MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TÊN ĐỀ TÀI
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề
Dãy số là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của
Đại số, Giải tích và Số học... Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ là những
đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình
rời rạc trong Giải tích, trong lý thuyết phương trình xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn…
Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, thi Olympíc Toán khu vực và quốc
tế…các bài toán liên quan đến dãy số hay đề cập và thường là loại rất khó. Các bài toán
vể ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác định giới
hạn của một biểu thức cho trước hoặc xây dựng công thức nghiệm của các phương trình
nghiệm nguyên, thường có mối quan hệ ít nhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng.
Lý thuyết về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của Giải
tích toán học. Tuy nhiên để tạo cho học sinh niềm tin sáng tạo và tạo cho các em thích
thú với việc giải các bài toán về dãy số, khi chúng biết rằng có những mối quan hệ mật
thiết giữa việc giải các các bài toán số học với các dãy số nguyên và từ đó tạo cho các
em tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số.
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được
đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường
ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đã tích lũy soạn giảng theo
đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ ”.
Đây cũng là chuyên đề mà tôi phụ trách giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển
Toán tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia hằng năm.
2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài
Nội dung tôi muốn đề cập trong chuyên đề này là tóm tắt một số khái niệm cơ bản về
dãy số và một số phương pháp xây dựng dãy số thỏa mãn một số tính chất nào đó.
1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
Từ việc nghiên cứu các bài toán về dãy số trong các đề thi học sinh giỏi Toán
THPT quốc gia, tôi đã tìm được một số cách xây dựng ra các bài toán về dãy số, phục
vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có kết quả cao trong những năm gần đây.
Trong đề tài đưa ra sáu phương pháp xây dựng dãy số từ hai nghiệm của phương
trình bậc hai, từ việc xác định nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, công thức
nghiệm của phương trình Pell, công thức nghiệm của phương trình Pell chứa tham số, từ
hàm số phân tuyến tính và công thức lượng giác. Ta xây dựng được các bài toán về dãy
số mà ta đã xác định được quan hệ của các số hạng của dãy số đó.
Từ đó cho chúng ta biết các mối quan hệ giữa các bài toán về dãy số không những
có liên quan mật thiết với Đại số, Giải tích mà còn ở môn Số học. Chính vì vậy, nếu sử
dụng, khai thác các kiến thức Toán sơ cấp như môn Số học một cách có hiệu quả để tập
dợt cho học sinh chuyên Toán sáng tạo, phát huy trí tuệ là một việc cần làm. Đây lại là
một nhiệm vụ khó khăn cho đội ngũ giáo viên dạy chuyên Toán mà thực tế xã hội đang
đề ra.
3. Giới hạn đề tài
Đề tài chủ yếu nêu được một số phương pháp xây dựng dãy số từ các nghiệm của
phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình Pell, từ hàm số phân tuyến
tính và hàm lượng giác. Đề tài chưa đề cập đến xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác
ngược hoặc ứng dụng toán cao cấp vào việc xác lập các dãy số có giới hạn hữu hạn.
4. Hướng phát triển đề tài
Việc sáng tạo có rất nhiều con đường đi khác nhau, đề tài còn có thể phát triển, khai
thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy
số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài
toán khó cần có thời gian nghiên cứu.
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là
được đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường
ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi nhận thấy các dãy số
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
nguyên có liên hệ mật thiết với công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và
khi giải chúng cần những kiến thức về số học như chia hết , đồng dư,…
Qua tham khảo các đề thi Toán quốc gia và đề thi Toán các nước trên thế giới
đều đưa nội dung dãy số vào trong đề thi nhằm phát hiện và tuyển chọn được học sinh
giỏi môn Toán.
2. Các phương pháp tiến hành, thời gian tiến hành đề tài
Tôi đã tiến hành các phương pháp sau:
Phương pháp phân tích, đánh giá, dự đoán từ các đề thi Olympiad của các nước trên
thế giới và Việt Nam.
Phương pháp tổng hợp, rút ra được một số cách xây dựng bài toán mới.
Thời gian tiến hành: Trong 5 năm học từ 2010 – 2015 dựa trên thực tế giảng dạy các
lớp chuyên Toán và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán dự thi cấp quốc gia, trên cơ
sở tích lũy trong quá trình soạn giảng, tham khảo ý kiến các đồng nghiệp và được tích lũy
từ các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đúc kết
viết kinh nghiệm giảng dạy này.
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu
Xây dựng một số dãy số mới từ việc giải các phương trình bậc hai, giải phương
trình nghiệm nguyên, công thức nghiệm của phương trình Pell, xây dựng dãy số từ hàm
phân tuyến tính và hàm lượng giác nhằm tạo ra được một lớp bài tập về dãy số.
Tạo cho học sinh không ngại khó, tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số, vì
những bài toán đó có thể giải được chỉ qua vài phép biến đổi đại số, số học, công thức
lượng giác có thể đưa về bài toán quen thuộc.
Tạo cho học sinh biết cách sáng tạo, bước đầu nghiên cứu sự hình thành các bài
toán mới từ các bài toán đơn giản.
Tạo nguồn tài liệu về chuyên đề dãy số dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán.
II. Mô tả đề tài
1- Thuyết minh chung nội dung đề tài dự thi
1.1. Những nhược điểm hiện tại.
- Giáo viên và học sinh thường tập hợp các bài toán đã có trong các đề thi học sinh
giỏi các năm trước, phân loại và tìm tòi các phương pháp giải, phục vụ cho việc giảng
dạy và học tập.
- Chưa tìm hiểu các bài toán thường có trong các đề thi được xây dựng ra từ những
nguyên lý nào.
- Học sinh không biết mối liên hệ giữa dãy số với các phép toán số học, với hàm số
như thế nào.
- Tính thụ động, không chịu đào sâu suy nghĩ các kiến thức đã được học của học sinh,
hơn nữa học sinh chưa dám mạnh dạn nghĩ ra một bài toán khác từ các bài toán cơ bản
đã được học.
- Tài liệu dùng cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán về dãy số còn hạn
chế.
1.2. Tính mới của giải pháp
4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
- Đã sử dụng, khai thác việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc công thức
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và một số hàm số xây dựng
được một số dãy số mà mối quan hệ của các số hạng của dãy số đã biết được.
- Giúp học sinh chuyên Toán biết cách đào sâu kiến thức toán học phổ thông, tạo
niềm say mê nghiên cứu, tự tin tập dợt sáng tạo.
- Giúp cho giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có tài liệu về việc soạn
giảng chuyên đề về dãy số..
1.3. Nội dung giải pháp
- Sử dụng việc xác định nghiệm của phương trình bậc hai, xây dựng công thức
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và tính chất của hàm phân
tuyến tính và hàm lượng giác xây dựng được một số lớp bài toán về dãy số. Đề tài đưa
ra 6 phương pháp xây dựng dãy số.
a. Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai.
b. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm nguyên.
c. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell x 2 dy 2 1 .
d. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell chứa tham số
x 2 dy 2 m .
e. Xây dựng các dãy số từ các hàm số phân tuyến tính.
f. Xây dựng dãy số từ các hàm lượng giác.
2- Khả năng áp dụng
Đề tài đã được soạn giảng, bồi dưỡng cho học sinh các lớp chuyên Toán của
trường THPT chuyên Lê Quý Đôn và các em trong đội học sinh giỏi Toán của Sở Giáo
dục và Đào tạo Bình Định dự thi học sinh giỏi Toán THPT quốc gia hằng năm.
Giúp cho học sinh tiếp cận và tập dợt nghiên cứu, sáng tạo.
Đề tài cũng đã giúp cho các đồng nghiệp trong tổ Toán trao đổi xây dựng được
một số lớp bài toán về dãy số, mà cách giải dựa trên những kiến thức rất cơ bản.
Đề tài còn có thể phát triển, khai thác từ các hàm lượng giác ngược để xây dựng
một số dãy số hoặc xây dựng một số dãy số có giới hạn hữu hạn mà khi giải chúng cần
sử dụng công cụ đạo hàm và đây là bài toán khó cần có thời gian nghiên cứu.
5
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
3- Lợi ích kinh tế-xã hội
Hầu hết các em học sinh các lớp chuyên Toán hiểu và vận dụng được, tạo cho
các em say mê sáng tạo và có những cách giải độc đáo khác ngoài cách xây dựng nên
dãy số đó.
Rèn luyện và phát huy được tính sáng tạo cho học sinh.
Giúp cho đồng nghiệp trong tổ Toán có tư liệu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán tham gia thi chọn học sinh giỏi các cấp.
Kết quả: Khi soạn giảng các chuyên đề này cho học sinh các đội tuyển tham gia
thi học sinh giỏi môn Toán các cấp, các em học sinh đã đạt được một số kết quả sau
Kết quả thi học sinh giỏi Toán của Tổ Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
Năm học
HS Giỏi cấp Tỉnh
Olympic 30/04
HSG Quốc gia
2010 -2011
29 giải
3 HC
5 giải
2011-2012
18 giải
5 HC
5 giải
2012-2013
21 giải
6 HC
1 giải
2013-2014
28 giải
5 HC
5 giải
2014-2015
16 giải(lớp 12)
2 HC
6 giải
Cộng
112 giải
21 HC
17 giải
* Kết quả thi học sinh giỏi Toán của các lớp do tôi trực tiếp giảng dạy :
Năm học
HS Giỏi cấp Tỉnh
Olympic 30/04
HSG Quốc gia
2010 -2011
13 giải
3 HC
2 giải
2011-2012
8 giải
3 HC
4 giải
2012-2013
9 giải
3 HC
0 giải
2013-2014
6 giải
Lớp 12 không thi
3 giải
2014-2015
10 giải
1 HC
5 giải
Cộng
46 giải
10 HC
14 giải
6
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
III. Nội dung đề tài
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Chương I
ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ
1.1 Định nghĩa.
Dãy số là một hàm số từ vào một tập hợp số ( , , , hay một tập con nào đó
của các tập hợp trên). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu un , vn , xn , ym , zm ...
Một dãy số thường được ký hiệu: xn .
1.2 Một số định nghĩa
Dãy số
xn được gọi là dãy tăng ( giảm ), nếu với mọi số nguyên dương n ta có
xn 1 xn ( xn1 xn ) . Dãy số tăng hoặc giảm còn gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy số
xn được gọi là bị chặn trên, nếu
M : xn M , n .
Dãy số
xn được gọi là bị chặn dưới, nếu
m : xn m , n .
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Dãy số
xn được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k, nếu
xn k xn , n . Dãy số
tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng.
1.3 Một số định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1. Ta nói dãy số xn có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng,
nếu với mọi 0 , tồn tại số tự nhiên 0 ( phụ thuộc vào dãy số xn và ) sao cho với
mọi n > 0 , ta có xn a .
Ký hiệu: lim x n a 0, 0 : n 0 xn a .
Định nghĩa 2. Ta nói dãy số
xn dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng, nếu
với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên 0 ( phụ thuộc vào dãy số xn
và ) sao cho với mọi n > 0 , ta có xn M .
Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô
cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 1 ( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ )
7
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Nếu
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
xn , yn là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số
xn
yn 0, b 0 cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là
yn
xn yn , xn . yn ,
a b, a.b và
a
.
b
Định lý 2 Cho dãy số
xn có giới hạn hữu hạn L, nếu
0 : n 0 , a xn b a L b
Định lý 3 ( Định lý kẹp) Cho ba dãy số xn , yn , zn , trong đó dãy số xn và
zn có cùng giới hạn hữu hạn L và
0 : n 0 , xn yn zn lim yn L .
Định lý 4 (Dãy đơn điệu) Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị
chặn dưới thì hội tụ.
1.4 Cấp số cộng
Định nghĩa Dãy số xn được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại
hằng số d sao cho n : xn 1 xn d .
Số d gọi là công sai của cấp số cộng, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số cộng.
xn x0 nd , n
S n x0 x1 ... xn
(n 1)( x0 xn ) (n 1)(2 x0 nd )
.
2
2
1.5 Cấp số nhân
Định nghĩa Dãy số xn được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại
hằng số q sao cho n : xn 1 q.xn .
Số q gọi là công bội của cấp số nhân, x0 gọi là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Ta có các tính chất cơ bản sau của một cấp số nhân.
xn x0 .q n , n
Sn x0 x1 ... xn x0
1 q n 1
, (q 1) .
1 q
8
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
1.6 Một số kiến thức liên quan giữa dãy số với công thức nghiệm của phương
trình nghiệm nguyên.
1. Xét phương trình nghiệm nguyên có dạng
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(1).
Sử dụng các phép biến đổi, ta đưa phương trình (1) về dạng x 2 dy 2 m (2), trong đó
m là số nguyên.
Nếu d là số nguyên dương chính phương thì ta có thể giải phương trình (2) bằng cách
đưa về phương trình tích.
Nếu d là số nguyên dương không chính phương, khi đó phương trình (2) có nghiệm
nguyên dương thì nó sẽ có vô số nghiệm nguyên dương.
Chứng minh
Thật vậy, gọi ( a; b) là nghiệm cơ sở của phương trình Pell: x 2 dy 2 1 , và ( x0 ; y0 ) là
một nghiệm của phương trình (2).
Xét các dãy số xn , yn
x0 , y0
xác định bởi xn1 axn dbyn
. (*)
y bx ay , n
n
n
n1
Ta có
xn21 dyn21 (axn dbyn )2 d (bxn ayn ) 2
(a 2 db 2 ) xn2 d (a 2 db 2 ) yn2 xn2 dyn2 m
Do đó, nếu ( x0 ; y0 ) là nghiệm không tầm thường của phương trình (2) thì ( xn ; yn ) cũng là
nghiệm của phương trình (2) với mọi n nguyên dương.
Chú ý
a. Tuy nhiên, với m 1 , công thức (*) không nhất thiết vét cạn tất cả các nghiệm
của phương trình (2)
b. Mặt khác, từ hệ (*), ta có hai dãy số xn , yn xác định
x ax b d ( x 2 m)
n
n
n 1
, n .
2
yn 1 ayn b dyn m
9
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
2. Phương trình Pell loại 1
Định nghĩa
Phương trình Pell loại 1 là phương trình có dạng x 2 dy 2 1 (3), trong đó d là một
số nguyên dương.
Định lý 1 (về sự tồn tại nghiệm)
Phương trình Pell loại 1 có nghiệm nguyên dương ( x; y ) khi và chỉ khi d là số
không chính phương.
Chú ý
Phương trình Pell loại 1 với d là số không chính phương có nghiệm nguyên dương
nên tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất ( x; y ) ( a; b) , trong đó b là số nguyên dương
nhỏ nhất thỏa mãn 1 db2 là số chính phương.
Định lý 2 (Công thức nghiệm)
Giả sử ( a; b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell loại 1. Xét hai
x0 1, x1 a, xn 2 2axn1 xn
thì ( xn ; yn ) là tất cả các
y0 0, y1 b, yn 2 2ayn1 yn
dãy số xn , yn xác định bởi
nghiệm nguyên dương của phương trình (3), n * .
3. Phương trình Pell có chứa tham số
Định nghĩa
Phương trình Pell có chứa tham số là phương trình có dạng x 2 dy 2 m (4), trong
đó d là một số nguyên dương không chính phương, còn m là số nguyên.
Định lý1
Giả sử phương trình (4) có nghiệm. Nếu ( x0 ; y0 ) là nghiệm nhỏ nhất của nó thì
ma 2
y02 max mb 2 ;
, trong đó ( a; b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại 1
d
x 2 dy 2 1 .
Định lý 2
Giả sử phương trình (4) có nghiệm. Gọi (1; 1 ), ( 2 ; 2 ),...( k ; k ) là tất cả các nghiệm
của phương trình (4) thỏa mãn bất đẳng thức
10
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
i2 max mb 2 ;
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
ma 2
, i 1, 2,..., k , trong đó ( a; b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
d
Pell loại 1 x 2 dy 2 1 .
Xét k dãy sau đây. Dãy thứ i ( i = 1, 2,…,k) xác định khi
x0,i i ; y0,i i
xn 1,i axn,i dyn,i b
yn 1,i bxn,i yn,i a
Khi đó các dãy
(**)
x và y vét hết các nghiệm của phương trình (4).
n ,i
n ,i
11
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Chương II
§1 Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai
Chúng ta nhận thấy từ hai nghiệm của một phương trình bậc hai có thể xây dựng ra
các dãy truy hồi tuyến tính bậc hai ( kiểu dãy số Fibonacci).
1. Xét phương trình bậc hai x 2 mx 1 0 có hai nghiệm , . Xét một số thực a
n
n
n 1
n1
bất kỳ. Xét dãy số xn a 2 2 xn2 a 2 2 2 2 a 2 xn 1 2 .
xn2
Từ đó suy ra dãy số: x0 am và xn 1 2 2, n .
a
Chọn m = 4, a = 1/4, ta có dãy số:
Bài toán 1. Cho dãy số xn được xác định: x0 1, xn 1 16 xn2 2 n . Xác định công
thức xác định dãy.
2. Xét phương trình bậc hai x 2 mx 1 0 có hai nghiệm , . Xét một số thực
a bất kỳ. Xét dãy số
n
n
n1
n1
xn a 3 3 xn3 a3 3 3
Từ đó suy ra dãy số: x0 am và xn1
3
3n
n
n
n
3 3 3 a3 xn 1 3 xn .
xn3
3xn , n .
a3
Chọn m = 1, a = 1, ta có dãy số:
Bài toán 2. Cho dãy số xn được xác định: x0 1; xn 1 xn3 3 xn , n . Xác định công
thức xác định dãy.
3. Xét phương trình bậc hai x 2 4 x 5 0 có hai nghiệm x 1, x 5 .
Ta lập dãy số xn : xn A(1) n B(5) n , n * .
x1 A 5B
.
x2 A 25B
Với
8
A 3
x1 39
8
25
Nếu chọn
và xn (1) n (5) n , n * (*)
3
3
B 25 x2 211
3
Khi đó, ta lập được công thức dãy số xn bằng cách:
12
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
8
25
25
25
8
40
xn 2 (1)n 2 (5)n 2 (1 5) (1) n1 (5) n1 (1) n1 (5) n1
3
3
3
3
3
3
25
25
8
8
4 (1) n1 (5) n1 5 (1) n (5) n 4 xn 1 5 xn .
3
3
3
3
Như vậy, ta có được dãy số xn xác định: x1 39, x2 211, xn 2 4 xn1 5 xn , n * .
1
Từ công thức dãy số (*), ta có x2016 8 25(5) 2016 .
3
Theo định lý Fecma: 52016 1 0(mod 2017) (2017 là số nguyên tố)
Và 52016 1 0(mod 3) 52016 1 3.k .2017, k .
Suy ra x2016
1
8 25(3.k.2017 1) 25.k .2017 11 .
3
Nếu đặt xn yn 11 y2016 2017 . Từ đó, ta có bài toán.
Bài toán 3. Cho dãy số yn được xác định:
y1 28, y2 200, yn 2 4 yn 1 5 yn 88, n * . Chứng minh rằng y2016 2017 .
4. Xét phương trình bậc hai x 2 6 x 2016 0 có hai nghiệm x 42, x 48 .
Ta lập dãy số xn : xn A(42) n B(48)n , n .
x0 A B
.
x1 42 A 48B
Với
49
A 90
x0 1
49
41
Nếu chọn
và xn (42) n (48) n , n (*)
90
90
B 41 x1 1
90
Khi đó, ta lập được công thức dãy số xn bằng cách:
49
41
(42)n 2 (48) n 2
90
90
41
49
41
49
(42 48) (42) n1 (48)n 1 48 (42) n1 42 (48) n1
90
90
90
90
xn 2
41
41
49
49
6 (42)n1 (48) n1 42.48 ( 42) n (48) n 6 xn 1 2016 xn .
90
90
90
90
Như vậy, ta được dãy số xn xác định: x0 1, x1 1, xn 2 6 xn1 2016 xn , n (**).
13
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Từ công thức dãy số (*), ta có x2012
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
49
41
(42) 2012 (48) 2012 .
90
90
Theo định lý Fecma: (42)2010 (48)2010 1(mod 2011) (2011 là số nguyên tố)
Suy ra 90 x2012 49(42)2012 41(48) 2012 49(42)2 41(48)2 2010(mod 2011) .
Nhưng (90, 2011) 1 x2012 2010 0(mod 2011)
Từ công thức (**), ta có: xn 2 6 xn1 (2011 5) xn (6 xn1 5 xn )(mod 2011), n .
Do đó, ta có bài toán VMO(2011)
Bài toán 4. Cho dãy số yn được xác định: y0 1, y1 1, yn 2 6 yn1 5 yn , n .
Chứng minh rằng ( y2012 2010) 2011 .
5. Xét phương trình bậc hai x 2 3 x 1 0 có hai nghiệm x
n
3 5
3 5
.
,x
2
2
n
3 5
3 5
Ta lập dãy số xn : xn A
B
, n .
2
2
x0 A B
Với
3 5
3 5 .
x
A
B
1
2
2
5 5
n
n
A
x0 1
5 5 3 5 5 5 3 5
10
Nếu chọn
và xn
, n (*)
x
1
10
2
10
2
5
5
1
B
10
Khi đó, ta lập được công thức dãy số xn bằng cách:
xn 2
5 5 3 5
10 2
n 2
5 5 3 5
10 2
n2
n 1
n 1
3 5 3 5 5 5 3 5
3 5
5
5
2
2
10
2
10
2
3 5 5 5 3 5
.
2
10 2
n 1
3 5 5 5 3 5
2
10 2
n 1
n
n
3 5 5 5 3 5
5
5
3xn1
3xn1 xn
10 2
10 2
14
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
Như vậy, ta có được dãy số xn xác định: x0 1, x1 1, xn 2 3xn 1 xn , n . (**)
Và ta có đẳng thức 3xn1xn xn21 xn2 1, n .
(1)
Từ công thức (**) bình phương hai vế và sử dụng (1), ta được:
xn2 2 7 xn21 xn2 2, n .
Do đó, nếu đặt xn2 yn , ta được bài toán.
Bài toán 5. Cho dãy số yn được xác định: y0 1, y1 1, yn 2 7 yn1 yn 2, n .
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số yn đều là số chính phương.
Nhận xét
1. Với cách chọn phương trình bậc hai có nghiệm biết trước cho mục đích nào đó,
ta xây dựng các dãy số mà mối quan hệ các số hạng của dãy số đó đã được xác
định.
2. Từ các dãy truy hồi tạo được, ta đã có ít nhất một cách xác định được công thức
của dãy số đã cho.
15
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
§2 Xây dựng dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm
nguyên
Một dãy truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên và các số hạng đầu đều nguyên sẽ
chứa toàn số nguyên. Đó là điều hiển nhiên. Thế nhưng có những dãy số mà trong công
thức truy hồi có phân số, thậm chí có cả căn thức, nhưng tất cả các số hạng của nó vẫn
là số nguyên. Đấy là điều bất ngờ. Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúng có
một mối quan hệ “mật thiết”
Chúng ta xét một dãy số sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số xn xác
định bởi x0 1, xn 1 9 xn 4 5( xn2 4) n đều là số nguyên.
Lời giải
Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi ta được:
xn21 18 xn 1 xn xn2 320 0
(1)
Thay n bởi n-1 vào (1) ta được:
xn2 18 xn xn 1 xn21 320 0 hay xn21 18 xn xn 1 xn2 320 0
(2)
Lấy (1) trừ (2) theo vế:
xn21 xn21 18 xn ( xn xn1 ) 0 xn 1 xn 1 xn 1 18 xn xn 1 0 (3)
Từ công thức truy hồi của dãy, ta có xn1 xn , n , do đó từ (3), suy ra:
xn 1 18 xn xn 1 , n 1 với x0 1 .
Vậy mọi số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên.
Chú ý.
Từ (1) và (2) ta còn suy ra xn 1 và xn 1 là hai nghiệm của phương trình:
x 2 18 xn x xn2 320 0
Theo định lý Viet, ta có xn 1 xn1 18 xn xn1 18 xn xn1 , n 1
Và xn 1 xn1 xn2 320 xn 1
xn2 320
, n 1 (3)
xn 1
Từ kết quả bài toán trên, ta nhận thấy cả công thức ban đầu và công thức hệ quả
xn 1 18 xn xn 1 , n 1 của dãy số đều gợi cho chúng ta đến với phương trình nghiệm
nguyên.
16
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
1. Xét phương trình nghiệm nguyên dương
x2 y2
5
xy 1
(1.1)
Ta nhận thấy phương trình (1.1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) (1; 2) . Lập dãy số xn xác định:
x0 1, x1 2,
xn2 xn21
5, n .
xn xn1 1
(1.2)
Từ công thức (1.2) suy ra xn2 xn21 5 xn xn1 5 0
(1.3)
xn21 xn2 5 xn1xn 5 0
(1.4)
Thay n bởi n-1, ta được
Từ (1.3) và (1.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai
x 2 5 xn x xn2 5 0
(1.5)
Theo Viet của phương trình (1.5) ta có
xn 1 xn 1 5 xn xn1 5 xn xn1 , n 1
Và
xn 1 xn 1 xn2 5 xn 1
xn2 5
, n
xn 1
Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0 1, x1 2, xn 2 5 xn1 xn , n có các cặp
số hạng ( xn ; xn1 ), n là nghiệm của phương trình (1.1).
Thật vậy, xét xn21 xn2 2 5 xn1xn 2 xn21 (5 xn1 xn )2 5xn1 (5 xn1 xn )
xn2 xn21 5 xn xn1 5
Do đó ( xn1; xn2 ) cũng là nghiệm của phương trình (1.1).
Ta kết luận phương trình (1.1) có vô số nghiệm nguyên dương.
Từ phương trình (1.1), viết lại x 2 5 yx y 2 5 0 có vô số nghiệm ( x; y ) nguyên
dương, nên suy ra 25 y 2 4( y 2 5) 21 y 2 20 phải là số chính phương. Từ đậy, ta
xây dựng bài toán về dãy số
Bài toán 6. Cho dãy số xn được xác định: x0 1, x1 2, xn 2 5 xn 1 xn , n . Chứng
minh rằng số 21xn2 20, n đều là số chính phương.
Bài toán 7. Cho dãy số xn được xác định: x0 1, x1 2, xn 2 5 xn 1 xn , n . Chứng
minh rằng ( xn21 5) xn , n
17
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
Từ công thức dãy số xn : xn 2 5 xn1 xn , n xn2 2 25 xn21 xn2 10 xn xn 1 ,
kết hợp với xn2 xn21 5 5 xn xn1 , ta có xn2 2 23 xn21 xn2 10 .
Đặt xn2 yn , ta có bài toán.
Bài toán 8. Cho dãy số yn được xác định:
y0 1, y1 4, yn 2 23 yn 1 yn 10, n . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
yn đều là số chính phương.
2.
x2 y2 6
8 (2.1)
Xét phương trình có nghiệm nguyên dương
xy
Ta nhận thấy phương trình (2.1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) (1;1) . Lập dãy số xn xác định:
x0 1, x1 1,
xn2 xn21 6
8, n . (2.2)
xn xn 1
Từ công thức (2.2) suy ra xn2 xn21 8 xn xn1 6 0
(2.3)
xn21 xn2 8 xn1xn 6 0
(2.4)
Thay n bởi n-1, ta được
Từ (2.3) và (2.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai
x 2 8 xn x xn2 6 0
(2.5)
Theo Viet của phương trình (2.5) ta có
xn 1 xn1 8 xn xn1 8 xn xn1 , n 1
Và
xn1 xn1 xn2 6 xn1
xn2 6
, n
xn1
Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0 1, x1 1, xn 2 8 xn 1 xn , n có các cặp số
hạng ( xn ; xn1 ), n là nghiệm của phương trình (2.1).
Thật vậy, xét xn21 xn2 2 8 xn1xn 2 xn21 (8 xn1 xn ) 2 8 xn1 (8 xn1 xn )
xn2 xn21 8 xn xn 1 6
Do đó ( xn1; xn2 ) cũng là nghiệm của phương trình (2.1).
Ta kết luận phương trình (2.1) có vô số nghiệm nguyên dương.
Từ phương trình (2.1), viết lại x 2 8 yx y 2 6 0 có vô số nghiệm ( x; y ) nguyên
18
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
dương, nên suy ra / 16 y 2 ( y 2 6) 15 y 2 6 phải là số chính phương. Từ đậy, ta xây
dựng bài toán.
Bài toán 9. Cho dãy số xn được xác định: x0 1, x1 1, xn 2 8 xn 1 xn , n . Chứng
minh rằng số
5 xn2 2
, n đều là số chính phương.
3
Bài toán 10. Cho dãy số
xn được xác định:
x0 1, x1 1, xn 2 8 xn 1 xn , n .
Chứng minh rằng ( xn21 6) xn , n .
Bài toán 11. Cho dãy số
xn được xác định:
x0 1, x1 1, xn 2 8 xn 1 xn , n .
Chứng minh rằng số xn1xn 1 6, n đều là số chính phương.
Từ công thức dãy số xn : xn 2 8 xn 1 xn , n xn2 2 64 xn21 xn2 16 xn xn1 ,
kết hợp với xn2 xn21 6 8 xn xn1 , ta có xn2 2 62 xn21 xn2 12 .
Đặt xn2 yn , ta có bài toán.
Bài toán 12. Cho dãy số yn được xác định:
y0 1, y1 1, yn 2 62 yn 1 yn 12, n . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
yn đều là số chính phương.
3. Xét phương trình nghiệm nguyên dương x 2 y 2 10 3( x 1)( y 1)
(3.1)
Ta nhận thấy phương trình (3.1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) (1;1) . Lập dãy số xn xác
định: x0 1, x1 1, xn2 xn21 10 3( xn 1)( xn1 1) n
xn21 3( xn 1) xn1 xn2 3xn 7 0, n
(3.2)
Thay n bởi n-1 vào (3.2) ta được xn21 3( xn 1) xn1 xn2 3xn 7 0, n (3.3)
Từ (3.2) và (3.4) ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai
x 2 3( xn 1) x xn2 3xn 7 0
Theo Viet của phương trình (3.4) ta có
xn1 xn1 3( xn 1) xn 1 3xn xn1 3, n 1
Và
xn 1 xn 1 xn2 3 xn 7 xn1
xn2 3 xn 7
, n
xn 1
19
(3.4)
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
TRƯƠNG NGỌC ĐẮC
Như vậy, dãy số nguyên được xác lập x0 1, x1 1, xn 2 3 xn1 xn 3, n có các cặp
số hạng ( xn ; xn1 ), n là nghiệm của phương trình (3.1).
Từ phương trình (3.1), viết lại
x 2 y 2 10
3 hoặc ( x y )2 5 xy 3( x y ) 7 . Từ đậy,
( x 1)( y 1)
ta xây dựng hai bài toán.
Bài toán 13. Cho dãy số xn được xác định:
x0 1, x1 1, xn 2 3 xn1 xn 3, n .
Chứng minh rằng số ( xn21 xn2 10) ( xn1 1)( xn 1), n .
Bài toán 14. Cho dãy số xn được xác định:
x0 1, x1 1, xn 2 3 xn1 xn 3, n .
Chứng minh rằng số ( xn21 3xn1 7) xn , n .
Bài toán 15. Cho dãy số xn được xác định:
x0 1, x1 1, xn 2 3 xn1 xn 3, n .
Chứng minh rằng số 5 xn 1xn 3( xn1 xn ) 7, n đều là số chính phương.
4. Xét phương trình có nghiệm nguyên dương
x 1 y 1
4
y
x
(4.1)
Ta nhận thấy phương trình (4.1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) (1; 2) . Lập dãy số xn xác định:
x0 1, x1 2,
xn 1 xn1 1
4, n
xn1
xn
xn21 xn2 xn 1 xn 4 xn 1xn 0, n
xn21 (4 xn 1) xn1 xn2 xn 0, n
(4.2)
Từ (4.2), thay n bởi n – 1, ta được
xn21 (4 xn 1) xn1 xn2 xn 0, n
(4.3)
Từ (4.2) và (4.3), ta nhận thấy xn1, xn1 là nghiệm của phương trình bậc hai
x 2 (1 4 xn ) x xn2 xn 0, n
(4.4)
Theo Viet của phương trình (4.4), ta có
xn 1 xn 1 4 xn 1 Và xn1xn 1 xn2 xn
20
- Xem thêm -