Tài liệu Skkn xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DỰA TRÊN NỘI DUNG KIẾN THỨC PHẦN TÍCH PHÂN LỚP 12 Đồng tác giả: 1. Phạm Thành Trung – Tổ trưởng chuyên môn tổ Toán – Tin trường THPT Nho Quan B 2. Bùi Việt Hùng – Phó hiệu trưởng trường THPT Nho Quan B 3. Lê Hoàng Thi Sỹ - Giáo viên Toán trường THPT Nho Quan B Nho Quan, tháng 04 năm 2019 1 ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình I. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tôi gồm: Tỷ lệ % TT Họ và tên Nơi Chức công tác danh Trình độ đóng góp chuyên vào việc môn tạo ra Ghi chú sáng kiến Tổ 1 Phạm Thành Trung THPT Nho trưởng Quan B chuyên Đại học 40% Thạc sỹ 30% chuyên Thạc sỹ 30% Tác giả môn 2 3 Bùi Việt Hùng Lê Hoàng Thi Sỹ THPT Nho Quan B THPT Nho Quan B Phó hiệu trưởng Tổ phó môn Đồng tác giả Đồng tác giả Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12”. II. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT). III. Nội dung sáng kiến 1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ 1. 1. Thực trạng Trong chương trình toán THPT các bài toán tích phân luôn là các bài toán khiến học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng. Các bài toán trong chương trình SGK lớp 12 hiện hành viết còn rất sơ sài và chủ yếu dừng lại ở mức độ thông hiểu. Các dạng bài tập trong sách được viết theo dạng tự luận, cần có lời giải tường minh để đi đến kết quả trong khi đó MTCT có chức năng tính chính xác kết quả của một số tích phân và có thể sử dụng để kiểm tra kết quả của các bài toán tính toán về tích phân. Trong khi đó ở kỳ thi THPT Quốc gia 2 năm 2017 và năm 2018 và trong các đề thi minh họa của Bộ giáo dục và Đào tạo trong hai năm vừa qua, nội dung này được đánh giá ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Các bài toán tính toán về tích phân thường trải theo các mức độ khác nhau của đề thi. Ở các mức độ nhận biết và thông hiểu thì các bài toán được trình bày khá cơ bản và có nhiều con đường tiếp cận. Tuy nhiên các bài toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao thì các bài toán về nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng được khai thác một cách khéo léo và vận dụng nhiều kiến thức có liên quan. Để giải quyết được bài toán này học sinh không những phải nắm được các kiến thức cơ bản về nguyên hàm và tích phân, các ý nghĩa , giải thành thạo các bài toán mà còn phải sử dụng các công cụ, các tính chất liên hệ để làm bài tập. Theo thống kê thì 80% học sinh của trường THPT Nho Quan B khi tham gia thi đại học không giải quyết được các bài toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao của dạng toán này. Bên cạnh đó với những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải tư duy, phân tích, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, biết vận dụng nhiều kiến thức liên quan. Bên cạnh đó qua nghiên cứu và thực hành giảng dạy trên lớp nhóm tác giả sáng kiến đã nhận thấy rằng các bài toán trong các đề thi chỉ cần vận dụng thành thạo các kiến thức cơ bản và các phương pháp trình bày trong SGK đều có thể đi đến lời giải một cách tự nhiên nhất. 1. 2. Giải pháp cũ thường làm Trong sách giáo khoa hiện hành nội dung bài tập liên quan còn sơ sài, chưa định hướng được lời giải cho học sinh. Các bài toán mới dừng lại ở mức độ vận dụng trực tiếp lý thuyết vào giải trực tiếp, chưa có sự gắn kết logic giữa các dạng bài toán. Các bài toán đều cho dưới dạng tự luận và đáp số có thể tìm được bằng việc sử dụng máy tính cầm tay. Nội dung bài tập chỉ đơn thuần dừng lại trong khuôn khổ các bài toán tính nguyên hàm tích phân mà chưa có sự gắn kết các bài toán về các kỹ năng vận dụng công thức và ý nghĩa hình học. Các bài tập trong SGK và trong Sách bài tập hiện tại chủ yếu là rèn các kỹ năng về tính toán và biến đổi. Với hệ thống bài tập như vậy, học sinh chỉ cần luyện tập và làm nhiều bài tập là có thể giải quyết được. Tuy nhiên vấn đề đặt ra là khi học sinh làm các bài tập này thường có lời giải theo các dạng toán cố định như các lớp tích phân về đa thức, hữu tỷ, căn thức, lượng giác, mũ và logarit. Và khi gặp các dạng bài toán tương tự thì đại bộ phận các em đều suy nghĩ hướng đến lời giải theo một lối mòn định sẵn. Điều này cũng giúp được các em trong việc rèn kỹ năng trình bày và hệ thống được một phần nào đó các kiến thức cơ bản. 3 Tuy nhiên với việc giải quá nhiều các dạng bài như thế sẽ làm cho các em mất đi sự tư duy, sáng tạo trong việc hình thành cũng như tiếp nhận các kiến thức. 1. 3. Hạn chế của giải pháp cũ - Với việc đưa ra hệ thống các dạng bài toán cố định và mặc định sẵn các phương pháp giải tương ứng khiến học sinh rất vất vả trong việc nhớ các dạng toán và phương pháp tương ứng cho từng dạng. - Trong các bài tập khác khi đề bài cho không ở dạng chuẩn học sinh không biết cách định hướng và tìm lời giải. - Khi thực hiện theo giải pháp cũ hầu hết học sinh không làm được các bài toán mà yếu tố đề bài cho ở dạng suy luận. - Hệ thống bài tập chưa thực sự phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay. Bài tập còn nặng về các yếu tố ghi nhớ và tính toán theo công thức không phát huy được năng lực sáng tạo của người học. Việc khắc sâu đặc điểm và tính chất cũng như phát triển các kiến thức đã được học cùng việc sử lí các tình huống trong các bài toán cụ thể gặp nhiều hạn chế. - Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017 và năm 2018 cũng như trong các đề minh họa bộ giáo dục cho trong hai năm vừa qua bài toán vận dụng và vận dụng cao về nguyên hàm và tích phân đều đòi hỏi học sinh phải định hướng, tư duy, phân tích dữ kiện giả thiết kết hợp với những kiến thức đã học để làm bài do đó nếu áp dụng giải pháp cũ thì đại bộ phận học sinh không làm được bài tập thuộc dạng này. - Theo xu thế dạy học mới, giải pháp cũ bộc lộ nhược điểm rõ rệt, không phát huy được tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình giải toán. Bên cạnh đó với việc cung cấp quá nhiều dạng toán và phương pháp như các tài liệu hiện nay khiến học sinh phải chịu áp lực rất lớn trong quá trình học tập, phải ghi nhớ một lượng kiến thức quá lớn. Điều này khiến các em mất đi sự sáng tạo và hứng thú trong học tập. Đặc biệt để làm các bài tập theo các dạng này học sinh phải nhớ quá nhiều các công thức các đại lượng liên hệ một cách máy móc. Với các cách tiếp cận bài toán như giải pháp cũ học sinh rất thụ động. Trong quá trình làm bài tập học sinh không tìm đượchứng thú và tự giác. Học sinh không nghĩ suy độc lập mất đi sự sáng tạo. 2. Những giải pháp mới và ưu điểm của giải pháp mới 2. 1. Những nội dung cơ bản của giải pháp mới 4 - Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học. Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cô đọng và ngắn gọn nhất. Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ thống, có phân chia các mức độ. Bài tập được thiết kế theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân. - Trình bài lại hệ thống các kiến thức cơ bản trong chương trình sách giáo khoa mà tối thiểu học sinh cần nắm được. Mỗi phần kiến thức học sinh được tiếp nhận đều có các dạng bài tập vận dụng với các mức độ và yêu cầu khác nhau để học sinh luyện tập. - Nêu và định hướng một số phương pháp mới để giải các bài tập trong các đề thi đại học với kiến thức cơ bản nhất. Giúp học sinh vận dụng được trực tiếp kiến thức đang học vào sử lý các bài toán liên quan, hình thành con đường tư duy liên tục và các kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống cụ thể. - Trong quá trình hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài toán lạ. - Phân tích lời giải và tư duy để hình thành con đường đi đến lời giải một cách tự nhiên nhất. Liên kết giữa các dạng toán giúp học sinh hình thành những suy luận hợp lý, tổng quát được bài toán theo nhiều hướng khác nhau. - Các bài toán được nhóm tác giả chia theo trình tự của nội dung các kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa để đảm bảo cho học sinh có thể dễ dàng tiếp cận ngay từ khi được cung cấp kiến thức về lý thuyết. Bài tập và ví dụ minh họa được sắp xếp theo hệ thống kiến thức phân dạng mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Do đó học sinh có thể dễ dàng tiếp cận kiến thức và vận dụng trực tiếp các kiến thức vào các mức độ khác nhau của bài toán. Bên cạnh việc hướng dẫn chi tiết về lời giải tác giả còn đưa ra các nhận xét, phân tích con đường đi đến lời giải một cách hợp lý và nêu ra các suy luận dựa trên những kiến thức cơ bản đã được học vận dụng vào các tình huống cụ thể. Điều đó ngoài việc giúp học sinh tìm ra được đường lối tư duy cơ bản khi giải bài tập còn giúp các em có thể tự tư duy tìm đường đi hợp lý cho các bài toán khác. Dưới đây là sơ đồ minh họa các nội dung kiến thức cơ bản của bài toán tính tích phân trong SGK và các dạng toán được xây dựng dựa trên cơ sở của các kiến thức đó. 5 SƠ ĐỒ MINH HỌA NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2. 2. Những ưu điểm của giải pháp mới - Giải pháp mới nhằm giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong quá trình học tập: Kiến thức cần thiết chỉ nằm trong khuôn khổ của sách giáo khoa hiện hành, không phải nhớ quá nhiều dạng bài tập một cách máy móc, không phải tốn kém trong quá trình mua tài liệu tham khảo. - Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài toán dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn. Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài toán không phải áp đặt theo một khuôn mẫu định sẵn. - Giáo viên có thể dựa vào các kết quả quen thuộc trong sách giáo khoa ra đề bài cho học sinh một cách chủ động không trùng lặp. - Các giải pháp mới nêu ra đều sử dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học ngay trên lớp. Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho bài toán trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận. Việc vận dụng một cách phù hợp vào 6 từng bài toán cụ thể luôn tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh. Các bài tập vận dụng giải pháp mới hầu như là những bài toán đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hoàn toàn mới mẻ nhưng đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh. IV. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được 1. Hiệu quả kinh tế: - Học sinh không phải sử dụng quá nhiều tài liệu như việc sử dụng các phương pháp khác. Có thể tự sáng tạo hoặc giải các bài toán khác theo phương pháp này. Thời gian nghiên cứu và học tập tương đối phù hợp. Các em học sinh có thể dựa vào những phân tích về các bài toán trong sáng kiến để đi tìm lời giải cho một bài toán khác, có thể tránh được tình trạng học thêm tràn lan vừa tốn kém vừa không mang lại hiệu quả cao. 2. Hiệu quả xã hội - Sáng kiến mang tính thực tiễn cao: Kiến thức vừa phải, phù hợp với đại bộ phận học sinh. Là tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh cũng như các bạn đồng nghiệp. - Trong kì thi THPT quốc gia năm 2017, năm 2018 và trong các đề minh họa của bộ giáo dục, các chủ đề liên quan đều được đề cập đến và đều có thể sử dụng phương pháp đã nêu trong sáng kiến. - Sáng kiến đã được áp dụng qua các hoạt động giảng dạy của nhóm tác giả, các đồng nghiệp, tại các lớp ôn thi THPT Quốc gia, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT Nho Quan B bước đầu đã có những kết quả đáng kể. - Các hoạt động mà sáng kiến đề cập đã giúp đỡ rất nhiều cho giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, nhằm đổi mới phương pháp dạy học. Cũng nhờ các hoạt động đã được xác định, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, nó giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức trong việc soạn bài, chuẩn bị bài lên lớp. - Việc áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học giúp học sinh hình thành tư duy, khả năng vận dụng. Sáng kiến cho thấy việc học và nghiên cứu kỹ các nội dung trong sách giáo khoa là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình học tập. V. Điều kiện và khả năng áp dụng: 7 Sáng kiến: “Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12” mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng trong thực tế, phù hợp với cả giáo viên, học sinh trung học phổ thông. Không những hữu ích với học sinh ôn thi đại học mà còn hiệu quả với học sinh đại trà khác, giúp các em nâng cao khả năng tư duy giải quyết các vấn đề liên quan. Sáng kiến đã được nhóm tác giả sử dụng trong quá trình giảng dạy, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh, các thầy cô trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia tại trường THPT Nho Quan B và có thể áp dụng cho các trường THPT trong tỉnh. Qua sáng kiến cho thấy rằng các bài toán tích phân có thể tiếp cận được với nhiều đối tượng học sinh, với nền tảng kiến thức chính chỉ giới hạn trong nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành. Do đó khả năng áp dụng sáng kiến này vào thực tế là khả quan và dễ thực hiện. VI. Hiệu quả áp dụng: Trong quá trình giảng dạy tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm được các ý tưởng cơ bản, các thuật toán thường dùng trong việc giải quyết các bài toán liên quan về các công thức tích phân đặc biệt là với các dạng bài toán mà hình thức có thể cho ta nghĩ đến hướng giải quyết bằng các con đường khác nhau. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán cùng với vận dụng khai thác các tính chất cho từ giả thiết để tìm ra đường đi đúng cho lời giải của bài toán là hết sức quan trọng. Thông qua việc phân tích hướng tìm tòi suy nghĩ khác nhau cho cùng một đề toán nhằm rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy thông qua cách tiếp cận và phát hiện mối liên hệ giữa các đại lượng, phát hiện ra các tính chất và các hướng giải quyết đặc trưng cho một loạt các bài tập cùng dạng. Mấu chốt quan trọng của các bài toán về tích phân theo xu thế hiện nay là biết khai thác triệt để giả thiết, vận dụng những yếu tố có mặt trong giả thiết và các tính chất cơ bản đã cho trong giả thiết xây dựng nên mối quan hệ giữa các đại lượng liên quan. Từ đó tìm ra con đường giải quyết bài toán. Khi tiếp cận với phương pháp này một số em học sinh khá giỏi cảm thấy rất thích thú, ham mê tìm tòi phát hiện và đôi khi đưa đến những cách giải sáng tạo và linh hoạt hơn nhiều. Các em không phải bó buộc suy nghĩ, phải cố gắng để nhớ nhiều các dạng toán, các đặc điểm của hàm số cần tính tích phân mà chỉ cần nắm vững các bài toán cơ bản trong SGK. Thông qua các tiết dạy trên lớp, các tiết ôn tập khi triển khai nội dung của sáng kiến hầu hết các học sinh đều nhiệt tình tham gia. Đặc biệt là quá trình xây dựng và hình thành 8 nên lời giải của bài toán, các em đều rất chủ động và sáng tạo. Điều này cho thấy việc áp dụng sáng kiến trong quá trình giảng dạy đã góp một phần vào việc đổi mới phương pháp giảng dạy hiện nay. Tuy nhiên đối tượng áp dụng của sáng kiến là học sinh thuộc khu vực miền núi, trình độ còn hạn chế. Bên cạnh đó với thời lượng trên lớp có hạn, trình độ nhận thức của đại bộ phận học sinh còn hạn chế thì việc áp dụng các phương pháp trên vẫn còn nhiều nhược điểm và chưa mang lại hiệu quả cao như mong muốn. VII: Kết luận và kiến nghị I. Kết luận: Trên đây là một số bài toán về cách giải quyết một số dạng bài tập về tích phân và các phép toán và phương páp tính tích phân mà chúng tôi đã học hỏi đúc rút được trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Nho Quan B. Sáng kiến của chúng tôi chỉ là một mảng áp dụng các phương pháp trong bài toán tính tích phân. Ngoài những phương pháp cơ bản nêu ở trên còn có nhiều phương pháp khác để tiếp cận bài toán. Sáng kiến thực sự là một bước đổi mới trong quá trình hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu. Khi triển khai sáng kiến áp dụng cho học sinh thuộc các lớp giảng dạy đã tạo được niềm tin, say mê hứng thú cho các em học sinh. Các em học sinh chủ động sáng tạo trong việc phân tích bài toán, dự đoán tính chất và định hướng lời giải cho bài toán. Sáng kiến của chúng tôi đã được áp dụng trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được một số kết quả, đặc biệt là các bài toán có vận dụng các tính chất liên quan được khai thác trực tiếp từ giả thiết. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên. ` Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối tốt. Theo tôi khi dạy phần toán về tích phân và các ứng dụng giáo viên cần hướng đến cho học sinh nhiều hướng tiếp cận khác nhau, đồng thời phân tích cho học sinh thấy rõ những khó khăn và hạn chế trong từng cách tiếp cận. Thông qua đó dần dần hình thành cho học sinh những năng lực phát hiện vấn đề thông qua dữ kiện của bài toán. 9 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý. Xin chân thành cảm ơn. 2. Kiến nghị và đề xuất: - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hoạt động trao đổi chuyên môn dưới dạng các hoạt động theo chuyên đề, nhằm từng bước nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ cho thầy cô giáo và trình độ nhận thức cho các em học sinh. - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề. - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. Xin chân thành cám ơn! Nho Quan, ngày... tháng 4 năm 2019 Xác nhận của nhà trường Các tác giả Phạm Thành Trung Bùi Việt Hùng Lê Hoàng Thi Sỹ 10 PHỤ LỤC SÁNG KIẾN Phần I. MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN: Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn tập tại nhà trường. Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn. Nội dung sáng kiến được chia thành nhiều phần theo trình tự các kiến thức mà học sinh được tiếp nhận từ các tiết học trên lớp. Mỗi mảng kiến thức liên quan đều được trình bày khoa học với hệ thống ví dụ được phân thành các mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao để thích hợp cho các đối tượng học sinh khác nhau ở trường THPT Nho Quan B. Các chuyên đề nhỏ đều được tóm tắt lại các kiến thức cơ sở, các công thức thường sử dụng và có các ví dụ minh họa cho từng dạng cụ thể. Trong mỗi ví dụ ngoài lời giải các tác giả còn đưa thêm các hướng suy luận và mô tả con đường để dẫn đến lời giải một cách tự nhiên nhất. Sáng kiến ngoài là nguồn tài liệu cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy còn là tư liệu để các em học sinh tự học một cách tốt nhất. Các em học sinh có thể đọc lời giải và các hướng dẫn suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày trong sáng kiến. Phần II. XÂY DỰNG CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM DỰA TRÊN NỘI DUNG KIẾN THỨC PHẦN TÍCH PHÂN LỚP 12” 1. Hệ thống kiến thức được xây dựng về Tích phân: STT Nội dung Các kiến thức trọng tâm Công thức tính tích phân: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  a; b và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên  a; b . Khi đó: 1 Định nghĩa tích phân b  f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a) a Chú ý: a  b f ( x)dx = 0 ;  a a 11 a f ( x)dx = −  f ( x)dx b b  a b f ( x)dx =  f (t )dt a b b a a +  kf ( x)dx = k  f ( x)dx ( k là hằng số). + + 2 Tính chất của tích phân b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx =  f ( x)dx   g( x)dx b c b a a c  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx với a  c  b . + Nếu f ( x)  0, x   a; b thì b  f ( x)dx  0 a Chú ý: Nếu f ( x)  g ( x), x   a; b thì b b a a  f ( x)dx   g ( x)dx b +  f '( x)dx = f (b) − f (a) . a 1. Dạng 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [a; b] . Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục trên  ;   sao cho a =  ( ); b =  (  ) và a   (t )  b với t   ;   . Khi đó: b  a  f ( x)dx =  f ( (t )). '(t )dt .  2. Dạng 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  a; b . 3 Phương pháp đổi biến số b Để tính  f ( x)dx ta chọn hàm số u = u ( x) làm a biến số mới, trong đó trên  a; b , u ( x ) có đạo hàm liên tục và u ( x)   ;   . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x)).u '( x) với x   a; b và g (u ) liên tục trên  ;   . Khi đó ta có: u (b ) b  a 12 f ( x)dx =  u (a) g (u )du . Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b thì: 4 Phương pháp tích phân b b  u( x)v '( x)dx = (u( x)v( x)) a −  u '( x)v( x)dx b từng phần a a b b  udv = uv a −  vdu b hay a a 2. Các dạng toán tương ứng với nội dung kiến thức trong chương trình: Chú ý: Trong nội dung của sáng kiến, nhóm tác giả không đi sâu vào việc tính tích phân của một hàm số đã xác định công thức cụ thể mà chỉ đi khai thác trực tiếp các tính chất được trình bày trong SGK, đưa vào các ví dụ áp dụng trực tiếp các nội dung kiến thức đã học và mở rộng các bài toán trên cơ sở lý thuyết của bài kết hợp với các tính chất về đạo hàm và nguyên hàm mà học sinh đã được học. 2.1. Các bài toán về định nghĩa tích phân: a. Công thức tính tích phân: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  a; b và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên b  a; b . Khi đó:  f ( x)dx = F ( x) ba = F (b) − F (a) a Từ công thức trên ta thấy có ba đại lượng liên quan đến nhau đó là b  f ( x)dx; F (b); F (a) . Rõ ràng ta thấy nếu biết được hai trong ba đại lượng thì ta có thể xác a định được đại lượng còn lại một cách đơn giản dựa trực tiếp vào công thức. b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên 1;3 và có một nguyên hàm là F ( x ) thỏa mãn 3 F (3) = −2; F (1) = 3 . Khi đó giá trị của  f ( x)dx là: 1 A. −5 B. 1 C. −1 D. 5 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. 3 Hiển nhiên theo công thức tính tích phân ta có:  f ( x)dx = F (3) − F (1) = −5 1 13 Vậy đáp án đúng là A. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  −1; 2 và có một nguyên hàm là F ( x ) . Biết 2  f ( x)dx = 2 và F (2) = 3 . Tính F (−1) . −1 B. −1 A. 1 C. 5 D. 3 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. Hiển nhiên theo công thức tính tích phân ta có: 2 = 3 − F (−1)  F (−1) = 1 Vậy đáp án đúng là A. 2.2. Các bài toán về tính chất của tích phân: a. Các tính chất cơ bản của tích phân: b b a a +  kf ( x)dx = k  f ( x)dx ( k là hằng số). + b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx =  f ( x)dx   g( x)dx b +  a c b a c f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx với a  c  b . + Nếu f ( x)  0, x   a; b thì b  f ( x)dx  0 a Chú ý: Nếu f ( x)  g ( x), x   a; b thì b  a b +  f '( x)dx = f (b) − f (a) . a b. Các bài toán khai thác các tính chất: b1. Sử dụng các phép toán về tích phân: b b a a +  kf ( x)dx = k  f ( x)dx ( k là hằng số). + b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx =  f ( x)dx   g( x)dx 14 b f ( x)dx   g ( x)dx a Với hai phép toán trên ta có dấu hiệu để nhận biết : Cận số trong các tích phân không thay đổi và bài toán chỉ liên quan đến các hàm số đã cho và các phép toán giữa chúng. y = f ( x); y = g ( x) Ví dụ 1: Cho hàm số 3 3 3 1 1 1 liên tục trên 1;3 và thỏa mãn  f ( x)dx = 10;  [2 f ( x) − 3g ( x)]dx = 4 . Tính   f ( x) − 2 g ( x) dx . A. − 2 3 C. − B. 1 1 3 D. 5 3 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. 3 3 3 3 1 1 1 1 Ta có  [2 f ( x) − 3g ( x)]dx = 4  2 f ( x)dx − 3 g ( x)dx = 4 . Do đó  g ( x)dx = Vậy 3 3 3 1 1 1   f ( x) − 2g ( x) dx =  f ( x)dx − 2 g ( x)dx = 10 − Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x); y = g ( x) 32 2 =− 3 3 liên tục trên 4 4 4 1 1 1 16 3 1; 4 và thỏa mãn  [2 f ( x) + 3g ( x)]dx = 7;  [5f ( x) − 2 g ( x)]dx = 8 . Tính  3 f ( x) − g ( x) dx . A. 5 C. −1 B. 1 D. 3 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. 4 4 1 1 2a + 3b = 7 a = 2  5a − 2b = 8 b = 1 Đặt a =  f ( x)dx; b =  g ( x)dx ta có hệ:  4  3 f ( x) − g ( x) dx = 3a − b = 5 . Khi đó 1 b2. Sử dụng công thức tách cận tích phân: b +  a c b a c f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx với a  c  b . Với công thức trên ta thấy dấu hiệu thường sử dụng là cận tích phân có thể thay đổi nhưng hàm số dưới dấu tích phân là không đổi. 15 Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  −1;3 và thỏa mãn 1  −1 3 f ( x)dx = 10;  f ( x)dx = 4 . −1 3 Tính  f ( x)dx . 1 A. −6 B. −2 C. 6 D. 2 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. 3 Ta có  −1 Ví dụ 1 3 3 −1 1 1 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx  4 = 10 +  f ( x)dx . Do đó 2: Cho hàm y = f ( x) số liên 0 2 4 4 −1 −1 −1 0 tục 3  f ( x)dx = −6 1  −1; 4 trên và thỏa mãn  f ( x)dx = 10;  f ( x)dx = 4;  f ( x)dx = 7 . Tính  f ( x)dx . A. −3 B. −1 C. 6 D. 9 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Nhận biết. Ta có 0 2 2 2 −1 0 −1 0  f ( x)dx +  f ( x)dx =  f ( x)dx   f ( x)dx = −6 . Lại có: 4 2 4 4 −1 −1 2 2  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx   f ( x)dx = 3 4 Do đó:  0 2 4 0 2 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = −3 b3. Sử dụng tính chất tích phân của hàm số không âm: + Nếu f ( x)  0, x   a; b thì b  f ( x)dx  0 a Với dạng toán này ta thường gặp các biểu thức tích phân có dấu hiệu khá đặc biệt ví dụ như có các biểu thức chứa dạng  f ( x)  2 ; f ( x) ,  f '( x) 2 ... Do đó ta hướng tới việc nhóm các biểu thức trong dấu tích phân một cách thích hợp để đưa về áp dụng công thức. 16 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn  0;1 . Biết  xf ( x)dx = 1 và 0 1   f ( x)  2 0 A. 1 dx = 3 . Tính tích phân I =   f ( x) 2019 dx . 0 32019 2020 B. 32018 2019 C. 32019 2019 D. 32018 2018 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Vận dụng cao. Nhận xét : Giả thiết chứa  f ( x) và xf ( x ) nên ta cố gắng đi tìm mối liên hệ giữa 2 chúng. Mặt khác với các công thức đã học ta khó có thể tìm được mối liên hệ về đại lượng chứa biểu thức  f ( x) . Do đó điều ta có thể nghĩ đến là dạng bình phương dạng 2  f ( x) − ax 2 . Do có sự xuất hiện của đại lượng xf ( x ) nên ta nghĩ đến việc chọn số a sao 1 cho   f ( x) − ax 2 dx = 0 . 0 1   f ( x) − ax 2 Vì thế ta có biến đổi: 0 1 1 1 0 0 1 dx =  ( f ( x) − 2axf ( x) + a x ) dx = 0 2 2 0    f ( x) dx − 2a  xf ( x)dx + a 2  x 2 dx = 0  3 − 2a + 2 0 2 a2 = 0  a = 3. 3 Từ đó ta có lời giải Lời giải 1 Ta có: 1   f ( x) − 3x dx = 0   2 0 ( f ( x) − 6xf ( x) + 9x )dx 2 2 0 1 1 1 0 0 =   f ( x) dx − 6 xf ( x)dx + 9 x 2 dx  3 − 6 + 3 = 0  f ( x) = 3 x . 2 0 1 1 Khi đó I =   f ( x) dx = 3 2019 2019 0 x 0 2019 32019 dx = . 2020 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn  0;1 . Biết  f ( x)dx = 1 và 0 1 1  xf ( x)dx = 1 ,   f ( x) 2 0 A. 6 − 8ln 2 0 1 dx = 4 . Tính tích phân I =  B. 6 − 4ln 2 0 f ( x) dx . x +1 C. 3 − 4ln 2 17 D. 1 − 2ln 2 Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Vận dụng cao. Nhận xét : Tương tự như bài toán trên nhưng trong bài toán này các giả thiết cho rời rạc. Do đó ta cần phải tìm cách gắn kết các đại lượng với nhau để tìm ra các yếu tố liên hệ trong bài toán. Rõ ràng ta cần phải có mối liên hệ về 3 đại lượng có mặt trong giả thiết của bài toán. Ta thấy để các giả thiết đều được liên hệ với nhau nhờ đẳng thức ( f ( x) + ax + b) 2 khi đó ta thấy trong khai triển của đẳng thức có mặt tất cả các giả thiết trong bài toán. 1 1 1 1 1 0 0 0 Xét  ( f ( x) + ax + b)2 dx =   f ( x) dx + 2a  xf ( x)dx + b  f ( x)dx +  (ax + b) 2 dx , rõ ràng 2 0 0 các tích phân trong vế phải đẳng thức đều có thể tính được do đó ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất tích phân của dạng bình phương. Ta có 1 1 1 1 1 0 0 0 2 2  ( f ( x) + ax + b) dx = 0    f ( x) dx + 2a  xf ( x)dx + 2b f ( x)dx +  (ax + b) dx = 0 . Do đó ta có 2 0 0 1 (ax + b)3 4 + 2(a + b) + = 0  a 2 + (3b + 6)a + 3b 2 + 6b + 12 = 0 . 3a 0 Xét phương trình bậc hai ẩn a ta có  = (3b + 6) 2 − 4(3b 2 + 6b + 12) = −3b 2 + 12b − 12 = −3(b − 2) 2 Để a tồn tại rõ ràng phải có b = 2  a = −6 . Khi đó hàm f ( x) = 6 x − 2 là hàm duy nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Từ đó ta có lời giải Lời giải 1 1 1 1 1 0 0 0 Ta có  ( f ( x) − 6 x + 2)2 dx =   f ( x) dx − 12 xf ( x)dx + 4 f ( x)dx +  (6 x − 2) 2 dx 2 0 0 1 Do đó có:  ( f ( x) − 6 x + 2)2 dx = 0  f ( x) = 6 x − 2 0 1 Vậy I =  0 f ( x) 6x − 2 8   dx =  dx =   6 −  dx = 6 − 8ln 2 x +1 x + 1 x + 1   0 0 1 1 18 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f (1) = 0 , 1 1 1 0  f  ( x ) dx = 7 và 0 x f ( x ) dx = 3 . Tích phân A. 2 2 7 . 5 B. 1 . C. 1  f ( x ) dx bằng 0 7 . 4 D. 4 . Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Vận dụng cao. Nhận xét : Tương tự như bài toán trên ta tìm cách đưa bài toán về dạng tích phân bình phương. Tuy nhiên trong bài toán có xuất hiện các biểu thức dưới dạng tích điều đó cho ta nghĩ đến dạng tích phân từng phần. Từ các hướng suy nghĩ trên ta đi đến lời giải cho bài toán. Lời giải 1 Từ giả thiết:  x 2 f ( x ) dx = 0 1 1   3x 2 f ( x ) dx = 1 . 3 0 1 Tính: I =  3x 2 f ( x ) dx . 0 u = f ( x ) du = f  ( x ) dx  .  2 3 dv = 3x dx v = x Đặt:  Ta có: 1 1 1 1 0 0 0 I =  3x 2 f ( x ) dx = x3 f ( x ) −  x3 . f  ( x ) dx = 1. f (1) − 0. f ( 0 ) −  x3 . f  ( x ) dx = −  x3 . f  ( x ) dx . 1 0 0 1 1 0 0 Mà:  3x 2 f ( x ) dx = 1  1 = −  x3 . f  ( x ) dx 1 1 1 1 0 0 0 0   x3 . f  ( x ) dx = −1  7  x3 . f  ( x ) dx = −7   7 x3 . f  ( x ) dx = −   f  ( x )  dx , 1 (theo giả thiết:   f  ( x ) dx = 7 ). 2 0 1  0 ( ) 1 7 x . f  ( x ) +  f  ( x )  dx = 0   f  ( x ) 7 x3 + f  ( x ) dx = 0 3 2 0 7  7 x3 + f  ( x ) = 0  f  ( x ) = −7 x3  f ( x ) = − x 4 + C . 4 19 2 7 4 7 4 Với f (1) = 0  − .14 + C = 0  C = . 7 4 7 4 Khi đó: f ( x ) = − x 4 + . Vậy: 1  7 7 7  x5  7 f ( x ) dx =   − x 4 + dx = −  − x  = . 4 4 4 5 0 5 0 1 1  0   Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;  . Biết f ( ) = 0 , 2  2   2   f ( x) 2 dx =  và  2  cos x. f ( x)dx = 0 0 A. 2 . B.  2  . 2 2 . Tính tích phân I =  f ( x)dx 0 C. 2 . D. −2 . Hướng dẫn: Đáp án: A. Mức độ: Vận dụng cao. Nhận xét : Tương tự như bài toán trên ta tìm cách đưa bài toán về dạng tích phân bình phương. Tuy nhiên nếu đi trực tiếp như ví dụ 1 và 2 ta thấy chưa được vì giả thiết chứa   f ( x) 2 2 và f ( x ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi  cos x. f ( x)dx 0 để tạo biểu thức f ( x ) bằng cách đặt từng phần làm xuất hiện các đại lượng có liên quan trong giả thiết.  2  u = f ( x) du = f ( x)dx  Xét phép đặt  , khi đó = ( f ( x)sinx ) 02 −  f ( x)sin xdx  2 dv = cos xdx v = sinx 0  2   f ( x)sin xdx = − 0  2 . Đến đây ta được hai biểu thức  f ( x) và f ( x).s inx nên ta tạo bình 2 phương dạng  f ( x) − a sinx  . Ta chọn a sao cho 2  2  2   f ( x) − a sinx  dx = 0   0 2 ( f ( x) − 2a sinx.f ( x) + a sin x )dx = 0 2 2 0 20 2