Mô tả:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH"
1
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình
toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để
phương trình , bất phương trình có ngiệm thường có trong các đề thi tuyển sinh vào
ĐH,CĐ. Chính vì vậy việc đi sâu nghiên cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện
luận phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm
cho học sinh các kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương
trình. Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1/ Cơ sở lý luận
Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT. Dạy học
theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư duy. Hàm số có ứng
dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà một trong các ứng dụng đó là
việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình.
Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa thông qua khái
niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong việc nghiên cứu phương
trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn. Một mặt nó tác dụng củng cố thêm các
kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài
toán về phương trình và bất phương trình.
2/ Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong
việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về hàm số một phần do kiến thức về
phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của
2
hàm số cũng chưa được coi trọng đúng mức. Trong một số bài toán về phương trình, bất
phương trình nếu dùng các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có
thể không giải được trong khi đó nếu sử dụng phương pháp hàm số thì cách giải trở nên
rất đơn giản.
3/ Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến
thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình mà các em đã được học nhằm
giúp các em nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, sâu sắc từ đó các em có thể
vận dụng được linh hoạt vào giải quyết các bài toán về giải, biện luận phương trình hay
bất phương trình.
Giải pháp và tổ chức thực hiện là:
- Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập)
- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi nghiên cứu chuyên
đề.
- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong chuyên đề để có hướng vận dụng
chuyên đề cho các khóa học sinh tiếp theo.
4/ Nội dung của chuyên đề:
4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương trình:
a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình
* Kiến thức cơ bản
Định nghĩa:
Giả sử K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K
3
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:
x1,x2 K
,x1 < x2 f(x1) < f(x2)
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
x1,x2
K ,x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến:
ĐL1: Cho hàm số
y f x
xác định trên
( a; b)
Nếu
f ' x 0
x ( a; b )
thì hàm số đồng biến trên
Nếu
f ' x 0
x ( a; b)
thì hàm số nghịch biến trên
Chú ý:
f ' x 0
y U x V x
ĐL3: Gỉa sử
U x
U x 0 ; V x 0
U x
x ( a; b) khi
ĐL5: Hàm số
và
với
(Nghịch biến) trên
ĐL4: Nếu
( a; b)
x ( a; b )
U x
ĐL2: Giả sử các hàm số
đó hàm số
( a; b)
và
V x
là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên
V x
khi đó hàm số
y U x V x
khi
( a; b)
và
( a; b)
là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
x ( a; b )
( a; b)
cũng là hàm số Đồng biến
( a; b)
là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên
đó hàm số
y f u
1
U x
( a; b)
và
là hàm số Nghịch biến (hoặc Đồng biến) trên
Đồng biến, hàm số
u g x
Đồng biến
- Các hướng khai thác.
4
U x 0
với
( a; b)
Đồng biến thì hàm số hợp
y f g x
+ Đưa phương trình về dạng f x g x . Trong đó f x là hàm số đồng biến g x là
hàm số nghịch biến hoặc ngược lại. Khi đó nếu x = x0 thỏa mãn f x0 g x0 thì x = x0 là
nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng f x A Trong đó f x là hàm số đơn điệu. Nếu tồn tại
x = x0 sao cho f x0 A thì x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng f u g v với
đơn điệu thì phương trình tương đương với
u U x ; v V x
trong đó f t là hàm số
U x V x .
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình
5 x 2 x 3 0
Bài giải: phương trình đã cho tương đương với
Ta thấy hàm số f x 5 x 2 là hàm số đồng biến vì
Hàm số g x 3
và f 2 g 2
x
5 x 2 3 x
f ' x 5 x 2 ln 5 f ' x 0
với
x R .
là hàm số nghịch biến trên R.
x 2 là
nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2 : Giải phương trình
x
2
x
(1)
2 3 1
Bài giải:
(1)
2x
3
x
1
x
x
3
1
1
2
2
x
Ta thấy hàm số
nghịch biến) và f 2 1
x 2
x
3
1 là
f x
2
2
hàm số nghịch biến ( Tổng của hai hàm số
là nghiệm duy nhất của phương trình.
5
Ví dụ 3: Giải phương trình
2 x 1 2 x
2
x
x 1
2
(Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001)
Bài giải:
x 2 x u
Thì
x 1 v
u v x 1
2
Phương trình đã cho tương đương với :
2 v 2 u u v
u 2 u v 2 v
Hàm số tương ứng ở hai vế là:
(*)
f t t 2 t
có
f ' t 1 2 t ln 2 0
Nên f t đồng biến, do đó (*)
u v
x 2 x x 1 x 1 .
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 x 5 x 6 x 2
(Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001)
Bài giải: viết phương trình về dạng :
Xét hàm số
3 x 5 x 6 x 2 0
f x 3 x 5 x 6 x 2
f ' x 3 x ln 3 55 ln 5 6
6
(1)
f ' x
là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một hằng số không
đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:
f ' 0 ln 3 ln 5 6 0
f ' 1 3 ln 3 5 ln 5 6 0
f ' x 0
có nghiệm duy nhất x và đổi dấu từ âm sang dương. Ta có bảng biến thiên.
x
f ' x
0
+
f x
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số
y f x
cắt trục hoành tối đa 2 lần phương
trình (1) có tối đa 2 nghiệm.
Ta thấy f 0 0; f 1 0 Do đó phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm
x 0
hoặc
Ví dụ 5: Giải phương trình:
log 2 1 x log 3 x
Bài giải: Đặt
log 2 1 x log 3 x t
1 x 2t
t
x 3
khi đó phương trình đã cho tương ứng với:
1 3t 2 t
7
x 1 .
t
Từ ví dụ 1 suy ra
t 2
1 3 2 2 t
là nghiệm duy nhất của phương trình
x 9 .
log 3 x 2
Ví dụ 6: Giải phương trình
x
3
2
2
3
x
(1)
2 x
Bài giải: Chia hai vế phương trình cho 2 x ta được:
(1)
Ta thấy
x
2 3
2
0
2 3 2
x
2 3
1
2
(2)
2 3
1
2
Nên vế trái của phương trình (2) là hàm số nghịch biến ( vì là tổng của 2 hàm số nghịch
biến) và
x 2 thỏa
mãn phương trình (2) do đó
x 2 là
nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 7: Giải phương trình
log 2
2 3
Bài giải: Tập xác định:
(1)
Đặt
log
log 84
8 4 3
3
a 7 4 3 1
x
x
2
2
x
2
2 x 2 log 2
7 4 3
2 x 2 log 7 4
; t x 2
2x 3
x
2
2x 3
3
x
x
2
2
(1)
x 1
x 3
x2 2x 3 0
2 x 2 log
3
2x 3
2x 3
khi đó phương trình trở thành:
log a 1 t 1 log a t
(2)
8
t a y
thì (2)
t 1 a 1 y
Đặt
log a t y
hay
a y 1 a 1
a
1
1
a 1
a 1
y
y
Ta thấy
0
y
(3)
a
1
1 ; 0
1
a 1
a 1
Vế trái của (3) là tổng của 2 hàm số nghịch biến.
y 1
y 1
thỏa mãn phương trình (3)
là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Với
y 1
log a t 1
t a
x 2 2 x 3 7 4 3
x 2 2 x 10 4 3 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
x 1 11 4 3
x 1 11 4 3
.
b. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình
Các hướng khai thác
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng f x f a (1) (hoặc f x f a ) trong đó f x là hàm
số đơn điệu từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình.
Nếu f x là hàm số đồng biến thì (1) x a
f x
là hàm số nghịch biến thì (1) x a .
- Đưa bất phương trình về dạng
đơn điệu của các hàm số
f x
f x g x
và
g x
và nhẩm được
f a g a khi
đó đưa vào tính
thì có thể suy ra được nghiệm của bất phương
trình.
9
- Đưa bất phương trình về dạng
f x
f x A
(hoặc
f x A ).
Dựa vào việc khảo sát hàm số
ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình.
Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải thông qua bước
đặt ẩn phụ.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
(1)
21 x 2 x 1
Bài giải: bất phương trình (1)
Xét hàm số
y f x 21 x 2 x 1
21 x 2 x 1 0
có tập xác định R
f ' x 21 x ln 2 2 0
x R
Nên hàm số f x nghịch biến trên R.
Ta thấy f 1 0 nên (1)
f x
f x f 1
là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
log 2
Bài giải:
Đặt
x 2 5 x 5 1 log 3 x 2 7 5 x 2
t 0
x 2 5 x 5 t
Bất phương trình (1)
log 2 t 1 log 3 t 2 2 2
Xét hàm số
f t log 2 t 1 log 3 t 2 2
f 't
(1)
1
2t
2
0
t 1 ln 2 t 2 ln 3
Nên f t đồng biến trên 0;
10
(2)
trên 0;
với
t 0;
x 1
Ta lại có f 1 2 nên bất phương trình (2) f t f 1
0 t 1
0 x 2 5 x 5 1
x 2 5x 5 0
2
x 5x 4 0
5 5
1 x
2
5 5
x 4
2
5 5
x
2
5 5
x 2
1 x 4
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
2
x 2
Bài giải: Tập xác định:
(1)
Đặt
u 4 x x 2 2
(1)
. log 2 4 x x 2 2 1
log 2 4 x x 2 2 2
x 2
Ta có bảng biến thiên:
x
2
2
2 x 2 2
(2)
x 2
u ' 4 2 x 0
4 x x 2 2 0
2
2
2 2
11
+
u'
0
u
-
2
0
0
1
log 2 u
Qua bảng biến thiên ta có
log 2 4 x x 2 2 1
Mặt khác:
2
x 2
x 2 0
Nên
log 2 4 x x 2 2 2
do đó bất phương trình (2)
x 2
2 0 1
log 2 4 x x 2 2 1 2
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x 2
x 2
x 2
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
2 x
Bài giải:
Tập xác định
Xét hàm số
f x 2 x
f ' x
3
x 1
Ta có
x 1
f 4 4
3
1
1
2 x 1 x
x 2 x 1
x x 1
f ' x 0
x
x 1 4
2 x 1 x
4
1
12
3
x
4
3
4
f ' x
-
0
+
+
2
f x
4
3
3
Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
x 4
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
x 9 2 x 4 5
Bài giải:
Xét hàm số
f x x 9 2x 4
f ' x
có tập xác định:
x 2
1
1
0
2 x 9
2x 4
Hàm số đồng biến trên
2;
Ta thấy f 0 5 Vậy
Khi
2 x 0
thì f x f 0 5
bất phương trình vô nghiệm
Khi
x 0
thì f x f 0 5
x 0 là nghiệm.
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1.
3 x 4 x 5 x
2.
lg x 2 x 6 x lg x 2 4
3.
log 2 x 3log6 x log 6 x
4.
log 2 2 x 1 log 3 4 x 2 2
13
5.
5 x
5 x 0
2 x 3x 1
lg
4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm của phương
trình và bất phương trình.
a. Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một
phương trình.
ĐL: Nếu hàm số
y f x
liên tục trên a; b và f a f b 0 thì x0 a; b sao cho f x0 0 .
Ví dụ 1: Biết rằng
(1)
2a 3b 6c 0
Chứng minh
f x ax 2 bx c
có nghiệm trong 0;1
Bài giải: Cách 1
Ta thấy f x liên tục trên R.
1
1
1
Mặt khác f 0 4 f 2 f 1 c 4 a 2 b c 4 a b c 2a 3b 6c 0
1
2
Suy ra tồn tại 2 trong 3 số
f 0 , f
và
f 1
là trái dấu nhau trong bất kì trường
hợp nào thì f x cũng có nghiệm trong 0;1
Cách 2:
Ta có
2
2
4
f 0 . f c a b c
3
9
3
2
9
c 2a 3b c
9
2
2
9
c2
c 6c c
9
2
3
*
c 0
thì (1)
a 0
2a 3b 0
b 0
phương trình f x 0 có nghiệm
14
x R
2
phương trình có nghiệm x 0;1
3
a 0
*
2
3
c 0 f 0. f
c2
0
3
f x
Hay f x có nghiệm
có nghiệm
2
x 0;
3
x 0;1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình:
x 5 2 x 3 x 2 x 1 0
có nghiệm duy nhất.
Bài giải: Viết phương trình về dạng x 2 1 x 3 x 1 0
Xét hàm số
x 3 x 1 0
f x x 3 x 1
f ' x 3 x 2 1 0 x
f x
hàm số
f x
đồng biến trên R
liên tục trên R.
f 0 . f 1 1 0
x0 0;1
Suy ra phương trinhg f x chỉ có 1 nghiệm
duy nhất
hay phương trình đã cho có nghiệm
x0 0;1 .
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
1. Biết rằng
4a 3b 3c 0
chứng minh f x ax 2 bx c 0 có nghiệm
2. Chứng minh rằng với mọi m thi phương trình:
x 3 mx 2 1 0
x0 0;2
luôn có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
3. Chứng minh rằng phương trình:
kiện
64 x 6 96 x 4 36 x 2 3 0
có nghiệm
x0
thỏa mãn điều
2 2 3
2 2 2
x0
2
2
b. Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình, bất phương trình.
15
Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số
c a; b
y f x
liên tục trên a; b và có đạo hàm trên a; b thì
f b f a
sao cho f ' c b a
Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng:
Chứng minh
2a 3b 6c 0
có nghiệm trong 0;1
f x ax 2 bx c
Bài giải: Xét hàm số:
F x
ax 3 bx 2
cx
3
2
là hàm số có
F ' x f x
khi đó
F x
liên tục trên
0;1 và có dạo hàm trên 0;1
Theo định lí Lagrăng thì
Hay
x0 0;1
x0 0;1
sao cho:
Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình
+
x 0
x 0
F 1 F 0
1 0
a b
2a 6b 6c
0
sao cho f x0 3 2 c
6
Vậy phương trình f x 0 có nghiệm
Bài giải: +
F ' x0
x 0;1 .
e x 1 x
thỏa mãn với
x R .
thỏa mãn bất phương trình.
Xét hàm số f t e t trên 0; x
Hàm số liên tục trên 0; x và có đạo hàm trên 0; x . Theo định lí Lagrăng ta có
sao cho
hay
nên
f ' c
f x f 0
x 0
c 0; x
sao cho
ec
ex 1
c 0; x
x
c 0 e c e 0 1
ex 1
1 e x 1 x
x
16
c 0; x
+
x 0
Khi đó hàm số
Lagrăng ta có:
hay
c x;0
c 0 e c 1
f t
c x;0
sao cho
nên
liên tục trên x;0 và có đạo hàm trên x;0 . Theo định lí
sao cho
f 'c
f 0 f x
0 x
1 f x
ec
x
1 f x
1 1 f x x
x
(vì
x 0 ) e x 1 x
Vậy bất phương trình đã cho thỏa mãn với
x R .
Giới thiệu một số bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng nếu phương trình:
a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x 0
có nghiệm dương
na0 x n 1 n 1 a1 x n 2 ... a n 1 0
2. Chứng minh phương trình:
khoảng 0; với mọi
3. Chứng minh:
a; b; c; d
x1
thì phương trình:
cũng có nghiệm dương
x2 x1
a cos 4 x b cos 3x c cos 2 x d cos x 0
luôn có nghiệm trong
.
x 4 px 3 q 0 x R 256q 27 p 4
c. Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của
phương trình hay bất phương trình.
* Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
Phương trình f x m có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm
số
y f x
trên D.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
3 x 6 x
Bài giải:
Đặt
3 x 6 x m
t 3 x 6 x
Với
17
(1) Có nghiêm.
x 3;6
thì
t'
2
6 x 3 x
0
3 x 6 x
6 x 3 x
x
3
2
Ta có bảng biến thiên:
3
3
x
2
6
+
t'
-
0
3 2
t
3
3
Do đó
t 3;3 2
3 x 6 x t
2
9
2
Khi đó phương trình (1) trở thành:
nghiệm phương trình (2) có nghiệm
xét hàm số:
y
t
t2 9
t2
9
m t m (2)
2
2
2
t 1
t 3;3 2
t2
9
t
2
2
y ' t 1 0
t
1
+
y'
phương trình (1) có
ta có bảng biến thiên:
3
0
3
-
-
3
y
3 2
18
2
9
2
Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị của hàm số y là:
trình đã cho có nghiệm khi
9
m 3 2 ;3 .
2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:
Bài giải:
9
3 2 ;3
2
(1) có nghiệm.
cos 2 x cos x sin 2 x m 0
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
3 cos 2 x cos x 2 m
Đặt: cos x t
1 t 1 phương trình trở thành 3t 2 t 2 m (2)
Xét hàm số:
trên
y 3t 2 t 2
t
y ' 6t 1 0
t
1
6
1;1
Ta có bảng biến thiên:
-1
1
-
0 +
1
6
y'
2
0
y
25
12
Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm
khi
25
m 2
12
Hay phương trình (1) có nghiệm khi
25
m 2 .
12
* Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
19
t 1;1
nên phương
Để tìm điều kiện m sao cho bất phương trình f x m ( hoặc f x m ) có nghiệm ta tìm
miền giá trị của hàm số
y f x
và từ đó có kết luận về m.
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:
Bài giải:
Đặt
mx
x 3 m 1
(1) có nghiệm.
X x 3 x 0;
m X 2 2 X 1 m
Phương trình (1) trở thành:
X 1
X 2 2
(2)
Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình 2 có nghiệm
có ít nhất một điểm của đồ thị y
X 1
X 2 2
với
X 0
X 0
không ở phía dưới đường thẳng
y m .
X 1
X 2 2
Xét hàm số
y
có
X 1 3
y'
X 2 2X 2
X
2
2
2
0
X 2 2 X 2 0
. Ta có bảng biến thiên:
X
1
0
3
1
3
-
y'
0
+
+
0
-
3 1
4
y
1
2
0
Qua bảng biến thiên suy ra với
m
3 1
4
thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho bất phương trình:
x 4 4 x 3 mx 0
Bài giải: bất phương trình đã cho:
thỏa mãn với
x 2 x 2 4 x m 0
20
x 1
- Xem thêm -