Tài liệu Sự không tồn tại lời giải dương của một số bài toán neumann phi tuyến trong nửa không gian trên

  • Số trang: 40 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 117 |
  • Lượt tải: 0
bangnguyen-hoai

Đã đăng 3509 tài liệu

Mô tả:

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN TP.HOÀ CHÍ MINH Ngoâ Thanh Myõ SÖÏ KHOÂNG TOÀN TAÏI LÔØI GIAÛI DÖÔNG CUÛA MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN NEUMANN PHI TUYEÁN TRONG NÖÛA KHOÂNG GIAN TREÂN Luaän vaên Thaïc syõ Toaùn hoïc Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ soá : 1.01.01 Ngöôøi höôùng daãn : TS. Nguyeãn Thaønh Long Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2001 1 Coâng trình ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi höôùng daãn : TS. Nguyeãn Thaønh Long Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt1 :………….. ………………………... ………………………... Ngöôøi nhaän xeùt 2 :………….. ………………………... ………………………... Hoïc vieân cao hoïc: Ngoâ Thanh Myõ Trung taâm Taïi Chöùc tænh Bình Thuaän. Luaän aùn seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Nhaø Nöôùc taïi Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. vaøo luùc ……giôø……ngaøy …..thaùng…..naêm 2001 Coù theå tìm hieåu luaän aùn taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi Hoïc Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH 2001 2 MUÏC LUÏC Chöông 1: Phaàn toång quan………………………………………………………………………..trang 01 Chöông 2: Thieát laäp phöông trình tích phaân phi tuyeán……...………….trang 03 Chöông 3: Söï khoâng toàn taïi lôøi giaûi döông cuûa baøi toaùn vôùi n = 3……………………………………………………………………………………….trang 12 Chöông 4: Söï khoâng toàn taïi lôøi giaûi döông cuûa baøi toaùn vôùi n > 3 ………………………………………………………………………………………trang 26 Phaàn keát luaän. ……………………………………………………………………………………………….trang 39 Taøi lieäu tham khaûo………………………………………………………………………………….……trang 40 3 Chöông 1 TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naày, chuùng toâi xeùt baøi toaùn Neumann phi tuyeán sau (1.1) (1.2) ∆u = 0 , x ∈ R+n = {(x′, x n ) : x′ ∈ R n−1 , xn > 0 } , − u xn ( x′,0) = g ( x′, u ( x′,0 )) , x′ ∈ R n −1 . Trong [1] caùc taùc giaû Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky (1988) ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (1.1),(1.2) vôùi n = 2 vôùi phöông trình Laplace (1.1) coù daïng ñoái xöùng truïc 1 urr + ur + uzz = 0 , r > 0 , z > 0, r vaø vôùi ñieàu kieän bieân phi tuyeán coù daïng cuï theå nhö sau (1.3) (1.4) − u z (r ,0) = I 0 exp( − r 2 r02 ) + u α (r ,0) , r ≥ 0, trong ñoù I 0 , r0 ,α laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Baøi toaùn (1.3),(1.4) laøtröôøng hôïp döøng cuûa baøi toaùn lieân heä vôùi söï ñoát chaùy bôûi böùc xaï. Trong tröôøng hôïp 0 <α ≤ 2 caùc taùc giaû trong [1] ñaõ chöùng minh raèng baøi toaùn (1.3),(1.4) khoâng coù lôøi giaûi döông. Sau ñoù, keát quaû naày ñaõ ñöôïc môû roäng trong [7] bôûi Long, Ruy (1995) cho ñieàu kieän bieân phi tuyeán toång quaùt (1.5) − u z ( r,0) = g ( r, u( r,0)) , r ≥ 0. Trong [8] Ruy, Long, Bình (1997) ñaõ xeùt baøi toaùn (1.1),(1.2) vôùi n = 3 vaø haøm g laø lieân tuïc, khoâng giaûm vaø bò chaän döôùi bôûi moät haøm luõy thöøa baäc α ñoái vôùi bieán thöù ba vaø chuùng toâi ñaõ chöùng minh raèng neáu 0 <α ≤ 2 thì baøi toaùn nhö theá khoâng coù lôøi giaûi döông. Caùc taùc giaû Bình, Dieãm, Ruy, Long [2] (1998) vaø Bình, Long [3] (2000) ñaõ xeùt baøi toaùn (1.1),(1.2) vôùi n > 3 . Haøm soá g : R n−1 × [0,+∞) → [0,+∞) laø lieân tuïc, khoâng giaûm ñoái vôùi bieán u, thoûa ñieàu kieän 4 (1.6) ∃ α ≥ 0 , ∃ M > 0 : g ( x ′, u ) ≥ M u α , ∀u ≥ 0, ∀x ′ ∈ R n−1 , vaø moät soá ñieàu kieän phuï. Trong [5], [6] caùc taùc giaû ñaõ chöùng minh söï khoâng toàn taïi lôøi giaûi döông cuûa baøi toaùn (1.1), (1.2) vôùi g ( x ′, u ) = u α . (1.7) Trong [5] Hu vaø Yin (1994) ñaõ chöùng minh vôùi 1 ≤ α < (n − 1) /(n − 2) , n ≥ 3 vaø trong [6] Hu (1994) ñaõ chöùng minh vôùi 1 < α < n /(n − 2) , n ≥ 3. Cuõng caàn chuù yù raèng haøm g ( x ′, u ) = u α khoâng thoûa caùc ñieàu kieän trong caùc baøi baùo [2], [7], [8]. Trong luaän vaên naày, chuùng toâi xeùt toâi xeùt baøi toaùn (1.1),(1.2) vôùi n ≥ 3. Haøm g ( x ′, u ) lieân tuïc thoûa ñieàu kieän (1.6) maø (1.7) laø moät tröôøng hôïp rieâng. Baèng caùch xaây döïng moät daõy haøm thích hôïp chuùng toâi chöùng minh raèng neáu, 0 ≤ α ≤ (n − 1) /(n − 2) , n ≥ 3, baøi toaùn (1.1), (1.2) khoâng coù lôøi giaûi lieân tuïc döông. Luaän vaên naày ngoaøi phaàn keát luaän vaø phaàn taøi lieäu tham khaûo seõ ñöôïc trình baøy trong 4 chöông: Trong chöông 1, laø phaàn toång quan veà baøi toaùn, nguoàn goác veà baøi toaùn, moät soá keát quaû ñaõ coù tröôùc ñoù vaø noäi dung caàn trình baøy trong caùc chöông sau ñoù cuûa luaän vaên. Trong chöông 2, laø phaàn thieát laäp phöông trình tích phaân phi tuyeán theo giaù trò bieân xuaát phaùt töø phöông trình Laplace n - chieàu trong nöûa khoâng gian treân lieân keát vôùi ñieàu kieân bieân Neumann. Trong chöông 3, chuùng toâi nghieân cöùu söï khoâng toàn taïi lôøi giaûi döông cuûa baøi toaùn (1.1), (1.2) cuï theå vôùi n = 3. Trong chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu söï khoâng toàn taïi lôøi giaûi döông cuûa baøi toaùn (1.1), (1.2) vôùi n > 3 . Phaàn keát luaän neâu leân moät soá keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên vaø moät soá chuù yù keøm theo. Cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 5 CHÖÔNG 2 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN Trong chöông naày, chuùng ta thieát laäp phöông trình tích phaân phi tuyeán theo aån haøm laø haøm giaù trò bieân xuaát phaùt töø phöông trình Laplace n chieàu trong nöûa khoâng gian treân lieân keát vôùi ñieàu kieân bieân Neumann. Tröôùc heát, ta ñaët caùc kyù hieäu sau: R+n = { x = ( x ′, x n ) ∈ R n : x ′ ∈ R n −1 , x n > 0 } R+n = { x = ( x ′, x n ) ∈ R n : x ′ ∈ R n −1 , x n ≥ 0 } x ∈ R n , x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ( x ′, x n ) ,  n  x =  ∑ xi2   i =1  1 2 = ( x′ 2 + x n2 ) 1 2 . Chuùng ta xeùt baøi toaùn: Tìm moät haøm u coù tính chaát : (S1 ) (S 2 ) ( ) u ∈ C 2 R+n I C  R+n  , u xn ∈ C  R+n  ,      ∂u lim  sup u ( x) + R . sup ( x) R →+∞  x = R , x >0 ∂ ν x R , x 0 = > n n    = 0,   vaø thoûa phöông trình Laplace: (2.1) ∆u = 0 , x ∈ R+n = {(x′, x n ) : x′ ∈ R n−1 , xn > 0 } , vaø ñieàu kieän bieân Neumann (2.2) − u xn ( x ′,0 ) = g1 ( x ′) , x ′ ∈ R n −1 , 6 ∂. chæ ñaïo haøm theo höôùng veùctô phaùp tuyeán ñôn vò treân nöûa ∂ν maët caàu x = R, x n > 0 , höôùng ra ngoaøi vaø g1 laø haøm soá cho tröôùc lieân trong ñoù tuïc treân R n−1 . Ta xeùt haøm Green cho phöông trình Laplace vôùi ñieàu kieän Neumann nhö sau: (2.3) γ (a, x) = 1 [ a−x (n − 2)ω n 2− n + a−~ x 2−n ], trong ñoù x = ( x ′, x n ) ∈ R n , ~ x = ( x ′,− x n ) , a ∈ R+n , ω n laø dieän tích cuûa quaû caàu ñôn vò trong R n . Ta chuù yù raèng vôùi a ∈ R+n coá ñònh, haøm γ (a, .) thuoäc lôùp C ∞ trong R n \ { a, a~ } vaø (2.4) n ∆γ = ∑ ∂2 2 i =1 ∂xi (2.5) γ (a, x) = 0 , ∀x ≠ a, x ≠ a~ , γ x n (a, x′,0) = 0 treân x n = 0 . Ta coá ñònh a ∈ R+n vaø soá thöïc R > 0 . Choïn ε > 0 ñuû nhoû sao cho S ε = { x ∈ R+n : x − a ≤ ε } ⊂ R+n ∩ B R ≡ Ω R vôùi B R ≡ { x ∈ R n : x < R } . AÙp duïng coâng thöùc Green treân mieàn Ω R \ S ε , ta vieát ñöôïc: (2.6) ∫ (γ∆u − u∆γ )dx = ∫ (γuν − uγ ν )dS Ω R \ Sε ∂Ω R Ta coù boå ñeà sau: Boå ñeà 1: Vôùi giaû thieát (S1 ) ta coù 7 − ∫ (γuν − uγ ν )dS . x − a =ε (2.7) ∫ (γuν − uγ ν )dS = u (a) . lim ε →0 + x − a =ε Chöùng minh: Ta vieát haøm Green γ (a, x) döôùi daïng: (2.8) γ ( a , x ) = s ( a , x ) + Φ ( a, x ) , 1 2− n a−x , (n − 2)ω n 1 2− n Φ ( a, x ) = a−~ x = s ( a, ~ x). (n − 2)ω n s ( a, x ) = Ta coù: (2.9) ∫ (γuν − uγ ν )dS = ∫ (Φuν − uΦν )dS + ∫ (s uν − u sν )dS x − a =ε x − a =ε x − a =ε = I1 ( a, ε ) + I 2 ( a, ε ) . * Do giaû thieát (S1 ) , haøm x a Φ (a, x)uν (a, x) − u (a, x)Φν (a, x) lieân tuïc treân S ε neân lim I1 (a, ε ) = 0 . (2.10) ε →0 + * Ñoåi bieán x = a + ε y , chuyeån tích phaân maët treân maët caàu taâm a baùn kính ε thaønh tích phaân maët treân maët caàu ñôn vò taâm O. ∫ s uν dS = ε (2.11) n −1 ∫ s(a, a + ε y) uν (a + ε y)dω x − a =ε = (2.12) − y =1 ε (n − 2)ω n ∫ usν dS = −ε n −1 x − a =ε = 1 ωn ∫ uν (a + ε y)dω → 0 khi ε → 0 + . y =1 ∫ u(a + ε y) sν (a, a + ε y)dω y =1 ∫ u (a + ε y)dω → u (a) khi ε → 0 + . y =1 Vaäy (2.11), (2.12) daãn ñeán 8 (2.13) lim I 2 (a, ε ) = 0 . ε →0 + Töø (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra boå ñeà 1 ñöôïc chöùng minh. Töø (2.6) , thay ∆γ = 0 , ∀x ≠ a vaø ∆u = 0 , sau ñoù cho ε → 0 + ta thu ñöôïc (2.14) u (a) = ∫ (γuν − uγ ν )dS , ∀a ∈ Ω R . ∂Ω R Boå ñeà 1 ñöôïc chöùng minh xong. Boå ñeà 2: Giaû söû u laø lôøi giaûi cuûa (2.1), (2.2) thoûa caùc ñieàu kieän (S1 ) , (S 2 ) , ta coù (2.15) ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = − ∫ lim R →+∞ ∂Ω R R γ u xn dx ′ . n −1 Chöùng minh: Ta coù ∂Ω R = D R ∪ S R , D R = {( x ′,0) : x ′ ≤ R} , S R = {x = ( x ′, x n ) : x = R, x n > 0} . Ta vieát (2.16) ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = ∫ (γ uν − uγ ν ) dS + ∫ (γ uν − uγ ν ) dS . ∂Ω R DR SR Ta seõ chöùng minh raèng: (2.17) (2.18) lim R →+∞ lim R →+∞ ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = − ∫ DR R ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = 0 . SR Chöùng minh (2.17) 9 γ u xn dx ′ , n −1 Treân D R : ν = (0,0,...,−1) , uν = −u xn * s xn (a ; x ′, x n ) = 1 ( 2 − n) a − x (n − 2)ω n xn − an − 1 xn − an = . a−x ωn a − x n 1− n Töông töï Φ xn (a ; x ′, x n ) = − 1 xn + an .γ (a, x) = s (a, x) + Φ (a, x) , n ωn a − ~ x Do ñoù: γ xn (a ; x ′,0) = s xn (a ; x ′,0) + Φ xn (a ; x ′,0) = 0 , hay (2.19) γ ν (a ; x) D = 0 . (2.20) γ (a ; x) D = R R 2 × (n − 2)ω n 1 ( a ′ − x′ 2 + a n2 ) ( n − 2) 2 . Töø (2.19) vaø (2.20) daãn ñeán (2.21) lim R →+∞ ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = Rlim ∫ γ uν dS . →+∞ DR DR ∫ γ uν dx′ = − Rlim ∫ →+∞ = lim R →+∞ γ u xn dx ′ = − DR DR R (2.17) ñöôïc chöùng minh. Chöùng minh (2.18) Tröôùc heát ta ñaùnh giaù caùc tích phaân treân S R : (i) Ñaùnh giaù tích phaân ∫ γ uν dS . SR * Treân S R ta coù (2.22) 0 ≤ γ (a ; x) ≤ 2 1 × (n − 2)ω n (R − a 10 ) n−2 , ∀x ∈ S R . ∫ γ u xn dx ′ . n −1 Do ñoù (2.23) ∫ γ uν dS ≤ SR = ≤ = 2 1 × (n − 2)ω n (R − a )n−2 S∫ 2 1 × (n − 2)ω n (R − a ) uν dS R n−2 ∫ uν ( R y ) R n −1dω y =1 ω R n−1 2 × × sup uν ( x) n 2 n − (n − 2)ω n (R − a ) 2 x∈S R R n −1 (n − 2)(R − a (ii) Ñaùnh giaù tích phaân )n−2 × sup uν ( x) . x∈S R ∫ uγ ν dS . SR Ta coù (2.24) γν = ν= n n ∂γ = ∑ γ xiν i = ∑ ( s xi + Φ xi )ν i ∂ν i =1 i =1 x . R Ta coù: -9(2.25) s xi (a ; x) = 1 ( 2 − n) a − x (n − 2)ω n 1− n xi − a i − 1 xi − a i = , a−x ωn a − x n 1≤ i ≤ n. (2.26) Φ xi (a ; x) = 1 x ( 2 − n) a − ~ (n − 2)ω n 1 ≤ i ≤ n − 1, 11 1− n x i − a i − 1 xi − a i = , n a−~ x ωn a − ~ x (2.27) Φ xn (a ; x ′, x n ) = − 1 xn + an . n ωn a − ~ x Chuù yù raèng: ∀x ∈ S R , x = ~ x = R , xn ≥ 0 : x−a ≥ x − a = R− a , ~ x −a ≥ ~ x − a = R− a . (2.28) ≤ 1 ωn xi − ai 1 ωn s xi (a ; x) ≤ (x− a−x 1 a 1 ωn ≤ n = ) n −1 1 n −1 a−x 1 1 ωn (R− , 1≤ i ≤ n. )n−1 a Töông töï: (2.29) Φ xi (a ; x) ≤ ≤ (2.30) 1 ωn Φ xn (a ; x) = ( 1 ωn xi − a i 1 ≤ n ωn a−~ x 1 ~ x − a = ) n −1 1 ωn 1 xn + an 1 ≤ n ωn a − ~ ωn x 1 a−~ x 1 (R− 1 a−~ x a n −1 n −1 , 1 ≤ i ≤ n − 1, )n−1 ≤ 1 ωn (R− 1 a )n−1 . Ta suy töø (2.24),(2.28),(2.29),(2.30) raèng: n γ ν ≤ ∑ ( s xi + Φ xi ) ν i ≤ (2.31) i =1 2n ωn (R− 1 a )n−1 -10Do ñoù: (2.32) ∫ uγ ν dS SR ≤ 2n 1 × ω n (R − a ) 2n 1 × ω n (R − a ) ≤ 12 n −1 n −1 sup u ( x) x∈S R ∫ dS SR sup u ( x) R n −1 x∈S R ωn 2 , ∀x ∈ S R . = nR n−1 (R − a )n−1 sup u ( x) . x∈S R Ta suy töø (2.23), (2.32) raèng: ∫ (γ uν − uγ ν ) dS ≤ (2.33) SR R n −1 (n − 2)(R − a + nR n −1 (R − a )n−2 × sup uν ( x) x∈S R sup u ( x) . )n−1 x∈S R Söû duïng giaû thieát (S 2 ) , töø (2.33) ta suy ra lim R →+∞ ∫ (γ uν − uγ ν ) dS = 0 . SR Do ñoù (2.18) ñöôïc chöùng minh. Vaäy boå ñeà 2 ñöôïc chöùng minh xong. Keát quaû sau ñaây ñöôïc suy ra töø (2.14) vaø Boå ñeà 2. Boå ñeà 3: Giaû söû u laø lôøi giaûi cuûa (2.1), (2.2) thoûa caùc ñieàu kieän (S1 ) , (S 2 ) , ta coù (2.34) u (a) = − ∫ γ u xn dx ′ = R n −1 ∫ γ (a ; x ′,0) g1 ( x ′)dx ′ , ∀a ∈ R+n . R n −1 Ta coù ñònh lyù sau: -11Ñònh lyù 1: Neáu lôøi giaûi u cuûa baøi toaùn (1.1), (1.2) vôùi g : R n−1 × [0,+∞) → [0,+∞) laø haøm lieân tuïc thoûa caùc tính chaát (S1 ) , (S 2 ) , khi ñoù u laø lôøi giaûi cuûa phöông trình tích phaân phi tuyeán sau: (2.35) u (a ′, a n ) = 2 (n − 2)ω n R ∫ n −1 ∀(a ′, a n ) ∈ R+n . 13 g ( x ′, u ( x ′,0)) dx ′ ( x′ − a′ 2 + a n2 ) ( n − 2) 2 , CHÖÔNG 3 SÖÏ KHOÂNG TOÀN TAÏI LÔØI GIAÛI DÖÔNG CUÛA BAØI TOAÙN VÔÙI N = 3 Chuùng toâi xeùt baøi toaùn (1.1),(1.2) cuï theå vôùi n = 3 nhö sau: ∆u = 0 , ( x, y, z ) ∈ R+3 = (3.1) {(x, y, z ) ∈ R 3 , z> 0 }, − u z ( x, y,0 ) = g ( x, y, u ( x, y,0 )) , ( x, y ) ∈ R 2 . (3.2) vôùi g : R 2 × [0,+∞) → [0,+∞) thoûa ñieàu kieän: (G1 ) g laøhaøm lieân tuïc, (G2 ) Toàn taïi hai haèng soá M > 0 , α ≥ 0 sao cho : g ( x, y, u ) ≥ M u α , ∀x, y ∈ R, ∀u ≥ 0 . Caùc tính chaát (S1 ) , (S 2 ) ñöôïc cuï theå laïi nhö sau: (S ) * 1 u ∈ C 2 ( R+3 ) ∩ C ( R+3 ) , u z ∈ C ( R+3 ) , (S ) (i) * 2 lim sup R →+∞ x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z >0 u ( x, y , z ) = 0 , (ii) lim sup R →+∞ x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z >0 x ∂u ∂u ∂u ( x , y , z ) + y ( x , y , z ) + z ( x, y , z ) = 0 . ∂x ∂y ∂z Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau: 14 Ñònh lyù 2: Neáu lôøi giaûi u cuûa baøi toaùn (3.1), (3.2) vôùi g : R 2 × [0,+∞) ( )( ) → [0,+∞) laø haøm lieân tuïc thoûa caùc tính chaát S1* , S 2* . Khi ñoù u laø lôøi giaûi cuûa phöông trình tích phaân phi tuyeán sau: (3.3) u ( x, y, z ) = 1 2π g (ξ ,η , u (ξ ,η ,0)) ∫∫ 2 2 ( x − ξ ) + ( y − η) + z R2 2 dξ dη , ∀( x, y, z ) ∈ R+3 . Ta cuõng giaû söû raèng giaù trò bieân u ( x, y,0) cuûa lôøi giaûi u cuûa baøi toaùn (3.1), (3.2) thoûa ñieàu kieän: (S ) * 3 Tích phaân ∫∫ R2 g (ξ ,η , u (ξ ,η ,0)) 2 ( x − ξ ) + ( y − η) 2 dξ dη toàn taïi ∀( x, y ) ∈ R 2 . Ta phaùt bieåu keát quaû chính trong phaàn naày nhö sau: Ñònh lyù 3: Giaû söû raèng g thoûa caùc giaû thieát (G1 ) , (G2 ) vôùi 0 < α ≤ 2 . ( )( )( ) * Khi ñoù baøi toaùn (3.1), (3.2) khoâng coù lôøi giaûi döông thoûa S1* , S 2* , S3 . Chöùng minh ñònh lyù 3: Baèng phöông phaùp phaûn chöùng, giaû söû raèng baøi toaùn (3.1), (3.2) coù lôøi ( ) ( ) ( ) * giaûi döông u = u ( x, y, z ) thoûa S1* , S 2* , S3 . Duøng ñònh lyù hoäi tuï bò ( ) * chaän, cho z → 0 + trong phöông trình tích phaân (3.3), nhôø vaøo S3 , ta thu ñöôïc: (3.4) u ( x, y,0) = 1 2π ∫∫ R2 g (ξ ,η , u (ξ ,η ,0)) ( x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 dξ dη , ∀( x, y ) ∈ R 2 . Ta ñaët: u ( x, y,0) ≡ u ( x, y ) . Khi ñoù, ta vieát laïi (3.4) nhö sau: (3.5) u ( x, y ) = A[ g (ξ ,η , u (ξ ,η ))]( x, y ) ≡ 1 2π ∫∫ R2 g (ξ ,η , u (ξ ,η )) 2 ( x − ξ ) + ( y − η) 2 dξ dη , ∀( x, y ) ∈ R 2 . trong ñoù A laø moät toaùn töû tuyeán tính xaùc ñònh baèng coâng thöùc: 15 (3.6) A[v(ξ ,η )]( x, y ) = 1 2π v(ξ ,η ) dξ dη ∫∫ 2 ( x − ξ ) + ( y − η) R2 2 , ∀( x, y ) ∈ R 2 . Ñeå chöùng minh ñònh lyù 3, ta chæ caàn chöùng minh raèng phöông trình tích phaân (3.5) khoâng coù lôøi giaûi döông lieân tuïc. Tröôùc heát ta caàn moät soá baát ñaúng thöùc ñaùnh giaù sau ñaây: Boå ñeà 4. Vôùi moïi ( x, y ) ∈ R 2 ta coù: (i) A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −α ] ( x, y ) = +∞ , neáu 0 < α ≤ 1 , (ii) A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −α ] ( x, y ) ≥ 1 2(α − 1)( 1 + x 2 + y 2 ) α −1 , neáu α > 1 , (iii) A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −2 ] ( x, y ) ≥ ln(1 + x 2 + y 2 ) 4 2 x +y 2 , neáu α = 2 . Chöùng minh boå ñeà 4: (i) 0 < α ≤ 1 : Söû duïng baát ñaúng thöùc sau ñaây (3.7) 1 ( x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 ≥ 1 x2 + y2 + ξ 2 +η 2 1 1 ≥ × , 1+ x2 + y2 1+ ξ 2 +η 2 ∀x, y, ξ ,η ∈ R , vaø sau ñoù ñoåi bieán soá qua toïa ñoä cöïc, ta thu ñöôïc (3.8) A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −α ] ( x, y ) 16 ≥ 1 2π ∫∫ R2 dξ dη α ( 1+ ξ 2 +η2 ) ( ξ 2 +η 2 + x2 + y2 ) +∞ ∫ ≥ 0 rdr α 2 ( 1+ r ) ( r + x + y = +∞ . 2 ) (ii) α > 1 : Töông töï nhö (3.8), ta coù (3.9) 2 A [ (1 + ξ + η 2 ) −α +∞ ] ( x, y ) ≥ rdr ∫ α ( 1+ r ) ( r + x2 + y2 ) 0 +∞ rdr ∫ ≥ 2 α x +y 2 ( 1+ r ) ( r + x2 + y2 ) Töø baát ñaúng thöùc sau (3.10) r 2 r+ x +y ≥ 2 1 , 2 ∀r ≥ x 2 + y 2 , ta thu ñöôïc töø (3.9) raèng (3.11) 2 A [ (1 + ξ + η 2 ) −α 1 ] ( x, y ) ≥ 2 = +∞ ∫ x2 + y 2 dr ( 1+ r ) α 1 2(α − 1)( 1 + x 2 + y 2 ) α −1 . (iii) α = 2 : Töông töï nhö (3.8), ta coù (3.12) A [ ( 1 + ξ 2 + η 2 ) − 2 ] ( x, y ) ≥ +∞ ∫ 0 rdr 2 ( 1+ r ) ( r + x2 + y2 ) +∞ ≥ ∫ 1 Söû duïng baát ñaúng thöùc 17 rdr 2 2 ( 1+ r ) ( r + x + y 2 . ) . r (3.13) (1 + r ) 2 1 , 4r ≥ ∀r ≥ 1 , ta suy ra A [ ( 1 + ξ 2 + η 2 ) − 2 ] ( x, y ) ≥ (3.14) = +∞ 1 1 ∫(r 4 x2 + y2 − 1 1 4 +∞ ∫ 1 dr r( r + x 2 + y 2 ) 1 r + x2 + y2 ) dr +∞ = = 1 4 x2 + y2 × ln( r r + x2 + y2 ln(1 + x 2 + y 2 ) x2 + y2 4 ) 1 . Boå ñeà 4 ñöôïc chöùng minh. Baây giôø, ñeå tieáp tuïc chöùng minh, ta giaû söû raèng toàn taïi ( x0 , y 0 ) ∈ R 2 sao cho u ( x0 , y 0 ) > 0 . Do u lieân tuïc, khi ñoù toàn taïi r0 > 0 sao cho (3.15) u ( x, y ) > 1 u ( x 0 , y 0 ) ≡ m0 , 2 ∀( x, y ) ∈ Br0 ( x0 , y 0 ) = {( x, y ) : ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < r02 } . Ta suy töø (G2 ) , (3.5), (3.15) vaø tính ñôn ñieäu cuûa toaùn töû A , raèng (3.16) u ( x, y ) = A[ g (ξ ,η , u (ξ ,η ))]( x, y ) ≥ A[ M u α (ξ ,η )]( x, y ) M = 2π ≥ ∫∫ R2 u α (ξ ,η ) dξ dη (x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 M ( m 0 )α 2π ∫∫ Br0 ( x0 , y0 ) ∀( x, y ) ∈ R 2 . 18 dξ dη 2 ( x − ξ ) + ( y − η) 2 , Söû duïng baát ñaúng thöùc sau ñaây (3.17) ( x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 ≤ x 2 + y 2 + ξ 2 + η 2 ≤ (1 + x 2 + y 2 )(1 + ξ 2 + η 2 ) ≤ (1 + x 2 + y 2 )(1 + x02 + y 02 + (ξ − x0 ) 2 + (η − y 0 ) 2 ) ≤ (1 + x 2 + y 2 )(1 + x02 + y 02 + r02 ) , ∀x, y ∈ R , ∀(ξ ,η ) ∈ Br0 ( x0 , y 0 ) , ta thu ñöôïc: (3.18) M ( m0 )α 2π ( x − ξ ) 2 + ( y − η) 2 Br0 ( x0 , y0 ) M ( m0 ) α 2π ∫∫ dξ dη 2 2 2 2 2 + + + + + x y x y r (1 )(1 0 0 0 ) Br0 ( x0 , y0 ) ≥ ≥ dξ dη ∫∫ M ( m 0 )α 2π (1 + x 2 + y 2 )(1 + x02 + y 02 + r02 ) ≥ M ( m0 ) α π r02 2π (1 + x02 + y 02 + r02 ) × π r02 1 (1 + x 2 + y 2 ) . Ta suy töø (3.16), (3.18) raèng (3.19) u ( x, y ) ≥ m1 1+ x2 + y2 vôùi m1 = M mα0 r02 2(1 + x02 + y 02 + r02 ) Ta xeùt caùc tröôøng hôïp khaùc nhau cuûa α . 19 ∀x, y ∈ R , ≡ u1 ( x, y ) . Tröôøng hôïp 1: 0 < α ≤ 1 . Ta thu ñöôïc töø (G2 ) , (3.5), (3.19) vaø tính ñôn ñieäu cuûa toaùn töû A , raèng (3.20) u ( x, y ) = A[ g (ξ ,η , u (ξ ,η ))]( x, y ) ≥ A[ M u α (ξ ,η )]( x, y ) ≥ A[ M u1α (ξ ,η )]( x, y ) = M m1α A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −α ] ( x, y ) = +∞ , do boå ñeà 4,(i). Ñaây laø ñieàu voâ lyù. Tröôøng hôïp 2: 1 < α < 2 . AÙp duïng boå ñeà 4, (ii), ta thu ñöôïc töø (G2 ) , (3.5), vaø tính ñôn ñieäu cuûa toaùn töû A , raèng (3.21) u ( x, y ) = A[ g (ξ ,η , u (ξ ,η ))]( x, y ) ≥ A[ M u α (ξ ,η )]( x, y ) ≥ A[ M u1α (ξ ,η )]( x, y ) = M m1α A[ (1 + ξ 2 + η 2 ) −α ] ( x, y ) ≥ M m1α 2(α − 1)( 1 + x 2 + y 2 ) = m2 ( 1 + x 2 + y 2 ) − q2 α −1 ≡ u 2 ( x, y ) , trong ñoù (3.22) m2 = M m1α , q2 = α − 1 . 2(α − 1) Baèng quy naïp ta giaû söû raèng (3.23) u ( x, y ) ≥ u k −1 ( x, y ) ≡ mk −1 ( 1 + x 2 + y 2 ) − qk −1 , ∀x, y ∈ R . 20
- Xem thêm -