Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn ứng dụng máy tính casio hỗ trợ nhẩm nghiệm, dự đoán nhân tử giải phương trì...

Tài liệu Skkn ứng dụng máy tính casio hỗ trợ nhẩm nghiệm, dự đoán nhân tử giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

.DOC
36
213
148

Mô tả:

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG  BÁO CÁO SÁNG KIẾN ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả : Nguyễn Thị Quyết Trình độ chuyên môn : Cử nhân SP Toán Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THPT C Nghĩa Hưng Nghĩa Hưng, ngày 25 tháng 5 năm 2016 1. Tên sáng kiến ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THPT 3. Thời gian áp dụng sáng kiến Từ ngày 15 tháng 4 năm 2014 đến 20 tháng 5 năm 2016 4. Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Thị Quyết Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: xóm 8, xã Xuân Châu, Xuân Trường, Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân Sư phạm Toán Chức vụ công tác: GV THPT Nơi làm việc: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Điện thoại: 0974085998 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100% 5. Đồng tác giả: Không có 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT C Nghĩa Hưng, huyện Nghĩa Hưng, tỉnh Nam Định Địa chỉ: Thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, Nam Định Điện thoại: 03503… BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong đề thi THPT QG những năm gần đây thường gặp những phương trình vô tỉ, bất phương trình, hệ phương trình ở mức độ vận dụng cao (câu 8, 9 điểm). Để giải những bài toán này đòi hỏi học sinh vận dụng kết hợp sáng tạo nhiều phương pháp: phân tích nhân tử, phương pháp thế, phương pháp hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp liên hợp, phương pháp đánh giá, … Song, vấn đề ở chỗ lựa chọn phương pháp nào để giải đúng, nhanh gọn chính xác nhất là điều không phải học sinh nào cũng làm được. Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi nhận thấy mặc dù đã cung cấp tương đối đầy đủ các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chính thống, học sinh có thể đã định hình được phương pháp giải nhưng vẫn gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải dẫn đến đáp số cuối cùng: ví dụ như nhẩm được một số nghiệm của phương trình nhưng không biết đã tìm được nghiệm chưa hoặc không biết hàm số có đơn điệu trên khoảng K nào đó hay không, hoặc học sinh biết phương trình này có nghiệm vô tỉ nhưng không biết thêm bớt nhân tử như thế nào để xuất hiện nghiệm…. Vậy làm thế nào để học sinh có cảm nhận bài toán và lựa chọn phương pháp giải hợp lý trong thời gian ngắn nhất là điều khiến tôi luôn băn khoăn trăn trở. Qua quá trình học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệm, qua các chuyên đề tìm hiểu được và quá trình đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi thấy cần cung cấp cho học sinh một số kỹ năng vận dụng sự hỗ trợ của máy tính casio để có thể tìm hướng giải quyết bài phương trình , bất phương trình và hệ, rồi cho học sinh rèn luyện để kiểm chứng những kỹ thuật đã học được. Từ nhu cầu thực tế đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’ II. II.1 MÔ TẢ GIẢI PHÁP MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới: Cấu trúc đề thi THPT QG những năm gần đây, phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thường đòi hỏi ở mức độ vận dụng cao nên các trường, các Sở trong cả nước khi ra đề khảo sát các kỳ cũng thường đòi hỏi mức độ vận dụng kiến thức rất cao ở phần này.Nhằm đáp ứng Trang 1 yêu cầu của kỳ thi THPT Quốc Gia, tôi thường cho học sinh cọ sát với các đề khảo sát thi THPT Quốc Gia của các trường, các Sở trong cả nước nhưng tôi nhận thấy chỉ những học sinh có lực học tốt mới “dám” làm phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhưng tốn rất nhiều thời gian và công sức có khi không tìm ra được hướng giải hoặc chỉ giải quyết được 50% đến 70% bài toán mà không giải quyết triệt để vì vấp phải một số vướng mắc. VD 1. Đề thi giữa kỳ I lớp 12 năm 2015 – 2016 trường THPT C Nghĩa Hưng Giải hệ phương trình:  2 y 3  y  2 x 1  x  3 1  x (1)  2 2 2 ( x, y  Z )  9  4 x  2 x  6 y  7  3 3 Điều kiện: x  1, y   ;   2 2 (1) có x, y độc lập  định hướng hàm số (1)  2 y 3  y  2(1  x ) 1  x  1  x ' 2 Xét hàm số f (t )  2t 3  t ta có f (t )  6t  1  0t  R  hàm f (t ) đồng biến trên R Vậy (1)  y  0 f ( y )  f ( x  1)  y  x  1   2 thế vào 2 ta được  y  1 x 4 x  5  2 x2  6 x 1 Đến đây học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp. Giáo viên hướng dẫn: Phương trình  2 4 x  5  4 x 2  12 x  2  4x  1  2 4 x  5  1  4 x2  8 x  4  ( 4 x  5  1) 2  (2 x  2)2  4 x  5  2 x  3 (vô nghiêm do x  1 )    4x  5  1  2x  x  1 2  y  4 2 Học sinh phản hồi: Làm thế nào để phát hiện đưa phương trình về dạng A2= B2 được? VD2. Đề trường THPT Thủ Đức – TP HCM Trang 2  x  1  x 2  2 x  y  y 2  1 Giải hệ  2  3 x  8 x  7  4 x y  1 (1) (2)  x  0, y  1 Điều kiện:   x  2 (1) có x, y độc lập => định tính sử dụng phương pháp hàm số (1)  x  1  ( x  1) 2  1  y  y 2  1 (*) Xét hàm số f (t )  t  t 2  1 , t  1 Chứng minh được hàm số này đồng biến trên (1;  ) Khi đó phương trình (*)  f ( x  y)  f ( y)  x  1  y Thay vào (2) ta được 3 x 2  8 x  7  4 x x  2 Đến đây học sinh cũng gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp theo. Giáo viên hướng dẫn: Phương trình  2 x  2.2 x  2   2(3x  1)  2(1  x)  x  2  (3x  1)( x  1)  0  (2 x  2  x  1)(2 x  2  3 x  1)  0 2 x  2  x  1   2 x  2  1  3 x Học sinh phản hồi: Làm thế nào để tách được nhân tử đưa về được dạng phương trình tích A.B = 0? VD 3. (Đề sở GD ĐT Bắc Giang) 3 3 2  x  7 y  3 xy ( x  y )  24 y  3 x  27 y  14 (1) Giải hệ :  3 2 (2)  3 x  y  4  x  y 5 y  4 Điều kiện  x  3 Định hướng: Phương trình (1) có thể tách nhân tử đưa về dạng phương trình tích (1)  ( x  y  2) ( x  y ) 2  ( x  y )(2 y  2)  (2 y  2) 2  3  0  y  x2 Trang 3 Học sinh phản hồi: làm thế nào biết phương trình (1) có nhân tử là (y-x+2)? VD 4. Giải phương trình : x 2  x  1  ( x  2) x 2  2 x  2 (1) Định hướng: thêm bớt, tách nhân tử đưa về phương trình tích hoặc sử dụng phương pháp ẩn phụ không triệt để. (1)  x 2  2 x  7  ( x  2) x 2  2 x  2  3 x  6  x 2  2 x  7  ( x  2)( x 2  2 x  2  3) x 2  2 x  7  0    x2 1  x2  2x  2  3  x  1  8   x  1  8   x 2  2 x  2  x  1 ( ptr vô nghiem) x  1  8   x  1  8 Vấn đề ở chỗ: làm thế nào học sinh phát hiện được nhân tử ( x 2  2 x  7 )? Qua một số ví dụ điển hình về những khó khăn học sinh có thể gặp phải trong quá trình giải toán, nhằm giúp học sinh có công cụ mạnh hơn để xử lý tình huống, tôi xin đưa ra một số giải pháp mới nhằm khắc phục nhược điểm của các giải pháp cũ. II.2 MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SÁNG KIẾN 2.11VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT 1 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử bằng máy tính CASIO 2 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức có một căn thức bằng máy tính CASIO 3 Trang bị cho học sinh kỹ năng thêm bớt, tìm và tách nhân tử giải phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng máy tính CASIO 4 Trang bị cho học sinh kỹ năng dự đoán mối quan hệ giữa hai biến trong hệ phương trình bằng máy tính CASIO Học sinh kết hợp tốt các kỹ năng trên cùng với việc vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ sẽ giải quyết được một lớp các bài toán mà học sinh thường gặp khó khăn trước đây. Trang 4 Cách xử lí phương trình và bất phương trình là tương đối giống nhau, vì vậy trong sáng kiến này tôi đi sâu hơn vào các bài toán giải phương trình. Đối với hệ phương trình, theo xu hướng hiện nay thì thường tìm mối quan hệ của biến này theo biến kia từ một phương trình của hệ. Sau đó thế vào phương trình còn lại, từ đây lại gặp bài toán giải phương trình. Do đó việc nắm thật vững các kỹ năng giải phương trình là điều cực kỳ quan trọng, có khi việc giải phương trình trong quá trình giải hệ trước còn khó hơn việc tìm mối quan hệ giữa hai biến của hệ. 2.2 PHẠM VI ÁP DỤNG - Sáng kiến được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10,12 hệ THPT đặc biệt là các em ôn thi THPT Quốc gia xét đại học và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong sáng kiến này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể. Trong sáng kiến này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện. Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những hạn chế cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất.Hướng trình bày của sáng kiến là định tính phương pháp giải, chỉ ra hướng giải nhờ sử dụng máy tính casio, không đi sâu vào lời giải chi tiết. 2.3 ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG GIẢI PHÁP 1) Học sinh nắm được các phương pháp cơ bản giải phương trình, bất phương trình :  Phương pháp biến đổi tương đương, hệ quả: Các dạng cơ bản: hoặc g ( x )  0 * Dạng 1:  f ( x)  0 f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) * Dạng 2:  g  x  0 f  x  g  x   (Không cần đặt điều kiện f  x   0 ) 2  f  x  g  x Trang 5  f ( x )  g ( x )  2 f ( x ) g ( x )  h( x )  f ( x )  g ( x )  h( x )   f ( x )  0 (chuyển về dạng 2)  g ( x)  0  * Dạng 3: * Dạng 4: 3 f ( x)  3 g ( x)  h( x ) 3  f ( x )  g ( x )  33 f ( x)  f ( x ) g ( x ) (3 Thay 3 h( x )  3 g ( x ) )  h( x ) 3 f ( x)  3 g ( x) nhận được phương trình hệ quả  Phương pháp đặt ẩn phụ Đối với một số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy về dạng đơn giản. Tùy theo dạng phương trình có thể đặt một ẩn, nhiều ẩn, quy về phương trình hoặc hệ phương trình. 1. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn a. Một số dạng thường gặp Nếu có f ( x) Nếu có f ( x) , t  g ( x) mà f ( x) f ( x) . g ( x)  a (hằng số) đặt f ( x )  g ( x)  a / t Nếu có t  và f(x) thì đặt t = f ( x)  f ( x)  g ( x) , f ( x) g ( x) , f ( x)  g ( x)  a đặt g ( x) 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 3. Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích Sử dụng đẳng thức u  v  1  uv   u  1  v  1  0 au  bv  ab  vu   u  b  v  a  0 4. Đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình Trang 6 Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ u  n a  f (x) un  vn  a  b n a  f ( x)  n b  f ( x)  c    v  n b  f (x) u  v  c Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : ax  b  c ( dx  e) 2  nx  m Dạng 3: Đưa về hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau : A B C A B  A  B  C A  B   , khi đĩ ta có hệ:   2 A  C   A  B  5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2   uv   v 2  0 (1) bằng cách 2 u  u  Xét v  0 phương trình trở thành:          0 . v  0 thử trực tiếp v  v  Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x   u   v  mu 2  nv 2 Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a. Phương trình dạng : a. A  x   bB  x   c A  x  .B  x  Như vậy phương trình Q  x    P  x  có thể giải bằng phương pháp trên nếu  P  x   A  x  .B  x    Q  x   aA  x   bB  x  b.Phương trình dạng :  u   v  mu 2  nv 2 Trang 7 Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.  Phương pháp trục căn để xuất hiện nhân tử chung 1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích  x  x0  A  x   0 ta có thể giải phương trình A  x   0 hoặc chứng minh A  x   0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A  x   0 vô nghiệm 2. Nhân liên hợp  Phương pháp đánh giá Khi giải phương trình vô tỉ (chẳng hạn f ( x)  g ( x) ) bằng phương pháp đánh giá, thường là để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0. Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý.  f ( x )  g ( x)  Thường ta đánh giá như sau:  f ( x)  C ( C )   g ( x)  C (  C )  f ( x)  g ( x)  C , hoặc đánh giá f ( x)  g ( x) cũng như là f ( x)  g ( x) … Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác. Cũng có một số phương trình vô tỉ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá.  Phương pháp hàm số Một số dạng cơ bản a. Phương trình f ( x)  k . Nếu f ( x) đơn điệu thì phương trình f ( x)  k có nghiệm duy nhất x  x0 (Để tìm được x0 ta nhẩm nghiệm). Trang 8 b. Phương trình f ( x )  g ( x ) . Nếu f ( x) đồng biến và g ( x) nghịch biến thì phương trình f ( x )  g ( x ) có nghiệm duy nhất x  x0 (Để tìm được x0 ta nhẩm nghiệm). c. Phương trình f (u )  f (v ) . Nếu f ( x) đơn điệu thì phương trình f (u )  f (v )  u  v . 2) Học sinh có máy tính Casio 570ES Plus, vnplus.. 3) Học sinh nắm được công dụng của một số phím chức năng của máy tính Phím Calc: tính giá trị biểu thức Ví dụ: cho f ( x)  2 x 2  1  x  4 tính f(2); f(4);... Ta nhập vào máy biểu thức: 2 x 2  1  x  4 ấn CALC cho x=2 được 9  6 ấn CALC cho x=4 được 33  2 2 ... Phím Shif+ calc (slove): tìm nghiệm phương trình Phím gán: Shift+STO Ví dụ: muốn gán giá trị 1000 cho A ta ấn: 1000 SHIFT STO A Phím Mode7: - Tìm nghiệm hữu tỉ - Dự đoán khoảng chứa nghiệm vô tỉ - Dự đoán số nghiệm của phương trình - Dự đoán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 2.4 CÁCH THỨC THỰC HIỆN 1. GIẢI PHÁP CHIA ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ NGHUYÊN, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VD1. Giải phương trình x 4  4 x 3  8 x 2  11x  6  0 Hướng dẫn: nhập biểu thức vế trái ALPHA X 4  4 ALPHA X 3  8 ALPHA X 2  11ALPHA X  6 ấn SOLVE (SHIFT CALC) Trang 9 máy hỏi solve for x ta ấn 10 = được nghiệm x = 2 ấn  replay để trở lại phương trình ấn SOLVE cho x=0 được nghiệm x = 1 ấn SOLVE cho x=-10 được nghiệm x = 2 dự đoán nhân tử là : (x-1)(x-2)=x2-3x+2 Ta thực hiện chia để tìm nhân tử còn lại như sau: Nhập x 4  4 x 3  8 x 2  11x  6 x 2  3x  2 Calc cho x=1000 được 999003  x 2 ấn  replay Ta trừ biểu thức cho x2 Calc cho x = 1000 được -997 dự đoán là –x+3  replay Ta cộng biểu thức cho x-3 Calc cho x tuỳ ý đều được 0, chứng tỏ phép chia hết.  x 4  4 x3  8 x 2  11x  6  (x 2  3x  2)(x 2  x  3) Học sinh có thể kiểm chứng kết quả bằng việc biến đổi ngược lại để tìm lời giải. Nhận xét: Học sinh tính được nghiệm hữu tỉ có thể sử dụng lược đồ Hoocne để tách nhân tử...nhưng trong những trường hợp không tìm được nghiệm hữu tỉ mà dự đoán được nhân tử bậc cao thì việc chia như trên tỏ ra hiệu quả rõ ràng. Ta xét VD2 VD2. Giải phương trình: x 4  3x 3  x 2  2  0 Nhập biểu thức vế trái Ấn SOLVE nhập x = 10 được nghiệm x  0, 73205... Ấn , = để lưu phương trình ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A) Trở lại phương trình ấn SOLVE nhập x = 0 Được x  2, 73205. .. ấn AlphaX Shift STO B gán vào B Trang 10 Ta thử : AlphaA+ AlphaB=-2 AlphaA.AlphaB=-2 Suy ra A, B là nghiệm của phương trình x 2  2 x  2  Nhân tử là x 2  2 x  2 Nhập x 4  3x 2  x 2  2 x2  2x  2 Thực hiện phép chia tương tự như ví dụ 1 ta được x 4  3 x3  x 2  2  ( x 2  2 x  2)( x 2  x  1) Nhận xét: Đối với phương trình bậc cao, nếu tìm được nghiệm vô tỉ có tổng, tích hữu tỉ thì có thể dự đoán được nhân tử nhờ định lý Viet rồi thực hiện phép chia đa thức như trên, sau đó nhân ngược trở lại sẽ tìm được hướng giải. Có thể áp dụng kỹ năng trên để giải phương trình chứa căn bằng phương pháp luỹ thừa đưa về phương trình bậc cao. Ví dụ 3: Giải phương trình : (1  x) 2 x  3  2 x 2  3  0 (1) Đặt 2 x  3  t, t  0  x  t 2 1 2 Thế vào phương trình (1) ta được: t 4  t 3  6t 2  5t  3  0 Nhập vế trái ấn SOLVE cho x=10 được x  2.30277 Ấn , = để lưu phương trình ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A) Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = 0 được x  0, 4142.. .. gán vào B Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = -10 được x  -2.4142... gán vào C Thử AlphaC+ AlphaB=-2 AlphaC.AlphaB=-1 Trang 11 Suy ra B, C là nghiệm của phương trình t 2  2t  1  Nhân tử là t 2  2t  1 Ta nhập t 4  t 3  6t 2  5t  3 t 2  2t  1 Calc cho x=1000 được 998997  x 2 ấn  replay Ta trừ biểu thức cho x2 Calc cho x = 1000 được -1003 dự đoán là –x-3  replay Ta cộng biểu thức cho x+3 Calc cho x tuỳ ý đều được 0, chứng tỏ phép chia hết. Suy ra t 4  t 3  6t 2  5t  3  (t 2  2t  1)(t 2  t  3) Từ đây bài toán được giải quyết dễ dàng. Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 x 2  2 x  (5 x  6) x  1  0 Đk: x  1 Đặt x 1  t ,t  0  x  t2 1 Phương trình trở thành: 2t 4  5t 3  2t 2  t  0 Sử dụng phím SOLVE ta dễ dàng tìm được hai nghiệm là : 0, -1  nhân tử là t(t+1) Sử dụng giải pháp chia đa thức như VD 1 ta dễ dàng tìm được nhân tử còn lại là 2t 2  3t  1 Vậy: 2t 4  5t 3  2t 2  t  t (t  1)(2t 2  3t  1) Đến đây học sinh có thể dễ dàng tìm lời giải. Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) 2 x  1  x 2  3 x  1  0 ( khối D-2006) Trang 12 2) 3 x 2  3x  2  ( x 2  x  2) x  1  0 3) 4 x 2  8 x  2 x  3  1 ( chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An 2012) 4) x 3  x 2  ( x 2  1) x  1  1 5) x 3  x 2  x  5  ( x  4) x  2 6) x 3  x 2  ( x 2  1) x  1  1 2. GIẢI PHÁP CHIA ĐA THỨC CÓ MỘT CĂN THỨC x2  6 x  3  4x 2 x 1 VD1. Chia 3 2x 1  x Bước 1: nhập biểu thức Bước 2: Calc cho x = 2 (chọn giá trị của x đảm bảo cho 2 x  1 vô tỉ),ấn = Được 2  3 ấn  replay rồi trừ biểu thức cho 2 x  1 (chú ý: 3  2.2  1 ) Bước 3: Calc cho x = 1000 được -1000 ấn  replay Cộng biểu thức với x Bước 4: Calc cho x = 1000; 99; 8; 55…( tuỳ ý) đều được 0,vậy phép chia hết.  x2  6x  3  4 x 2x  1  2x 1  x 3 2x 1  x Có thể kiểm chứng kết quả bằng cách khai triển ngược lại (3 2 x  1  x).( 2 x  1  x) từ đó tìm được lời giải bài toán. VD2. Chia (3 x 2  3 x  2)  ( x 2  x  2) x  1 A x x 1  2x  2 Bước 1. Nhập biểu thức A Bước 2: Calc cho x = 1 được 2 dự đoán là ấn  replay rồi trừ biểu thức cho x 1 x 1 Bước 3: Calc cho x = 1000 được 999 dự đoán là x-1 ấn  replay rồi trừ biểu thức cho x – 1 Trang 13 Bước 4: Calc cho x tuỳ ý đều được 0, vậy phép chia hết.  A  x  1  x 1 Nhận xét: Phép chia đa thức có căn thức được dùng để định hướng thêm bớt hạng tử làm xuất hiện biểu thức chứa căn chứa nghiệm vô tỉ của phương trình vô tỉ. Việc tìm biểu thức chưa căn chứa nghiệm vô tỉ của phương trình vô tỉ chúng ta sẽ nghiên cứu ở phần sau. 3. GIẢI PHÁP THÊM BỚT TÌM NHÂN TỬ GIẢI PT, BPT VÔ TỈ BẰNG MÁY CASIO 3.1 Trường hợp tìm được hai nghiệm hữu tỉ đơn VD1: Giải phương trình: . 3x  1  5 x  4  (3 x 2  x  3)  0 Bước 1: Nhập biểu thức vế trái Bước 2: ấn Shift calc (solve) cho x=10 ta được nghiệm 1 Bước 3: ấn Shift calc (solve) cho x=0 ta được nghiệm 0 Nhân tử là x(x-1) Phân tích: Để làm xuất hiện nhân tử x 2  x thì mỗi biểu thức chứa căn thường phải thêm bớt nhị thức bậc nhất Giả sử phương trình 3x  1  ax  b  0  x  0 b  1  0  b  1      Có hai nghiệm:  x  1  a  a  2  a  1  Tương tự : 3x  1  x  1 5x  4  x  2 Khi đó ta có lời giải như sau:   x  Điều kiện pt:  x   1 3 ۳ x 4 5 1 3 Trang 14 (1)   3x  1  x  1  5 x  4  x  2  3x 2  3x  x2  x 1   3( x 2  x) 3x  1  x  1 5x  4  x  2   x  0 (tm)    x  1 (tm)  1 1    3 (*) 5x  4  x  2  3x  1  x  1 Do điều kiện x  1  x  1  0    VT ptr (*)  0 3 x  2  0  pt (*) vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   0,1 Nhận xét: Đối với phương trình vô tỉ tìm được hai nghiệm hữu tỉ thì bằng cách làm tương tự như ví dụ trên có thể tìm được các hạng tử cần thêm bớt rồi sử dụng phương pháp liên hợp sẽ làm xuất hiện nhân tử. Việc sử dụng máy tính để tìm nghiệm cũng tiết kiệm được rất nhiều thời gian và công sức giải toán. Bài tập tự luyện : Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 2 x 2  x  3  x 2  x  21x  17 2) 2 x 2  4 x  9  5 x  6  7 x  11  0 3) 2 x  3  2( x  1) x  7  4 x 2  13x  13 4) 5 x 3  22 x 2  22 x  6  4 x  3  0 5) 2 x 2  3 x  2  x 3x  2 6) 3x 2  4 x  3  4 x 4 x  3 3.2 Trường hợp tìm được hai nghiệm vô tỉ đơn có tổng, tích hữu tỉ Ví dụ 1: ta xét ví dụ 4 phần II.1 Giải phương trình: x 2  x  1  ( x  2) x 2  2 x  2 (1) Trang 15 Hướng dẫn: Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ là: 3,8284... và -1,8284... ta gán lần lượt cho A , B . Thử được: A B  2 Suy ra A, B là nghiệm của phương trình x 2  2 x  7  AB   7  Vậy phương trình có thể tách được nhân tử là: x 2  2 x  7 Từ đó ta có lời giải như VD 4 phần II.1 Chú ý: Phương trình này có thể bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 rồi thực hiện phép chia đa thức như giới thiệu ở trên. Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2  3 x  x x 2  2  1  2 x 2  2 (1) Hướng dẫn: Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ , ta gán lần lượt cho A,B. A B  0 Thử được   AB  7 Suy ra A, B là nghiệm của phương trình : x2  7 Vậy phương trình có thể tách được nhân tử là x 2  7 Từ đó ta có lời giải:  x 2  7  ( x  2)( x 2  2  3)  0 x 2  7  0 (a ) (1)    x2 1  x 2  2  3 (b)  (a)  x   7 (b)  x  1  x  1  1 ( hệ vô nghiệm) 2 x  2  x 1   2  x  4 2  x  2  x  4x 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   7, 7  Bài tập tương tự: Trang 16
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng