Tài liệu Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình maxwell trong lý thuyết tán xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Tú SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL TRONG LÝ THUYẾT TÁN XẠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. Nguyễn Thành Nhân, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán giải tích K28 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Tú Một số kí hiệu R Tập số thực. C Tập số phức. Re a Phần thực của a. Im a Phần ảo của a. Ω Miền bị chặn. Γ, ∂Ω Biên của miền Ω. E Cường độ điện trường. Ei Sóng tới của trường điện. Es Sóng tán xạ của trường điện. H Cường độ từ trường. Hi Sóng tới của trường từ. Hs Sóng tán xạ của trường từ. F+ Giới hạn từ bên ngoài cho trường vectơ hoặc hàm F . F− Giới hạn từ bên trong cho trườngvectơ hoặc hàm F . ε Hằng số điện môi của môi trường. µ Hằng số từ môi của môi trường. β Tính chiral của môi trường. ∇·, div Toán tử divergence. Trong tọa độ Descartes,   ∂ax ∂ay ∂az + + . ∇·a= ∂x ∂y ∂z ∇×, curl, rot Toán tử vectơ mô tả độ xoáy của trường vectơ. Trong tọa độ Descartes, với i, j , k là vectơ đơn vị của các trục x, y, z,       ∂ay ∂ax b ∂az ∂ay b ∂ax ∂az b curl a = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ν (= ν(x)) Vectơ pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ hướng ra ngoài miền Ω. k Số sóng (mang giá trị thực). κ Số sóng (mang giá trị phức). κ sẽ có các giá trị k hoặc ik. Π Tập hợp các số sóng phức Π := {κ ∈ C : κ 6= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}. Φκ Nghiệm cơ bản. u Trường sóng tán xạ. ∆u Toán tử Laplace của u. ∇ Toán tử Gradient. L2 (D) Các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, được trang
1 RR 2 dx 2 , bị chuẩn kukL2 (D) := |u(x)| D với D ⊂ R3 là tập con đo được bất kì có độ đo dương. C0∞ Không gian các hàm trơn có giá compact. ε0 Độ điện thẩm chân không. µ0 Độ từ thẩm chân không. ρ Mật độ điện tích. J Mật độ dòng điện. c Vận tốc ánh sáng. ω Tần số góc. F Toán tử trường sóng xa. QL , QR Các trường Beltrami. QL := E + iH và QR := E − iH . E∞ Phổ điện trường của trường sóng xa. H∞ Phổ từ trường của trường sóng xa. S2 Hình cầu đơn vị. m pm n , qn Các hệ số Fourier. Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu MỞ ĐẦU 1 1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 3 1.1 1.2 1.3 Bài toán từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Giới thiệu bài toán từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Giới thiệu bài toán điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Phương trình vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 19 2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Chứng minh tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Biểu diễn nghiệm qua chuỗi các hàm cầu điều hòa 3.1 32 Phương trình Maxwell trong hệ vectơ cầu điều hòa . . . . . . . . . 33 3.1.1 Phổ trường sóng xa và toán tử trường sóng xa . . . . . . . 33 3.1.2 Vectơ hàm cầu điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 3.1.3 Phương trình Maxwell trên miền achiral . . . . . . . . . . . 41 3.1.4 Bài toán truyền sóng trong quả cầu chiral . . . . . . . . . . 44 Toán tử trường sóng xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1 Chuỗi khai triển của sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Trường hợp achiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Trường hợp chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 MỞ ĐẦU Phương trình Maxwell là một trong những phương trình có nhiều ứng dụng trong Vật lý, đặc biệt là trong lý thuyết tán xạ điện từ. Phương trình này nhận được khá nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Cho đến nay, nhiều bài toán xung quanh phương trình này vẫn là các vấn đề mở. Các nghiên cứu về phương trình này liên quan đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm, các tính chất nghiệm, các phương pháp giải tích và phương pháp số để giải phương trình. Một trong những kết quả hữu ích gần đây là chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell bằng cách đưa về phương trình tích phân Lippmann-Schwinger. Từ đó, thay cho việc nghiên cứu phương trình Maxwell, các nhà toán học tập trung vào phương trình tích phân Lippmann-Schwinger. Nghiên cứu về phương trình tích phân này có một số thuận lợi nhất định. Luận văn tập trung tìm hiểu việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình Maxwell tổng quát bằng cách khảo sát phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, dựa trên các tài liệu tham khảo chính [6], [8], [10], [11], [15], [16]. Bên cạnh đó, tác giả trình bày lại biểu diễn nghiệm của phương trình Maxwell thông qua chuỗi các hàm cầu điều hòa trong cả trường hợp achiral và chiral. Các biểu diễn này sẽ mang lại giá trị cho người nghiên cứu về phương pháp số giải phương trình Maxwell. Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương: • Trong Chương 1, đầu tiên tác giả giới thiệu một số ký hiệu và kiến thức cơ bản về phương trình Maxwell trong lý thuyết tán xạ điện từ, đồng thời mô tả hai bài toán tương ứng với quá trình truyền sóng điện trường và sóng từ trường. Các lớp công thức biến phân tương ứng với hai bài toán 1 2 này cũng được đưa ra ngay sau đó. Tiếp theo, tác giả trình bày kết quả về sự tương đương của các dạng biến phân với phương trình tích phân Lippmann-Schwinger. • Ở Chương 2, tác giả trình bày các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Lippmann-Schwinger, từ đó thu được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ban đầu. • Chương 3 của luận văn tập trung xây dựng công thức biểu diễn của các đại lượng sóng tới, sóng tán xạ thông qua chuỗi các hàm vectơ cầu điều hòa. Công thức khai triển cụ thể trong trường hợp sóng tới là sóng phẳng trong cả trường hợp achiral và chiral được đưa ra trong phần cuối cùng của luận văn. Chương 1 Phương trình tích phân Lippmann-Schwinger 1.1 Bài toán từ trường 1.1.1 Giới thiệu bài toán từ trường Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát hệ phương trình Maxwell có dạng như sau: curl H = −ikε(E + βcurl E), (1.1) curl E = ikµ(H + βcurl H), (1.2) E s, H s ε = µ = 1, β = 0 E i, H i Ω ε(x), µ(x), β(x) Xây dựng bài toán thuận. trong miền Rn \ Γ, trong đó Γ ∈ C 2 là biên của miền bị chặn Ω ⊂ R3 , k > 0 là số sóng, các hàm ε, µ, β ∈ C 1 (R3 \ Γ) lần lượt đặc trưng cho hằng số điện môi, hằng số từ môi và tính chiral của môi trường. Lưu ý rằng các đại lượng này là các hàm phức không phụ thuộc thời gian và sẽ có giá trị là hằng số khi các vật liệu là đồng nhất. Môi trường được gọi là achiral trong trường hợp β = 0, 3 4 và ngược lại gọi là môi trường chiral. Các đại lượng E và H là nghiệm của hệ phương trình, lần lượt đặc trưng cho sóng điện trường và sóng từ trường. Quá trình tán xạ sóng điện trường và sóng từ trường xảy ra khi sóng tới được truyền qua một vật, giả sử được đặt trong môi trường chân không, nghĩa là ε = µ = 1 và β = 0 nằm bên ngoài miền Ω. Giả sử ε 6= 0 và µ 6= 0, đặt qµ := µ−1 và qε := 1 − ε−1 . Các đại lượng sóng tới và sóng tán xạ của trường điện và trường từ lần lượt được ký hiệu là E i , H i , E s , H s . Khi đó sóng toàn phần E , H chính là sóng tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ, tức là E = E i + E s và H = H i + H s . Bằng cách thay trường điện E trong (1.1) vào trường từ H trong (1.2), ta thu được phương trình sau  i h 1 curl ε − k 2 µβ 2 curl H − k 2 [curl (µβH) + µβ curl H] − k 2 µH = 0, (1.3) trong miền Rn \ Γ. Theo định nghĩa của các hàm tham số ε, µ và β , phương trình trên biểu thị các phương trình Maxwell dạng achiral bên ngoài Ω và các phương trình dạng chiral bên trong Ω. Khi đó trường sóng tới H i thỏa mãn phương trình Maxwell trong chân không, nghĩa là curl2 H i − k 2 H i = 0, trong R3 . (1.4) Phân tích sóng tổng hợp trong (1.3) thành sóng tới H i và sóng tán xạ H s , ta được 2 i 2 i curl H − k H − curl h 1 ε 2 − k µβ 2  i s i curl(H + H ) + k 2 curl µβ(H i + H s ) + µβ curl(H i + H s ) + k 2 µ(H i + H s ) = 0. 
 Rút gọn biểu thức trên và sử dụng 1.4, ta nhận được curl h 1 ε 2 − k µβ = curl  2  curl H s i − k 2 [curl (µβH s ) + µβ curl H s ] − k 2 µH s qε + k 2 µβ 2 curl H i + k 2 curl µβH i + µβ curl H i + k 2 qµ H i , (1.5)
  trong miền R3 \ Γ với qµ = µ − 1 và qε = 1 − ε−1 .
 5 Tiếp theo ta xác định các điều kiện truyền sóng. Kí hiệu ν = ν(x) là vectơ pháp tuyến đơn vị tại x ∈ Γ = ∂Ω hướng ra ngoài miền Ω. Trong phần tiếp theo, tất cả các phương trình liên quan đến vectơ tiếp tuyến được phát biểu trên Γ. Ta ký hiệu F+ và F− lần lượt là giới hạn từ bên ngoài và bên trong cho trường vectơ hoặc hàm F . Các thành phần tiếp tuyến của E và H liên tục trên các mặt phân cách, nghĩa là ν × H+ = ν × H− ν × E+ = ν × E− và trên Γ. (1.6) Điều này dẫn đến các điều kiện truyền sóng trên biên Γ của Ω. Ví dụ tiếp theo minh họa việc xác định các điều kiện truyền sóng. Ví dụ 1.1. (Điều kiện truyền sóng trong trường hợp achiral) Trong môi trường không từ tính achiral (β = 0, µ = 0) các phương trình Maxwell (1.1), (1.2) có dạng curl H = −ikεE và trong R3 \ Γ. curl E = ikH Giả sử cho ε như trên, nghĩa là ε = 1 trong R3 \ Ω. Ta có thể viết các điều kiện liên tục (1.6) theo H dưới dạng các phương trình Maxwell như sau E− = − 1 curl H− ikε− và E+ = − 1 curl H+ ik Khi đó ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ = 1 ν × curl H− . ε− Đây là các điều kiện truyền sóng cho trường sóng tổng hợp. Do đó điều kiện truyền cho trường sóng tán xạ H s = H − H i được suy ra từ phép trừ của trường sóng tổng hợp cho điều kiện i i = ν × H− ν × H+ và i i ν × curl H i = ν × curl H+ = ν × curl H− ta được ν s × H+ =ν s × H− và 1 s s ν × curl H− − ν × curl H+ =ν× ε−  1 1− ε−  curl H.i 6 Bây giờ, ta sẽ xác định các điều kiện truyền sóng cho trường hợp chiral. Các giới hạn của E xuất hiện trong điều kiện liên tục (1.6) có thể được biểu diễn bằng H theo các phương trình chiral (1.1) và (1.2). Các điều kiện miền bên ngoài, ta có β = 0 và ε = 1. Từ đó ta suy ra i curl H+ k E+ = và E− = i 1 kε − kµβ 2  − curl H− − ik(µβ)− H− và điều kiện truyền tương ứng là ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ = ν × 1 ε − k 2 µβ 2  − curl H− − ν × k 2 (µβ)− H− hay ν × H+ = ν × H− và ν × curl H+ = 1 ε − k 2 µβ 2  − ν × curl H− − k 2 (µβ)− ν × H− . Bằng phép trừ ta có được các điều kiện truyền theo trường sóng tán xạ H s = H − H i: s s ν × H+ = ν × H− và 1 ε 2 − k µβ 2  − s s s ν × curl H− − k 2 (µβ)− ν × H− − ν × curl H+ = (qε + k 2 µβ 2 )− ν × curl H i + k 2 (µβ)− ν × H i . (1.7) Các công thức này có vẻ khá phức tạp. Nhưng để phát triển các công thức biến phân ta sẽ sử dụng những biểu thức này, chúng xuất hiện trong các tích phân trên biên khi ta thực hiện tích phân từng phần. 1.1.2 Công thức biến phân Giả sử rằng 1 1 , ε|Ω , , µ|Ω , β|Ω ∈ L∞ (Ω). Về ý tưởng, ta sẽ nhân phương ε|Ω µ|Ω trình (1.5) với hàm thử và sử dụng tích phân từng phần ta suy ra công thức 7 biến phân cho H s . Đặt: s 1 s 2 M := ε 2 − k µβ 2  curl H s − k 2 µβH s , m := k µβ curl H s + k 2 µH s , M i := (qε + k 2 µβ 2 ) curl H i + k 2 µβH i , mi := k 2 qµ H i + k 2 µβ curl H i . Lưu ý rằng M i và mi bị triệt tiêu trong R3 \ Ω. Khi đó điều kiện truyền (1.7) chỉ còn ν × M−s − ν × M+s = ν × M−i trên Γ và phương trình tán xạ (1.5) là curl M s − ms = curl M i + mi . Trên cả hai vế của phương trình này, ta hình thành tích vô hướng với hàm thử ψ ∈ C0∞ (B, C3 ) cho quả cầu B ⊃ Ω bất kỳ. Khi đó tích phân trên B là ZZ ZZ curl M s · ψ − ms · ψ dx = curl M i · ψ + mi · ψ dx. B Ω Ta chia miền lấy tích phân của biểu thức bên trái thành B \ Ω và Ω, và áp dụng định lý Green dưới dạng ZZ Z Z curl v · w − v · curl w dx = D ν · (v × w) ds = ∂D (ν × v) · w ds ∂D với lần lượt D = B \ Ω và D = Ω. Khi đó, ta có ZZ ZZ M s · curl ψ − ms · ψ dx + M s · curl ψ − ms · ψ dx Ω B\Ω Z − (ν × M+s ) · ψ ds + Γ Z (ν × M−s ) · ψ ds Γ ZZ i i Z M · curl ψ − m · ψ dx + = Ω (ν × M i ) · ψ ds. Γ Các tích phân trên biên bị triệt tiêu do điều kiện truyền sóng. Tức là ZZ ZZ M s · curl ψ − ms · ψ dx = R3 M i · curl ψ − mi · ψ dx Ω 8 với mọi hàm thử ψ có giá compact. Thay các biểu thức cho M s , ms , M i và mi ta có dạng biến phân của phương trình tán xạ: ZZ R3 1 ε 2 − k µβ 2  curl H s · curl ψ − k 2 µH s · ψ dx −k 2 ZZ µβ [H s · curl ψ + curl H s · ψ] dx Ω ZZ = (qε + k 2 µβ 2 ) curl H i · curl ψ + k 2 qµ H i · ψ dx Ω +k 2 ZZ µβ H i · curl ψ + curl H i · ψ dx (1.8)   Ω với mọi ψ có giá compact. Ta xác định các không gian hàm cho H s , H i và ψ sau khi hình thành điều kiện truyền sóng yếu tương ứng. 1.2 1.2.1 Bài toán điện trường Giới thiệu bài toán điện trường Ta có thể thấy rằng các phương trình bậc hai cho E và H là giống nhau khi ta đổi chỗ ε và µ. Tương tự như trường hợp từ trường, ta có thể xây dựng bài toán truyền sóng cho trường điện. Ta tóm tắt đưa ra kết quả. Một lần nữa trường sóng tới E i là một nghiệm giải tích cho các phương trình Maxwell trong chân không curl2 E i − k 2 E i = 0 trong R3 và phương trình cho trường sóng tán xạ E s = E − E i là    curl 1 − k 2 εβ 2 µ = curl curl E s − k 2 [curl (εβE s ) + εβ curl E s ] − k 2 εE s  pµ + k 2 εβ 2 curl E i + k 2 curl εβE i + εβ curl E i + k 2 pε E i
  1 µ
trong R3 \ Γ với pε := ε − 1 và pµ = 1 − . Điều kiện truyền là s s ν × E+ = ν × E−  9 và  1 − k 2 εβ 2 µ  s s s ν × curl E− − k 2 (εβ)− ν × E− − ν × curl E+ − = (pµ + k 2 εβ 2 )− ν × curl E i + k 2 (εβ)− ν × E i trên Γ. Nhắc lại rằng kí hiệu ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên Γ hướng ra bên ngoài miền Ω. 1.2.2 Công thức biến phân Tương tự bài toán từ trường, ta cũng giả sử rằng 1 1 , ε|Ω , , µ|Ω , β|Ω ∈ ε|Ω µ|Ω L∞ (Ω). Một lần nữa, ta có thể thu được công thức biến phân của phương trình tán xạ bằng cách nhân với hàm thử và tích phân từng phần,  ZZ  R3 1 − k 2 εβ 2 µ curl E s · curl ψ − k 2 εE s · ψ dx −k 2 ZZ εβ [E s · curl ψ + curl E s · ψ] dx Ω ZZ = (pµ + k 2 εβ 2 ) curl E i · curl ψ + k 2 pε E i · ψ dx Ω +k 2 ZZ εβ E i · curl ψ + curl E i · ψ dx (1.9)   Ω với mọi ψ có giá compact. Ta đã trình bày hai phương trình biến phân cho bài toán tán xạ. Ta phải xác định không gian để giải chúng. Định nghĩa đầu tiên dưới đây giải thích ý nghĩa của toán tử curl yếu trong bài toán này. Định nghĩa thứ hai đưa ra khái niệm về tính chất hướng ngoại của nghiệm (outgoing solutions). Như trong [14], với bất kỳ tập con đo được D ⊂ R3 với độ đo dương, không gian hàm L2 (D) được xác định cho các hàm có giá trị vô hướng theo cách thông thường, được trang bị chuẩn Z Z kukL2 (D) := |u(x)|2 dx  21 . D Ở đây và trên toàn luận văn, ký hiệu | · | là giá trị tuyệt đối tương ứng với đại lượng vô hướng và | · | là chuẩn Euclid tương ứng với đại lượng vectơ. 10 Định nghĩa 1.2. ([11])(Curl yếu) Cho D ⊂ R3 là miền bị chặn.   (a) L2 (D, C3 ) := v = (v1 , v2 , v3 )T  vj ∈ L2 (D), j = 1, 2, 3 . (b) Với v ∈ L2 (D, C3 ), ta nói v ∈ H(curl, D) nếu tồn tại hàm w ∈ L2 (D, C3 ) sao cho ZZ w · ψ − v · curl ψ dx = 0, với mọi ψ ∈ C0∞ (D, C3 ). D Khi đó, ta ký hiệu curl v := w, được gọi là curl yếu của v .  (c) Hloc (curl, R3 ) := {v : R3 → C3  ∀B ⊂ R3 : v|B ∈ H(curl, B)}, trong đó B ký hiệu quả cầu trong R3 . (d) Không gian hàm thử: Hc (curl, R3 ) := ψ : R3 → C3 | ∃B ⊂ R3 : supp ψ ⊂ B, ψ|B ∈ H(curl, B) .  Định nghĩa 1.3. ([11]) (Nghiệm Radiating (Radiating solution)) Một nghiệm (E s , H s ) cho các phương trình Maxwell trong R3 \ Ω được gọi là RADIATING nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện bức xạ Silver − Müller E s (x) × x̂ + H s (x) = O(|x|−2 ) khi |x| → ∞ H s (x) × x̂ − E s (x) = O(|x|−2 ) khi |x| → ∞ (1.10) hoặc đều theo biến x̂ = x/|x|, với x ∈ R3 . Ở đây | · | là chuẩn Euclid. Vì ta sẽ làm việc với một trong các trường nên ta đưa ra các biểu thức tương đương bằng cách sử dụng trường và curl của nó. Mệnh đề 1.4. ([11]) Một nghiệm U cho các phương trình Maxwell có dạng curl2 U − k 2 U = 0 được gọi là radiating nếu và chỉ nếu U thỏa mãn một trong hai điều kiện: curl U × x̂ − ikU = O(|x|−2 ) khi |x| → ∞ 11 hoặc ikU × x̂ + curl U = O(|x|−2 ) khi |x| → ∞ đều theo biến x̂ = x/|x| trong đó x ∈ R3 . Để chứng minh, ta nhân (1.10) với −ik và dùng curl H s = −ikE s . Điều này cho ta điều kiện đầu tiên của mệnh đề. Tương tự với điều kiện thứ hai (nhân điều kiện thứ hai trong định nghĩa với ik và dùng curl H s = −ikE s ). Trong các phần tiếp theo, ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình, được tập trung vào một trong hai công thức - cụ thể là công thức cho H . Nhưng đối với kết quả duy nhất và các phần chuẩn bị cho phương pháp Nhân tử hóa, ta sẽ làm việc với cả điện trường và từ trường và nói về một nghiệm (E s , H s ) cho bài toán truyền sóng. Bổ đề tiếp theo chỉ ra rằng với một nghiệm H s trong bài toán truyền sóng từ trường cho trước, ta có thể xác định trường điện tương ứng và ngược lại. Bổ đề 1.5. ([11]) (Sự tương đương của công thức biến phân) Hai công thức biến phân là tương đương nhau theo nghĩa sau. (a) Cho H i là trường sóng tới. Nếu H s ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm radiating của phương trình (1.8) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) thì E s ∈ Hloc (curl, R3 ) được xác định bởi 1 s −ikE := ε 2 − k µβ 2  curl H s −k 2 µβH s −(qε +k 2 µβ 2 ) curl H i −k 2 µβH i (1.11) là một nghiệm radiating của (1.9) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) với − ikE i := curl H i . (1.12) (b) Cho E i là trường sóng tới. Nếu E s ∈ Hloc (curl, R3 ) là một nghiệm radiating của phương trình (1.9) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) thì H s ∈ Hloc (curl, R3 ) được xác định bởi  s ikH := 1 − k 2 εβ 2 µ  curl E s − k 2 εβE s − (pµ + k 2 εβ 2 ) curl E i − k 2 εβE i là một nghiệm radiating của (1.8) với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ) với ikH i := curl E i . 12 Chứng minh. (a) Theo định nghĩa của E s phương trình (1.8) chỉ ra rằng curl E s tồn tại địa phương theo nghĩa yếu và − ik curl E s = k 2 µ(β curl H s + H s ) + k 2 µβ curl H i + k 2 qµ H i (1.13) theo nghĩa yếu. Với mọi x ∈ / Ω ta có −ikE s = curl H s và −ik curl E s = k 2 H s ⇔ curl E s = ikH s . Theo Mệnh đề 1.4, ta dễ dàng kiểm tra được với H s cũng như E s là radiating. Sử dụng các trường sóng tổng hợp H = H s + H i và E = E s + E i , phương trình (1.11) - (1.13) cho ta    E = − ik  curl E 1−k2 εµβ 2  ε −k 2 µβ k 2 µβ k2µ   curl H  H . (1.14) Định thức của ma trận hệ số là µ µ det = k 2 (1 − k 2 εµβ 2 ) + k 4 µ2 β 2 = k 2 ∈ L∞ (Ω) ε ε và ma trân nghịch đảo được đưa ra bởi    ε  −εβ εβ 2 1−k εµβ k2 µ 2 = 1  k2 k2ε k 2 εβ −k 2 εβ 1−k2 εµβ 2 µ  . Ta nhân phương trình (1.14) với ma trận nghịch đảo:     curl H  H k2ε k 2 εβ −k 2 εβ 2  = −i  k Đưa vào định nghĩa của curl yếu, ta được ZZ H · curl ψ − curl H · ψ dx = 0 1−k εµβ µ  E 2  curl E . với mọi ψ ∈ C0∞ (R3 , C3 ), R3 và sử dụng lại E = E s + E i với curl2 E i − k 2 E i = 0 cho ta phương trình (1.9). Chứng minh tương tự cho mệnh đề (b).  Chúng ta kết thúc phần này với một công thức chính xác của bài toán truyền sóng từ trường mà ta muốn giải. Đây là sự mở rộng của bài toán truyền sóng từ trường (1.8) ở hai phương diện: 13 • Trong đạo hàm của công thức biến phân, ta thấy sự hỗ trợ ở vế phải của phương trình tán xạ chứa trong Ω. Ta có thể hiểu đây là một dữ liệu đầu vào và cho phép các dữ liệu đầu vào tổng quát hơn (g, h). • Số sóng (thực) k 2 = ω 2 ε0 µ0 > 0 xuất hiện trong một vài số hạng của phương trình (1.8). Khi phân tích bài toán truyền sóng trong các phần sau, ta phải cho phép các giá trị phức tại một số vị trí. Đó là lý do tại sao ta giới thiệu tham số có giá trị phức κ thay thế số sóng khi cần thiết. (κ sẽ có các giá trị k hoặc ik.) Kí hiệu Π := {κ ∈ C : κ 6= 0, Re κ ≥ 0, Im κ ≥ 0}. Giả thiết 1.6. ([11]) (Các tham số vật liệu) Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực. 1 ε Chính xác hơn, , µ ∈ L∞ (R3 , C) và β ∈ L∞ (R3 , R) sao cho ε = 1, µ = 1 và β = 0 trong R3 \ Ω. Bài toán 1. ([11]) (Bài toán truyền sóng từ yếu) Cho k > 0 và κ ∈ Π. Cho trước dữ liệu g, h ∈ L2 (Ω, C3 ). Với giả thiết 1.6, xác định v ∈ Hloc (curl, R3 ) sao cho v là radiating và thỏa mãn ZZ   R3 1 − k 2 µβ 2 curl v · curl ψ − κ2 µv · ψ dx ε ZZ − µβ k 2 v · curl ψ + κ2 curl v · ψ dx   Ω ZZ = κ2 g · ψ + h · curl ψ dx (1.15) Ω với mọi ψ ∈ Hc (curl, R3 ). Thêm nữa, ta phát biểu bài toán truyền sóng điện yếu. Trong trường hợp này ta không cần tổng quát hóa bài toán cho các số sóng phức. Giả thiết 1.7. ([11]) (Các tham số vật liệu) Cho Ω ⊂ R3 là miền Lipschitz bị chặn. Ta thừa nhận các hằng số điện môi phức ε và hằng số từ môi phức µ nhưng giả sử tính chiral β nhận giá trị thực.