Tài liệu Sự suy giảm trong l2 của nghiệm yếu cho phương trình navier stokes

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M o0o HO NG TH NH 2 SÜ SUY GI M TRONG L CÕA NGHI M Y U CHO PH×ÌNG TR NH NAVIER-STOKES LU NV NTH CS TO NH¯C TH I NGUY N - 2020 I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M o0o HO NG TH NH 2 SÜ SUY GI M TRONG L CÕA NGHI M Y U CHO PH×ÌNG TR NH NAVIER-STOKES Chuy¶n ng nh: Gi£i T‰ch M¢ sŁ: 8 46 01 02 LU NV NTH CS TO NH¯C Ng÷íi h÷îng d¤n khoa håc TS. o Quang Kh£i TH I NGUY N - 2020 Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu khoa håc ºc l“p cıa ri¶ng b£n th¥n tæi d÷îi sü h÷îng d¤n khoa håc cıa TS. o Quang Kh£i. C¡c nºi dung nghi¶n cøu, k‚t qu£ trong lu“n v«n n y l trung thüc v ch÷a tłng cæng bŁ d÷îi b§t ký h…nh thøc n o tr÷îc ¥y. Ngo i ra, trong lu“n v«n tæi câ sß döng mºt sŁ k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ kh¡c •u câ tr‰ch d¤n v chó th‰ch nguçn gŁc. N‚u ph¡t hi»n b§t ký sü gian l“n n o tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v• nºi dung lu“n v«n cıa m…nh. Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 09 n«m 2020 T¡c gi£ Ho ng Th nh X¡c nh“n cıa khoa chuy¶n mæn X¡c nh“n cıa ng÷íi h÷îng d¤n TS. i o Quang Kh£i Líi c£m ìn Trong qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu ” ho n th nh lu“n v«n tæi ¢ nh“n ÷æc sü gióp ï nhi»t t…nh cıa ng÷íi h÷îng d¤n, TS. o Quang Kh£i. Tæi công muŁn gßi líi c£m ìn bº mæn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n, ¢ t⁄o måi i•u ki»n thu“n læi, h÷îng d¤n, ph£n bi»n ” tæi câ th” ho n th nh tŁt lu“n v«n n y. Do thíi gian câ h⁄n, b£n th¥n t¡c gi£ cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n câ th” câ nhœng thi‚u sât. T¡c gi£ mong muŁn nh“n ÷æc þ ki‚n ph£n hçi, âng gâp v x¥y düng cıa c¡c thƒy cæ, v c¡c b⁄n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 09 n«m 2020 T¡c gi£ Ho ng Th nh ii Möc löc Líi cam oan Líi c£m ìn i ii Möc löc iv Líi mð ƒu 1 1 Ki‚n thøc chu'n bà 4 1.1 Khæng gian c¡c h m cì b£n v h m suy rºng . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 1.1.2 Mºt sŁ kþ hi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 khæng gian h m cì b£n D( ) v khæng gian h m suy rºng 0 D ( )................................ 5 1.1.3 Khæng gian h m cì b£n E( ) v khæng gian h m suy rºng 0 câ gi¡ compact E ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 n 1.1.4 Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S(R ) v khæng gian c¡c 1.2.1 0 n h m t«ng ch“m S (R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 T‰ch ch“p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 p n T‰ch ch“p giœa c¡c h m trong L (R ); 1 p 1 . . . . . . . 13 1.2.2 1.3 T‰ch ch“p giœa h m suy rºng v h m cì b£n . . . . . . . . . 14 n 0 n Ph†p bi‚n Œi Fourier trong S(R ) v S (R ) . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Khæng gian Sobolev c§p nguy¶n khæng ¥m . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Khæng gian Sobolev c§p thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Khæng gian Sobolev thuƒn nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iii 1.5 Mºt sŁ kh¡i ni»m cì b£n v• ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes . . . . . . . 1.5.1 Ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 1.5.2 Nghi»m y‚u •u cıa ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes . . . . . . . 22 1.5.3 Nghi»m m•m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 2 Sü suy gi£m trong L theo thíi gian cıa nghi»m y‚u cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes 27 2.1 Giîi thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Nhœng l“p lu“n h…nh thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Sü suy gi£m cıa Nghi»m Leray-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 K‚t lu“n 46 T i li»u tham kh£o 48 iv Líi mð 1. Lþ do chån ƒu •ti Vi»c nghi¶n cøu ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes l r§t quan trång v… nâ l ph÷ìng tr…nh cì b£n nh§t cıa cì håc ch§t läng dòng ” mæ t£ chuy”n ºng cıa ch§t läng v ch§t kh‰. Chóng câ th” sß döng ” nghi¶n cøu thíi ti‚t, thi‚t k‚ h…nh d¡ng ºng håc cıa m¡y bay, æ tæ, nghi¶n cøu chuy”n ºng cıa m¡u, ph¥n t‰ch æ nhi„m, dü b¡o thíi ti‚t, dÆng ch£y cıa ⁄i d÷ìng v nhi•u v§n • trong khoa håc kh¡c. Ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes công nh“n ÷æc sü quan t¥m r§t lîn v• m°t to¡n håc thuƒn tuþ, chóng câ vai trÆ °c bi»t quan trång trong sü ph¡t tri”n cıa lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng hi»n ⁄i. M°c dò lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng ¢ tr£i qua sü ph¡t tri”n to lîn trong th‚ k 20 nh÷ng mºt sŁ v§n • cì b£n cıa ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes v¤n ch÷a ÷æc gi£i quy‚t, â l sü tçn t⁄i v duy nh§t cıa nghi»m công nh÷ d¡ng i»u cıa nghi»m. Cö th” l cho gi¡ trà ð thíi i”m ban ƒu trìn th… ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes câ ti‚p töc trìn v duy nh§t theo t§t c£ thíi gian v• sau khæng, c¥u häi n y ÷æc n¶u ra v o n«m 1934 bði J. Leray v v¤n ch÷a câ c¥u tr£ líi khflng ành công nh÷ phı ành. T‰nh duy nh§t cıa nghi»m y‚u b i to¡n v§n cÆn l mºt c¥u häi mð. 2. Nºi dung •ti Möc ‰ch cıa • t i l nghi¶n cøu d¡ng i»u cıa nghi»m cıa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes khæng n†n ÷æc trong khæng gian ba 1 chi•u 8 > ut = u u ru r p + f > < > ru=0 > : trong â f u(x; 0) = u0(x) ÷æc gi£ thi‚t l ti‚n tîi 0 khi t ! 1. Lu“n v«n n y s‡ tr…nh b y mºt v i k‚t qu£ nghi¶n cøu v• sü suy gi£m cıa 2 nghi»m y‚u Leray-Hopf trong L theo thíi gian khi thíi gian ti‚n ra væ còng, düa tr¶n b i b¡o cıa Maria Elena Schonbek [2]. 2 Lu“n v«n gçm líi mð ƒu, hai ch÷ìng, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o. Cö th” l : Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc chu'n bà 2 Ch÷ìng 2: Sü suy gi£m trong L cıa nghi»m y‚u cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes 3 Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà C¡c möc 1.1, 1.2 v 1.3 ch÷ìng n y chóng tæi tham kh£o t i li»u [1], cÆn c¡c möc 1.4 v 1.5 chóng tæi tham kh£o c¡c t i li»u [3] v [5]. 1.1 Khæng gian c¡c h m cì b£n v h m suy rºng 1.1.1 Mºt sŁ kþ hi»u Cho n l mºt t“p mð trong R ta ành ngh¾a nh÷ sau: k C ( ) = fu : ! Cju kh£ vi li¶n töc ‚n c§p kg; k k C0 ( ) = fu 2 C ( )j supp u l t“p compactg; 1 1 k 1 1 k C ( ) = \k =1C ( ); C0 ( ) = \k =1C0 ( ); trong â supp u = fx 2 p Kþ hi»u: L ( ) = fu : ju(x) 6= 0g: ! Cju o ÷æc; 1 f L ()= u: p R ju(x)j dx < 1g vîi 1 p < 1 v ess sup ! Cj x2 j u(x) < j 1g trong â p 1 p< Kþ hi»u L .loc 1 ess sup ju(x)j = inffK > 0 jfx 2 jju(x)j > Kgj = 0g: ()= f u: !C u 2 Lp(K) 4 vîi måi t“p compact K g trong â = ( 1; 2; : : : ; n) 2 N n v Kþ hi»u D = D 1 D 2 : : : D n , trong â Dj j = @ j @x j j ; j = 1; 2; : : : ; n: p n Cho x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 R th… kþ hi»u jxj = 1.1.2 2 2 2 x1 + x 2 + : : : + x n . khæng gian h m cì b£n D( ) v khæng gian h m suy rºng 0 D () 1 ành ngh¾a 1.1. Khæng gian D ( ) l khæng gian C ( ) còng vîi sü hºi tö trong 1 D( ) ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau: mºt d¢y f ’i g 0 1 trong C ( ) ÷æc gåi l hºi tö ‚n 0 i=1 1 ch¿ khi câ mºt t“p compact K ’ 2 C0 ( ) khi v n v ilim sup jD ’i !1 x2 thäa m¢n supp ’i K; i 2 N lim ’ : D ’j = 0; 8 2 N . Khi â ta vi‚t ’ = D i i !1 Mºt sŁ t‰nh ch§t. 1. Kh¡i ni»m hºi tö n y x¡c ành mºt tæpæ t÷ìng th‰ch vîi c§u tróc tuy‚n t‰nh tr¶n D( ) ngh¾a l n‚u D 1 trong â f igi i lim ’ = ’; D ilim i !1 i = ; lim = i i !1 !1 R; 2 R th… =1 D i lim (’ + i lim ’ = ’: i) = ’ + ; D i !1 !1 ii ⁄o h m D l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n D( ) ngh¾a l : D ’ 2 D( ); 8’ 2 D( ); D (r’ + ) = rD (’) + D ( ); 8r; 2 C v ’; 2 D( ); D lim D ’i = 0 n‚u D lim ’i = 0: i!1 2. D¢y f’ig 1 i=1 1 C0 ( ) ÷æc gåi l mºt d¢y Cauchy trong D( ) n‚u câ mºt t“p compact K supp ’ i!1 thäa m¢n i lim sup j D ’ K; 8i 2 N v i;j !1 x ) D’ i ( x j ( ; )j = 0 8 2 N n: 3. Khæng gian D( ) l khæng gian ı tøc l måi d¢y Cauchy trong D( ) •u hºi tö. 4. Mºt phi‚m h m f : D( ) ! C gåi l tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n D( ) n‚u: 5 ) = f(’) + f( (i) f tuy‚n t‰nh ngh¾a l f( ’ + D (ii) f li¶n töc tr¶n ’ 8f i ( ) ngh¾a l 2 D( ); ); 8 ; 2 C v ’; lim f(’i) = f(’); g ’ i=1 D 1 i D ()v i lim ’i = !1 !1 0 t“p hæp t§t c£ c¡c phi‚m H m suy rºng f 2 D ( ) t¡c ºng l¶n ’ 2 D ta kþ hi»u l hf; ’i : D ( ) l mºt ành ngh¾a 1.2. Khæng gian c¡c h m suy rºng D ( ) l h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n D( ). 0 0 khæng gian vector vîi ph†p cºng v nh¥n nh÷ sau: 0 (i) Cho f; g 2 D ( ) th… f + g ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau: hf + g; ’i = hf; ’i + hg; ’i ; 8’ 2 D( ); (ii) 0 Cho 2 C v f 2 D ( ) th… f ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau: h f; ’i = hf; ’i ; 8’ 2 D( ); 0 vîi ành ngh¾a nh÷ tr¶n câ th” ki”m tra f + g 2 D ( ) v V‰ dö 1.3. Vîi mØi h m f 2 L 1 loc( ) 0 f 2 D ( ): ÷æc coi nh÷ mºt h m suy rºng nh÷ sau: Z hf; ’i = f(x)’(x)dx; 8’ 2 D( ): V‰ dö 1.4. H m Dirac h ; ’i = ’(0); 8’ 2 D( ): 0 n ành ngh¾a 1.5. Cho f 2 D ( ); 2 N . ⁄o h m suy rºng c§p cıa h m suy rºng f trong l mºt phi‚m h m tr¶n ÷æc x¡c ành nh÷ sau D f : ’ ! ( 1) hf; D ’i ; ’ 2 D( ) trong â j j = 1+ 2+:::+ n n vîi n = ( 1; 2; : : : ; n) 2 N : 0 0 Vîi mØi 2 N th… D f 2 D ( ) v D l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh tr¶n D ( ) ngh¾a l 6 0 0 (i) D f 2 D ( ); 8f 2 D ( ); 0 (ii) D ( f + g) = D f + D g; 8 ; 2 C; f; g 2 D ( ): V‰ dö 1.6. H m Heaviside 8 > >1 n‚u t > 0 < (t) = > >0 n‚u t 0 : câ ⁄o h m suy rºng D = : 1 V‰ dö 1.7. H m E(x) = (2 ) E(x) = 2 ln kxk n‚u x 2 R =fOg vîi n 3 th… 2 n n 1 kxk ; x 2 R =fOg; (n 2)Cn trong â O = (0; 0; : : : ; 0), Cn px 2 + 2 1 2 2 2 + + ::: x 2 n l di»n t‰ch m°t cƒu ìn và trong R 2 =(1 vîi x x2 n) Khi â 2R x; x ; : : : ; x trong D0 = n v kxk = (R ) E n: = n; D1 + D 2 + : : : + D n: ành ngh¾a 1.8. Cho ffig 1 0 0 i=1 D ( ); f 2 D ( ). Ta nâi d¢y ffig 1 i=1 hºi tö ‚n f trong 0 D ( ) n‚u lim hfi; ’i = hf; gi ; 8’ 2 D( ); i!1 Mºt sŁ t‰nh ch§t. 1. Tæpæ x¡c ành bði ành ngh¾a hºi tö tr¶n l t÷ìng th‰ch vîi c§u tróc tuy‚n t ‰nh trong D0( ) ngh¾a l (i) D N‚u 0 D i lim fi = f v 0 i lim gi = g th… !1 !1 D 0 lim (f + g ) = f + g: i!1 (ii) D 0 i i i lim fi = f v !1 2. i lim i = g R f trong â i !1 th… D 0 i lim ifi = f: !1 0 ⁄o h m suy rºng D l mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n D ( ) ngh¾a l 7 0 (i) D ( f + g) = D f + D g; 8 ; 2 C; f; g 2 D ( ): 0 0 (ii) N‚u D lim fi = f th… D lim D fi = D f i!1 1 i!1 0 0 3. D¢y ffig i=1 D ( ) gåi l d¢y Cauchy trong D ( ) n‚u vîi måi ’ 2 D( ) d¢y fhfi; 1 ’ig i=1 l mºt d¢y Cauchy trong C: 0 0 4. D ( ) l mºt khæng gian ı ngh¾a l måi d¢y Cauchy trong D ( ) •u hºi tö. 1.1.3 Khæng gian h m cì b£n E( ) v khæng gian h m suy rºng 0 câ gi¡ compact E ( ) 1 ành ngh¾a 1.9. Khæng gian E( ) bao gçm c¡c h m ’ 2 C ( ), d¢y f’ig 1 1 i=1 C ( ) 1 ÷æc gåi l hºi tö ‚n ’ 2 C ( ) trong E( ) n‚u lim sup jD ’k(x) i!1 n D ’(x)j = 0; 8 2N ;Kb: x2K Khi â ta kþ hi»u l E lim ’i = ’. i!1 Mºt sŁ t‰nh ch§t. 1. ành ngh¾a hºi tö tr¶n trong E( ) x¡c ành mºt c§u tróc tæpæ t÷ìng th‰ch vîi c§u tróc tuy‚n t‰nh cıa nâ ngh¾a l (i) N‚u E i lim ’ = ’ v E lim i !1 i !1 i th… = lim (’ + E i i i) = ’ + : !1 (ii) N‚u E lim ’ = ’ v i i fr 1 i C ; lim ri = r th… g i i=1 !1 E !1 lim r ’ = r’: !1 i i i 1 2. T“p C0 ( ) l trò m“t trong E( ) v ta câ ph†p nhóng D( ) ,! E( ): 1 3. D¢y f’ig i=1 E( ) gåi d¢y Cauchy trong E( ) n‚u lim sup j D ’ i;j !1 x2K (x) i D’ (x) = 0;8 j j 8 2 N n; K b : E( ) l mºt khæng gian ı tøc l måi d¢y Cauchy trong E( ) •u hºi tö. Mºt h m suy rºng f 6= 0 t⁄i x 2 2 mºt h m ’ 0 ngh¾a l måi l¥n c“n mð V cıa x •u tçn t⁄i h 1 C (V ) sao cho i6 f; ’ = 0. Tł â ta câ th” ành ngh¾a gi¡ cıa mºt h m suy rºng nh÷ sau. 0 ành ngh¾a 1.10. Cho f 2 D ( ). Gi¡ cıa h m suy rºng f ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau jf 6= 0 t⁄i xg: supp f = fx 2 0 T“p hæp c¡c h m suy rºng câ gi¡ compact ÷æc kþ hi»u l E ( ). V‰ dö 1.11. supp = f0g; supp = [0; 1): ành lþ sau thi‚t l“p mºt song ¡nh giœa c¡c h m suy rºng câ gi¡ compact 0 E ( ) v khæng gian c¡c phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n E( ). 0 ành lþ 1.12. Cho h m suy rºng câ gi¡ compact f 2 D ( ). Khi â ta câ th” th¡c tri”n duy nh§t th nh mºt phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n E( ). Ng÷æc l⁄i mØi phi‚m h m tuy‚n t‰nh tr¶n E( ) •u câ h⁄n ch‚ l¶n E( ) v mºt h m suy rºng câ gi¡ compact. ành ngh¾a 1.13. Cho d¢y ffig1i=1 E0( ) v f 2 E0( ). D¢y ffig1i=1 ÷æc gåi hºi tö tîi f trong E0( ) n‚u câ mºt t“p compact K thäa m¢n supp fi K; 8i 2 N v D 0 E i lim fi = f khi â ta vi‚t 0 !1 i lim fi = f: !1 Mºt sŁ t‰nh ch§t. 0 1. Kh¡i ni»m hºi tö trong E ( ) ÷æc ành ngh¾a tr¶n t÷ìng th‰ch vîi c§u tróc tuy‚n t‰nh ngh¾a l 0 0 (i) N‚u E lim fi = f v E lim gi = g th… i!1 i!1 E 0 lim (f + g ) = f + g: i!1 i i 9 0 (ii) N‚u E lim fi = f v f ig 1 C; lim i=1 i!1 i= th… i!1 E 0 lim ifi = f: i!1 2. D¢y ffig 1 0 0 E ( ) gåi l d¢y Cauchy trong E ( ) n‚u câ mºt t“p compact i=1 1 thäa m¢n supp fj K 0 d¢y Cauchy trong D ( ). K; 8i 2 N v ffig i=1 l 0 0 3. Khæng gian E ( ) l mºt khæng gian ı ngh¾a l måi d¢y Cauchy trong E ( ) •u hºi tö. 4. N‚u E 0 D i 0 lim fi = f th… lim fi = f: Do â ph†p nhóng !1 töc. E0 i !1 n 1.1.4 !D 0 ( ) l li¶n khæng gian c¡c Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S(R ) v 0 (), n h m t«ng ch“m S (R ) n ành ngh¾a 1.14. Khæng gian S(R ) ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau n 1 n n S(R ) = f’ 2 C (R ) sup jx D ’(x)j < 1; 8 ; 2 N g: x2Rn D¢y f’ig 1 i=1 n n n S(R ) ÷æc gåi l hºi tö ‚n ’ 2 S(R ) trong S(R ) n‚u lim sup jx D (’i ’)j = 0; 8 ; n 2N : i!1 x2Rn Khi â ta vi‚t S lim ’i = ’: i!1 Mºt sŁ t‰nh ch§t. n 1. Hºi tö trong S(R ) ÷æc ành ngh¾a x¡c ành mºt tæpæ t÷ìng th‰ch vîi c§u n tróc tuy‚n t‰nh tr¶n S(R ) ngh¾a l (i) N‚u S i lim ’ = ’ v S lim i !1 i !1 i = th… S ilim (’i + i) = ’ + : !1 (ii) N‚u S lim ’i = ’ v f i 1 C g i ; lim i = th… i i=1 !1 !1 S i 10 lim ’ = ’: !1 i i 2. N‚u S ilim ’i = ’ th… E ilim ’i = ’: !1 n E(R ). 3. N‚u D n S(R ). n Do â ta câ ph†p nhóng li¶n töc S(R ) ,! !1 ilim ’i = ’ !1 V‰ dö 1.15. H m e th… S ilim ’i = ’: !1 xj2 n xj2 2 S(R ) nh÷ng e n Do â ta câ ph†p nhóng li¶n töc D(R ) ,! 1 n 2= C0 (R ): V‰ dö 1.16. Cho h m 8 > p(x) = 1 > e < xj 2 n‚u jxj < 1 1 >0 n‚u jxj 1; > :R p(x i) °t pi(x) = h⁄n D 1 th… pi 2i 2C ( 0 (1 + jxj ) i n )v lim pi = 0 nh÷ng khæng tçn t⁄i giîi S i!1 lim p : 4. D¢y f’ig !1 i 1 i=1 n n S(R ) gåi d¢y Cauchy trong S(R ) n‚u lim sup j i;j x D’ i ’ ;8 ( !1 n j)j ; 2 N n: =0 mºt khæng gian ı ngh¾a l måi d¢y Cauchy trong Khi â khæng gian S(R ) l n S(R ) •u hºi tö. ành ngh¾a 1.17. H m suy rºng f 2 D 0(Rn) ÷æc gåi l h m suy rºng t«ng ch“m n‚u tçn t⁄i mºt sŁ tü nhi¶n m v sŁ d÷ìng c thäa m¢n j j h f; g i j c sup (1 + x x2Rn jj 0 D ’(x) ; ’ Xj 2 )m m j j8 2 1 C n ( R ): 0 n Khæng gian c¡c h m S (R ) l t“p hæp t§t c£ c¡c h m suy rºng t«ng ch“m. Mºt sŁ t‰nh ch§t. 0 n 1. Khæng gian c¡c h m t«ng ch“m S (R ) l mºt khæng gian vector ngh¾a l nâ âng vîi c¡c ph†p to¡n tuy‚n t‰nh. 2. Cho v‰ dö sau: 11 V‰ dö 1.18. Cho f 2 L 1 n loc(R ) sao cho Z jf(x)j Rn (1 + jxj)N dx < +1; p n vîi N > 0 n o â th… nâ t÷ìng øng vîi h m t«ng ch“m. Do â f 2 L (R ) vîi 1 p 1 t÷ìng øng vîi mºt h m t«ng ch“m. n ành lþ sau cho ta °c tr÷ng cıa phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n S(R ) 0 n ành lþ 1.19. Cho mºt h m suy rºng t«ng ch“m f 2 S (R ). Khi â f câ th” th¡c n tri”n duy nh§t th nh mºt phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n S(R ): Ng÷æc l⁄i måi n n phi‚m h m tuy‚n t‰nh li¶n töc tr¶n S(R ) •u câ thu hµp tr¶n D(R ) l mºt h m suy rºng t«ng ch“m. ành ngh¾a 1.20. D¢y ffig1i=1 S0(Rn) ÷æc gåi l hºi tö ‚n f 2 S0(Rn) n‚u tçn t⁄i mºt sŁ tü nhi¶n m v sŁ d÷ìng c thäa m¢n X j j h f; g i j v d¢y ffig 1 i=1 c sup (1 + x x2Rn jj 0 D ’(x) ; ’ j 2 )m n hºi tö trong D (R ) mj j8 2 C 1( R n); 0 ‚n f. Mºt sŁ t‰nh ch§t. 0 n 1. Kh¡i ni»m hºi tö tr¶n trong S (R ) x¡c ành mºt c§u tróc tæpæ t÷ìng th‰ch vîi c§u tróc tuy‚n t‰nh, ngh¾a l (i) N‚u S 0 i S lim fi = f v 0 i lim gi = g th… !1 !1 S 0 lim (f + g ) = f + g: i i!1 (ii) N‚u S 0 lim fi = f v f 1 i R i vîi lim i = th… g i i i=1 !1 S 0 !1 lim f i!1 12 i i = f: 2. D¢y ffig 1 gåi l d¢y Cauchy trong S0(Rn) n‚u ffig1i=1 l mºt d¢y tçn 0 n i=1 S (R ) 0 t⁄i mºt sŁ tü nhi¶n m v sŁ d÷ìng c thäa m¢n n Cauchy trong D (R ) v j j h f; g i j 0 c sup (1 + x x2Rn jj Xj 2 )m m j D ’(x) ; ’ j8 2 C 1( R n): 0 n 0 n Khæng gian S (R ) l mºt khæng gian ı, ngh¾a l måi d¢y Cauchy trong S (R ) •u hºi tö. 1.2 T‰ch ch“p p n 1.2.1 T‰ch ch“p giœa c¡c h m trong L (R ); 1 1 n N‚u f; g 2 C0 (R ) ta f g= Z 1 ành ngh¾a t‰ch ch“p cıa f v g l f(x y)g(y)dy = n p R 1 Z n f(y)g(x y)dy v f g 2 C0 (R ): n R Ta câ b§t flng thøc Young kf gkLr 1 kfkLp kgkLq ; n trong â f; g 2 C0 (R ); 1 r; p; q 1 thäa m¢n p n q n 1 1 1 r +1= p + q ; 1 n v… C0 (R ) trò m“t p n trong L (R ) vîi 1 p < 1 b§t flng thøc Young công thäa m¢n cho f 2 L (R ) v g 2 L (R ). ành lþ 1.21. Ph†p ch“p l mºt ¡nh x⁄ song tuy‚n t‰nh tł n n n (i) D(R ) D(R ) v o D(R ): n n (ii) D(R ) (iii) n n n E(R ) v o E(R ) v tł E(R ) n n n D(R ) v o E(R ): n S(R ) S(R ) v o S(R ): Khi cŁ ành mºt bi‚n th… nâ li¶n töc vîi bi‚n cÆn l⁄i. Hìn nœa ta câ D (’ ) = D (’) =’ (D n ); vîi ’ 2 C0 (R ); 13 n 2 E(R ) ho°c ’; n 2 S(R ): 1.2.2 T‰ch ch“p giœa h m suy rºng v h m cì b£n 0 ành ngh¾a 1.22. Cho ’ 2 X; f 2 X ; trong â X l mºt trong c¡c khæng gian n n D(R ); E(R ); S(R). T‰ch ch“p cıa h m suy rºng f vîi h m ’ ÷æc x¡c ành nh÷ sau f ’)(x) = hf; ’xi ; trong g : x 7!(f â ’x(y) = ’(x y) ành lþ 1.23. T‰ch ch“p l mºt song ¡nh tuy‚n t‰nh tł n n n (i) D(R ) D(R ) v o E(R ): 0 n n n (ii) E (R ) E(R ) v o E(R ): 0 n n n 0 n n n (iii) E (R ) D(R ) v o D(R ): (iv) S (R ) S(R ) v o E(R ): 0 n n n (v) E (R ) S(R ) v o S(R ): Hìn nœa n‚u cŁ ành mºt bi‚n th… nâ s‡ li¶n töc theo bi‚n cÆn l⁄i. CuŁi còng, 0 n n n‚u ’ 2 X; f 2 X ; trong â X l mºt trong c¡c khæng gian D(R ); E(R ); S(R) th… D (f g) = (D f) (D g). g=f n 0 n n n ’) = (f ) 0 n ành lþ 1.24. Cho ’; 2 D(R ); f 2 D (R ) hay ’ 2 E(R ); 2 D(R ); f 2 E (R ) ho°c ’; n 0 n 2 S(R ); f 2 S (R ). Khi â (f 1.3 ’) Ph†p bi‚n =f (’ )=f ( n ’: 0 n Œi Fourier trong S(R ) v S (R ) n ành ngh¾a 1.25. Cho ’ 2 S(R ). Bi‚n Œi Fourier cıa h m ’, kþ hi»u l F’ ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau F’( )=(2 ) 2 Zn e ihx; i’(x)dx; n R 14