Mô tả:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ"
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh
chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của
phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương trình thì các dạng
toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học
sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm số hoặc
“điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp
do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình
chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do
để tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán
giải phương trình và bất phương trình có tham số”.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh
trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất
phương trình chứa tham số.
2
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ
thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương
trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy nhiên không phải mọi bài toán
chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể cô lập được tham số về một vế
trong phương trình hoặc bất phương trình.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên
nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên.
Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại
học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học
sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của
phương phấp trên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền
f ( x ) , m min f ( x ) . Khi đó ta có
D, và tồn tại M max
xD
xD
f(x) α
1. Hệ phương trình
xD
có nghiệm khi và chỉ khi m α M .
3
f(x) α
2. Hệ bất phương trình
xD
3. Bất phương trình
f ( x )
đúng với mọi x D khi và chỉ khi m .
f(x) α
4. Hệ bất phương trình
xD
5. Bất phương trình
f ( x )
có nghiệm khi và chỉ khi M α .
có nghiệm khi và chỉ khi m α .
đúng với mọi x D khi và chỉ khi M .
Chứng minh
1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại
x0 D
sao cho
f ( x 0 ) .
Theo định nghĩa ta có minxfD( x ) f ( x 0 ) maxxfD( x ) , hay
min f ( x ) max f ( x ) .
xD
xD
Đảo lại, giả sử minxfD( x ) maxxfD( x ) . Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó nhận giá trị từ
min f ( x ) đến max f ( x ) . Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn tại x 0 D sao cho f( x 0 ) =
xD
xD
. Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D
2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại
x 0 D sao
đpcm .
cho
f ( x 0 ) .
Rõ ràng là maxxfD( x ) f ( x 0 ) .
f ( x )
Đảo lại, giả sử maxxD
(1)
Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là
max f ( x )
xD
f ( x ) , x D
từ đó suy ra
(2)
4
Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có
nghiệm
đpcm .
3. Giả sử m . Ta lấy
x 0 tùy
ý thuộc D f ( x 0 ) minxfD( x ) m . Vậy
f ( x )
đúng
với x D .
Đảo lại, giả sử f(x) x D , khi đó do m minxfD( x ) nên theo định nghĩa tồn tại
mà m = f ( x ) . Từ
0
f ( x 0 ) m .
x0 D
Như vậy ta có đpcm.
(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).
II. Thực trạng và giải pháp.
1. Phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
6 x 2 (4 x )(2 x 2) m 4
4 x
2x 2
Hướng dẫn giải
4 x 0
Điều kiện
1x 4.
2x 2 0
Đặt
t 4 x 2x 2 .
Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số
Ta có
f ' (x)
2 4 x 2x 2
2 4 x . 2x 2
f (x) 4 x
2x 2
với 1 x 4 .
.
5
1x 4
f '(x) 0 2 4 x 2x 2
x 3
16 4x 2x 1
Từ đó ta có bảng biến thiên
x
1
3
f’(x)
+
f(x)
0
4
-
3
3
6
min f ( x ) 3 và max f ( x ) 3 từ đó suy ra khi 1 x 4 , thì
1x 4
1x 4
Từ
2
t 4 x 2 x 2 t x 2 2 (4 x )(2x 2)
3 t 3
.
g(t) t 2 4t 4 m (1)
vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau
có nghiệm
( 2)
3 t 3
Ta có g’(t) = 2 t 4 , và ta có bẳng biến thiên sau
t
g’(t)
g(t)
2
3
-
0
1
+
7 4 3
1
6
0
Từ đó
min g ( t ) g ( 2) 0
3 t 3
và
max g ( t ) 1
3 t 3
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 2. Cho phương trình
4
min g ( t ) m max g ( t )
3 t 3
3 t 3
0 m 1 .
2x 2x 24 6 x 2 6 x m .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Đặt f(x)
2x 2 6 x
;
g ( x ) 4 2 x 24 6 x
. Lúc này phương trình đã cho có dạng
(1)
h ( x ) f ( x ) g ( x ) m
Phương trình (1) xác định trong miền 0 x 6 . Ta có
f ' (x)
6 x 2x
2 x (6 x )
.
Nên ta có bảng biến thiên sau:
x
f’(x)
0
2
+
0
6
-
f(x)
7
tương tự ta có
g' ( x )
4
(6 x ) 3
4
(2x ) 3
2 4 ( 2 x ) 3 (6 x ) 3
, bảng biến thiên
x
0
2
6
g’(x)
+
0
-
g(x)
Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), 0 x 6 như sau
x
0
2
6
h’(x)
+
0
h(x)
8
h ( x ) min h (0); h (6) h (6) 4 12 2 3 và
Ta có min
0x 6
max h ( x ) h (2) 6 3 2 .
0x 6
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
2( 4 6 6 ) m 3 2 6 .
Chú ý:
1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là
4
12 2 3 ) m 3 2 6
h ( x ) khi đó phương trình đã cho chỉ có một
2. Trong bài này cần lưu ý khi m 0max
x6
nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để
suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 44 x 2 1 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x 1 pt(1)
Đặt t =
4
x1
x 1
do
3
x1
x 1
m 24
x 1
x 1
x1
2
1
0
x 1
x 1
nên 0 t 1
9
f (t ) 3t 2 2t m
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ
có nghiệm.
0 t 1
Ta có
f ' ( t ) 6 t 2
nên có bảng biến thiên sau:
1
3
0
1
t
f’(t)
+
0
1
3
f(t)
1 1
max f ( t ) f ( ) ;
0t 1
3 3
f ( t ) 1 (chú ý rằng ở đây không tồn tại min f ( t ) )
còn lim
0t 1
t 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1 m
1
.
3
Chú ý:
f ( t ) nhưng tồn tại lim f ( t ) 1 Do đó
1. Ở đây vì xét khi 0 t 1 , nên không tồn tại min
0t 1
t 1
điều kiện theo lý thuyết
1
1 m
3
phải thay bằng
1 m
1
3
(tức là đã thay điều kiện
m min f ( t ) thành m lim f ( t ) ).
0t 1
t 1
10
2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét
f (t) 3t 2 2t m 0 (1)
Tìm m để hệ
(2)
0 t 1
có nghiệm
Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm
TH1) Phương trình (1) vô nghiệm ' 0 1
3m 0 m
TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)
' 0
t1 0 t 2
t 1 t
1
2
1
m
3
t 1 .t 2 0
( t 1).( t 1) 0
2
1
Do đó hệ vô nghiệm khi
t 1 0 1 t 2
1
m 3
m 1
m 0
m 2
1 0
3 3
1
m 3
.
m 1
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình
1
3
Vậy phương trình có nghiệm
x 2 mx 2 2x 1
1 m
1
.
3
có hai nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn giải
2
3
x
4x 1 mx (1)
2x 1 0
Phương trình đã cho 2
.
1
2
( 2)
x mx 2 (2x 1) x 2
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên
11
3x 2 4x 1
m (3)
f (x ) x
.Ta có f’(x) =
1
x
(4)
2
3x 2 1
x2
và bảng biến thiên
x
1
2
0
f’(x)
+
f(x)
-
9
2
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
m
9
.
2
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.
3x 2 (4 m)x 1 0 (1)
Tìm m để hệ
có hai nghiệm phân biệt.
1
(2)
x 2
Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm
x1 , x 2
sao cho
12
x 2 x1
1
2
0
1
1
1
1
x1x 2 (x1 x 2 ) 0
(x 1 )(x 2 ) 0
2
4
2
2
x1 x 2 1
x 1 x 2 1
m 4 1 1
9
3 6 4 0 m 9
Áp dụng định lý Viét ta có
2 m
m
4
1
m 1 2
3
Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai.
Ví dụ 5. Cho phương trình
một nghiệm thuộc đoạn
log 32 x log 32 x 1 2m 1 0 .Tìm
m để phương trình có ít nhất
1; 3 .
3
Hướng dẫn giải
Đặt
t log 32 x 1 .
Khi 1 x 3
3
1 t 2 .
f (t) t 2 t 2 2m (1)
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình
( 2)
1 t 2
Ta có
f ' ( t ) 2 t 1
có nghiệm
và có bảng biến thiên sau:
13
1
2
1
2
t
f’(t)
+
f(t)
max f ( t ) f (2) 4 ; min f ( t ) f (1) 0 .
1t 2
1t 2
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là 0 2m 4 0 m 2 .
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình có nghiệm
91
1 x 2
( m 2)31
1 x 2
2m 1 0
Hướng dẫn giải
Đặt
31
1 x 2
t 3 t 9 .
Ta có phương trình
t 2 2t 1 m( t 2) .
(1)
14
Do
3 t 9 t 2 0 .
Nên phương trình
t 2 2t 1
m (2)
f (t)
m để hệ
t 2
3 t 9
(3)
Ta có
f ' (t)
t 2 4t 3
( t 2) 2
t
t 2 2t 1
m .
t 2
Vì thế bài toán trở thành: Tìm
có nghiệm
và có bảng biến thiên sau đây:
3
f’(t)
(1)
9
+
f(t)
max f ( t ) f (9)
3t 9
64 min f ( t ) f (3) 4
; 3t9
7
Vậy các giá trị m cần tìm là:
Ví dụ 7. Cho phương trình
4 m
64
.
7
2(sin 4 x cos 4 x ) cos 4 x 2 sin 2 x m 0 .
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
(1)
0; 2 .
Hướng dẫn giải
15
Phương trình (1)
2(1
1 2
sin 2 x ) 1 2 sin 2 2x 2 sin 2x m 0
2
3sin 2 2x 2 sin 2 x 3 m (2)
Đặt t = sin2x. khi
x 0;
0 t 1 .
2
f (t) 3t 2 2t 3 m (3)
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ
( 4)
0 t 1
Ta có
f ' ( t ) 6 t 2
và có bảng biến thiên sau:
1
3
0
1
t
f’(t)
-
0
+
f(t)
0
1
10 max f ( t ) max f (0); f (1) 2
min f ( t ) f ( )
; 0t1
0t 1
3
3
Vậy giá trị m cần tìm là
10
m 2 .
3
16
Ví dụ 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm
x 1 y 2 m
x y 3m
Hướng dẫn giải
Đặt
u x 1 ; v y 2 u 0; v 0 .
u v m
2 2
u v 3m 3 . Nếu
u 0; v 0
m 0
Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm:
hệ vô nghiệm.
f (u) 2u 2 2mu (m 2 3m 3) 0
Hệ đã cho
0 u m
f (u ) 0 max f (u )
Do đó ta cần tìm m để cho min
0u m
0u m
f ' ( u ) 4u 2m .
Ta có bảng biến thiên sau
m
2
0
m
u
f’(u)
-
0
+
f(u)
17
2
max f (u ) max f (0); f (m) m 2 3m 3 ; min f (u ) f ( m ) m 6m 6
0u m
0u m
2
2
m 2 6m 6
min
f
(
u
)
0
max
f
(
u
)
0 m 2 3m 3
Nên 0um
0u m
2
3 21
m 3 15
2
Vây các giá trị cần tìm của m là:
3 21
m 3 15 .
2
Bài tập
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m( 1 x 2
(ĐS:
1 x 2 2) 2 1 x 4 1 x 2
1 x2
2 1 m 1 )
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn
2 ; 2
2 2 sin 2 x m(1 cos x ) 2
( ĐS: 0 m 2 )
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
2
2 sin x 3cos x m3sin
2
x
(ĐS: 1 m 4 )
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 32;
18
log 22 x 2 log 2 x 3 m(log 2 x 3)
(ĐS: 1 m
3)
x y 1
1
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm
(ĐS: 0 m 4 )
x x y y 1 m
2. Bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1. Cho bất phương trình
( x 4)(6 x ) x 2 2 x m .
Tìm m để bất phương trình đúng với
x 4; 6
Hướng dẫn giải
Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)
19
Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng
x 4; 6
thì điều đó cũng đúng
m 24 0
x 4; x 1; x 6 , tức là m 24 0 m 6
m 1 5
khi
Điều kiện đủ: Giả sử m 6
Ta có
x 2 2x m ( x 1) 2 m 1 5, x 4; 6 .
Theo bất đẳng thức Côsi
với
x 4; 6
thì
( x 4)(6 x )
Từ đó suy ra khi m 6 thì
( x 4)(6 x )
5 .
2
( x 4)(6 x ) x 2 2 x m
đúng với
x 4; 6
Vậy m 6 .
Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)
Đặt t =
( x 4)(6 x ) x 2 2 x 24
Xét g(x) = x 2 2x 24 với 4 x 6
g ' ( t ) 2 x 2 .
Ta có bảng biến thiên sau:
x
g’(x)
g(x)
-4
1
+
0
6
-
25
20
- Xem thêm -