Tài liệu Sử dụng phương pháp tách biến fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

  • Số trang: 79 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 900 |
  • Lượt tải: 2
tailieuonline

Tham gia: 31/07/2015

Mô tả:

Ket-noi.com dien dan giao duc HOÀNG THỊ NHANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC Ket-noi.com dien dan giao duc HOÀNG THỊ NHANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS. Khổng Cát Cương SƠN LA - 2013 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn của các thầy giáo cô giáo trong tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em đã hoàn thành khóa luận này. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Khổng Cát Cương - Giảng viên Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ, động viên và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng KHCN&HTQT, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành khoá luận này. Sơn La, Tháng 5 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Nhanh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ .................................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 3 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 3 6. Giả thiết khoa học ...................................................................................... 3 7. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3 8. Đóng góp của khóa luận ............................................................................. 3 9. Bố cục của khóa luận .................................................................................. 3 10. Kế hoạch thực hiện đề tài ......................................................................... 4 PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................ 5 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC ................................................................. 5 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính. ............................................................. 5 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. ............................................... 5 1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................. 6 1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số ....... 7 1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ số là hằng số ................................................................................................... 8 1.2. Chuỗi Fourier .......................................................................................... 9 1.2.1. Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier ....................................... 9 1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier ...................................... 10 1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier ......................................................... 11 1.2.2. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier. ................................................ 12 1.2.3. Tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier ................................ 16 1.3. Đại cương về các phương trình vật lý toán ............................................ 17 1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý ..................................................................................................................... 17 1.3.2. Phân loại phương trình toán lý ............................................................ 18 1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic ................................................................. 18 1.3.2.2. Phương trình Parabolic .................................................................... 19 1.3.2.3. Phương trình Eliptic......................................................................... 20 CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER GIẢI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT ............................. 21 2.1. Thiết lập phương trình truyền nhiệt ....................................................... 21 2.2.Các điều kiện ban đầu và điều kiện cho phương trình truyền nhiệt. ........ 24 2.3. Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier ............................... 25 2.3.1. Ý tưởng chính: .................................................................................... 25 2.3.2. Tóm tắt bước giải: .............................................................................. 25 2.3.3. Nhận xét chung :................................................................................. 26 2.4. Phương trình truyền nhiệt một chiều. ..................................................... 27 2.4.1. Bài toán Cauchy một chiều. ................................................................ 27 2.4.1.1. Bài toán Cauchy một chiều thuần nhất. ............................................ 27 2.4.1.2. Bài toán Cauchy không thuần nhất .................................................. 31 2.4.2. Bài toán hỗn hợp một chiều ................................................................ 34 2.4.3. Phân loại bài toán hỗn hợp một chiều. ................................................ 35 2.4.4. Một số lưu ý ....................................................................................... 35 2.5. Phương trình truyền nhiệt hai chiều ....................................................... 35 2.5.1. Bài toán Cauchy hai chiều và ba chiều............................................... 35 2.5.2. Bài toán hỗn hợp hai chiều ................................................................. 36 2.5.3. Một số lưu ý ....................................................................................... 39 CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT .......................................................... 40 3.1. Bài toán phương trình truyền nhiệt thuần nhất ....................................... 40 3.2 Bài toán phương trình truyền nhiệt không thuần nhất. ............................ 59 3.3 Một số bài tập tự giải. ............................................................................. 68 PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................... 71 1. Kết quả thu được ...................................................................................... 71 2. Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo. ............................. 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho sự phát triển của chính nó mà trở thành công cụ cho việc phát triển các ngành khoa học khác trong đó có Vật lý. Bộ môn Phương trình Vật lý - Toán là một môn khá khó đặc biệt về phần Phương trình Toán lý đối với các bạn sinh viên các khoa Vật lý và các ngành kỹ thuật có liên quan của các trường Đại học Khoa họcTự nhiên và các trường Đại học Kĩ thuật trong cả nước. Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật. Do vậy, mục đích của chúng ta là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật đó. Thực tế, khi nghiên cứu các môn học trong các học phần Vật lý lý thuyết của sinh viên gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học trong các học phần vật lý lý thuyết như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, nhiệt đông lực học, vật lý thống kê…. Khi học các môn này, sinh viên thường xuyên phải thành lập và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng . Vì vậy, yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng với kiến thức cần thiết của phương pháp toán cho Vật lý, mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Do vậy, phương trình Vật lý - Toán có vị trí và vai trò quan trọng đối với việc học tập và nghiên cứu vật lý. Để tìm hiểu được lý thuyết chúng ta cần có sự hỗ trợ rất lớn của một hệ thống bài tập. Ngoài các bài tập có tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào các đối tượng cụ thể, còn có các bài tập là sự tìm hiểu sâu nội dung môn học, đòi hỏi chúng ta không chỉ có kĩ năng mà còn phải có phương pháp, thói quen tư duy mới, có sáng tạo. Trong các tài liệu tham khảo hiện nay đã có trình bày lời giải của một số bài toán về Phương trình Toán lý. Tuy nhiên, số lượng ví dụ mẫu còn hạn chế, những chỉ dẫn về phương pháp giải còn nặng tính khái quát, thiếu cụ thể. Trong khi đó bài tập về Phương trình Toán lý rất phong phú và đa dạng. Vì thế, sinh viên vẫn còn gặp 1 nhiều khó khăn trong việc giải các Phương trình Toán lý. Mặt khác do trình độ kiến thức còn hạn chế, chưa biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, trình độ tư duy chưa cao… từ đó làm giảm khả năng tiếp nhận kiến thức vật lý của sinh viên . Trong khi đó, đối với môn Phương trình Toán lý nói riêng và môn Vật lý nói chung ngoài việc nắm vững kiến thức lý thuyết, bài tập cũng đóng vai trò hết sức quan trọng. Mà học phần này có nhiều dạng bài tập, lại có nhiều phương pháp giải, đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng. Ví dụ như bài tập phương trình truyền nhiệt có phương pháp như sau: phương pháp tách biến Fourire, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, phương pháp hàm Bessel. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng. Quá trình học tập ở trường Đại học Tây Bắc, sinh viên Sư phạm Vật lý đã được học môn Phương trình Vật lý – Toán là môn tương đối khó đối với sinh viên Sư Phạm Vật lý, trong đó có các bài toán về phương trình truyền nhiệt. Vì vậy, không chỉ để giải các bài toán này mà còn giúp cho sinh viên ôn tập và mở rộng thêm kiến thức và là điểm khởi đầu để dẫn dắt sinh viên đến với kiến thức mới, giúp rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn và giúp cho sinh viên tư duy sáng tạo, giáo viên có thể kiểm tra được mức độ nắm vững kiến thức của sinh viên. Chính vì vậy , tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt” 2. Mục đích nghiên cứu - Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu về các Phương trình Vật lý - Toán và đặc biệt tìm lời giải cho các bài toán về phương trình truyền nhiệt nhằm phục vụ tốt cho học tập ở phần phương trình truyền nhiệt ở bậc Đại học. - Làm cơ sở cho các môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, cơ lượng tử, điện từ … 3. Nhiệm vụ - Nhắc lại một số kiến thức quan trọng của phép biến đổi Fourier trong toán cho Vật lý và một số kiến thức cơ bản biến đổi phương trình truyền nhiệt. - Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt. 2 4. Đối tượng nghiên cứu - Cơ sở toán học cho phương pháp Fourier. - Cơ sở lí luận về bài tập Vật lý. - Các bài tập về phương trình truyền nhiệt. 5. Phương pháp nghiên cứu - Do đặc thù môn học chúng tôi đã chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lý thuyết và bài tập ứng dụng. - Sưu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp các tài liệu liên quan đến khóa luận và sử dụng các công cụ toán học để tính toán và hệ thống hóa các bài tập một cách lôgic nhằm đạt mục đích đề ra. - Phương pháp phân tích. - Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Giả thiết khoa học Từ những kiến thức và phương pháp giải toán cho bộ môn Toán lý nói chung và kiến thức, phương pháp giải toán cho phần bài toán của phương trình truyền nhiệt, chúng ta sẽ có một phương pháp đầy đủ và thông dụng, dễ nhớ mặc dù nó không phải là một phương pháp mới. 7. Phạm vi nghiên cứu - Giáo trình Phương trình Toán lý. - Sử dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt. 8. Đóng góp của khóa luận - Làm tài liệu tham thảo cho sinh viên. - Góp phần nghiên cứu kết quả học tập học phần Phương pháp Toán lý cho sinh viên. - Có triển vọng ứng dụng trong học tập môn Vật lý ở bậc đại học sẽ áp dụng phương pháp Fourier để giải một số bài toán về Phương trình truyền nhiệt. 9. Bố cục của khóa luận Khóa luận gồm ba phần : Phần mở đầu. Phần nội dung. 3 Chương 1: Cở sở toán học . Chương 2: Sử dụng phương pháp tách biến Fourier giải bài toán cơ bản của phương trình truyền nhiệt Chương 3: Vận dụng phương pháp Fourier giải bài tập phương trình truyền nhiệt. Phần kết luận. 10. Kế hoạch thực hiện đề tài + Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương. + Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở toán học. + Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại theo từng chương và chia ra phương pháp giải cụ thể cho một số dạng bài tập. + Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo. + Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận. + Từ 05/2013 → 06/2013: Chấm khóa luận. 4 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC Toán học có vai trò quan trọng, nó là công cụ không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu Vật lý. Như vậy, để cung cấp những kiến thức toán học cần thiết, phục vụ cho nghiên cứu ở hai chương sau, trong chương này phương trình vi phân tuyến tính, chuỗi Fourier, đại cương về các phương trình truyền nhiệt đã được chúng tôi trình bày chi tiết dưới đây. 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính. 1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.  Phương trình tuyến tính cấp 1 có dạng: y' + p(x)y = q(x) (1.1) Ta giả thiết p(x), q(x) là những hàm liên tục. + Nếu q(x)  0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếu q(x)  0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp1 không thuần nhất. * Cách giải: - Để tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) ta xét q(x) = 0.  Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất có dạng: y ' + p(x)y = 0 (1.2) dy + p (x) dx y = 0 Giả sử y  0 , chia 2 vế phương trình cho y: dy + p(x) dx = 0 y (1.3) Tích phân 2 vế phương trình (1.3) ta được:  dy = -  p(x).dx + ln C với C  0 y  ln y - ln C = -  p(x).dx 5  ln y = -  p(x).dx c - p(x).dx  y = C.e  , với C  0 Nhận thấy y = 0 là nghiệm của phương trình (1.2). -  p(x).dx Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: y = C.e , với C  R - Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất y' + p(x).y = q(x) ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số. Đặt C = C(x) và tìm cách chọn C(x) sao cho biểu thức: e - p(x).dx y = C (x) . (1.4) Thay (1.4)vào phương trình (1.1) ta có: C' (x) .e  - p(x).dx  C' (x).e  - C(x).p(x).e  - p(x).dx - p(x).dx - p(x).dx = q(x) hay C' (x) = q(x).e    dC(x) =  q(x).e  - p(x).dx  C(x) = - p(x).dx + p(x).C(x).e  = q(x) .dx + C -  p(x).dx q(x).e .dx + C  Thay C(x) vào biểu thức y = C(x). e  - p(x).dx ta được: - p(x).dx  -  p(x).dx   y(x) = e  C+    q(x).e .dx       1.1.2. Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng: y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) (a  x  b ) (1.5) trong đó p(x), q(x), f(x) xác định trên [a, b] + Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2. + Nếu f (x)  0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2. 6 1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số Phương trình có dạng : y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 hay y'' + py' + qy = 0 (1.6) Bước 1: Giải phương trình đặc trưng: k 2 + pk + q = 0 (*) Phương trình (*) có Δ = p 2 - 4q Bước 2: Xác định nghiệm tổng quát Có các trường hợp sau: - Trường hợp 1: + Nếu Δ > 0 : phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. k1;2 = -p ± Δ 2 Khi đó phương trình (1.6) có 2 nghiệm riêng của phương trình là: y1 = ek1x , y2 = ek2x Do đó y = C1.ek1x + C2 .ek 2x ; C1,C2 + Nếu   0 phương trình có nghiệm kép k1 = k 2 , khi đó 2 nghiệm riêng của là các hằng số tùy ý. phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng: y1 = ek2x , y2 = u(x).y1 Thay y2 = u(x).y1 vào (1.6) ta được u(x) = x. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng: y = ek1x  C1x + C2  , C1 , C2 là các hằng số. - Trường hợp 2: + Nếu Δ < 0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phức. k1;2 = -p± 2 Δi = -p ± 2 Δ 2 7 i với α = -p , β= 2 Δ 2  k1 = α + iβ , k 2 = α - iβ Khi đó có 2 nghiệm riêng của (1.6) là y1 = e(α+iβ)x , y 2 = e (α - iβ)x , Sử dụng công thức Euler, ta có: y1 = (cosβx + isinβx).eαx , y2 = (cosβx - isinβx).eαx . Do y1 , y 2 là nghiệm riệng của (1.6) nên: y= y1 + y2 = eαx cosβx, y = y1 - y2 = eαx sinβx. 2 2i cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình. Thay vào (1.6) ta có nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng: y = (C1cosβx + C2sinβx).eαx 1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ số là hằng số Phương trình có dạng: y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) Hay - y" + py' + qy = f(x) (1.7) Trường hợp 1: f(x) = eαx .Pn (x), (1.8) với α  R, Pn (x) là đa thức bậc n. + Nếu α là nghiệm kép của phương trình (1.6), khi đó ta tìm nghiệm của phương y = x 2eαx .Qn (x) trình có dạng: + Nếu α (1.9) là nghiệm đơn của phương trình (1.6), khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng: y = x.eαx .Qn (x) + Nếu α (1.10) không là nghiệm của phương trình (1.6), khi đó khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng: 8 y = eαx .Qn (x) (1.11) trong đó Qn (x) là đa thức cùng bậc đa Pn (x) - Trường hợp 2. f(x) = e αx  Pm (x)cosβx + Pn (x)sinβx  (1.12) trong đó Pm (x) , Pn (x) là các đa thức bậc n, m; α, β là các hằng số thực. + Nếu α ± iβ không là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình đã cho có dạng: y = e αx Ql (x)cosβx + R l (x)sinβx  (1.13) + Nếu α ± iβ là nghiệm phương trình (1.6) khi đó nghiệm của phương trình đã cho có dạng: y = x e αx Ql (x)cosβx + R l (x)sinβx  (1.14) trong đó Q l , P l là các đa thức bậc l = max(m,n) 1.2. Chuỗi Fourier 1.2.1. Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier Tập các hàm {l, sin nπx nπx , cos } là các hàm riêng trực giao nhau trong L L khoảng (-L, L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó, có nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f(x) và đạo hàm f ' (x) liên tục. Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x) dưới dạng chuỗi:  f(x) = a 0 + ( a n=1 n cos nπx nπx + b n sin ) L L được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L, L), trong đó a 0 , a n , b n gọi là các hệ số Fourier của chuỗi. 9 nπx nπx   Từ tính trực giao của tập 1, sin , cos  có thể tìm được các hệ số L L   Fourier trong đó a 0 , a n , b n như sau: a0 1 = 2L 1 an = L 1 bn = L L  f(x)dx . -L L  f(x) cos -L L  f(x) sin -L nπx dx. L nπx dx. L 1.2.1.1. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier * Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là: - Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L. - Hàm f(x) có một hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng (-L, L). * Giả sử khoảng (-L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ. * Người ta có thể xác định hàm f(x) là hàm mở rộng của hàm f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, f(x) là mở rộng tuần hoàn của f(x), -L  x  L có tính chất f(x) (x + 2L) = f(x) . * Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi hệ số a 0 , a n , b n được tính cụ thể. * Hàm f(x) được gọi là bước nhảy gián đoạn tại điểm x 0 nếu f( x -0 ) = lim f( x 0 - ε )  f( x 0+ ) = lim f( x 0 + ε ). Nếu hàm f(x) và f’(x) là liên tục từng khúc trong khoảng (-L, L) thì biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện: - Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục; - Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng Fourier đầy đủ; 10 - Tại điểm x 0 có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của 1 [ f( x 0+ ) + f( x -0 ) ] là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải 2 hàm f(x) hội tụ về của bước nhảy gián đoạn. N * Hàm SN (x) = a 0 +  ( a n cos n=1 nπx nπx + b n sin ) được gọi là tổng riêng thứ N. L L  * Chuỗi có dạng: a0 + ( nπx nπx + b n sin ). L L a n cos n=1  có thể viết dưới dạng: a0 + C n sin ( n=1 trong đó: C n = nπx + φ n ). L a 2n +b 2n được gọi là biên độ. φ n = arctg( an ) được gọi là pha. bn Số hạng thứ n: C n sin ( nπx + φ n ) được gọi là dao động điều hòa thứ n. L 1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x, hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho phép đơn giản biểu diễn Fourier.  Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì L L -L 0  f  x  dx = 2 f  x  dx Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x), do đó: L 0 L L L L -L -L 0 0 0 0  f  ξ  dξ =  f  ξ  dξ + f  ξ dξ =  f  -ξ  dξ + f  ξ  dξ = 2 f  ξ dξ L  Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) =-f(x)thì f  x dx = 0  -L 11 Vậy: L 0 L L L -L -L 0 0 0  f  ξ  dξ =  f  ξ  dξ + f  ξ dξ =  f  -ξ  dξ + f  ξ  dξ = 0  Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn, tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ. - Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn Fourier có dạng:  f(x) =  bnsin n=1 nπx ,0 - Xem thêm -