Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Trung học phổ thông Sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng phương trình vô tỷ...

Tài liệu Sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng phương trình vô tỷ

.PDF
11
30
59

Mô tả:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNGTHANH THPT MAI ANH HOÁ NĂM 2017 TUẤN MỤC LỤC Trang 1. Mở đầu 2. Nội dung của đề tài 1-2 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Bài toán 1: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học giải tích phẳng 2-6 2.2 Bài toán 2: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học giải tích không gian 7 - 10 2.3 Bài toán 3: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC giải tích không gian 10 - 12 2.4 Bài toán 4: Cực trị giữa điểm và mặt phẳng trong hình học giải tích không gian 12 - 14 2.5 Bài toán 5: Ứng dụng bài toán về cực trị trong hình học giải tích để tìm GTLN, GTNN của biểu thức 14 - 15 Bài tập áp dụng 15 - 16 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực hiện: Lê Đình Chung Chức vụ: Giáo viên 2.6 Kiểm nghiệm đề tài SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán 3. Kết luận và kiến nghị 16 16 - 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19 THANH HOÁ NĂM 2018 0 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 I. Đặt vấn đề 2 II. Nội dung của đề tài 1. Dạng 1: ax  bx  c  qx  p 3 2 qx  p k (k  0 ) 2. Dạng 2: ax 2  bx  c  3. Dạng 3: ax 2  bx  c   dx  e  qx 2  px  r 4. Dạng 4: ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  qx 2  px  r 4 5 6 Bài tập áp dụng 7 III. Kết luận và kiến nghị 8 Tài liệu tham khảo 9 Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 10 SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Trong xu thế chung nhưng năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong các giờ luyện tập. Nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo. Có thể nói, bài toán về phương trình vô tỷ là bài toán cơ bản và thường gặp trong chương trình lớp 10. Trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi. Những bài toán như vậy gây không ít khó khăn đối với học sinh. Nhưng bằng kiến thức cơ bản mà các em đã được học ở cấp hai, sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì việc giải các dạng phương trình vô tỷ sau sẽ đơn giản đi rất nhiều. Ở bài viết này chủ yếu đề cập đến các bài toán về phương trình vô tỉ, có dạng tổng quát: a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0  bm x m  bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0 Với m, n   và n  2; n  m . Trong khoảng thời gian có hạn nên tôi chỉ mới ứng dụng trong phạm vi Cụ thể có các dạng như sau: 1. ax  bx  c  qx  p * m  2, n  4 2 2. qx  p k ax 2  bx  c  (k  0 ) 3. ax  bx  c   dx  e qx  px  r 4. ax  bx  cx  dx  e  qx  px  r 2. Mục đích nghiên cứu Trong quá trình dạy cho học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ trong đó có một bài toán giải phương trình x 2  6 x  3  x  3 . Đây là một dạng toán rất quên thuộc, nếu dùng theo cách giải truyền thống thì bài toán trên rất phức tạp và học sinh đọc cũng rất khó hiểu. Nhưng nếu sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng đáng nhớ thì bài toán trên sẽ đơn giản hơn và cách giải tự nhiên hơn. 3. Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc giải các bài tập về phưng trình vô tỷ, mà cụ thể là ba dạng toán ở trên. Đa số các em đều áp dụng cách giải bài toán một cách máy móc, không phát huy được tính tích cực, sáng tạo trong giải toán. 2 4 2 3 2 2 4. Phương pháp nghiên cứu 2 Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản từ các hằng đẳng thức đáng nhớ. Nhằm giúp các em thấy được sự liên kết, thống nhất trong quá trình học toán. Giải pháp và tổ chức thực hiện là: - Giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập. - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi học đề tài. - Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho các khóa học sinh tiếp theo. II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 1.Dạng 1: ax  bx  c  qx  p (I) Nhân cả hai vế của phương trình (I) với 2a' sao cho 2aa' là số chính phương 2 aa' x  2ba' x  2ca'  2a' qx  p sau đó sử dụng hằng đẳng thức đưa về dạng 2 2  mx  n  2   m'  n' qx  p  2 Bài toán 1: Giải phương trình x 2  6 x  3  x  3 (1) Lời giải: Nhân cả hai vế của pt (1) với 4 hoặc 16,… nhân 2; 4; 6; 8… không phù hợp pt(1)  4 x 2  24 x  12  4 x  3 (1’) Bây giờ ta thêm bới vế phải VP = 4 x  3 về hằng đẳng thức VP có hai tình huống là  2  x  3  hoặc 1  2 x  3  - Nếu lấy  2  x  3  thì pt(1’)  4 x  23x  19   2  x  3  không phù hợp - Nếu lấy 1  2 x  3  thì pt(1’) 2 2 2 2 2 2   4 x 2  20 x  25  1  2 x  3    2 x  5  1  2 x  3 2 1  2    1  2  2  phù hợp 2 2   x  3  2 x  5  2 x  3  2x  5 x  3  2x  6 x  3  2 x  4 Đến đây việc giải các phương trình này là cơ bản (vì bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc hai một ẩn) KL: phương trình có tập nghiệm S =  5  21  6;  2   Bài toán 2: Giải phương trình 3 x  2  4 x 2  21x  22 (2) (số 384 – THTT) Lời giải: pt(2)   3x  2  4 x 2  21x  22 Nhân cả hai vế của pt (2) với 4 ta có  4 3 x  2  16 x 2  84 x  88 (2’) 3 VP có hai tình huống là  2  3x  2  hoặc 1  2 3 x  2  - Nếu lấy  2  3x  2  thì pt(2’)   2  3x  2   16 x  81x  90 không phù hợp - Nếu lấy 1  2 3 x  2  thì pt(1’) 2 2 2 2 2 2   1  2  3x  2   1  2 3x  2 2  16 x 2  72 x  81 2   4 x  9 phù hợp 2 1  2 3 x  2  4 x  9  2 3 x  2  4 x  10       1  2 3 x  2  4 x  9  3x  2  2 x  4 KL: phương trình có tập nghiệm S = 2.Dạng 2: qx  p k ax 2  bx  c  Khử mẫu số k ta có 19  73 23  97  ;   8 8   ( k  0 ) (II) akx 2  bkx  ck  qkx  pk (trở về phương trình dạng 1) Bài toán 3: Giải phương trình x3 (3) 2  4 x 2  8x  2 x  6 2x 2  4x  Lời giải: pt(3)  16 x  32 x  4 2 x  6 ( Olympic 30/4/2003) (khử mẫu số 2) 2   16 x 2  40 x  25  1  2 2 x  6    4 x  5  1  2 2 x  6 2 1  2    1  2   2 2    2 x  6  4 x  5   2x  6  4x  5 2x  6  2x  2 2 x  6  2 x  3 KL: phương trình có tập nghiệm S =   3  17  5  13  ;   4 4   Bài toán 4: Giải phương trình 4x  9  7x 2  7x 28 (Đề thi ĐHAN khối D năm 2000) 4x  9  14 x 2  14 x 7 28 x  63  98 x 2  98 x Lời giải: pt(4)  với x  0 . (4)  (khử mẫu số 7)  2 28 x  63  196 x 2  196 x   1   1 1    1    28 x  63  28 x  63 2  196 x 2  224 x  64 2  14 x  8 2    28 x  63  14 x  8   28 x  63  14 x  8 KL: pt có nghiệm duy nhất 3.Dạng 3: x 28 x  63  14 x  7 28 x  63  14 x  9 65 2 14 ax 2  bx  c   dx  e  qx 2  px  r . (III) 4 Nhân cả hai vế của phương trình (III) với 2a' sao cho 2aa' là số chính phương 2aa' x  ba' x  ca'  2a'  dx  e  qx  px  r sau đó sử dụng hằng đẳng thức đưa về dạng 2 2  mx  n  2   m'  dx  e   n' qx  p  2 Bài toán 5: Giải phương trình x 2  3x  1  x x 2  2 Lời giải: pt(5)  4 x 2  12 x  4  4 x x 2  2   9 x 2  12 x  4  x  2 x 2  2    3x  2  x  2 x 2  2 2 x  2   x  2 (5)   2 2      2  3 x  2  x 2  2  3x  2 x2  2  x 1 x2 x 2  2  2 x  1 KL: phương trình có tập nghiệm S = 1  2   ; 3 2 7   Bài toán 6: Giải phương trình x 2  x  2   x  2 x 2  4 x  1 Lời giải: pt(6)  4 x 2  4 x  8  4 x  2  x 2  4 x  1   9 x 2  24 x  16  x  2  2 x 2  4 x  1    3x  4   x  2  2 x 2  4 x  1 2 x  2  2    x  2  2   2 2    2  x  4 x  1  3 x  4  x 2  4 x  1  3x  4 x 2  4x  1  x  1 x 2  4 x  1  2 x  3 KL: pt có nghiệm duy nhất x  0 . 4.Dạng 4: ax  bx  cx  dx  e  qx  px  r (IV) Dùng hằng đẳng thức biến đổi phương trình (IV) về dạng 4 2 2 a1  mx  n   a 2  mx  n   a3  b1  mx  n   b2 Đặt t   mx  n  2  t  0 ta có a1t 2  a 2 t  a3  b1t  b2 (trở về phương trình dạng 1) 4 3 2 2 Bài toán 7: Giải phương trình x 4  4 x 3  3x 2  2 x  7  Lời giải: pt(7)   x  1  3 x  1 Đặt t   x  1 2  t  0 ta có 4 t 2  3t  5  2 (7) 2x 2  4x  7 5  (số 362 - THTT) 2 x  1  5 2 2t  5  4t  12t  20  4 2t  5 2   4t 2  4t  1  1  2 2t  5    2t  1  1  2 2t  5 2   2 2 5 1  2   1  2     2t  5  2t  1   2t  5  2t  1 2t  5  t  1 2t  5  t - Phương trình 2t  5  t vô nghiệm vì t  0 - Phương trình 2t  5  t  1 có nghiệm t  2  2 Suy ra  x  1  2  2 2  x  1  2  2 2 Phương trình (7) có nghiệm x  1  2  2 2 . 2 2 Bài toán 8: Giải phương trình x 4  x 2  3  3 (8) Lời giải: pt(8)  x 4  3   x 2  3 Đặt t  x 2  t  0 ta có t2 3   t  3  4t 2  12  4 t  3   4t 2  4t  1  1  2 t  3    2t  1  1  2 t  3 2   2 2 1  2 t  3  2t  1     1  2 t  3  2t  1     t  3  t t  3  t 1 - Phương trình t  3  t vô nghiệm vì t  0 - Phương trình t  3  t  1 có nghiệm t  1 hoặc t  2 (loại) Suy ra x 2  1  x  1 Phương trình (8) có nghiệm x  1 . * Chúng ta thấy những dạng toán ở trên là những dạng toán khó, nhưng bằng cách giải sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì những bài toán này biến đổi về dạng rất cơ bản. Phù hợp với học sinh học lớp 10 khi học về phần giải phương trình vô tỷ. Cách giải rất tự nhiên kết hợp hài hòa giữa kiến thức cấp hai và kiến thức giải phương trình vô tỷ ở lớp 10. Còn các dạng toán này nếu mà giải theo cách cũ như một số tài liệu đã trình bày thì rất phức tạp, mất đi vẽ đẹp theo sự tư duy tự nhiên thông thường đưa về cơ bản. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các phương trình sau: 1. 14 x  9  18 x 2  37 x  5 2. 4  3 10  3x  x  2 (Học sinh giỏi Toàn Quốc 2002) 2 3. x  2 x  2 2 x  1 4. x 2  2 x  3  3 3x  1 5. 6. 7. 3 x 2  x  1  5x  8 3 2x 2  4x  3  x 4  4x 3  7 x 2  6x  2 4 x 2  3x  2  x 2 x 2  2 x  1 6 8. 4 x 2  3x  1  x 2 x 2  2 x 9. x 2  x  1   x  2 x 2  2 10. 4 x 2  5 x   x  2 2 x 2  4 x  3 III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết quả việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài một cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải các bài tập tương tự. - Cách giải mà tôi đã trình bày trong đề tài hoàn toàn rất tự nhiên, trong sáng. Do đó đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lôgic và khả năng sáng tạo của học sinh. - Đề tài có tác dụng tốt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong khi trình bày đề tài chắc chắn còn những hạn chế, thiếu sót. Mong được sự góp ý từ đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Đình Chung 7 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* 1. Báo Toán học và tuổi trẻ . 2. Sách giáo khoa và sách bài tập đại số lớp 10 - Nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2006 3. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Đề thi học sinh giỏi của một số trường. 8 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên : Lê Đình Chung Chức vụ : Giáo Viên Đơn vị công tác : Trường THPT Mai Anh Tuấn TT 1. Tên đề tài SKKN Đưa phương trình vô tỉ về hệ phương trình gần đối 2. xứng. Ứng dụng của phép quay và phép đối xứng để giải một Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...) Sở GD & ĐT Thanh Hóa Sở GD & ĐT Thanh Hóa Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C) C C Năm học đánh giá xếp loại 2010 - 2011 2014 - 2015 số bài toán hình học giải tích phẳng. 9 3. 4. 5. ... ---------------------------------------------------- 10
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan