Tài liệu Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* Đặng Thị Thanh Huyền SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀO DỮ KIỆN ĐẦU VÀ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* Đặng Thị Thanh Huyền SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀO DỮ KIỆN ĐẦU VÀ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS. Trần Văn Tuấn HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ dẫn em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Đặng Thị Thanh Huyền i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo ở cuối khóa luận. Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Đặng Thị Thanh Huyền Mục lục Lời mở đầu iv 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tích vô hướng của hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Khái quát về hệ phương trình vi phân 8 . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình . . . . 14 1.4.4 Định lý Azela-Ascoli, định lý Peano và bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số 2.1 25 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 iii 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân là một trong những nhánh quan trọng trong toán học được đề xuất và nghiên cứu rất sớm bởi nhiều nhà toán học, xem [4]. Những nghiên cứu này được thúc đẩy bởi những áp dụng quan trọng của nó từ nhiều bài toán trong thực tiễn: Vật lý, Hoá học, Sinh học, Kinh tế,... Các nghiên cứu chính của phương trình vi phân tập trung trả lời câu hỏi về sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm. Trên thực tế, khi mô hình hoá các hiện tượng dữ kiện ban đầu và các hệ số trong phương trình thường được lấy từ các đo đạc, quan sát thực tiễn. Hơn nữa trong quá trình đo đạc dữ kiện ban đầu (dữ kiện Cauchy) không thể tránh khỏi các sai số và đôi khi cần dùng thêm các yếu tố phụ (tham số). Vì vậy một trong những câu hỏi thu hút được quan tâm nghiên cứu từ khá sớm đó là ảnh hưởng của dữ kiện đầu và tham số đối với nghiệm của phương trình vi phân. Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân tôi chọn đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về giải tích và đặc biệt là sự liên tục của nghiệm của phương trình vi phân. 3. Đối tượng nghiên cứu Tìm hiểu về sự phụ thuộc liên liên tục của nghiệm vào dữ kiện đầu và tham số. Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN 4. Phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tính liên tục của nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, thao khảo tài liệu, sưu tầm lí luận, phân tích lý thuyết và các bài giải minh họa, tổng hợp các kiến thức đã nghiên cứu được dưới sự chỉ bảo của thầy hướng dẫn. 6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm 2 chương • Chương 1: Những kiến thức cơ bản. • Chương 2: Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số. Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Thị Thanh Huyền v Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức. R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. C([a, b], Rn ) Không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) là các phần tử trong Rn , !1/2 n X chuẩn Euclide kxk = |xi |2 , i=1 x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử của Rn |x| Chuẩn của phần tử x, bằng  Kết thúc chứng minh 1 p x21 + · · · + x2n Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, kết quả liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach về ánh xạ co được sử dụng trong khóa luận, chi tiết có thể tham khảo [1, 4]. 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều Kí hiệu Rn là không gian véc tơ thực n chiều. Các phần tử của nó là các véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Đôi khi ta cũng viết véc tơ x dưới dạng một ma trận cột. Các số thực x1 , x2 , . . . , xn được gọi là tọa độ của véc tơ x. Phép cộng véc tơ được xác định bằng phép cộng các tọa độ, phép nhân véc tơ với một số thực cũng được xác định tương tự. Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), khi đó chúng ta thu được ánh xạ tuyến tính e : R m → Rn , B 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN e = Bx, trong đó Bx là kí hiệu của véc tơ cột cho bởi công thức Bx P m  b x  j=1 1j j    m  P  b2j xj    Bx :=  j=1 ,   . ..    n  P bmj xj j=1 trong đó bji là kí hiệu của phần tử ở vị trí giao của dòng thứ i với cột thứ j của ma trận B, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Ngược lại, mọi ánh xạ tuyến tính Rm → Rn đều có dạng trên. Ma trận chuyển vị B ∗ của B là ma trận cấp m × n với các phần tử là b∗ji = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Đặc biệt, với bất kì ma trận thực A cấp n × n từ một ánh xạ tuyến tính trong không gian Rn vào chính nó thì ma trận A đó được gọi là ma trận không suy biến nếu định thức của nó là một hằng số khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và xác định bởi công thức A × A−1 = A−1 × A = I, trong đó, ta kí hiệu I là ma trận đơn vị cấp n. Định nghĩa 1.1. Một chuẩn trên Rn là ánh xạ k·k : Rn → [0, +∞) thỏa mãn các tiên đề sau (i) kxk ≥ 0, ∀x ∈ Rn . 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN (ii) kxk = 0 ⇔ x = 0. (iii) kλxk = |λ| kxk , ∀λ ∈ R, x ∈ Rn . (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ Rn . Ví dụ 1.1. Các hàm dưới đây là các ví dụ cụ thể cho chuẩn trong Rn . kxk := max |xi |, kxk1 = (1.1) 1≤i≤n n X |xi |, (1.2) i=1 kxke := n X ! 21 x2i . (1.3) i=1 Với một chuẩn bất kì trên Rn luôn cảm sinh một tôpô trên chính nó (tôpô sinh bởi chuẩn). Từ đó cho phép ta định nghĩa khái niệm hội tụ và  một số khái niệm điển hình về tôpô như sau. Ta nói dãy xj j≥1 ∈ Rn hội tụ tới x trong Rn với chuẩn k·k nếu lim xj − x = 0. j→∞ Định nghĩa 1.2. Định nghĩa về hình cầu mở, hình cầu đóng Hình cầu mở tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập {x ∈ Rn ; kx − ak < a} . Hình cầu đóng tâm a ∈ Rn và bán kính r là tập {x ∈ Rn ; kx − ak ≤ a} . 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Nhận xét 1.1. Chúng ta cũng có thể định nghĩa khái niệm tôpô của bao đóng, tập đóng, tập mở và tính liên tục. Theo đó, một tập D ⊂ Rn được gọi là mở nếu với mọi điểm x0 ∈ D, tồn tại một hình cầu mở tâm x0 và chứa trong D. Tập C ⊂ Rn được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm trong C hội tụ và hội tụ tới một điểm trong C. Tập K ⊂ Rn gọi là compact nếu mọi dãy điểm trong K chứa một dãy con hội tụ tới một điểm trong K. Cuối cùng, tập D được gọi là bao ngoài nếu nó chứa vô số hình cầu. Ta có thể thấy rằng sự hội tụ theo chuẩn tương đương với sự hội tụ theo tọa độ. Chính xác hơn, nếu cho một dãy  j x ∈ Rn , xj = (xj1 , xj2 , . . . , xjn ), thì lim xj = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) j→∞ ⇔ lim xjk = xk , ∀k = 1, 2, . . . , n. j→∞ Ta nói hai chuẩn k·k1 và k·k2 là tương đương nếu tồn tại một hằng số C ≤ 1 sao cho 1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ Ckxk2 . C (1.4) Theo đó, các khái niệm tập con đóng, tập con mở, tập con compact của Rn cũng được định nghĩa tương tự với mọi chuẩn trên Rn . Tính chất 1.1.1. Cho một ma trận thực cấp n × n với các phần tử 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN {aij ; 1 ≤ i, j ≤ n}, chuẩn của nó là một số thực kAk = max i n X |aij | . (1.5) j=1 Trong không gian véc tơ các ma trận tuyến tính cấp n × n (không gian 2 tuyến tính n2 chiều Rn ), ánh xạ A → kAk thỏa mãn tất cả các tiên đề (i) − (iv) trong Định nghĩa 1.1 (i) kAk ≥ 0. (ii) kAk = 0 ⇔ A = 0. (iii) kλAk = |λ| kAk , ∀λ ∈ R. (iv) kA + Bk ≤ kAk + kBk. Theo đó, ta nói rằng dãy ma trận (Aj )j≥1 hội tụ tới ma trận A khi j → ∞, chúng ta sẽ kí hiệu rằng A = lim Aj , khi lim kAj − Ak = 0. j→∞ Nếu ta kí hiệu ajk` , j→∞ 1 ≤ k, ` ≤ n các phần tử của ma trận Aj , ak` , 1 ≤ k, ` ≤ n các phần tử của ma trận A thì lim Aj = A ⇔ lim ajk` = ak` , ∀k, `. j→∞ j→∞ Nếu k·k là chuẩn trên Rn xác định bởi (1.1), chúng ta có bất đẳng thức sau kAxk ≤ kAk kxk , ∀x ∈ Rn . 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Tích vô hướng của hai véc tơ Cho hai véc tơ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn Ta định nghĩa rằng tích vô hướng của chúng là một số thực có dạng (x, y) := n X x k yk . (1.6) k=1 Chúng ta có thể coi tích vô hướng như một hàm (·, ·) : Rn × Rn → R. Không khó để thấy rằng nó thỏa mãn các tính chất sau (x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ Rn , (1.7) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) , (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y, z ∈ Rn , λ ∈ R, (1.8) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ R, (x, x) = 0 ⇔ x = 0. (1.9) Ta thấy rằng hàm k·ke xác định bởi 1 kxke := (x, x) 2 , x ∈ Rn , (1.10) chính xác là chuẩn trong. Không gian véc tơ Rn được trang bị với tích vô hướng (1.6) và chuẩn (1.10) được gọi là không gian Euclide thực n chiều. Trong không gian Euclide, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm về toán tử trực giao, đối xứng và nói chung, chúng ta có thể mở rộng thành 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN công một phần lớn của hình học Euclide cổ điển. 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy và nguyên lý điểm bất động Định nghĩa 1.3. (Định nghĩa không gian Metric). Cho X là một tập hợp tuỳ ý. Ta nói ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞) là một metric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Một tập X được trang bị cùng với một metric d được gọi là không gian metric và được kí hiệu là (X, d). Một không gian metric (X, d) được trang bị một tôpô tự nhiên. Thật vậy, với mọi điểm x0 ∈ X thừa nhận một hệ các lân cận bao gồm các tập có dạng S(x0 , r), trong đó S(x0 , r) là hình cầu mở bán kính r tâm tại x0 , đó là, S(x0 , r) := {x ∈ X; d(x, x0 ) < r}. (1.11) Trong trường hợp riêng, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm hội tụ.. Chúng ta nói rằng dãy {xn }n≥1 ⊂ X hội tụ đến x ∈ X và viết là lim xn = n→∞ 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN x nếu lim d(xn , x) = 0. n→∞ Đẳng thức này cũng có nghĩa là ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N sao cho d(xn , x) ≤ ε, ∀m, n ≥ N (ε). Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa không gian Metric đầy). Không gian metric (X, d) được gọi là đầy nếu mọi dãy cơ bản bất kỳ trong X hội tụ. Định nghĩa 1.5. (Định nghĩa ánh xạ co). Cho hai không gian metric (X, d1 ), (Y, d2 ). Ánh xạ A : (X, d1 ) → (Y, d2 ) gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho d2 (Ax1 , Ax2 ) ≤ αd1 (x1 , x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X. Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x̄ duy nhất, nghĩa là x̄ ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax̄ = x̄. Chứng minh. Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy {xn } với xn = Axn−1 (n = 1, 2, . . .) ta được d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ), d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ), .. . 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 ) với n ∈ N∗ . Từ đó suy ra ∀n, p ∈ N∗ ta có d (xn+p , xn ) ≤ d (xn+p , xn+p−1 ) + d (xn+p−1 , xn+p−2 ) + . . . + d (xn+1 , xn ) . Hay d(xn+p , xn ) ≤ p X d(xn+k , xn+k−1 ) k=1 p X ≤ d(Ax0 , x0 ) αn+k−1 k=1 n n−p α −α d(Ax0 , x0 ) 1−α αn ≤ d(Ax0 , x0 ). 1−α = Vì 0 ≤ α < 1 nên lim αn = 0. Do đó, ∀p ∈ N∗ , lim d(xn+p , xn ) = 0, n→∞ n→∞ nghĩa là dãy {xn } là dãy cơ bản trong không gian Metric đầy (X, d). Từ đó tồn tại lim xn = x̄ ∈ X. Hơn nữa n→∞ d(Ax̄, x̄) ≤ d(Ax̄, xn ) + d(xn , x̄) = d(Ax̄, Axn−1 ) + d(xn , x̄) (1.12) ≤ αd(xn−1 , x̄) + d(xn , x̄), ∀ n = 1, 2, . . . Cho n → ∞ trong bất đẳng thức (1.12), ta được d(Ax̄, x̄) = 0 hay Ax̄ = x̄, nghĩa là x̄ là điểm bất động của ánh xạ A. 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Giả sử tồn tại điểm ȳ ∈ X mà Aȳ = ȳ. Khi đó d(x̄, ȳ) = d(Ax̄, Aȳ) ≤ αd(x̄, ȳ) ⇒ (1 − α)d(x̄, ȳ) ≤ 0 ⇒ d(x̄, ȳ) = 0, (0 ≤ α < 1) ⇒ x̄ = ȳ. Vì vậy x̄ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Định lý được chứng minh. 1.4 1.4.1 Khái quát về hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát ẋ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0 (1.13) trong đó x(·) ẩn hàm, t ≥ 0 là biến thời gian, x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), f : Rn × [0, ∞) → Rn cho bởi f (t, z) = (f1 (t, z), . . . , fn (t, z)) và  dx1 dt    ẋ1    dx  .   .   ẋ(t) := =  ..  =  ..  dt     dxn ẋn dt Định nghĩa 1.6. Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.13) là một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) có đạo hàm và thoả mãn phương trình trên nửa khoảng [0, +∞). 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Giả sử x(0) = x0 = (x1 0 , x2 0 , . . . , xn 0 ) với xi 0 (i = 1, 2, . . . , n) đã biết. Khi đó, bài toán đi tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.13), ẋ(t) = f (t, x(t)) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 gọi là bài toán Cauchy. Nhận xét 1.2. Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc n x(n) = f (t, x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) ). (1.14) Đặt x = x1 , x0 = x2 , . . . , x(n−1) = xn . Khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau     x01       x02          x0n = x2 , = x3 , (1.15) .. . = f (t, x1 , x2 , . . . , xn ). Nếu x = x(t) là nghiệm của phương trình (1.14) thì x1 = x(t), x2 = x0 (t), . . . , xn = x(n−1) (t) là nghiệm của (1.15). Ngược lại, nếu x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) là nghiệm của hệ (1.15) thì hàm x = x1 (t) là nghiệm của phương trình (1.14). 12