Mô tả:
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản
của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương
trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường
có trong các đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ. Chính vì vậy việc đi sâu nghiên
cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương
trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh các
kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương trình.
Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương
trình.
II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1/ Cơ sở lý luận
Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT.
Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư
duy. Hàm số có ứng dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà
một trong các ứng dụng đó là việc giải và biện luận phương trình, bất phương
trình.
Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa
thông qua khái niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong
việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn. Một
mặt nó tác dụng củng cố thêm các kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến
thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài toán về phương trình và bất
phương trình.
2/ Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh
rất lúng túng trong việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về
hàm số một phần do kiến thức về phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và
muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của hàm số cũng chưa được coi trọng
đúng mức. Trong một số bài toán về phương trình, bất phương trình nếu dùng
1
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có thể không
giải được trong khi đó nếu sử dụng phương pháp hàm số thì cách giải trở nên
rất đơn giản.
3/ Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai
thác những kiến thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình mà
các em đã được học nhằm giúp các em nắm được kiến thức cơ bản một cách
chắc chắn, sâu sắc từ đó các em có thể vận dụng được linh hoạt vào giải quyết
các bài toán về giải, biện luận phương trình hay bất phương trình.
Giải pháp và tổ chức thực hiện là:
- Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập)
- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi nghiên
cứu chuyên đề.
- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong chuyên đề để có
hướng vận dụng chuyên đề cho các khóa học sinh tiếp theo.
4/ Nội dung của chuyên đề:
4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương
trình:
a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình
* Kiến thức cơ bản
Định nghĩa:
Giả sử K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng và f là hàm số
xác định trên K
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:
x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) < f(x2)
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến:
ĐL1: Cho hàm số
y f x
xác định trên
2
( a; b)
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Nếu
f ' x 0
x ( a; b)
thì hàm số đồng biến trên
Nếu
f ' x 0
x ( a; b )
thì hàm số nghịch biến trên
Chú ý:
f ' x 0
( a; b)
biến) trên
U x
khi đó hàm số
và V x là hàm số Đồng biến (Nghịch biến)
y U x V x
U x
và V x là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
và U x 0 ; V x 0 với
x ( a; b )
là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
ĐL4: Nếu
U x 0
U x
với
ĐL5: Hàm số
khi đó hàm số
y U x V x
đó hàm số
cũng
( a; b)
là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
x ( a; b) khi
Đồng biến) trên
y f g x
cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch
( a; b)
ĐL3: Gỉa sử
( a; b )
( a; b)
x ( a; b)
ĐL2: Giả sử các hàm số
trên
( a; b)
1
U x
( a; b )
và
là hàm số Nghịch biến (hoặc
( a; b)
y f u
Đồng biến, hàm số
u g x
Đồng biến thì hàm số hợp
Đồng biến
- Các hướng khai thác.
+ Đưa phương trình về dạng f x g x . Trong đó f x là hàm số đồng
biến g x là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại. Khi đó nếu x = x0 thỏa mãn
f x0 g x 0 thì x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng f x A Trong đó f x là hàm số đơn
điệu. Nếu tồn tại x = x0 sao cho f x0 A thì x = x0 là nghiệm duy nhất của
phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng f u g v với
f t
u U x ; v V x
là hàm số đơn điệu thì phương trình tương đương với
U x V x .
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình
5 x 2 x 3 0
Bài giải: phương trình đã cho tương đương với 5 x 2 3 x
3
trong đó
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Ta thấy hàm số f x 5 x 2 là hàm số đồng biến vì
f ' x 0
f ' x 5 x 2 ln 5
với x R .
Hàm số g x 3
và f 2 g 2
x
là hàm số nghịch biến trên R.
x 2 là
nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2 : Giải phương trình
x
x
2
2x
3
(1)
2 3 1
Bài giải:
(1)
x
1
x
x
3
1
1
2
2
x
Ta thấy hàm số
x
3
1
là
f x
2
2
của hai hàm số nghịch biến) và f 2 1
x 2
hàm số nghịch biến ( Tổng
là nghiệm duy nhất của phương
trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình
2 x 1 2 x
2
x
x 1
2
(Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001)
Bài giải:
x 2 x u
Thì
x 1 v
u v x 1
2
Phương trình đã cho tương đương với :
2 v 2 u u v
u 2 u v 2 v
Hàm số tương ứng ở hai vế là:
f t t 2 t
có
Nên
f t
(*)
f ' t 1 2 t ln 2 0
u v
đồng biến, do đó (*)
x 2 x x 1 x 1 .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 x 5 x 6 x 2
(Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001)
4
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Bài giải: viết phương trình về dạng : 3 x 5 x 6 x 2 0
f x 3 x 5 x 6 x 2
Xét hàm số
(1)
f ' x 3 x ln 3 55 ln 5 6
f ' x
là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một
hằng số không đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:
f ' 0 ln 3 ln 5 6 0
f ' 1 3 ln 3 5 ln 5 6 0
f ' x 0
có nghiệm duy nhất x và đổi dấu từ âm sang dương.
Ta có bảng biến thiên.
x
f ' x
-
0
+
f x
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số
y f x
cắt trục hoành tối đa
2 lần phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm.
Ta thấy f 0 0; f 1 0 Do đó phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm
x 0
hoặc x 1 .
Ví dụ 5: Giải phương trình:
x log x t
log 2 1 x log 3 x
Bài giải: Đặt
log 2 1
3
khi đó phương trình đã cho tương
ứng với:
1 x 2t
t
x 3
5
1 3t 2 t
t
1 3 2 2 t
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Từ ví dụ 1 suy ra t 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
x 9 .
log 3 x 2
Ví dụ 6: Giải phương trình
x
3
2
2
3
x
(1)
2 x
Bài giải: Chia hai vế phương trình cho 2 x ta được:
(1)
Ta thấy
x
2 3
2
0
2 3 2
x
2 3
1
2
(2)
2 3
1
2
Nên vế trái của phương trình (2) là hàm số nghịch biến ( vì là tổng của
2 hàm số nghịch biến) và x 2 thỏa mãn phương trình (2) do đó x 2 là
nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 7: Giải phương trình
log 2
2 3
x
2
2 x 2 log 2
Đặt
log
log 84
84 3
3
a 7 4 3 1
x
x
2
2
2 x 2 log
7 4 3
2 x 2 log 7 4
3
x
2x 3
(1)
x
2
2
2x 3
2x 3
(2)
t a y
thì (2)
t 1 a 1 y
Đặt
log a t y
hay
a y 1 a 1
a
1
1
a 1
a 1
y
y
0
2
; t x 2 2 x 3 khi đó phương trình trở thành:
log a 1 t 1 log a t
Ta thấy
x
x 1
x 3
Bài giải: Tập xác định: x 2 2 x 3 0
(1)
3
y
(3)
a
1
1 ; 0
1
a 1
a 1
Vế trái của (3) là tổng của 2 hàm số nghịch biến.
phương trình (3)
y 1
y 1
thỏa mãn
là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
6
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Với
y 1
t a
log a t 1
x 2 2 x 3 7 4 3
x 2 2 x 10 4 3 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
x 1 11 4 3
x 1 11 4 3
.
b. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình
Các hướng khai thác
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng f x f a (1) (hoặc f x f a )
trong đó f x là hàm số đơn điệu từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình.
Nếu f x là hàm số đồng biến thì (1) x a
f x
là hàm số nghịch biến thì (1) x a .
- Đưa bất phương trình về dạng f x g x và nhẩm được f a g a khi
đó đưa vào tính đơn điệu của các hàm số f x và g x thì có thể suy ra được
nghiệm của bất phương trình.
- Đưa bất phương trình về dạng f x A (hoặc f x A ). Dựa vào việc
khảo sát hàm số f x ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình.
Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải
thông qua bước đặt ẩn phụ.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
(1)
21 x 2 x 1
Bài giải: bất phương trình (1) 21 x 2 x 1 0
Xét hàm số
y f x 21 x 2 x 1
có tập xác định R
f ' x 21 x ln 2 2 0
x R
Nên hàm số f x nghịch biến trên R.
Ta thấy
f x
f 1 0
nên (1)
f x f 1
là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là x 1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
log 2
Bài giải:
Đặt
x 2 5 x 5 1 log 3 x 2 7 5 x 2
t 0
x 2 5 x 5 t
7
(1)
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Bất phương trình (1) log 2 t 1 log 3 t 2 2 2
f 't
f t
f t log 2 t 1 log 3 t 2 2 trên 0;
Xét hàm số
Nên
(2)
1
2t
2
0
t 1 ln 2 t 2 ln 3
với
t 0;
đồng biến trên 0;
Ta lại có f 1 2 nên bất phương trình (2)
f t f 1
0 t 1
0 x 2 5 x 5 1
x 2 5x 5 0
2
x 5x 4 0
5 5
1 x
2
5 5
x 4
2
5 5
x
2
5 5
x 2
1 x 4
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
2
x 2
Bài giải: Tập xác định:
Đặt
u 4 x x 2 2
(1)
4 x x 2 2 0
log 2 4 x x 2 2 2
(1)
. log 2 4 x x 2 2 1
u ' 4 2 x 0
2
2 x 2 2
(2)
x 2
x 2
Ta có bảng biến thiên:
x
2
2
u'
u
2
+ 0
2
0
8
0
1
log 2 u
2 2
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Qua bảng biến thiên ta có
log 2 4 x x 2 2 1
Mặt khác:
2
x 2
x 2 0
Nên
log 2 4 x x 2 2 2
do đó bất phương trình (2)
x 2
2 0 1
log 2 4 x x 2 2 1 2
x 2
x 2
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
2 x
Bài giải:
Xét hàm số
x 1 4
Tập xác định
f x 2 x
f ' x
3
x 1
Ta có
x 1
f 4 4
3
1
1
2 x 1 x
x 2 x 1
x x 1
f ' x 0
x
2 x 1 x
4
1
x
4
3
4
3
f ' x
-
0
+
+
2
f x
4
3
3
Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
x 9 2 x 4 5
Bài giải:
Xét hàm số
f x x 9 2x 4
f ' x
có tập xác định: x 2
1
1
0
2 x 9
2x 4
Hàm số đồng biến trên
2;
Ta thấy f 0 5 Vậy
Khi
2 x 0
thì f x f 0 5
bất phương trình vô nghiệm
Khi
x 0
thì f x f 0 5
x 0 là nghiệm.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
9
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1.
3 x 4 x 5 x
2.
lg x 2 x 6 x lg x 2 4
3.
log 2 x 3log6 x log 6 x
4.
log 2 2 x 1 log 3 4 x 2 2
5.
5 x
5 x 0
2 x 3x 1
lg
4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm
của phương trình và bất phương trình.
a. Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của một phương trình.
ĐL: Nếu hàm số
y f x
liên tục trên a; b và f a f b 0 thì x0 a; b
sao cho f x0 0 .
Ví dụ 1: Biết rằng
(1)
2a 3b 6c 0
f x ax 2 bx c
Chứng minh
có nghiệm trong 0;1
Bài giải: Cách 1
Ta thấy f x liên tục trên R.
1
1
1
Mặt khác f 0 4 f 2 f 1 c 4 a 2 b c 4 a b c 2a 3b 6c 0
Suy ra tồn tại 2 trong 3 số
1
2
f 0 , f
và
f 1
là trái dấu nhau trong bất
kì trường hợp nào thì f x cũng có nghiệm trong 0;1
Cách 2:
Ta có
2
2
4
f 0 . f c a b c
3
9
3
2
9
c 2a 3b c
9
2
2
9
c2
c 6c c
9
2
3
* c 0 thì (1)
2a 3b 0
10
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
a 0
phương trình f x 0 có nghiệm
b 0
x R
2
3
phương trình có nghiệm x 0;1
a 0
*
c2
2
0
c 0 f 0. f
3
3
f x
Hay f x có nghiệm
có nghiệm
2
x 0;
3
x 0;1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình:
x 5 2 x 3 x 2 x 1 0
Bài giải: Viết phương trình về dạng
Xét hàm số
x
2
có nghiệm duy nhất.
1 x 3 x 1 0 x 3 x 1 0
f x x 3 x 1
f ' x 3 x 2 1 0 x
hàm số
f x
đồng biến trên
R
f x
liên tục trên R.
f 0 . f 1 1 0
Suy ra phương trinhg f x chỉ có 1 nghiệm
đã cho có nghiệm duy nhất
x0 0;1
hay phương trình
x0 0;1 .
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
1. Biết rằng 4a 3b 3c 0 chứng minh f x ax 2 bx c 0 có nghiệm
x0 0;2
2. Chứng minh rằng với mọi m thi phương trình: x 3 mx 2 1 0 luôn có
nghiệm dương. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
3. Chứng minh rằng phương trình: 64 x 6 96 x 4 36 x 2 3 0 có nghiệm
mãn điều kiện
x0
thỏa
2 2 3
2 2 2
x0
2
2
b. Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số
a; b thì
c a; b
sao cho
y f x
f 'c
liên tục trên a; b và có đạo hàm trên
f b f a
b a
11
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng: 2a 3b 6c 0
ax
Bài giải: Xét hàm số: F x
3
3
đó
F x
bx 2
cx
2
F ' x f x
là hàm số có
khi
liên tục trên 0;1 và có dạo hàm trên 0;1
x0 0;1
Theo định lí Lagrăng thì
Hay
có nghiệm trong 0;1
f x ax 2 bx c
Chứng minh
sao cho: F ' x0
F 1 F 0
1 0
a b
2a 6b 6c
0
sao cho f x0 3 2 c
6
x0 0;1
Vậy phương trình f x 0 có nghiệm
x 0;1 .
Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình e x 1 x thỏa mãn với x R .
Bài giải: + x 0 thỏa mãn bất phương trình.
+ x 0 Xét hàm số f t e t trên 0; x
Hàm số liên tục trên 0; x và có đạo hàm trên 0; x . Theo định lí
Lagrăng ta có
hay
nên
c 0; x
c 0; x
sao cho f ' c
sao cho
ec
ex 1
x
c 0; x
c 0 e c e 0 1
ex 1
1 e x 1 x
x
+ x 0 Khi đó hàm số
f t
liên tục trên x;0 và có đạo hàm trên
x;0 . Theo định lí Lagrăng ta có:
hay
f x f 0
x 0
c x;0
c 0 e c 1
c x;0
sao cho f ' c
f 0 f x
0 x
1 f x
x
sao cho e c
nên
1 f x
1 1 f x x
x
(vì x 0 ) e x 1 x
Vậy bất phương trình đã cho thỏa mãn với x R .
Giới thiệu một số bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng nếu phương trình:
a0 x n a1 x n 1 ... a n 1 x 0
có nghiệm dương x1 thì phương trình:
na0 x n 1 n 1 a1 x n 2 ... a n 1 0
cũng có nghiệm dương
12
x2 x1
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
2. Chứng minh phương trình: a cos 4 x b cos 3x c cos 2 x d cos x 0 luôn có
nghiệm trong khoảng 0; với mọi
3. Chứng minh:
a; b; c; d
.
x 4 px 3 q 0 x R 256q 27 p 4
c. Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm trong việc biện luận sự
tồn tại nghiệm của phương trình hay bất phương trình.
* Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
Phương trình f x m có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi m thuộc
miền giá trị của hàm số
y f x
trên D.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
3 x 6 x
Bài giải:
t'
Đặt
2
x 3;6
Với
t 3 x 6 x
6 x 3 x
0
3 x 6 x
(1) Có nghiêm.
3 x 6 x m
6 x 3 x
thì
x
3
2
Ta có bảng biến thiên:
x
3
3
+
t'
6
2
-
0
3 2
t
3
Do đó
t 3;3 2
3 x 6 x t
2
Khi đó phương trình (1) trở thành:
3
9
2
t
t2 9
t2
9
m t m
2
2
2
phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm
xét hàm số:
y
t 3;3 2
t2
9
t
2
2
y ' t 1 0
t
y'
(2)
+
1
0
t 1
ta có bảng biến thiên:
3
-
3
-
-
3
y
3 2
13
2
9
2
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị của hàm số y là:
phương trình đã cho có nghiệm khi
nên
9
m 3 2 ;3 .
2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: cos 2 x cos x sin 2 x m 0
Bài giải:
9
3 2 ;3
2
(1) có nghiệm.
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
3 cos 2 x cos x 2 m
Đặt: cos x t
1 t 1 phương trình trở thành 3t 2 t 2 m (2)
Xét hàm số:
trên
y 3t 2 t 2
y ' 6t 1 0
t
t
1
6
1
-1
1;1
Ta có bảng biến thiên:
1
6
-
y'
0
2
+
0
y
25
12
Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm
khi
t 1;1
25
m 2
12
Hay phương trình (1) có nghiệm khi
25
m 2 .
12
* Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình f x m ( hoặc f x m )
có nghiệm ta tìm miền giá trị của hàm số
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:
Bài giải:
Đặt
mx
y f x
và từ đó có kết luận về m.
x 3 m 1
(1) có nghiệm.
X x 3 x 0;
Phương trình (1) trở thành:
m X 2 2 X 1 m
X 1
X 2 2
(2)
Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình 2 có nghiệm
X 0
14
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
có ít nhất một điểm của đồ thị y
X 1
với X 0 không ở phía
X 2 2
dưới đường thẳng y m .
Xét hàm số y
X 2 2X 2
X 1
y
'
0 X 2 2 X 2 0
có
X 2 2
X 2 22
X
1
-
y'
. Ta có bảng biến thiên:
X 1 3
0
3
0
1
+
+
3
0
-
3 1
4
y
1
2
0
Qua bảng biến thiên suy ra với
m
3 1
4
thì bất phương trình đã cho
có nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho bất phương trình: x 4 4 x 3 mx 0 thỏa mãn với
x 1
Bài giải: bất phương trình đã cho:
x 2 x 2 4 x m 0
x 2 4 x m 0
Xét hàm số f x x 2 4 x m khi x 1
khi x 1
f ' x 2 x 4 0 x 2
Ta có bảng biến thiên:
x
2
1
f ' x
f x
-
0
+
+
m 5
Suy ra bất phương trình f x 0 có nghiệm khi và chỉ khi m 5 0 m 5
Ví dụ 3: Tìm m sao cho mọi
x 2;3
đều là nghiệm của bất phương trình:
1 log 5 x 2 1 log 5 x 2 4 x m 0
(*)
Bài giải: Ta có (*) log5 5 x 2 1 log5 x 2 4 x m
15
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
5 x 1 x 4 x m 0
2
2
x 2;3
4 x 2 4 x 5 m 0
2
x 4 x m 0
là nghiệm của bất phương trình (*)
(1)
(2)
x 2;3
đồng thời
là nghiệm của (1) và (2).
4 x 2 4 x 5 m 0 trên 2;3
2
x 4 x m 0
trên 2;3
Xét hàm số
f ' x 8 x 4 0 x
Thì
1
2
g ' x 2 x 4 0 x 2
Ta có bảng biến thiên:
1
2
x
2
3
f ' x
f x
13 m
x
2
3
2
g ' x
g x
Suy ra
f ( x) 0
và
12 m
g ( x) 0
với
x ( 2;3)
f (2) 0
13 m 0
12 m 13
12 m 0
g (2) 0
Giới thiệu một số bài tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình :
x2 m
2 x 4 0
có nghiệm.
m
2
2) Tìm m để phương trình : log 2 ( x x 2) m log ( x 2 x 2) có nghiệm.
2
3) Tìm m sao cho cos 2 x m cos x 4 0 với mọi x
16
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
d. Sử dụng phương pháp max, min trong việc biện luận sự tồn tại
nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Để áp dụng được phương pháp này chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:
Mệnh đề1: phương trình
f ( x ) m
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
min f ( x) m max f ( x)
D
D
Mệnh đề 2: bất phương trình
f ( x) m
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
f ( x) m
có nghiệm với mọi x D
f ( x) m
có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi:
f ( x) m
có nghiệm với mọi x D
min f ( x) m
D
Mệnh đề 3: bất phương trình
max f ( x) m
D
Mệnh đề 4: bất phương trình
max f ( x ) m
D
Mệnh đề 5: bất phương trình
min f ( x) m .
D
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và a 3 thì phương trình:
(n 1) x n 2 3( n x ) x n 1 a n 2 0
Bài giải: Xét hàm số
vô nghiệm.
y f ( x) (n 1) x n 2 3(n x) x n 1 a n 2
f ( x) (n 1)(n 2) x n ( x 3)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên x n 0 với mọi x nên
y '0
với x 3 và
y '0 với x 3.
Do đó min
y f 3 a n1 3 n 2 0
(vì a 3 )
Suy ra phương trình f x 0 vô nghiệm.
Ví dụ 2: Cho bất phương trình:
Bài giải:
Đặt
t
4
4 x 2 x
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
4 x 2 x x 2
x 2 2x 8
với
0 t 4 x 2 x
t 0 x 4
t 3
17
2 x a 18
2 x 4
1
4 x 2 x 3
2
hoặc x 2
Khi 4 x 2 x
x 1
(1)
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
f t t 2 4t 10
Bất phương trình (1) trở thành:
(2)
Bất phương trình (1) có nghiệm khi bất phương trình (2) có nghiệm
t 0;3
Ta có bảng biến thiên:
t
0
f t
Qua bảng biến thiên :
t 0;3
2
3
10
7
6
min f t 6 và bất phương trình (2) có nghiệm
0;3
khi a 6 . Hay với a 6 thì bất phương trình (1) có nghiệm.
4.3 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận số nghiệm của một
phương trình hay bất phương trình
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.
(1)
x 4 4 x m 4 x 4 4 x m 6
Giải: Đặt
(t 0 )
t 4 x 4 4 x m
Phương trình (1) trở thành t 2 t 6 0
t 2
Xét hàm số
4
t 2
t 3( L)
x 4 4 x m 2 x 4 4 x m 16 x 4 4 x 16 m
f ( x) x 4 4 x 16
f ( x) 4 x 3 4 4( x 3 1) 0 x 1
Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đường thẳng y m với
đồ thị
y f (x ) .Ta
có bảng biến thiên:
x
1
+
f ' ( x)
19
f (x )
Suy ra:
m 19 :
Phương trình vô nghiệm
m 19 :Phương
trình có 1 nghiệm
18
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
m 19 :Phương
trình có 2 nghiệm
Để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m chúng ta
thường đưa phương trình về một trong các dạng sau:
(1):
f ( x ) m
hay
f ( x ) g ( m)
(2): f ( x) kx m
(3): f ( x) m( x
(k là hằng số)
( x0 , y 0 là hằng số)
x0 ) y 0
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị
đường thẳng y m hoặc
hoặc
y kx m
y f (x )
với
y m( x x 0 ) y 0
Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình:
e t m 4 (m 4)e t
Bài giải: Viết phương trình đã cho về dạng:
Khảo sát hàm số
f ( x)
f ( x)
x
x 2 4x 4
1 x
x 2 4x 4
m trong
1 x
đó x e t
trên (0;+∞)
x 0
x 2 2x
0
2
(1 x)
x 2
f ' ( x)
0
+ 0 -
1
2
+ 0 0
4
f (x )
Phương trình e = x (x>0) có nghiệm duy nhất với mỗi giá trị x>0 suy
t
ra:
m<0 : Phương trình có 2 nghiệm
m=0 : Phương trình có 1 nghiệm kép
04 : Phương trình có 1 nghiệm đơn
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị (C) của hàm số :
y f ( x) x 3 x 1
Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình:
x 3 3 x 1 m 0
Bài giải:
19
(1)
Trần Quang Quý THPT Đào Duy Từ
Sáng kiến kinh nghiệm về phương pháp dạy học môn Toán
f ( x) 3 x 2 1 0 x
(1) x 3 x 1 4 x m
(2) Ta có 2 tiếp tuyến:
1 : y 4 x 1
2 : y 4 x 3 với
(C) song song với đường thẳng
y 4 x m
Suy ra:
m 1
m 3
m 1
hoặc m 3 phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.
1 m 3
Phương trình có 1 nghiệm đơn
: Phương trình có 3 nghiệm
Ví dụ 4: Vè đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
x 3 3 x 2 mx m 2 0
Hướng dẫn:
Đưa phương trình về dạng:
x 3 3x 2 4 m( x 1) 2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng có phương trình:
y m( x 1) 2
quay xung quanh điểm A( 1; 2)
Từ đó có kết quả:
m3
: Phương trình có 1 nghiệm đơn x 1
m 3
: Phương trình có nghiệm bội x 1
m3
: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
4.4. Ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phường
trình, bất phương trình.
Ví dụ1:
Giải và biện luận phương trình(ĐH Ngoại Thương 2001)
5x
Bài giải:
2
2 mx 2
52x
2
4 mx m 2
x 2 2mx m
Đặt x 2 2mx 2 u
2 x 2 4mx m 2 v
Phương trình
Xét hàm số
5 u 5 v u v
f (t ) 5 t t
(2)
là hàm số đồng biến ( f (t ) 5 t
(2) u v
20
1)
nên
- Xem thêm -
.DOC 
24 
168 
103 
