Pm là phép chiếu từ H xuống spantw1 , .., w2 u, không gian con sinh ra bởi m véctơ riêng đầu tiên. Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy ra nghiệm xấp xỉ um ptq tồn tại và xác định trên r0, T s. Bước 2. Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với um . Nhân hai vế của (2.1) với gim ptq, sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta được pu mptq, umptqq 1 ν ||um ptq||2  xf ptq, umptqy. Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra d m 2 |u ptq| dt 2ν ||um ptq||2 ¤2||f ptq||||umptq|| ¤ν ||umptq||2 1 || f ptq||2 . ν Do đó d m 2 |u ptq| dt ν ||um ptq||2 ¤ ν1 ||f ptq||2. Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 ¤ t ¤ T , ta được »t » 1 t m 2 m 2 2 |u ptq| v ||u psq|| ds ¤|u0m| ν ||f ptq||2ds 0 0 » t ¤|u0|2 ν1 ||f ptq||2dt. 0 Từ đây suy ra tumu bị chặn trong L8p0, T ; H q; tumu bị chặn trong L2p0, T ; V q. Dễ thấy tAumu bị chặn trong Đánh giá tBum u L8 p0, T ; V q. 1 ||Bumptq||V ¤ c  |umptq|1{2||umptq||3{2. 1 Suy ra »T 0 ||umptq|| { 4 3 V 1 dt ¤c »T 0 |umptq| { ||umptq||2dt ¤ c||um||L p0,T ;H q 2 3 »T 8 Nên tBumu bị chặn trong L4{3p0, T ; V q. 1 19 0 ||umptq||2dt   8.
- Xem thêm -