Tài liệu Skkn-tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức

  • Số trang: 23 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 1518 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Tham gia: 02/08/2015

Mô tả:

Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” I. PHẦN MỞ ĐẦU I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI a) Lý do khách quan Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng. Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 6 nói riêng, tôi thấy môn Toán 6 - phân môn Số học luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt bởi kiến thức số học ở đây có nền tảng từ các lớp tiểu học, mở rộng, nâng cao kiến thức hơn với các dạng toán về kiến thức của phép chia hết, đặc biệt là phần kiến thức về lũy thừa. Đây là phần kiến thức mới lạ từ cách viết các lũy thữa đến tư duy kiến thức, kĩ năng khi làm Toán. Để đam hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm hiểu và ghi nhớ các công thức chính xác. Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Môn Toán ở trường THCS gồm ba phân môn là Số học, Đại số, Hình học. Số học là ngành học lâu đời nhất và đầy hấp dẫn của toán học, đã từng được một nhà toán học nổi tiếng gọi phân môn Số học là “Bà chúa của toán học”. Các bài toán số học đã làm say mê nhiều người, thế giới các con số, rất quen thuộc với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, là thế giới hết sức kỳ lạ, đầy bí ẩn. Loài người đã phát hiện ra trong đó biết bao tính chất hay, nhiều quy luật rất đẹp và có khi rất bất ngờ. Điều lý thú là mệnh đề khó nhất của số học được phát biểu rất đơn giản, ai cũng hiểu được, nhiều bài toán khó có thể giải rất sáng tạo với những kiến thức số học phổ thông. Phân môn Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn, đặc biệt vai trò của Số học thật mạnh mẽ bởi nó là sợi chỉ vô hình xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp học cho dù nó chỉ được nghiên cứu chính thức ở đầu lớp 6. Điều này càng khẳng định được sự ly kì của môn Toán với một thế giới những con số thật gần gũi nhưng vô cùng bí ẩn. b) Lý do chủ quan Trong quá trình giảng dạy Toán 6 và ôn thi Học sinh giỏi môn Giải toán bằng may tính cầm tay Casio lớp 9, môn giải toán trên mạng Internet Violympic các khối lớp THCS cũng như ôn Học sinh giỏi tạo nguồn các khối 6, 7, 8; 9 tôi thấy rằng mảng kiến thức về tìm chữ số tận cùng của một biểu thức (biểu thức là dãy các phép tính, biểu thức là một lũy thừa hoặc tổng hiệu các lũy thừa …) không được giới thiệu cụ thể mà chỉ được đưa vào yêu cầu bài tập một số bài tập cơ bản. Từ đó mở rộng, nâng cao yêu cầu đối với các đề thi Toán Violympic các khối lớp hoặc trong các đề thi Học sinh giỏi. Phần lớn kiến thức để giải quyết Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 1 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” các bài tập này là sự tích hợp, tích lũy của Giáo viên và học sinh để vận dụng giải quyết bài toán cho phù hợp trên cơ sở các dấu hiệu chia hết, các nhận xét về các tổng - tích đặc biệt, các kiến thức cơ bản và mở rộng về lũy thừa.. . Chẳng hạn như, với yêu cầu là: “Tìm chữ số tận cùng của biểu thức 2.3.4.5.6.7 + 9100 ” thì nhiều học sinh thấy rất khó, cảm thấy “sợ” suy nghĩ để làm bài…Hơn nữa, đối với học sinh THCS, phân môn Số học nói chung là một mảng khó trong chương trình toán. Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán tìm chữ số tận cùng, tìm số dư trong một phép chia số quá lớn, hay chứng minh bài toán chia hết về lũy thừa. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết trừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán. Trong đó điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng. Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” trong chương trình Toán lớp 6 nói riêng và vận dụng trong Toán học THCS nói chung với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được thật nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để SKKN này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ chưa thật trọn vẹn, song tôi luôn hy vọng rằng sự tích lũy của tôi sẽ góp được một điều nhỏ bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức khó này. Đây là mong muốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này. I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài. 1. Yêu cầu với giáo viên: - Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài tìm chữ số tận cùng cho một số dạng toán điển hình. - Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó. - Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong nghiên cứu. - Hướng mở rộng SKKN trong điều kiện thực thi được nội dung mở rộng. 2. Yêu cầu với học sinh: - Củng cố được các kiến thức nền tảng liên quan phục vụ cho SKKN và nhận dạng được từng loại bài tập, vận dụmg phương pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán. Từ đó hiểu được bản chất các dạng bài tập. - Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó với cách giải hay hơn. Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra một số bài toán điển hình về cách tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức chứa dãy các phép tính và biểu thức về lũy thừa trong chương trình Toán 6 và một số vấn đề mở rộng cơ bản liên quan. Cụ thể: Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 2 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” - Hệ thống hoá một số bài toán điển hình về cách tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức chứa dãy các phép tính và biểu thức về lũy thừa trong chương trình toán 6, từ dó mở rộng với một số bài toán cơ bản. - Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sáng kiến. Từ đó phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. - Một điều nữa là bản thân tôi dần được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học giáo dục, ngày càng nâng cao nhận thức, những lí luận cần thiết về chuyên môn phục vụ cho công việc giảng dạy của bản thân. I.3. Đối tượng nghiên cứu. - Kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một tổng – hiệu – tích, của một lũy thừa, tổng – hiệu các lũy thừa, lũy thừa của lũy thừa trong chương trình toán 6 và một số tài liệu liên quan. - Học sinh lớp 6 ở bậc trung học cơ sở Trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana các năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011 I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Do tuổi đời và tuổi nghề chưa nhiều, với sự tích lũy có hạn của bản thân, tôi chỉ mạn phép nghiên cứu về cách tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức chứa dãy các phép tính và biểu thức về lũy thừa trong chương trình toán 6, từ đó mở rộng với một số bài toán cơ bản phân môn Số học 6 và mở rộng ở mức độ cơ bản trong chương trình toán số học THCS nói chung. I.5. Phương pháp nghiên cứu 1/ Phương pháp thu thập và xử lý số liệu. 2/ Phương pháp thực nghiệm. 3/ Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 4/ Phương pháp tác động giáo dục. 5/ Phương pháp đàm thoại. II. PHẦN NỘI DUNG II.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ II.1.1. Cơ sở lý luận thực tiễn Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế kỉ XX nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả”. Sự phát triển của các nhà khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”. Môn số học tuy chỉ được học ở 6 năm đầu của trường phổ thông, nhưng các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi học sinh giỏi toán ở hầu hết các nước trên thế giới. Trong thực tế, nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số hay một biểu thức mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của chúng. Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 3 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4; 8 hoặc chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta chỉ cần lần lượt xét một, hai, ba chữ số tận cùng của số đó. Vấn đề tìm chữ số tận cùng của những biểu thức đơn giản hay những luỹ thừa bậc thấp thì học sinh dễ dàng biết được. Vấn đề đặt ra là đứng trước những biểu thức phức tạp hay những luỹ thừa bậc cao thì làm thế nào học sinh định hướng được cách giải ? Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản liên quan đến cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức. Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán về tìm hai, ba chữ số tận cùng của một biểu thức về lũy thừa trong phần bài tập tự luyện. Mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những sai sót trong trình bày, trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa. Một điều nữa là bài tập về tìm chữ số tận cùng của một biểu thức và các bài tập vận dụng về dạng toán này rất đa dạng và phong phú, nhiều mức độ, có những bài rất hay, rất khó. Trong phạm vi nghiên cứu SKKN này, tôi xin phép giới thiệu một số tính chất, nhận xét và phương pháp giải bài toán “tìm một chữ số tận cùng” qua việc vận dụng kiến thức THCS làm cơ sở khoa học giải quyết vấn đề của SKKN này liên hệ mở rộng một số bài ở các lớp sau. II.1.2. Cơ sở khoa học Kiến thức Lí thuyết 1/ Chữ số tận cùng của một biểu thức dạng tổng, tích - Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. - Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. - Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0, 2, 6. - Một số chính phương có tận cùng là 0,1,4,5,6,9. 2/ Chữ số tận cùng của một lũy thừa 2.1) Định nghĩa: a n = a. a. ... .a ; (n thừa số a); (với a,n  N; n 1 ) 2.2) Nhân (chia) hai luỹ thừa cùng cơ số a) a m . a n = a m+n b) a m : a n = a m-n (a �0 ; m �n ) Quy ước: a 0 = 1 (a  0) ; 2.3) Lũy thừa của một tích: a1  a  a . b n = a n . bn n an a  Lũy thừa của một thương:   = n ;b  0 b b 2.4) Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m ) n = a m.n Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 4 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” 2.5) Một số tính chất nhận xét về chữ số tận cùng của một lũy thừa * Tính chất 1 : a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. * Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. * Tính chất 3 : a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 3/ Một số dạng tổng quát cần nhớ về chữ số tận cùng của một lũy thừa: Với n là số tự nhiên, ta có:  ...0  ...0 , với mọi số tự nhiên n 2.  ...1  ...1 , với mọi số tự nhiên n 3.  ...5  ...5 , với mọi số tự nhiên n 4.  ...6  ...6 , với mọi số tự nhiên n 5.  ...4  ...4 , nếu n lẻ;  ...4  ...6 , nếu n chẵn 6.  ...9  ...9 , nếu n lẻ;  ...9   ...1 , nếu n chẵn 7.  ...2  ...6;  ...2  ...2;  ...2   ...4;  ...2  8.  ...3  ...1;  ...3  ...3;  ...3  ...9;  ...3 9.  ...7   ...1;  ...7   ...7;  ...7   ...9;  ...7   ...8  ...6;  ...8  ...8;  ...8  ...4;  ...8  ...2 n 1. n n n n n n n 4n 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4n 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4n 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4n 4 n 1 4 n2  ...8  ...7  ...3 4 n 3 II.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 5 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” a. Thuận lợi – khó khăn Thuận lợi: SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thời gian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hoàn thành. Với lượng kiến thức nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra. Đồng thời thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn. Khó khăn: Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề của bản thân còn quá non trẻ, ít kinh nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học, lại là những năm đầu bước vào nghề nên bản thân tôi còn nhiều lúng túng. Do đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 6 còn nhỏ, tính tự giác trong học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì GV sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các em mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn. b. Thành công – hạn chế Thành công: SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt kết quả tốt. Đồng thời tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Casio (năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2013 – 2014), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2012; 2012 – 2013), thi Violympic khối 9 (2013 – 2014). Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả đại trà và công tác bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua. Hạn chế: Học sinh khối 6 mới bắt đầu làm quen cách học mới của cấp THCS. Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu phép toán cụ thể, trực quan, tốc độ nghe – ghi – nghĩ – nói chậm hơn. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về phép chia hết nói riêng đối với các em là Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 6 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu. c. Mặt mạnh – Mặt yếu Mặt mạnh Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS. Mặt yếu: Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ kiến thức logic, đề bài quá “cồng kềnh” hoặc quá “đơn giản”, dẫn đến học sinh dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một vấn đề để chúng ta trăn trở, suy nghĩ và chuẩn bị kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, chúng ta tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra. d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động. Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều, học sinh có xu hướng thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học ôn quá nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học rất giỏi, có ý thức rèn luyện và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong. Trong mảng kiến thức về lũy thừa, tìm chữ số tận cùng của lũy thừa, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày. Vì vậy mà các em nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại làm bài tập tương tự. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập. e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy lại sự tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ thống lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ dễ đến khó. Giáo viên cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh. II.3. GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 7 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” II.3.1. MỤC TIÊU CỦA GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ đạo của thầy và chủ động của trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập ở các em để các em tự giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức cho bản thân... Để áp dụng tốt một số kiến thức về phép chia hết vào làm bài tập cần sử dụng hợp lý tất cả các phương pháp dạy học: Đặt vấn đề, đàm thoại - gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để tăng thêm động lực, niềm phấn khích đối với các em. … để các em có thể tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất. II.3.2. NỘI DUNG VÀ CÁCH THỨC THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP. NỘI DUNG Một số dạng bài tập điển hình. Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức dạng tổng, tích Ví dụ 1: a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tích của chúng có thể là một số lẻ được không? b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì tổng của chúng có thể là một số lẻ được không? c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không? Gợi ý: a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm một số chẵn và một số lẻ, do đó tích của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ được). b) Tích hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tích đó gồm hai thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là một số chẵn (không thể là một số lẻ được). c) Lấy “tổng” cộng với “hiệu” ta được hai lần số lớn, tức là được một số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (không thể một số là chẵn, số kia là lẻ được). Ví dụ 2 : Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai? a) 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744 b) 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115. c) 5674 . 163 = 610783 Gợi ý: a) Sai. Vì đây là tổng của 5 số lẻ nên kết quả là một số lẻ. b) Sai. Vì đây là tổng của các số chẵn nên kết quả là một số chẵn. c) Sai. Vì tích của một số chẵn với bất kỳ một số nào cũng là một số chẵn. Ví dụ 3: Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 8 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Gợi ý: Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán). Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9. Ta 24 024  10 000  10 . 10 . 10 . 10 có: 24 024  160 000  20 . 20 . 20 . 20 Nên tích của 4 số đó là : 11 .12 . 13 .14 hoặc 16 . 17 . 18 .19. Vì : 11 . 12 . 13 . 14 = 24 024 16 . 17 . 18 . 19 = 93 024. Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14 Ví dụ 4: Tính 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ... . 48 . 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0? Gợi ý: Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Hay 5 = 1 . 5 ; 10 = 2 . 5 ; 15 = 3 . 5; ........; 45 = 9 . 5. Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0. Ví dụ 5: Hùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Hùng tính đúng hay sai? Gợi ý: Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ. Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Hùng tính tổng của số lượng các số lẻ là 50 – 10 = 40 (số) Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Hùng đã tính sai. Ví dụ 6: Tích 20 . 21 . 22 . 23 . ... . 28 . 29 tận cùng bằng mấy chữ số 0? Gợi ý: Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0 Ta lại có 25 = 5 . 5 nên 2 thừa số 5 này khi nhân với 2 số chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0. Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0. Ví dụ 7: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0: 13 . 14 . 15 . ... . 22 Gợi ý: Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích. Vậy tích trên có 2 chữ số 0. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 2492008 Nhận xét: Các số có tận cùng bằng 9 nâng lên luỹ thừa bậc chẵn được số có tận cùng bằng 1. Do đó ta có: 2492008 = ....1 . Vậy chữ số tận cùng của 2492008 là 1 b) 71995 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của: a) 81997 Nhận xét: a) Các số có tận cùng bằng 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 6. Các số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có: 81997 = 84.499 + 1 =  84  499   . 8 = ...6 499   . 8 = ...6 . 8 = ...8 . Vậy chữ số tận cùng của 81997 là 8 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 9 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào cũng được số có chữ số tận cùng bằng 1. Do đó ta có: 71995 = 74.498 + 3 =  7 4  498   . 73 = ...1 498      ...3  ...1 ...3  ...3 Vậy chữ số tận cùng của 71995 là 3 Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của các số : a) 799 b) 141414 c) 4565 Gợi ý:     = 7 .7 =  ...1 . ...3  =...3 Dó đó: 7 = 7 b) Ta có  ...4   ...4 , nếu n lẻ;  ...4  a) Ta có: ...7 99 4n    ...1; ...7 4.24 + 3 4k 4 n 1  ...7; ...7 4 n2  ...9; 141414 = 142n  ...6 c) Ta có 4565 = 44.141 + 1 =  44  .141   .4  ...6 141 n  ...6;  ...2 4 n 1  ...2   ...2;   Do đó: 182324 =  1824  = ...6 81  ...3  ...6 , nếu n chẵn. Do đó: .4  ...4 Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của 182324 Nhận xét: 4n 4 n 3 3 n  ...2   ...7 81 4 n 2  ...4; Ta  ...2  4 n 3 thấy  ...8  ...6 . Vậy chữ số tận cùng của 182324 là 6 Ví dụ 5: Tìm chữ số tận cùng của  3245324  209    =  ...5 =...5 . Vậy chữ số tận cùng của  3245  n Nhận xét: Ta thấy ...5  ...5 với mọi số tự nhiên n.  3245 324 209 209 324 209 là 5 Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một tổng – hiệu các lũy thừa Ví dụ 6: Tìm chữ số tận cùng của các hiệu, tổng : a) 77 2001  212001 b) 12591  12692 a) Nhận xét cách làm: + Tìm chữ số tận cùng của 77 2001 và 212001 + Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được. 77 2001  212001  ...  ...7  ...1  ...6 Vậy chữ số tận cùng của hiệu 772001 – 212001 là 6 b) Nhận xét cách làm: + Tìm chữ số tận cùng của 12591 và 12692 + Tính hiệu hai chữ số tận cùng vừa tìm được. uur 12591  12692 = ...= ...5  ...6  ...1 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 10 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Vậy chữ số tận cùng của tổng 12591 + 12692 là 1 Ví dụ 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng: S = 21 + 35 +49 +... +20048009 Nhận xét: Theo tính chất 2 ta có: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. - Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa bằng tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng ấy. Ta thấy mọi luỹ thừa trong tổng S có số mũ khi chia cho 4 đều dư 1 (các luỹ thừa đều có dạng n 4(n - 2) + 1 , với n � 2;3;...2004 ). Do đó, mọi luỹ thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của chính mỗi lũy thừa đó. Nên: S  21  35  49  ...  20048009    21  35  49  ...929   200  1033  2073  ...  20007993    1137  ..  19997989    20017997  ...  20048009    2  3  4...  9   221 1  2  ...  9   1  2  3  4  222  1  2  ...  9   9  9999 Vậy tổng: S = 21 + 35 +49 +... +20048009 có chữ số tận cùng là 9 Ví dụ 8: Tìm chữ số tận cùng của tổng: A = 23 +37 +411 +... + 20048011. Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong A đều có số mũ là một số khi chia cho 4 dư 3 (các luỹ thừa đều có dạng n 4(n-2)+3 ; n � {2;3; ...;2004}. Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8. 37 có chữ số tận cùng là 7 411 có chữ số tận cùng là 4… Như vậy, tổng A có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng sau: S  23  37  411  ...  20048009    23  37  411  ...93   200  1035  2075  30115...  20007995    1139  12 43...  1999 7989    20017997  ...  20048011   8  7  4  5  6  3  2  9   221 1  8  7  ...  9   1  8  7  4  222  1  8  7  ...  9   19  10009 Vậy chữ số tận cùng của A là 9. Sau khi học sinh đã thành thạo cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức, ta có thể nâng cao khả năng tư duy của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh và tìm số dư trong phép chia thông qua một số bài tập sau: Dạng 4: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để chứng minh bài toán về phép chia hết Ví dụ 9: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau chia hết cho 10 a)175  244  1321 b)8102  2102 Nhận xét: - Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0. Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức”   - Ta đã biết: ...4  ...7   ...3 4n 4n  ...1;  ...1; n    ...7   ...3  ...4 , nếu n lẻ; ...4  ...7   ...3 4 n 1  ...7; 4 n 1  ...3; n  ...6 , nếu n chẵn 4 n2 4 n2  ...9;  ...9;  ...7   ...3 4 n 3 4 n 3  ...3  ...7 a) Ta thấy: 175 = 17 4 . 17 = ...1 .17 = ...7 => chữ số tận cùng của 175 là 7 244 = ...6 => chữ số tận cùng của 244 là 6 1321 =  1320  .13 =  134  .13 =...1.13 = ...3 => chữ số tận cùng của 13 là 3 5 21 Vậy chữ số tận cùng của 175  244  1321  ...7  ...6  ...3 =...0 . Mà một số có chữ số tận cùng là 0 sẽ chia hết cho 10 do đó 175  244  1321 chia hết cho 10 b) Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có chữ số tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 6. Do đó ta có:   8102 =  84  . 82 = ...6 25 25 . 64 =...6 . 64 =...4 => Chữ số tận cùng của 8102 là 4 2102 =  24  .22 =1625 .4 =...6.4 = ...4 => Chữ số tận cùng của 2102 là 4 25 Vậy 8102  2102 tận cùng bằng 0 nên 8102  2102 chia hết cho 10 n Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi n �N* ; n >1 thì 22 +1 có chữ số tận cùng là 7 n n 2 Ta xét số mũ 2n , ta có: 2n = 22 . 2n-2 =4. 2n-2 , do đó 22  24.2 (24 ) 2 n 2   16  2n  2 có chữ số tận cùng là 6. n Vậy 22 +1 có chữ số tận cùng là 7. Dạng 5: Vận dụng tìm chữ số tận cùng để tìm số dư trong phép chia Ví dụ 11: Tìm số dư trong phép chia 7129 cho 5   Vì 7129 = 7 4.32+1 =  7 4  .7 = ...1 32 32 .7 = ...7 � 7129 có chữ số tận cùng là 7 nên khi chia 7129 cho 5 thì dư 2 Vậy số dư của phép chia 7129 cho 5 là 2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ MỞ RỘNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Không làm phép tính, hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận cùng bằng chữ số nào? a) (1999  2378  4545  7956) - (315  598  736  89) b) 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . ... . 99 c) 6 . 16 . 116 . 1216 . 11996 d) 31 . 41 . 51 . 61 . 71 . 81 . 91 e) 56 . 66 . 76 . 86 - 51 . 61 . 71 . 81 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Bài 2: Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 a) 1 . 2 . 3 . ... . 99 . 100; b) 85 . 86 . 87 . ... . 94; c) 11 . 12 . 13 . ... . 62 Bài 3: Không làm tính, xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại sao? 136 . 136  41 = 1960 Bài 4: Cho số a = 1234567891011121314. . . được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số. Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931; 8732 ; 58337 ; 2335 Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (2345)42 ; (5796)35 Bài 7: Cho A =51n + 47102 (n �N) . Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10 Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau. Từ đó tìm số dư khi chia mỗi tổng, hiệu đó cho 2, cho 5? a) 132001  82001 b) 7552  218 c) 12591 +12692 d) 116 +126 +136+146 +156 +166 e) 7 2008 +7 2009 +72010 f) 22004 + 22005 + 2 2006 g) 22007 + 22008 + 22009 Bài 9: Chứng tỏ rằng với mọi n �N * (n  1) thì (22 ) 2n 1  1 có chữ số tận cùng là 5 Bài 10: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n: a)  7 4n  1 M 5 c)  24n+1 +3 M5 b)  34n+1 +2  M 5 d)  92n+1 +1 M 10 BÀI TẬP MỞ RỘNG * Dạng toán: Tìm hai chữ số tận cùng Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến những số đặc biệt như sau: - Các số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 01 - Các số có tận cùng bằng 25 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 25 - Các số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có chữ số tận cùng bằng 76 - Các số ...320 , ...815 , ...7 4 , ...512 , ...992 có chữ số tận cùng bằng 01 - Các số ...220 , ...65 , ...184 , ...242 , ...684 , ...742 có số chữ tận cùng bằng 76 - Số ...26n (n  1) có chữ số tận cùng bằng 76 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 13 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 Hướng dẫn: Chú ý rằng: 210 =1024 , bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì được số có chữ số tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:  2100 =(210 )10 =102410 =  10242  = ...76 5  5 = ...76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 62011 Hướng dẫn: Ta thấy: 65 = 7776 , số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng được số có chữ số tận cùng bằng 76. Do đó ta có:  62011 = 62010 . 6 = (65 )402 . 6 = ...76  402 . 6 =...76 . 6 = ...56 Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56 * Dạng toán tìm ba chữ số tận cùng trở lên Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, ta cần chú ý đến các số đặc biệt sau: - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 001 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376 - Các số có ba chữ số tận cùng bằng 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 625 - Các số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có bốn chữ số tận cùng bằng 0625 Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 10012230 và 5016780 Hướng dẫn: +) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001 Ta có 10012230 = ...001 Vậy ba chữ số tận cùng của 10012230 là 001 +) Ta thấy các số có tận cùng bằng 001 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 001. Do đó ta có: 5016780 = (5012 )3390 = 2510013390 =...001 Vậy ba chữ số tận cùng của 5016780 là 001 Ví dụ 4: Tìm bốn chữ số tận cùng của 53404 ; 53405 Hướng dẫn: Ta có: 53404 =(54 )851 =625851 =0625851 =...0625 Vậy bốn chữ số tận cùng của 53404 là 0625 Suy ra 53405  53404 .5  ...0625.5  ...3125 Vậy bốn chữ số tận cùng của 53405 là 3125 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 14 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Ví dụ 5: Chứng minh rằng 262375 chia hết cho 8 Hướng dẫn: Ta thấy: 265 = 11881376 , số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) thì được số có ba chữ số tận cùng bằng 376. Do đó ta có:  262375 =(265 )475 = ...376  475 =...376 Mà 376 chia hết cho 8 nên ...376M 8 (vì một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8). Vậy 262375 chia hết cho 8 Bài tập tương tự: 1. Tìm hai chữ số tận cùng của 511999 (Đáp án: hai chữ số tận cùng của 511999 là 51) 2. Tìm chữ số hàng chục của tổng S = 7 2008 + 7 2009 + 7 2010 (Đáp án: chữ số hàng chục của S = 7 2008 + 7 2009 + 7 2010 là 5) Trên đây là một số bài tập điển hình tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể. Qua việc áp dụng các kiến thức về lũy thừa và các nhận xét về chữ số tận cùng của một tích, một tổng, ..để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán học một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, nhanh nhạy, tối ưu các tình huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụng kiến thức đã học vào thực tế. CÁCH THỨC THỰC HIỆN: Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về phép chia hết, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau: 1. Thứ nhất, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức như một số dạng nêu trên. Sau đó, cho học sinh so sánh với kiến thức liên quan đã học ở bậc tiểu học để các em thấy những kiến thức này thật ra là quen thuộc, ở lớp 6 có mở rộng và cao hơn. 2. Thứ hai, giáo viên hướng dẫn cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết về những bài tập cơ bản và các dạng bài tập cụ thể, đa dạng từ dễ đến khó. Cần rèn luyện thêm cách lập luận và trình bày bài làm cho học sinh vì đây là học sinh đầu cấp, còn bỡ ngỡ nhiều với phương pháp học tập ở cấp THCS. Đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy. 3. Thứ ba, bài tập về chữ số tận cùng của một biểu thức nhiều, muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng giáo viên nên chốt lại phương pháp làm bài và các kiến thức đã áp dụng như các quy tắc, các nhận xét, song sau khi giải hoặc hướng dẫn giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm là mấu chốt của bài toán để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ. 4. Thứ tư, mỗi giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ các em, tạo tâm thế yên tâm, tin tưởng cho các em phấn đấu bởi trong thực tế chắc chắn có nhiều em học rất tốt, nhưng cũng có nhiều em học yếu, đôi lúc làm chúng ta Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 15 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” buồn bực, thất vọng. Đây cũng có thể là một yếu tố tác động tích cực nhằm đem lại kết quả khả quan hơn trong quá trình dạy và học của cả giáo viên và học sinh. 5. Cuối cùng, tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp dạy kiến thức mới, củng cố kiến thức cũ đan xen các bài kiểm tra về các dạng bài tập, các mảng kiến thức đã học, khi có sự đánh giá, nhận xét của giáo viên thì học sinh phần nào biết được mức độ năm bắt kiến thức của bản thân để điều chỉnh tốt hơn II.3.3. ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP. Các giải pháp nêu trên được thực hiện trực tiếp trong quá trình dạy – học của giáo viên – học sinh, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán các khối lớp THCS với những kiến thức liên quan. Trên cơ sở tích lũy của giáo viên và sự chuẩn bị chu đáo cho nội dung các bài dạy thì hiệu quả đề ra sẽ khả quan hơn. Bên cạnh đó, có thể mở rộng kiến thức vào các bài tập nâng cao đối với học sinh khá giỏi trong những tiết học hai buổi… II.3.4. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ tương tác, mang tính biện chứng. Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn nhau. Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản cho quá trình dạy - học (là nền tảng). Giải pháp (2) tạo sự bền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm. Giải pháp (3) là nhân tố tác động có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả cho người học khi người học có ý thức tự giác và cố gắng. Giải pháp (4) hỗ trợ, tạo động lực cho người học, tạo phấn khích để tăng thêm ý chí cố gắng và lòng quyết tâm, vững tin hơn đối với chủ thể của quá trình tiếp cận tri thức của nhân loại. Cuối cùng, giải pháp (5) như đòn bẩy, tạo sức bật cho người học, tạo sự hấp dẫn, bí ẩn cho kiến thức toán học vốn dĩ khó, khô khan, bí ẩn. Nhìn chung các giải pháp này đan xen, tương tác với nhau, tạo nên những nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu quả riêng cho mỗi giáo viên bởi hiệu quả đạt được của quá trình dạy học còn phụ thược vào nghệ thuật riêng của mỗi nhà giáo II.3.5. KẾT QUẢ KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA HỌC CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.  Bản thân tôi đã trực tiếp vận dụng các giải pháp vào các lớp dạy của mình thì thấy sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại hiệu quả một cách thiết thực.  Học sinh học tập một cách tích cực, chủ động.  Mỗi tiết học đều có những chuyển biến tích cực trong việc lĩnh hội kiến thức, kĩ năng thực thực đối với học sinh.  Sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa đóng góp về mặt lý luận. II.4. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC QUA KHẢO NGHIỆM, GIÁ TRỊ KHOA HỌC CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Qua quá trình tích lũy và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, bản thân tôi thấy trước hết tôi đã tích lũy cho mình được vốn kiến thức nho nhỏ về cách tìm chữ số tận cùng của một biểu thức để có thể phục vụ công việc giảng dạy và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của bản thân. Đối với học sinh, sau mỗi năm học lớp 6, mỗi kì thi học sinh giỏi, tôi nhận thấy đa số các em đã biết tích lũy kiến thức cơ bản, nhiều em trong số đó đạt kết quả cao trong học tập, đạt giải cao trong thi học sinh giỏi các môn về Toán học. Cụ thể trong những năm qua, kết quả của chủ đề tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa mà tôi bổ trợ cho học sinh đã đạt kết quả như sau: Năm học 2011 – 2012 - Đa số học sinh tính kết quả bằng máy tính rồi kết luận chữ số tận cùng của biểu thức. Khi gặp lũy thừa có số mũ lớn lúng túng và nản chí - Vận dụng ôn tập HSG khối 9 các môn Toán : Học sinh vững vàng, chủ động và tự tin khi làm dạng toán này. Năm học 2012 – 2013 - Nhiều học sinh học trung bình nên chỉ năm các bài tập đơn giản, hiểu nội dung kiến thức nhưng mau quên - Khi ôn thi HSG với chuyên đề này, học sinh thích thú, vận dụng giải toán bằng máy tính tốt, tự tin khi tìm một, hai, ba chữ số tận cùng khi thi Violympic Toán 9 Kết quả thi học sinh giỏi các cấp - Năm học 2011 – 2012: 6 em đạt HSG Violympic cấp tỉnh : 01 giải nhất,02 giải nhì,03 giải khuyến khích - Năm học 2012 – 2013: 1 em đạt HSG Violympic cấp quốc gia : 01 công nhận - Năm học 2013 – 2014: đạt 03 HSG Toán Huyện, 01 HSG Toán Tỉnh (giải KK), 02 HSG Casio Tỉnh (01 giải Ba:01 KK)... Theo tôi nghĩ nội dung nghiên cứu của SKKN này sẽ đáp ứng được lượng kiến thức cần thiết cho các em học sinh có thể tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời đối với mỗi giáo viên, đã tạo cho chúng ta nhiều suy nghĩ để mỗi người tự tích lũy thêm cho bản thân vốn kiến thức ngày một trọn vẹn để mỗi ngày dạy tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau này hay và giá trị hơn những ý tưởng có trước. III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: III.1. KẾT LUẬN Người viết: Đoàn Công Nam Năm học 2013 – 2014 - Đa phần các em trong các lớp tạo nguồn đã rèn được cách trình bày bài toán, bình tĩnh suy nghĩ tìm hướng giải cẩn thận. Có 06 em trong đội tuyển thi Toán Violympic Tỉnh Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Việc giải các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một biểu thức là việc làm cần thiết đối với học sinh khá giỏi ở lớp 6 và các lớp cao hơn. Tuy nhiên việc đi tìm các chữ số tận cùng của một số viết dưới dạng luỹ thừa hay một biểu thức có chứa luỹ thừa là một câu hỏi mà không ít các em học sinh học ở mức khá giỏi lúng túng dẫn đến làm bài một cách máy móc, phán đoán, mò mẫm. Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên sau khi áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 6 các năm học 2007 – 2008; 2009 – 2010; 2010 – 2011 và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, môn giải toán trên máy tính cầm tay Casio, môn giải toán trên Mạng Internet Violympic mà bản thân tôi đã đảm nhận tôi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt khi giải các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một biểu thức và vận dụng nó vào giải các bài toán chia hết, tìm số dư,....Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm các chữ số tận cùng của một biểu thức, đồng thời các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp để trình bày lời giải một cách ngắn gọn và đầy đủ. Học sinh không còn lúng túng khi gặp phải những bài tập dạng này mà các em đã thấy hứng thú, vui vẻ khi gặp các loại toán này trong quá trình học cũng như thi. Đặc biệt các em chủ động tìm tòi và phát huy khả năng sáng tạo trong lời giải. Do vậy kết quả thi học sinh giỏi các cấp nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích học môn toán hơn. Trên đây là những suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo để giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán của bản thân tôi trong quá trình thực hiện nhiệm vụ được giao. Để thực sự nắm vững và có kĩ năng thành thạo trong việc vận dụng vào giải toán thì ngay từ đầu khi học, giáo viên có thể chọn lọc từng phương pháp phù hợp với từng khối lớp nhằm khai thác và phát triển từ bài toán cụ thể trong SGK và sách bài tập, tạo điều kiện bồi dưỡng tư duy toán học cho những đối tượng học sinh khá, giỏi từ đó gây được hiệu ứng tích cực và lòng say mê sáng tạo trong học tập nói chung và trong học toán nói riêng. Qua quá trình nghiên cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức nâng cao năng lực chuyên môn góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ được giao, tạo hứng thú cho các em trong học toán, nâng cao chất lượng giáo dục và góp phần nhỏ bé của mình vào sự nghiệp giáo dục của Đảng, Nhà nước. Một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra trong quá trình giảng dạy và thực hiện nhiệm vụ chuyên môn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện hơn trong quá trình chỉ đạo chuyên môn để đáp ứng được với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục trong thời thời kì hiện nay. - Sáng kiến kinh nghiệm mang lại những ý nghĩa nhất định:  . Ý nghĩa thực tiễn: - Vận dụng, một số giải pháp trên trong giờ dạy tôi đã mang đến những giờ học trực quan cho học sinh, giúp các em tiếp thu bài được tốt hơn và nhớ lâu hơn những gì mà các em đã học được. Đồng thời, cách làm này còn giúp chúng tôi Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” đỡ vất vả hơn trong việc quản lý và hướng dẫn học sinh học tập, tạo sự gần gũi giữa giáo viên và học sinh, giúp các em mạnh dạn phát huy hết khả năng của mình. Phạm vi áp dụng: - Có thể nói rằng đề tài này được nhiều đồng nghiệp quan tâm, thúc đẩy chúng tôi cùng thực hiện và ngày càng bổ sung cho nhau hơn để mang lại hiệu quả tốt nhất trong giờ dạy. - Đề tài đã áp dụng cho học sinh khối 6 trường THCS Lương Thế Vinh – Krông Ana – ĐắkLắk.  Bài học kinh nghiệm - Giáo viên linh hoạt khi giảng dạy đồng thời kích thích khả năng tư duy của học sinh có biểu hiện tốt để khuyến khích động viên tinh thần những học sinh khác, nhất là các học sinh yếu có thể học hỏi nhiều từ bạn mình. - Giáo viên phải thực sự tâm huyết với nghề, nhiệt tình với học sinh, làm việc với tinh thần đầy trách nhiệm. - Giáo viên cần đầu tư kĩ cho bài dạy để học sinh có thể quan sát và vận dụng kiến thức vừa tiếp thu thì các em sẽ khắc sâu hơn. - Xây dựng nhóm học sinh nòng cốt của lớp để giúp đỡ học sinh yếu kém. III.2. KIẾN NGHỊ III.2. Kiến nghị Qua quá trình giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua thực tế tìm hiểu quá trình dạy và học của học sinh. Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến như sau: - Ở các trường nên tăng thêm một vài hoạt động ngoại khóa toàn trường về tìm hiểu kiến thức phổ thông theo từng môn để học sinh có cơ hội giao lưu, học hỏi và khẳng định bản thân, giúp các em hăng say học tập và đam mê nghiên cứu để thể hiện mình hơn như ngoại khóa vui học cùng toán học, cùng khám phá những ẩn số, những con số bí ẩn… - Chúng ta cần có những buổi chuyên đề bàn sâu về một nội dung, một trọng điểm hay một vấn đề cụ thể của Toán học để thu hút đông đảo sự tham gia của toàn bộ giáo viên trong trường, trong cụm hoặc trong huyện (tùy vào phạm vị tổ chức). Trên đây là nội dung sáng kiến kinh nghiệm của tôi. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này. Do năng lực và kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô, đồng nghiệp và quý bạn đọc để SKKN này được hoàn thiện hơn Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu thêm về đề tài này nên những ý kiến đóng góp của quý thầy cô sẽ giúp tôi hoàn thành đề tài một cách trọn vẹn. Mọi ý kiến đóng góp, quý thầy cô xin gửi về địa chi e-mail: dcnam.ltv@gmail.com. Xin chân thành cảm ơn! Krông Ana, Ngày 03 tháng 01 năm 2015 Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 19 Một số kinh nghiệm giải bài toán “Tìm một chữ số tận cùng của một biểu thức” Người viết Đoàn Công Nam TT 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Chữ viết tắt SKKN SGK THCS GV ƯCLN THCS HSG KÝ HIỆU VIẾT TẮT Viết đầy đủ Sáng kiến kinh nghiệm Sách giáo khoa Trung học cơ sở Giáo viên Ước chung lớn nhất Trung học sơ sở Học sinh giỏi TƯ LIỆU THAM KHẢO Các chuyên đề số học bồi dưỡng Học sinh giỏi – Tác giả Phạm Minh Phương - Sách giáo khoa toán 6; Sách giáo viên toán 6; Sách bài tập toán 6 (tập 1) - Sách Nâng cao và phát triển toán 6 – Tác giả Vũ Hữu Bình - Một số chuyên đề về tìm một, hai, ba chữ số tận cùng của một lũy thừa trên Tạp chí Toán tuổi thơ 2. - Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS phần số học (nhóm tác giả Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Đỗ Quang Thanh… ) của nhà xuất bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh - Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi của tác giả phạm Minh Phương – nhà xuất bản Giáo dục. Người viết: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang: 20
- Xem thêm -