Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Spline bậc 3 và một số ứng dụng...

Tài liệu Spline bậc 3 và một số ứng dụng

.PDF
49
2841
54

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đàm Minh Đức 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đàm Minh Đức 2 Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.Sai số và xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. SPLINE BẬC 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.Một số khái niệm cơ bản về nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 2.2.Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Tính toán với Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Định nghĩa đa thức Spline bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2. Đạo hàm của B - spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SPLINE BẬC 3 . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.Giải gần đúng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.Giải gần đúng hệ phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây phương trình vi phân, phương trình vi tích phân,... được nghiên cứu ngày càng nhiều bằng các phương pháp xấp xỉ. Lớp bài toán này có nhiều ứng dụng trong mô hình các quá trình vật lí, sinh học và kĩ thuật. Với bài toán giải phương trình vi phân thì việc tìm được phương pháp tốt để xấp xỉ hàm rất quan trọng. Ví dụ, xét phương trình vi phân d2 x dx + a(t) + b(t)x(t) = f (t), 2 dt dt a≤t≤b với điều kiện biên x(a) = α, x(b) = β, trong đó α, β là các hằng số và a(t), b(t), c(t), f (t) là các hàm số xác định trên [a, b]. Hơn nữa, giả sử phương trình này có nghiệm duy nhất x(t). Nhiệm vụ của ta là tìm x(t). Nhưng trong thực tế việc tìm chính xác x(t) là rất khó và có nhiều trường hợp không tìm được hoặc không cần thiết. Khi đó vấn đề được đặt ra là: 1. Làm thế nào để tìm được hàm x∗ (t) là xấp xỉ tốt của x(t) ? 2. Làm thế nào sử dụng máy tính để đưa ra hàm x∗ (t) là xấp xỉ của hàm x(t) ? Để giải quyết những vấn đề trên thì một trong các phương pháp được đưa ra chính là xấp xỉ bằng Spline. Spline đa thức có ưu điểm hơn các phương pháp khác là nếu tăng số mốc nội suy lên thì bậc của đa thức nội suy cũng không tăng. Phương pháp xấp xỉ bằng Spline đã và đang phát triển mạnh cùng với sự phát triển cực kì nhanh của tin học và máy vi tính. Đây cũng là một trong các xu hướng phát triển của toán học hiện đại. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về phương pháp xấp xỉ bằng Spline và với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn đề tài ” Spline bậc 3 và một số ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan đến sự phát triển của vấn đề trong những năm gần đây. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các khái niệm và tính chất Spline bậc 3 - Nghiên cứu cách tìm xấp xỉ tốt cho đa thức và cho việc giải gần đúng phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Spline bậc 3 - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến phương pháp xấp xỉ bằng Spline. 5. Phương pháp nghiên cứu - Lấy ý kiến chuyên gia. - Phân tích, tổng hợp. 6 6. Đóng góp mới Đề tài trình bày trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của hàm spline bậc 3 cụ thể trên Hermite và Cubic spline. Ứng dụng lý thuyết spline bậc 3 vào giải xấp xỉ phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu: • Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần tử của X, gọi là tổng của x với y, và được ký hiệu x + y; ứng với mỗi phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của x với α và được ký hiệu αx. • Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1. x + y = y + x. 2. (x + y) + z = x + (y + z). 3. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X (phần tử này gọi là phần tử không). 4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0 phần tử −x được gọi là phần tử đối của x. 5. 1.x = x. 6. α(βx) = (αβ)x (α, β là những số bất kỳ). 7. (α + β)x = αx + βx. 8. α(x + y) = αx + αy. Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực. Nếu trong định nghĩa ấy ta thay các số thực bằng các số phức thì ta có không gian vectơ phức. Các phần tử của một không gian vectơ thường được gọi là vectơ. Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng thực E 2 Tập X = E 2 là tập E 2 = {(x1 , x2 ) : x1 và x2 các số thực} Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X, phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) αx = (αx1 , αx2 ) là không gian vectơ. Ví dụ 1.1.2. Không gian C[a, b] Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]. 9 Với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: (f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b(αf )(t) = αf (t) là không gian vectơ Ví dụ 1.1.3. Pn [a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian vectơ 1.2. Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 , x2 , . . . , xn ∈ X là một tổng có dạng: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu α1 x1 + α2 x2 + . . . αn xn = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . αn = 0 Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính, tức là tồn tại những số α1 , α2 , . . . , αn trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 Ví dụ, hai vectơ x và (-x) là phụ thuộc tuyến tính vì: 1.x + (1)(−x) = 0 Nếu trong các vectơ x1 , x2 , . . . , xn có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính. 10 Một không gian vectơ X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính. Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó. Các không gian k chiều, với k là một số nguyên không âm bất kỳ gọi là không gian hữu hạn chiều. Một không gian không hữu hạn chiều tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ độc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô hạn chiều. Ví dụ: Rk là không gian k chiều, với cơ sở là: x1 = (1, 0, . . . , 0), x2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , xn = (0, 0, . . . , 1) Không gian B[a,b] là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyến tính, đó là: x1 (t) = t, x2 (t) = t2 , . . . , xn (t) = tn Nếu X là không gian k chiều và x1 , x2 , . . . , xk là một cơ sở cuả nó thì mọi x ∈ X đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: x = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk Các số α1 , α2 , . . . , αk được gọi là các tọa độ của vectơ x đối với cơ sở {x1 , x2 , . . . , xk }. Nếu ta làm phép ánh xạ 1 − 1 : x ↔ (α1 , α2 , . . . , αk ) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và Rk . Như vậy không gian vectơ k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian Rk . Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa là: 1. x ∈ M, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M ; 11 2. x ∈ M ⇒ αx ∈ M với α là số bất kỳ Cho A là một tập con bất kỳ, không rỗng của X. Khi đó bao giờ cũng có ít nhất một không gian con bao hàm A, đó chính là X. Vậy họ các không gian con bao hàm X khác rỗng. Giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con, và là không gian con nhỏ nhất bao hàm A. Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A. Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk của những phần tử của A. 1.3. Không gian định chuẩn 1.3.1. Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3.1. Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ X, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số k x k, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi x, y ∈ X, và mọi số α thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1. k x k> 0 nếu x 6= 0; k x k= 0 nếu x = 0 2. k αx k=| α | . k x k 3. k x + y k≤k x k + k y k (bất đẳng thức tam giác) Ví dụ 1.3.1. Không gian E 2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn: q k x k2 = x21 + x22 12 Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như: k x k1 = |x1 | + |x2 | hay k x k∞ = max {|x1 | , |x2 |} trong đó x = (x1 , x2 ) ∈ E 2 Ví dụ 1.3.2. Không gian C[a, b] là không gian định chuẩn với chuẩn k f (t) k= maxa≤t≤b | f (t) | Định nghĩa 1.3.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn ||| |1 và ||| |2 . Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho: m ||x| |1 ≤ ||x| |2 ≤ M ||x| |1 với ∀x ∈ X. Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn: 1 ||x| |2 ≤ (2 ||x| |2∞ ) 2 = √ 2 ||x| |∞ Mặt khác: 1 ||x| |∞ = max {|x1 | , |x2 |} ≤ (x21 + x22 ) 2 = ||x| |2 Do đó chọn M = √ 2, m = 1, ta có: ||x| |∞ ≤ ||x| |2 ≤ 13 √ 2 ||x| |∞ 1.3.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn } ⊂ X, x0 ∈ X. 1) xn −→ x0 (dãy xn hội tụ tới x0 ) có nghĩa là ||xn − x0 | | −→ 0 2) Nếu xn −→ x0 thì ||xn | | −→ ||x0 | |, tức là chuẩn ||x| | là một hàm liên tục của x 3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì (∃M ) (∀n) ||xn | | ≤ M 4) Nếu xn −→ x0 , yn −→ y0 thì xn + yn −→ x0 + y0 . 5) Nếu xn −→ x0 , αn −→ α0 thì αn xn −→ α0 x0 . 6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {xn } ⊂ X sao cho: limm,n→∞ ||xn − xm | | = 0 Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: ||xn − xm | | → 0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 , thì không gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach. 1.4. Sai số và xấp xỉ tốt nhất 1.4.1. Sai số Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường không biết chính xác giá trị của một đại lượng nào đó. Số liệu ban đầu mà ta có trong các bài toán trên được gọi là số gần đúng. Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán. Do đó đi nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong việc giải bài toán. 14 Định nghĩa 1.4.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác với a∗ không nhiều. Ký hiệu a ≈ a∗ . Định nghĩa 1.4.2. Đại lượng ∆ = |a − a∗ | được gọi là sai số thực sự của a. Nói chung, ta không biết a∗ nên không biết ∆. Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆a > 0 sao cho |a − a∗ | 6 ∆a. (1.4.1) Định nghĩa 1.4.3. Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (3.2.5) gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a Khi đó a∗ = a ± ∆a Định nghĩa 1.4.4. Số δa = ∆a được gọi là sai số tương đối của a. |a| Ví dụ 1.4.1. Giả sử a∗ = π và a = 3, 14. Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01. Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta cũng có thể lấy ∆a = 0, 002. Ví dụ 1.4.2. Đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD ta thu được a = 10m ± 0, 01m ; b = 1m ± 0, 01m. Khi đó ta có: δa = 0, 01 0, 01 = 0, 1% ; δb = = 1%. 10 1 Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy chúng có cùng sai số tuyệt đối ∆a = ∆b = 0, 01m. 15 • Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a∗ là không duy nhất. • Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối. 1.4.2. Xấp xỉ tốt nhất Định nghĩa 1.4.5. Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn ||| |, M ⊂ X là một tập con của X và p ∈ X. Điểm y0 ∈ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu: ||p − y0 | | ≤ ||p − y| |, ∀y ∈ M Xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất. Ví dụ về sự không tồn tại xấp xỉ tốt nhất Cho X = E 2 , M = {(x, 0) : x 6= 0} , p = (0, 1) thì trong trường hợp này không có xấp xỉ tốt nhất từ M tới p. Ví dụ về sự không duy nhất xấp xỉ tốt nhất: Cho X = E 2 , M = {(1, y) : y ∈ R} ∪ {(−1, y) : y ∈ R} , p = (0, 0). Trong trường hợp này tồn tại 2 xấp xỉ tốt nhất, z1 = (−1, 0), z2 = (1, 0). Định lý 1.4.1. Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn ||| | và XN là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ X tồn tại xấp xỉ tốt nhất xN ∈ XN , tức là: ||x − xN | | = miny∈XN ||x − y| | Chứng minh. Lấy z ∈ XN và đặt d = ||x − z| | K = {z ∈ XN : ||x − z| | ≤ d} 16 Từ ||x| | là hàm liên tục của x nên K là tập đóng và bị chặn. Mà K là không gian hữu hạn chiều nên K compact. Đặt g(z) = ||x − z| |, z ∈ K. Thì g là hàm liên tục của z. Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm xN ∈ K. Vậy, ||x − xN | | = miny∈K ||x − y| | 1.4.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia xi , i = 0, n thỏa mãn: x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn = b Đặt h = b−a . n Giả sử x là nghiệm đúng và x∗ là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theo phương pháp gần đúng nào đó). Nếu có: ||x − x∗ | | = 0(hk ) thì x∗ được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x. 1.5. Ma trận đường chéo trội Định nghĩa 1.5.1. Cho ma trận vuông A = (aij )ni,j=1 . Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính chất sau: • Pn | aij |<| aii |, ∀i = 1, 2, . . . , n; • Pn | aij |<| ajj |, ∀j = 1, 2, . . . , n. j=1,j6=i i=1,i6=j 17 Định lý 1.5.1. Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến Khi đó phương trình Ax = y luôn có nghiệm. 18 Chương 2 SPLINE BẬC 3 2.1. Một số khái niệm cơ bản về nội suy Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x) mà chỉ biết giá trị yi tại các điểm xi ∈ [a, b](i = 0, 1, . . . n). Cũng có trường hợp biết thức giải tích f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu. Mục tiêu của phép nội suy là khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi , yi (i = 0, 1, . . . n). Ngoài ra sử dụng kết quả của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm hoặc tích phân của f (x) trên đoạn [a, b]. Trong phép nội suy thì đa thức đại số thường được dùng vì các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, đạo hàm và tích phân dễ dàng thực hiệu được. Hơn nữa nếu P (x), còn c là hằng số thì P (cx) và P (x + c) cũng là đa thức. Bài toán nội suy được đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy a ≤ x0 < x1 < x2 < . . . < xn ≤ b Hãy tìm đa thức bậc m: Pm (x) = Pm i=0 ai xi sao cho Pm (xi ) = yi = f (xi )(i = 0, n) Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: xây dựng đường cong đại số y = Pm (x) đi qua các điểm cho trước (xi , yi )(i = 0, n). Như vậy ta cần xác định m + 1 hệ số ai (i = 0, n) từ hệ phương trình tuyến tính sau: m X aj xji = yi (i = 0, n) (2.1.1) j=0 Nếu m < n(m > n) hệ nói chung vô nghiệm (vô định). Nếu m = n thì hệ có định thức Vandermonde 2 n 1 x0 x0 . . . x 0 n 2 Y 1 x1 x1 . . . x 1 = (xi − xj ) 6= 0 δ = . . . . . . . . . . . . . . . 0≤i - Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng

Tài liệu xem nhiều nhất