Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học được nhiều học
sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học không gian thì lại mang
nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt là hình học không gian
tổng hợp. Đây cũng là phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học – Cao
đẳng những năm gần đây, vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, có
khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng của hình học
không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua
khó khăn, trở ngại đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi có chút kinh
nghiệm giảng dạy các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể
tích mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn
toán .
Năm học 2014-2015 đã đến , với mong muốn có thể cung cấp cho các em học
sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu và
viết đề tài: “Tỉ số thể tích trong hình học không gian ”.
2. MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Cung cấp cho học sinh một số phương pháp ứng dụng của tỉ số thể tích để
tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khả năng phân tích tổng hợp, tư duy
cao…
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Khách thể nghiên cứu: học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang
Trung.
- Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện
- Phạm vi nghiên cứu: các bài toán tính thể tích khối đa diện có ứng dụng
của tỉ số thể tích
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu sử dụng ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện có nâng
cao chất lượng học sinh
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tóm tắt một số nội dung quan trọng liên quan đến dạng toán tính thể tích
khối đa diện.
- Nghiên cứu ứng dụng của tỉ số thể tích
- Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện bằng ứng dụng tỉ số thể tích
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
- Phân tích, tổng hợp,quan sát..
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm: dạy học phần tính thể tích khối đa diện có
ứng dụng tỉ số thể tích.
7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Đề xuất cách tính thể tích khối đa diện bằng cách ứng dụng tỉ số của thể tích
trong dạy học môn hình học 12 THPT
8. CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo. Nội dung có 3
chương:
- Chương I: Cơ sở lý thuyết
- Chương II: Các dạng toán
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm
II.PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết
Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó
thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V B.h ,
1
3
Khối chóp V B.h , Khối hộp chữ nhật V abc , …) rồi cộng các kết quả lại.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và
khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao
hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính
thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ
Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm
A’,B’,C’ khác S.
CMR:
Giải:
VS.A ' B ' C ' SA '.SB'.SC '
(1)
VS.ABC
SA.SB.SC
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của A,A’ lên (SBC)
A
A'
B
B'
H
S
H'
C'
C
Ta có: AH // A’H’ 3 điểm S,H,H’ thẳng hàng.
Xét SAH có:
SA ' A ' H '
(*)
SA
AH
Do đó:
1
A 'H '.SSB ' C '
VS.A ' B ' C ' 3
A 'H ' SB' SC ' Sin(B'SC ')
.
.
.
(**)
1
VS.ABC
AH SB SC Sin BSC
AH.SSBC
3
Từ (*) và (**) đpcm
Trong (1) ,đặc biệt hóa cho B’ trùng B và C’ trùng C ta có:
VS.A ' B ' C ' SA '
(1')
VS.ABC
SA
Ta lại có: VSABC VS.A ' BC VA '.ABC
(1’) VS.ABC
SA '
.VS.ABC VA '.ABC
SA
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
VA ‘.ABC
SA ‘ A ‘ A
1
VS . ABC
SA
SA
V
A‘ A
Vậy: A ‘.ABC
VS . ABC
SA
(2)
Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n 3) , trên
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
VA '1 .A1A2 ...A n
VS.A1A2 ....A n
A '1 A1
(2 ')
SA1
Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp
S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
CHƯƠNG II: Các dạng toán
Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích
của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó
DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ví dụ1:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm
của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
S.ICM và S.ABCD
S
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là
trọng tâm của tam giác BCD, do đó
1
1 1
1 1 1
VISCM VB.SCM . .VD.SBC . . VS . ABCD
3
3 2
3 2 2
V
1
Vậy ISCM
VS . ABCD 12
Ví dụ2:
B
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm
của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi
mp(AB’D’)
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’
Ta có
B
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
A
D
O
M
I
C
S
C'
B'
I
A
D'
O'
O
C
Trang 4
D
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
VS. AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' VS. AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '
.
.
VS . ABC
SB SC 2 SC VS . ACD
SC SD 2 SC
1 SC '
1 SC '
VS . AB ' C ' VS . AC ' D ' .
(VS . ABC VS . ACD ) .
.VS . ABCD
Suy ra
2 SC
2 SC
Kẻ OO’//AC’ ( O ' SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
1 1
2 3
Do đó VS . A ' B ' C ' D ' . .VS . ABCD Hay
VS. A' B ' C ' D ' 1
VS . ABCD
6
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực
tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và
M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS:
VH.MNP 1
VS . ABC 32
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt
phẳng ( ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính
SM
để mặt phẳng ( )
SC
chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS:
SM
3 1
SC
2
DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH
Ví dụ1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC 900 ,
AB BC a, AD 2a, SA ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Giải:
S
Áp dụng công thức (1) ta có
VS. BCM SM 1
VS .BCA
SA 2
M
VS.CMN SM SN 1
.
VS .CAD
SA SD 4
2a
a
Suy ra
B
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
N
2a
A
C
Trang 5
D
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
1
1
VS .BCNM VS .BCM VS .CNM VS .BCA VS .CAD
2
4
3
3
a
2a
a3
2.3 4.3 3
Ghi chú:
1
3
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V B.h gặp nhiều
khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM
về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Giải:
S
Ta có
VCMNP CN CP 1
.
VCMBD CB CD 4
(a)
M
VCMBD VM . BCD MB 1
(b)
SB 2
VCSBD VS .BCD
Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
VCMNP 1
1
VCMNP .VS .BCD
VS .BCD 8
8
A
H
N
D
C
P
Gọi H là trung điểm của AD ta có SH AD mà
(SAD) ( ABCD) nên SH ( ABCD) .
1
3
B
1 a 3 1 2 a3 3
. a
3 2 2
12
Do đó VS .BCD .SH .S BCD .
Vậy: VCMNP
a3 3
(đvtt)
96
Ví dụ3:
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng
DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải:
V
DM DN
.
Ta có DAMN
VDABC
DB DC
AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
D
N
2a
M
A
a
C
a
a
B
Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có
DM DA2 4a 2
DM 4
2 4
2
MB AB
a
DB 5
DN 4
Tương tự
DC 5
4 4
16
9
Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = .VD.ABC. Suy ra VA.BCMN =
.VD.ABC
5 5
25
25
1
a 2 3 a3 3
3a 3 3
Mà VD.ABC = .2a.
. Vậy VA.BCMN =
(đvtt)
3
4
6
50
Ghi chú:
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC
sau đây
b'
A
b2
( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
B
c
b
c'
b'
C
H
Ví dụ4:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao
điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
Giải:
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là
trọng tâm của tam giác ABC, do đó
AI 2
AI 1
AO 3
AC 3
V
AI AM 1 1 1
nên AIMN
.
.
VACDN AC AD 3 2 6
V
NC 1
Mặt khác ACDN
SC 2
VACDS
V
1
Từ (1) và (2) suy ra AIMN
VACDS 12
1
3
1
3
Mà VSACD .SA.S ACD a.
VAIMN
a
Ma
A
(1)
2
I
a
D
O
(2)
C
B
S
a 2a a 3 2
. Vậy
2
6
M
a3 2
1
.VSACD
(đvtt)
12
72
Ví dụ5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
B
A
H
C
D
Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =
AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
4
Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a.
Giải:
Từ giả thiết ta tính được AH
a 2
a 14
3a 2
, SH
, CH
, SC a 2 SC AC .
4
4
4
Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.
Ta có
VS.MBC SM 1
1
VS .MBC VS . ABC
VS . ABC
SA 2
2
1
1 a 2 a 14 a 3 14
VS . ABC .SH .SABC . .
(đvtt)
3
6 2
4
48
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC BAD 900 , CAD 1200 ,
AB a, AC 2a, AD 3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: VABCD
a3 2
2
Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
16a 3
45
ĐS: VS . A ' B ' C ' D '
Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M,
P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích
khối chóp S.DMNP
ĐS: VS .DMNP
a3 2
36
Bài4: (ĐH khối B – 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
ĐS: VABC . A' B 'C '
3a 3 3
7a
và R
8
12
DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao
của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,
AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải:
D
Ta có AB2 + AC2 = BC2 AB AC
1
6
Do đó VABCD AB.Ac.AD 8cm2
I
4
Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5
Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
1
2 2
5 (2 2 ) 2 2 34
SBCD DC.BI
2
2
3V
3.8
6 34
Vậy d ( A, (BCD)) ABCD
SBCD
17
2 34
5
4
A
C
5
3
B
Ví dụ2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 900 , AD = 2a,
BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
H đến mp(SCD)
S
Giải:
Ta có
VS. HCD SH
VS .BCD SB
H
SAB vuông tại A và AH là đường cao nên
SH SA2 2a 2
SH 2
2a
A
Ta có
2 2
a
2
HB AB
a
SB 3
2
2 1
a2 a3 2
Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. =
3
3 3
2
9
B
C
1
Mà VS .HCD d (H , (SCD)).S SCD .
3
SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),
1
1
3a 3 2 a
2
do đó S SCD CD.SC .a 2.2a a 2 . Vậy d (H , (SCD)) 2
2
2
9a 2 3
Ví dụ3:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C
Giải:
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 9
D
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có
VC . AEM MC 1
VC . AEB
CB 2
1
1 1 a 2 a 2 a3 2
VC . AEM VEACB . . .
2
2 3 2 2
24
3V
Ta có d (C, ( AME)) C . AEM
SAEM
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE,
ta có BH AE
Hơn nữa BM ( ABE ) BM AE , nên ta
được AE HM
A'
C'
B'
a 2
E
H
A
a 6
Mà AE =
, ABE vuông tại B nên
2
1
1
1
3
a 3
2 BH
2
2
2
BH
AB
EB
a
3
a
a
M
C
B
a 2 a 2 a 21
4
3
6
2
1
1 a 6 a 21 a 14
Do đó S AEM AE.HM .
.
2
2 2
6
8
3
3a 2
a 7
Vậy: d (C, ( AME))
7
a 2 14
24.
8
BHM vuông tại B nên MH
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM
Ví dụ4:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông
tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc
B'
C'
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm
của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
A'
2a
Theo giả thiết ta có A’H (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến
nên AH =
1
BC = a. A ' AH vuông tại H nên ta có
2
A ' H A ' A AH a 3
1
a.a 3 a 3
Do đó V A '. ABC a 3
.
3
2
2
2
2
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
B
a
C
H
K
a 3
A
Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Mặt khác
VA '.ABC
VABC . A ' B ' C '
1
3
2
3
2
3
Suy ra VA '.BCC ' B ' VABC . A ' B ' C ' .3.
a3
a3
2
3VA '.BCC ' B '
S BCC ' B '
Vì AB A ' H A ' B ' A ' H A ' B ' H vuông tại A’
Ta có d ( A ', (BCC ' B '))
a 2 3a 2 2a BB ' . BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm
a 14
của BH, ta có B ' K BH . Do đó B ' K BB '2 BK 2
2
a 14
Suy ra S BCC ' B ' B 'C '.BK 2a.
a 2 14
2
3
3 14a
3a
Vậy d ( A ', (BCC ' B ')) 2
14
a 14
Suy ra B’H =
* Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: d ( A, (IBC ))
2a 5
5
Bài2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M
thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: d ( A, ( AB 'C ))
a
2
Bài3:
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC 900 . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: d ( A, (BCD))
ab
a 2 b2
Bài4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: h1 h2 h3 h4
3VABCD
2
a
SACB
3
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Bài5:
Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần
lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện.
Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối
diện của tứ diện. CMR:
r1 r2 r3 r4
1
h1 h2 h3 h4
DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo
1
2
công thức S ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa
giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi
đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là
một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết
rằng ( AMN ) (SBC )
S
Giải:
Gọi K là trung điểm của BC và I là trung
VS. AMN SM SN 1
.
(1)
SB SC 4
VS . ABC
Từ ( AMN ) (SBC )
và AI MN (do AMN cân tại A )
nên AI (SBC ) AI SI
Mặt khác, MN SI do đó SI ( AMN )
SI .SAMN 1
1 SO
.S
(O
Từ (1)
S AMN
SO.S ABC 4
4 SI ABC
N
điểm của MN. Ta có
I
C
M
A
K
O
B
là trọng tâm của tam giác ABC)
Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên
a 3
a 15
AK = AS =
SO SA2 OA2
2
6
1 a 15 a 2 3 a 2 10
1
a 2
Và SI = SK
Vậy S AMN .
.
(đvdt)
4 6a 2
4
16
2
4
4
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 12
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có
AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 a 2 b 2 ). Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc
với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện.
a) Xác định thiết diện đó
b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)
ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN
ab a 2 b 2 c 2
2c
Bài2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc
BAC CAD DAB 900 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)
a) Chứng minh rằng:
1
1
1 1
2 2 2
2
AH
x
y
z
b) Tính diện tích tam giác BCD
ĐS: S BCD
1 2 2
x y y 2 z 2 z 2 x2
2
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 13
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
- Đánh giá tính khả thi của đề tài
- Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết quả của lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá giả thuyết khoa học của đề tài
2. Nhiệm vụ của thực nghiệm
- Chọn lớp đối chứng và lớp thực nghiệm
- Tổ chức triển khai nội dung
- Xử lý, phân tích kết quả từ đó rút ra kết luận
3. Đối tượng thực nghiệm
Tiến hành dạy phần nội dung đã trình bày trên đối tượng là học sinh
2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk. Hai
lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồng
nhau về ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc…
4. Phương pháp thực nghiệm
- Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm vẫn
tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khóa biểu để đảm
bảo tính khách quan (bao gồm chính khóa và phụ đạo).
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2
- Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa
điểm số trung bình của 2 nhóm trước và sau khi tác động:
5. Kết quả thực nghiệm
Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. Lấy kết
quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Giáo viên
sử dụng kết quả của bài kiểm tra này kết hợp nghiên cứu sử dụng phương
pháp kiểm chứng T- test độc lập ở bài kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05).
Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của cả hai nhóm và còn suy ra độ
chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng trước tác
động là không có ý nghĩa. Từ đó, có thể kết luận kết quả học tập của hai lớp
trước tác động là tương đương nhau. Sau đó giáo viên lấy kết quả bài kiểm tra
chung tiếp theo làm bài kiểm tra sau tác động.
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Bảng: Giới tính và thành phần dân tộc và học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 của
trường THPT Quang Trung
Số học sinh các nhóm
Dân tộc
Lớp
T. Số
Nam
Nữ
Kinh
Ê ĐÊ
Khác
40
19
21
39
0
1
39
19
20
38
0
1
Thực nghiệm
(12A1)
Đối chứng
(12A2)
- Ý thức học tập của học sinh : Đa số các em ở lớp 12 đều ngoan, tích cực tham gia
các họat động học tập. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều học sinh còn trầm, chưa hòa đồng
với các họat động chung.
- Các em đều là những học sinh cuối cấp bậc trung học phổ thông nên xét trình độ là
tương đương.
- Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương.
Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
TBC
Đối chứng 12A1
Thực nghiệm 12A2
4,40
4,48
P
0,4098
p = 0,4098 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của 2 nhóm
thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Bảng 2: Bảng thiết kế nghiên cứu:
Kiểm tra
Nhóm
Tác động
Kiểm tra
trước tác động
sau tác động
Có ứng dụng tỉ số thể tích để
Lớp 12A1
03
(TN)
tính thể tích khối đa diện trong
04
dạy học
Không ứng dụng tỉ số thể tích để
Lớp 12A2
01
(ĐC)
tính thể tích khối đa diện trong
02
dạy học
Sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập.
Bảng 3: Tổng hợp kết quả chấm bài.
Nhóm thực nghiệm
(12A1)
Nhóm đối chứng
Điểm trung bình
5.13
6.98
5.16
5.73
Độ lệch chuẩn
1.34
1.27
1.04
0.96
(12A2)
Giá trị P
0.8640
0.0001
SDM
1.047012
0.91
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Biểu đồ so sánh kết quả trung bình giữa hai lớp trước và sau tác động.
Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 3) trước tác
động là hoàn toàn tương đương. Sau khi có sự tác động dạy phần tính thể tích khối
đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích cho kết quả hoàn toàn khả quan (cột 2 và cột 4).
Bằng phép kiểm chứng T- test để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình cho kết
quả p = 0,0001 <0,05 cho thấy độ chênh lệch điểm trung bình giữa hai nhóm là có ý
nghĩa. Điều này minh chứng là điểm trung bình lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD): SMD = 0,91 nên mức độ ảnh hưởng của
tác động khi sử dụng đề tài trong dạy học làm tăng kết quả học tập môn Toán cho
học sinh lớp 12A1 trường THPT quang trung.
Bảng 4. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình,
khá, giỏi kết quả của lớp thực nghiệm 12A1
Lớp
12A1
Trước
TĐ
Thang điểm
Kém
Yếu
T. bình
Khá
Giỏi
Tổng
cộng
0
12
18
7
3
40
0%
30.00%
45.00%
17.50%
7.50%
100%
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
Sau TĐ
0
0%
4
10.00%
12
18
6
40
30.00%
40.00%
20.00%
100%
Biểu đồ so sánh kết quả xếp loại trước và sau tác động lớp Thực nghiệm 12A1
6. Bàn luận
- Kết quả cho thấy, điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối
chứng, chênh lệch điểm số là 6.98-5.73 = 1.25.
- Độ chênh lệch điểm trung bình tính được SMD = 0.91 chứng tỏ mức độ ảnh
hưởng của tác động là lớn.
- Mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn, p = 0,0001 < 0,05 chứng tỏ điểm
trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải ngẫu nhiên
mà do tác động mà có.
- Tác động đã có ý nghĩa lớn đối với tất cả các đối tượng học sinh: yếu, trung
bình, khá. Số học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh khá tăng đáng kể.
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 18
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Trong giảng dạy nói chung, việc phân dạng và phân loại bài tập là vô cùng cần
thiết, xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập phong phú, phù hợp với các
đối tượng học sinh là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công hơn nữa. Việc sử
dụng tỉ số thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán
tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ ra có
nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sử dụng nhiều kiến thức
của hình học không gian lớp 11.
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn
thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh khối lớp
12, ôn thi THPT Quốc Gia trong Nhà trường.
Hy vọng rằng, với đề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm một
phương pháp nữa để giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT
Quốc Gia đạt được kết quả cao.
Trong quá trình biên soạn đề tài, tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của
các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để đề tài của tôi được
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Krông Păk , ngày 25/2/2015
Người viết
Trần Anh Tuấn
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 19
Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008.
Hình giải tích trong không gian-Võ Giang Giai- NXB GD
Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2011; 2012.
Các Website về toán học hiện có…
MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
1
2
2
II.NỘI DUNG
2
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN
4
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
14
III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
MỤC LỤC
20
Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên:
……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung
Trang 20
- Xem thêm -