Tài liệu Skkn sử dụng tính kế thừa của bài toán gốc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC” I. PHẦN MỞ ĐẦU: I.1. Lý do chọn đề tài. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên. Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, liên quan mật thiết với các môn học khác, làm nền tảng cho các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các trường THPT nói chung và môn Toán lớp 11 nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng. Vì thế, để đáp ứng được nhu cầu giảng dạy theo chuẩn kiến thức, kỹ năng và phân hóa theo năng lực học sinh thì giáo viên phải có sự đầu tư nhiều hơn để đưa ra phương pháp dạy học mới cho phù hợp. Trong thực tế việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là theo hướng phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh. Bên cạnh việc đổi mới trong phương pháp dạy thì việc đổi mới phương pháp học của học sinh cũng rất quan trọng. Nó góp phần làm cho học sinh tăng khả năng tư duy, tìm tòi và sáng tạo, quá trình lĩnh hội kiến thức đạt hiệu quả hơn. Dạy học không đơn thuần chỉ là truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn đòi hỏi là phải xây dựng cho các em một phương pháp, một “con đường đi” tự tìm đến “cái đích” của khoa học. Qua nhiều năm giảng dạy thực tế trên lớp, tôi thấy rằng cứ nói đến "hình học" là các em học sinh đã thấy sợ chưa cần đi sâu vào môn học. Nhất là đứng trước một bài tập không biết phải bắt đầu từ đâu, giống như đang đứng giữa "đám rừng" không có lối thoát. Cũng chính vì lẽ đó để giúp cho học sinh có một chút tự tin khi giải bài tập hình, tôi mạnh dạn đưa ra SKKN "Sử dụng tính kế thừa của bài toán gốc". Từ bài toán lạ ta phân tích, tìm tòi, hướng giải đưa bài toán này về bài toán mà ta đã được giải, ta đã được học đó là "bài toán gốc". Trong chương trình lớp 11 học sinh đã được làm quen với điểm, đường, mặt phẳng, hay là bất đẳng thức trong tam giác... trong SKKN này tôi đi sâu vào vấn đề tìm tổng của các khoảng cách sao cho nó nhỏ nhất. Xuất phát từ dạy và học mà tôi thấy cần thiết phải nghiên cứu phương pháp giải toán dạng này. Trước hết là phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy học đạt kết quả tốt, sau nữa tôi mong rằng sau bài viết này các giáo viên đang giảng dạy môn toán ở chương trình PTTH có thể tham khảo và áp dụng. Trong bài viết này tôi cố gắng trong phạm vi có thể trình bày việc giải các bài toán tìm tổng các đoạn thẳng sao cho nó ngắn nhất, trên cơ sở phân tích tìm ra tư tưởng đưa bài toán mới lạ về bài toán quen thuộc mà ta đã biết giải, bằng cách này tôi hy vọng sẽ gúp học sinh tự mình xây dựng được các kỹ năng tích lũy, kinh nghiệm giải toán và trong một chừng mực có thể nêu lên các phương pháp giải toán. I.2.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài + Học sinh hiểu được nội dung và phương pháp của những bài toán gốc (đơn giản). + Hình thành kĩ năng giải bài tập toán đơn giản. + Hình thành kĩ năng tư duy, sáng tạo và phát triển bài toán từ đơn giản đến phức tạp. I.3. Đối tượng nghiên cứu - Bài toán liên quan đến: + Phép dựng hình + Phép đối xứng trục + Phép đối xứng tâm + Phép tịnh tiến + Điểm + Mặt phẳng + Đường thẳng + Góc. I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 10 và lớp 11 I.5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Qua các tiết thực nghiệm trên lớp - Điều tra hiệu quả của phương pháp qua phiếu điều tra, qua chất lượng học tập của học sinh. II. PHẦN NỘI DUNG. II.1. Cơ sở lý luận - Quá trình dạy học bao gồm hai mặt liên quan chặt chẽ: Hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Một hướng đang được quan tâm trong lý luận dạy học là nghiên cứu sâu hơn về hoạt động học của trò rồi dựa trên thiết kế hoạt động học của trò mà thiết kế hoạt động dạy của thầy. Điều này khác với các phương pháp dạy học truyền thống là chỉ tập trung nghiên cứu kĩ nội dung dạy để thiết kế cách truyền đạt kiến thức của thầy. - Trong hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tập trung thiết kế các hoạt động của trò sao cho họ có thể tự lực khám phá, chiếm lĩnh các tri thức mới dưới sự chỉ đạo của thầy. Bởi một đặc điểm cơ bản của hoạt động học là người học hướng vào việc cải biến chính mình, nếu người học không chủ động tự giác, không có phương pháp học tốt thì mọi nỗ lực của người thầy chỉ đem lại những kết quả hạn chế. II.2. Cơ sở thực tiễn - Toán học, là môn khoa học trừu tượng, nói đến toán học là nói đến các con số, các ký hiệu, dấu toán, hình vẽ và các mối quan hệ nhằng nhịt giữa chúng. Tuy toán học khá trừu tượng nhưng phạm vi ứng dụng lại rất rộng rãi. Cùng là một vấn đề nhưng lại có thể biểu hiện ở nhiều khía cạnh khác nhau. Chính vì thế rất khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp và càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp ấy vào việc giải các bài tập. Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải giúp học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy, cô giáo muốn truyền đạt cho họ. Theo tôi, vai trò người thầy trong quá trình truyền đạt tri thức phải là người hướng dẫn và “mở đường” cho các em, còn các em phải tự mình xây dựng được các kĩ năng, tích lũy được các kinh nghiệm giải toán, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh sẽ ngày được nâng lên. - Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường thấy bỡ ngỡ và không biết định hướng như thế nào khi gặp một số bài toán – dù là có cùng một phương pháp giải toán nhưng nó được thể hiện ở nhiều dạng bài khác nhau. Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em làm thế nào có thể biết vận dụng từ những bài toán quen thuộc để tự lực giải quyết những bài tập tương tự và từ đó phát triển lên những mức độ cao hơn. II.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu. - Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc rập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. Bên cạnh đó lại đòi hỏi học sinh phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo, để nhận biết từng dạng bài để rồi tìm ra hướng giải. II.5. Nội dung cụ thể II.5.1. Kiến thức sử dụng. a)Phép dựng hình b) Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến. c) Bất đẳng thức trong tam giác. d) Công thức tính chu vi trong tam giác. e) Tìm giá trị nhỏ nhất chu vi của tam giác. II.5.2. Nội dung Bài toán 1: Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d). Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + BM nhỏ nhất. A A M (d) M (d) M’ B B Hướng dẫn Gọi M là giao của AB và d. Khi đó A, B, M thẳng hàng nên AM + MB nhỏ nhất. Giả sử có một điểm M’ M, M’ thuộc d Trong ABM’ có: AM’ + BM’  AB (bất đẳng thức trong tam giác)  AM’ + BM’  AM + MB Dấu “=” xảy ra khi M’ trùng với M Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng Qua bài này thầy phải xem xét kiến thức của học sinh tìm được có đúng hay sai. Nếu sai thầy sửa chữa cho trò. Trò: Hoạt động tư duy tích cực sáng tạo, thầy chú trọng đến tính huống để trò tích cực, tự giác, tạo nguồn lực cho học sinh. Nâng cao mưu đồ khó khăn. Bài toán 2: Cho hai điểm A và B cùng năm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Hãy tìm trên xy một điểm M sao cho MA + MB là ngắn nhất . Tư tưởng của bài toán 2: Để giải bài toán này ta đưa về bài toán 1 Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng xy Khi đó: AM + MB = A’M + MB nhỏ nhất Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh Giải quyết bài toán 2 bằng cách đưa về bài toán1 Hướng dẫn B A B A x y M x y M’ M A’ * Phân tích Giả sử điểm M thuộc xy đã tìm được để có MA+ MB là ngắn nhất. Lấy A’ đối xứng với A qua xy ta có: MA = MA’ suy ra MA’ + MB cũng ngắn nhất . Mà A và B lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy Nên M phải nằm giữa A’và B tức là MA’ + MB = A’B Suy ra M phải là giao của A’B và xy. * Cách dựng Dựng A’ đối xứng với A qua xy, Nối A’với B cắt xy tại điểm M *Chứng minh : Nối M với A ta có MA = MA’ (A và A’ đối xứng với nhau qua xy) Mà MA’ + MB = A’B suy ra MA+MB =A’B là ngắn nhất Thật vậy: nếu lấy một điểm M’ thuộc xy mà M’ khác M , nối M’ với A’ và M’ với B ta có tam giác M’A’B. Do đó M’A’ + M’B > A’B mà M’A’ = M’A’(tính chất đối xứng). Suy ra M’A+M’B > A’B Hay M’A + M’B > MA + MB Vậy MA + MB là ngắn nhất  Trường hợp A và B nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là xy như hình thì hai đường thẳng A’B và xy chỉ cắt nhau tại một điểm M.  Nếu có một trong 2 điểm A hoặc B nằm trên xy thì chính điểm A hoặc B đó là điểm cần tìm.  Nếu cả hai điểm A và B đều nằm trên xy thì tất cả các điểm M nằm giữa A và B đều thỏa mãn điều kiện của bài ra. Khi đó giáo viên bắt đầu nâng cao mưu đồ khó khăn của vai trò thừa kế. Bài toán 3: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cố định ở về cùng một phía của xy. Hãy xác định trên xy một đoạn thẳng CD = a cho trước sao cho AC + CD + DB là ngắn nhất. Tư tưởng: Dựng B’ sao cho BB’  CD và BB’ = CD Khi đó AC + CD + DB = A’C + CD + CB’ Bài toán trở thành Tìm điểm C trên xy sao cho AC + CB’ nhỏ nhất Đây là tư tưởng của bài toán 2 Hướng dẫn *Phân tích a B’ a B A a x C D y A’ Giả sử đã xác định được đoạn thẳng CD = a trên xy để có AC + CD + DB là ngắn nhất. Ta dịch chuyển BD theo phương song song với xy cho D trùng với C thì B tới vị trí B’ ta có BB’ = CD = a Suy ra AC + CB’ là ngắn nhất Lấy A’ đối xứng với A qua xy . Nối A’với C ta có A’C = AC (tính chất đối xứng) mà AC + CB’ cúng là ngắn nhất , chứng tỏ A’, C, B’ thẳng hàng. * Cách dựng Dựng BB’ = a và song song với xy , B’ và C cùng nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh BD Dựng A’ đối xứng với A qua xy Nối A’với B’ cắt xy tại C Đặt CD = a trên xy Nối A với C và B với D ta được AC + CD + BD là ngắn nhất CD là đoạn thẳng phải xác định trên xy B’ B A y x C C’ D D’ A’ * Chứng minh Thật vậy: Tứ giác BDCB’ là hình bình hành (vì BB’ = CD = a và BB’//CD) Suy ra BD = B’C, mà AC = A’C (tính chất đối xứng) Nên B’C + AC = B’C + A’C = A’B’ ngắn nhất Do đó B’C + AC + CD là ngắn nhất hay BD + AC + CD là ngắn nhất Giả sử có một điểm C’ khác C trên xy và xác định được C’D’ = a. Ta chứng minh AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB Nối A’ với C’ và C’ với B’. Tam giác A’B’C’ cho ta A’C’ + C’B’ > A’B’ Ta cũng có A’C’ = AC’ (tính chất đối xứng) C’D’ = D’B ( vì BB’C’D’là hình bình hành C’D’ = BB’ = a, C’D’ // BB’) Suy ra AC’ + D’B > A’C + CB’ Hay AC’ + D’B > AC + DB Suy ra AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB * Biện luận Điểm C xác định được trên xy là duy nhất Sau khi hướng dẫn giải quyết bài toán này giáo viên cần phải thăm dò kiểm tra xem kiến thức của học sinh cô đọng được từng nào? Có đúng hay sai? Nếu sai giáo viên sửa chữa cho trò. Trò: Hoạt động tích cực, sáng tạo, tư duy, nhanh nhẹn. Thầy: Ủy thác chuyển giao ý đồ nâng cao mưu đồ khó khăn tính kế thừa thành nhu cầu nhận thức của học sinh. Bài toán 4: Cho một góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Dựng một đường thẳng d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N sao cho tổng PM + MN + NP có độ dài ngắn nhất. x (d) M P y 0 N Tư tưởng: Dựng: P1 là điểm đối xứng với P qua Ox P2 là điểm đối xứng với P qua O Khi đó PM + MN + NP = P1M + MN + NP2 Bài toán trở thành: P1M + MN + NP2 nhỏ nhất, là tư tưởng của bài toán 3 Hướng dẫn * Phân tích: Giả sử ta dựng được đường thẳng d cắt cạnh Ox ở M và cạnh Oy ở N Lấy điểm đối xứng P1 của P qua Ox và P2 qua Oy, ta có: PM = P1M PN = P2N Và PM + MN + NP = P1M + MN + P2N ≥ P1P2 (đường gấp khúc có độ dài lớn hơn đường thẳng có chung 2 đầu mút) Vậy tổng PM + MN + NP nhỏ nhất. tức tổng P1M + MN + P2N đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng P1P2. Lúc đó 4 điểm P1, M, P2, N nằm trên cùng một đường thẳng.  Cách dựng: P2  y N P N’ O x M M’ P1 d' d - Dựng các điểm P1, P2 theo thứ tự là ảnh của P lần lượt trong các phép đối xứng qua Ox, Oy. - Đường thẳng d qua P1, P2 là đường thẳng cần dựng *Chứng minh: Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. ta chứng minh tổng PM + MN + NP là nhỏ nhất. Xét một đường thẳng d’ ≠ d, cắt Ox tại M’ và Oy tại N’, ta có PM’ = P1M’ PN’ = P2N’ PM’ + M’N’ + N’P = P1M’ + M’N’ + P2N’. Tổng này rõ ràng là không nhỏ hơn P1P2: P1M’ + M’N’ + P2N’ ≥ P1P2  PM’ + M’N’ + N’P ≥ P1P2  PM’ + M’N’ + N’P ≥ PM + MN + NP Hay tổng PM + MN + NP với cách dựng các điểm M, N như trên có độ dài ngắn nhất. *Biện luận: Bài toán luôn có một nghiệm. Không dừng ở bài toán 4 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó khăn Bài toán 5: Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm M thuộc BC. Tìm trên các cạnh AB, AC các điểm K, N sao cho chu vi tam giác KMN bé nhất. B P1 K B K M A K’ N C A M C N’ N P2 (d’) (d) Tư tưởng: Bài toán 5 được đặt ra từ bài toán 4. Bài toán 6: Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp trong tam giác MNQ sao cho M thuộc AB, N thuộc BC, Q thuộc AC và chu vi tam giác MNQ bé nhất. Tư tưởng: Lấy các điểm Q1 và Q2 lần lượt là hình chiếu của Q qua các cạnh BC và AB Khi đó bài toán trở thành xác định điểm M và N lần lượt nằm trên AB và BC sao cho Q1N + MN + MQ2 nhỏ nhất Đây chính là tư tưởng của bài toán 4 B B M N M Q2 N Q1 H A I Q C A Q C Từ những bài toán trên theo dạng góc ta có thể biến dạng ra những bài toán khác để cho trò có một cách nhìn rộng hơn, sâu hơn, xa hơn. Bài toán 7: Hai làng A và B ở hai bên bờ sông, một con sông cần bắc chung một cây cầu phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng sao cho đoạn đường đi từ làng A sang làng B là ngắn nhất. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cầu đó (coi hai bờ sông là 2 đường thẳng song song và cầu bắc vuông góc với hai bờ sông ). Tư tưởng: Bài toán đặt ra cho đoạn thẳng cho trước vuông góc với hai đường thẳng song song. Xác định hai điểm mút của đoạn thẳng cho trước sao cho khoảng cách từ làng A sang làng B là ngằn nhất. Đây là tư tưởng của bài toán 3. A x N y x’ y’ M B Hướng dẫn Gọi hai bờ sông đó là xy và x’y’ (xy song song với x’y’). Hai làng A và B là hai điểm A và B nằm ngoài hai đường thẳng song song đó * Phân tích : Giả sử vị trí bắc cầu đã chọn được. Chiều dài cây cầu là MN (MN vuông góc với xy). Đường đi từ hai làng A và B đến hai mố cầu là AN và BM. Tổng đoạn đường từ A đến B là AN + NM + MB MN là chiều dài cây cầu không thay đổi. Muốn đoạn đường từ A đến B ngắn nhất còn phụ thuộc vào AN + BM là ngắn nhất Giả sử ta có thể dời được làng A theo phương vuông góc với bờ sông xy một đoạn bằng chiều dài MN của cây cầu cho tới A’ Ta có AA’ = MN. ( theo đề bài) Ta thấy khoảng cách ngắn nhất từ A’ tới B là đoạn A’B. A’B cắt bờ sông x’y’ tại M, thì M chính là vị trí để bắc cầu cần phải chọn A x N x' H M N’ A’ M’ y y' B *Cách dựng Trên khoảng cách vuông góc từ A tới bờ sông xy (AH) Ta chọn vị trí A’ cách A một khoảng bằng chiều dài của cây cầu (AA’ = MN) Dóng thẳng A’B để xác định vị M trên sông x’y’ (A’B cắt x’y’ tại M). Dựng cây cầu MN (MN vuông góc xy) MN chính là vị trí cây cầu để chọn. *Chứng minh Thật vậy : Nối A với N . Ta có tứ giác ANMA’ là hình bình hành (vì AA’ = MN, AA’//MN) Suy ra AN = A’M Vậy BM + MN + NA = BM + MN + A’M = MN + BA’ Mà BA’ là ngắn nhất nên BM + MN + NA là ngắn nhất Giả sử có một vị trí bắc cầu khác tại M’N’ Ta chứng minh rằng tại vị trí đó đoạn đường đi từ A sang B qua cầu M’N’ xa hơn đoạn đường qua cầu ở vị trí MN Nối M’ với A’ và B với M’ ta được tam giác A’BM’ có BM’ + M’A’ > A’B Nối A với N’ ta cũng có AN’M’A’là hình bình hành nên AN’ = A’M’ Suy ra BM’ + AN’ > A’B Hay BM’ + AN’ > AN + BM Chứng tỏ BM + MN + AN là ngắn nhất * Biện luận Vị trí bắc cầu MN là duy nhất . A’B chỉ cắt bờ sông x’y’ tại một điểm ta có một điểm M thích hợp cho vị trí bắc cầu. Không dừng ở bài toán 7 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó khăn. Bài toán 8: Cho hai đường thẳng song song xy và x’y’, hai điểm cố định A và B nằm ở hai phía ngoài hai đường thẳng đó. Hãy chọn trên xy một vị trí thích hợp để dựng đường thẳng EF vuông góc với hai đường thẳng song song sao cho AE = BF. Tư tưởng: Bài toán được đặt ra từ bài toán 7 Hướng dẫn Di chuyển AE theo phương song song với EF sao cho E tới F và A tới A’ thì A’F = AE. Nhưng AE lại bằng BF. Tới đây chính là tư tưởng của bài toán 7. A x y E A’ F x’ y’ B Những bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh giải quyết một cách nhẹ nhàng dựa vào các bài tập trước. Từ một bài toán đơn giản cho trước giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh giải quyết được vô số bài tập mang tính thừa kế của bài trước. Cũng từ đây giáo viên có thể mở rộng ra hướng dẫn cho các em giải quyết hàng loạt bài toán, tìm biểu thức ngắn nhất trong hai đường thẳng song song ,tam giác, tứ giác, ngũ giác… II.5.3. Kết quả nghiên cứu 3.1 Thực trạng Học sinh lớp 11A, lớp 11B trường PTDT Nội Trú Tây Nguyên. Tổng số có 2 lớp với 65 học sinh, chất lượng về học lực bộ môn Toán thấp, cụ thể qua bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm như sau: Điểm Sĩ Lớp số Giỏi SL % Khá SL % T. Bình SL % Yếu SL % Kém SL %