Tài liệu Skkn sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình.

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trương THPT Bình Sơn Mã số: ................................ (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................  (Ghi rõ tên bộ môn) - Lĩnh vực khác: .......................................................  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) SƠ LƯỢC LÝhọc: LỊCH KHOA HỌC Năm 2014-2015. –––––––––––––––––– Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 1 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: Nguyễn Cảnh Thắng 2. Ngày tháng năm sinh: 13-03-1980 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: Tổ 4, Ấp 1, Xã Bình Sơn, Long Thành, Đồng Nai 5. Điện thoại: 0613533100 (CQ)/ 6. Fax: (NR); ĐTDĐ: 0939088658 E-mail:[email protected] 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8: 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị : Cử nhân : - Năm nhận bằng: 2005 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học Số năm có kinh nghiệm: 9 - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: - . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh. - 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán. - 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 2 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Tên SKKN SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông. Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa đô ô để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa đô ô vào giải toán không còn mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp véctơ và tọa đô ô để giải mô ôt số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình" II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế. Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn lúng túng, bỡ ngỡ. b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 3 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức rất khó khăn. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức”. Nhằm giúp học sinh bổ sung thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Giải pháp -Tùy vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, phù hợp với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp cho một tiết bài tập. a.Đối với lý thuyết: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 4 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây là một quá trình rất khó khăn đòi hỏi người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực. Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên cần thực hiện các bước sau. Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm Bước 3: Khắc sau kiến thức b. Đối với bài tập. Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính cách của học sinh. Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau. Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ. Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập. Bước 2: Thực hiện chương trình giải -Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài. -Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu biết của học sinh. Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị và dự đoán trước . Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 5 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT Kiến thức cơ bản: a.Tính chất vectơ r r a = (a ;a ), b = (b1;b 2 ) , (k  R) 1 2 Cho hai véc tơ r r a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 ) r r a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 ) r r r k a = (k a;k b) b.Tích vô hướng của hai vec tơ : r r a = (a ;a ), b = (b1;b 2 ) 1 2 Cho hai véc tơ rr a.b = a1b1  a 2b 2 c.Độ dài vec tơ: r r a = a ;a   1 2 a Cho véc tơ khi đó độ dài vec tơ là : r a = a12 + a 22 d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ: uuur A(x A ; y A ),B(x B ; y B ) thì AB = (x B - x A ; y B - y A ) Với hai điểm uuur AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 e. Bất đẳng thức vec tơ: * Tính chất 1: r2 r 2 a =a 0 r r a Dấu đẳng thức ‘xảy ra’ khi và chỉ khi = 0 r r a b  Tính chất 2: cho 2 vectơ và ta có: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 6 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r r r a + b  a+b r r r r a-b  a - b r r a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng chiều r r a b  Tính chất 3: cho 2 vectơ và ta có: r r rr a . b  a.b r r a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương r r rr a . b  a.b r r a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng hướng B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 : Giải phương trình: x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 (1) Giải : (1)   x  1 2 1   5  x 2  9   x2  4x  4  4 2 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt r r r r a = (x-1;1) ; b = (5 - x;3) ; a + b = (4;4) Theo BĐT vec tơ  x-1 2 +1 + r r r r a + b  a+b  5 - x 2 ta có: + 9  42 + 42 = 4 2 r r a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto cùng hướng Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 7 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r   k : a = k b , k>0 1   x-1 = k(5 - x)  k =     3 1 = 3k   x = 2 - x 2 + 4 x- 4 + 4 2 = -  x- 2  + 4 2  4 2 2 Mặt khác : Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2 Vậy x=2 là nghiệm của phương trình Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1) Giải: Điều kiện: x  1  (1) ( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 = 5 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt Đặt r r r r a = ( x-1 + 3;4) , b = ( x-1 -1;1) ,a - b = (4;3) Theo đẳng thức vec tơ ta có: r r r r a - b  a-b ( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 5 ۣ r r r r   k : a = k.b ,k  0 a,b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng  x-1 + 3 = k( x-1 -1)    ( x-1 + 3) = 4( x-1 -1) 4 = k   3 x-1 = 7  x = 58 9 58 Vậy nghiệm của phương trình : x= 9 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 8 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Bài 3: Giải phương trình: x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2 (1) Giải:  (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2 (1) Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt r r r r a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4) r r r r  a = (x+1) 2 + 4 ; b = (3 - x) 2 + 4  a + b = 4 2 Theo BĐT vectơ ta có : ۳ r r r r a + b  a+b =4 2 (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 4 2 r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto a,b cùng hướng r r   k : a = k b , k>0  x+1 = k(3 - x) k = 1      2 = 2k x =1 Vậy phương trình có nghiệm là x=1 2 2 Bài 4: Giải phương trình: x - 4 x+ 5 + x - 4 x+13 = 4 (1) Giải: (1)  (x- 2)2 +1 + (2 - x) 2 + 9 = 4 r r Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy Đặt a = (x- 2;1) ; b = (2 - x;3) r r r r  a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9  a + b = 2 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng r r a và + b = (0;4) Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 9 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r r r a + b  a+b =4 Theo BĐT vectơ ta có : ۳ (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9 4 r r a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto cùng hướng r r   k : a = k b , k>0 1  1 = 3k k =     3 x2 = k(2 x)   x = 2 Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Bài 5: Giải phương trình: x-1 + x = 3 + 2(x- 3) 2 + 2 x- 2(1) Giải Điều kiện x  1 r r a = (x3; x-1),b = (1;1) Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: r r urr  a = (x- 3) 2 + (x-1), b = 2,a.b = x-1 + x- 3 rr r r a.b  a . b Suy ra bất phương trình (1) tương đương (*) rr r r a.b  a . b Mặt khác theo bất đẳng thức vec tơ ta có Từ (*) và (**) suy ra :  rr r r r r a.b = a . b  a,b (**) cùng hướng x  3 x-1=x-3   2  x=5 x -7x+10=0  . Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất. Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 10 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 2 Bài 6:Giải phương trình : x x+1 + 3 - x = 2 x +1 Giải: Điều kiện: -1  x3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy r r r r 2 a = x +1, b =2 Đặt : a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x ) , Theo BĐT vectơ ta có: r r rr a . b ۳a.b 2 x 2 +1 x x+1 + 3 - x rr a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng phương r r  k : a = k b  x = k x+1   1 = k 3 - x Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên  x = k x+1   x 3 - x = x+1  x 3 - 3x 3 + x+1 = 0  1 k = 3- x  x = 1   x = 1 + 2 x = 1- 2   (x-1)(x2-2x-1)=0 So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2 2 2 2 Bài 7: Giải phương trình: x 1 + x + 8 - x = 3 x +1 Giải: Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 11 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Điều kiện:  8  x  8 r r a = (x;1) ,b = ( x 2 +1; 8 - x 2 ) Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt rr r r a.b  a . b 2 2 2 ta có: x 1+ x + 8 - x  3 x +1 rr a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng r r   k : a = k b , k>0 Theo BĐT vectơ  x = k x 2 +1    2 1 = k 8 - x x  0 x 2 +1  x 8 - x 2   4 2  x - 7 x +1 = 0  7 - 45 x = 2    x = 7 + 45  2 Vây phương trình đã cho có nghiệm: Bài 8: Giải phương trình : x= 7 - 45 7 + 45 ,x= 2 2 x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = 2 Giải: Ta có: 1 3 1 3 x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 + 2 4 2 4 Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt : r  1 3  r 1 3 r r a =  x+ ;  ,b =  - x;   a + b = (1; 3) 2 2 2 2     Theo BĐT vec tơ : Gv : Nguyễn Cảnh Thắng r r r r a + b  a+b suy ra Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 12 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 1 3 1 3 x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 + 2 4 2 4 2 r r r r   k : a = k.b ,k  0 a,b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng 1  1 x+ = k( - x)  2 x = 0 2     k = 1  3 = k. 3  2 2 Vậy nghiệm của phương trình : x=0 Bài 9 : Giải phương trình: x 2 - 2 x+ 2 + 4 x 2 +12 x+ 25 = 9 x 2 +12 x+ 29 (1) Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: r r r  a = (x-1;1)  a + b = (3x+ 2;5) r  b = (2 x+ 3;4) r r r r  a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29 Suy ra phương trình (1) tương đương: r r  x-1 = k(2 x+ 3)  a = k b(k > 0)    1 = k.4 r r r r  a+b = a + b Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= 1   k = 4  x = 7  2 7 2 C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 13 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình  3x+1 + 3y+1 = 4 (1)  3x+13 + 3y+13 = 8 (2) Bài 1: Giải hệ phương trình:  Giải : 1 1 Điều kiện: x  - 3 ,y  - 3 Từ (2)  Đặt 3x+1 +12 + 3 y+1 +12 = 8 r r r r a = ( 3x+1; 12) , b = ( 3 y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3 y+1;2 12) r r r r a + b  a+b Theo BĐT vec tơ ta có : 3x+1 +12 + 3y+1 +12    2 3x+1 + 3 y+1 + 48 = 8 r r a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto cùng hướng r r   k : a = k b , k>0  3x+1 = k 3y+1 x = y     k = 1  12 = k 12 (1)  3x+1 = 2  x = 1  y = 1 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)  2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6  2 x+ 21 + 2 y+19 = 10 Bài 2: Giải hệ phương trình:  5 3 Điều kiện: x  - 2 , y  - 2 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 14 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r r r a = ( 2 x+ 5;4) , b = ( 2 y+ 3;4) , a + b = ( 2 x+ 5 + 2 y+ 3;8) Đặt r r r r a + b  a+b Theo BĐT vec tơ ta có : 2 x+ 5 +16 + 2 y  3  16   2 x+ 5 + 2 y+ 3  2 + 64 = 10 rr a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ cùng hướng r r   k : a = k b , k>0  2 x+ 5 = k 2 y+ 3    4 = k 4 (1)   2 x+ 5 = 2 y+ 3  k = 1  y=x+1 2 x+ 5 = 3  x = 2  y = 3 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)  x+ y = 4  2 x + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10 Bài 3: Giải hệ phương trình:  Giải : Ta có: x 2 + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10   x+1 2 + 42 +  y+1 2 + 4 2 = 10 r r r r a = (x+1;4) , b = (y+1;4) , a + b = (x+ y+ 2;8) r r r r a + b  a+b Theo BĐT vec tơ ta có : ۳  x+1 2 + 42 +  y+1 2 + 42  x+ y+ 2  2 + 82 = 10 rr a,b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ cùng hướng Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 15 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình r r   k : a = k b , k>0  x+1 = y+1  x = y (1)  x=y=2 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)  x 8 - y 2 + y 8 - x 2 = 16 (1)  2 3 2 (2) Bài 4:Giải hệ phương trình:  x +12 = y + 2 y Giải: Điều kiện: 2 2  x  2 2; 2 2  y  2 2 r r a = x; 8 - x 2 , b =    8 - y2 ; y Đặt :  ta có: r2 r2 a = b =8 r2 r 2 rr r r  a + b = 2a.b  a = b  x = 8 - y 2 (1) (2)  y3+3y2-20=0  y=2  x=2 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2) Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)  x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1) (x, y  R)  3 x 8x-1 = 2 y2 (2) Giải hệ phương trình:  Giải : Điều kiện:  12  x  12;2  y  12 r r r r 2 a = b = 12 Đặt a = (x; 12 - x ) ; b = ( 12 - y; y) ta có: r2 r2 rr r r  a + b = 2a.b  a = b  x = 12 - y (1) Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 16 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 3 2 (2)  x -8x-3=2 10-x -2  (x- 3)(x 2 + 3x+1) = 2(3 - x)(3 + x) 10 - x 2 +1 x = 3   2 2 (x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*) Với x=3 =>y=3 2 2 Đặt f(x) = (x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) f’(x) <0 ,  x>0 => phương trình (*) vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3) D. BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Giải bất phương trình: x2 - 3 + 5 - x2  2 Giải : Điều kiện :  5  x   3, 3  x  5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: Ta có:  r x - 3; 5 - x , b =  1;1 2 2  r r a  2, b  2 Theo đề bài ta có: rr r r a.b  2  a b Theo BĐT vec tơ ta có: rr r r  a.b  a b  r a= rr r r a.b  a b r r a b khi và chỉ khi và cùng hướng x 2 - 3 = 5 - x 2  x = ±2 Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 17 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình x  1  2 3  x  10 Bài 2: Giải bất phương trình: Giải : Điều kiện :1  x  3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: Ta có: r a=  r x-1; 3 - x ,b =  1;2   r r a  2, b  5 Theo đề bài ta có: rr r r a.b  10  a b Theo BĐT vec tơ ta có: rr r r  a.b  a b rr r r a.b  a b r r a b khi và chỉ khi và cùng hướng  2 x-1 = 3 - x  x = 7 5 7 Vậy nghiệm bất phương trình : x= 5 Bài 3: Giải bất phương trình: 3 x+ 3 + 7 - x  10 Giải : Điều kiện : 3  x  7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: Ta có: r a=  r x  3; 7 - x ,b =  3;1  r r a  10, b  10 Theo bài ra ta có: rr r r a.b  a b luôn đúng Vậy nghiệm bất phương trình: 3  x  7 Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 18 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Bài 4: Cho 4 số thực x, y, z, t. Chứng minh rằng : (x2 +y2)(z2 +t2)  (x z+ y t)2 Giải: r r a = (x; y), b = (z; t) Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : r r u r uu ru a b  a .b r a 2 u r2 b r uu ru (a .b) 2 Ta có Vậy (x2 +y2) (z2 +t2)  (x z+ y t)2 đẳng thức xảy ra  xt = yz x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R Bài 5: Chứng minh rằng: Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: r  a = (x 2 ;1) r r  a - b = (x 2 - y 2 ;0) r 2  b = (y ;1) Theo BĐT vec tơ r r r r a - b  a-b ta có x 4 +1 - y 4 +1  x 2 - y 2 ,  x, y  R Bài 6 : Đề thi đại học khối A 2003 1 1 1 minh rằng: Cho x, y, z là ba số thực Chứng x2dương + 2 +và x+ y2+y+2 z+�1z.2+ � 82 x y z2 1 1 r 1 r r r 1 1 1 r r Đặt a =(x; x ), b =(y; y ), c =(z; z ), a + b + c =(x+y+z; x + y + z ) Theo BĐT vectơ : r r r r r r a + b + c  a +b+c Gv : Nguyễn Cảnh Thắng ta có: Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 19 Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình 1 1 1 x + 2 + y2+ 2 + z2+ 2 � x y z 2 2 � 1 1 1� � �+ + � ( x+ y+ z) + � � � � x y z� � 2 2 1 1 1 1 1 1 2  81 x+ y+ z  +  + +  - 80  x+ y+ z   18  x+ y+ z   + +  - 80 x y z x y z 2  162 3 xyz. 3 x2+ Vậy 1 - 80 = 82 xyz 1 1 1 2 2 + y + + z + � 82 x2 y2 z2 Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (x+ y 2 3 2 ) +( y) + 2 2 Xét 3 điểm (x+ z 2 3 2 ) +( z) > 2 2 ( y 2 - z 2 3 3 2 ) +( y+ z) (1) 2 2 2 y 3 3 3 y z A(x+ , z) ;B(0, y+ z) ;C( - ,0) 2 2 2 2 2 2 (1)  AB + AC > BC Ta có AB+ AC  BC với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây uuur y 3 uuur z 3 AB = (- x- ; y);AC = (- x- ;z) 2 2 2 2 Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC = BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Gv : Nguyễn Cảnh Thắng Đơn vị Trường THPT Bình Sơn 20