SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN NHẰM NÂNG CAO
CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT"
0
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện đại trong
dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học trực quan và phương pháp sử dụng
chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính của đối
tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong
các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển
lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường phổ thông. Nó
không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức, điều
khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ chức khoa học lao động sư
phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông cho thấy học sinh thường gặp không
ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh có thể nhớ
các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưng không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản
chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận
dụng. Mặt khác, đây là nội dung kiến thức cơ bản trong chương trình toán lớp 12, có
phần trìu tượng và dễ lẫn lộn giữa hai nội dung hàm số mũ - hàm số logarít này nhưng lại
được trình bày sau nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Do vậy, việc sử dụng các
phương tiện trực quan vào quá trình dạy học nội dung này là việc làm cần thiết và phù
hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông.
Hơn nữa, đây là nội dung kiến thức thường xuất hiện trong các kỳ thi Đại học - Cao đẳng
và học sinh không khó khăn lắm khi biết cách khai thác bài toán để lấy điểm.
1
Vì các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số biện pháp sử dụng phương tiện
trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập phần hàm số mũ - hàm số
logarít”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Xuất phát từ đặc thù bộ môn toán học, phép trừu tượng thoát ra khỏi nội dung
có tính chất chất liệu của sự vật và chỉ giữ lại các quan hệ số lượng và hình dạng. Chẳng
hạn như: Từ những hình ảnh cụ thể như “hạt bụi”, “Sợi dây mảnh căng thẳng”, “mặt
nước đứng yên”, đi tới các khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng”...
Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các hình tượng
hiểu biết của học sinh.
Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá trình giảng dạy là đảm bảo sự chuyển
từ “Trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng”. Do đặc thù của môn toán đòi hỏi phải
đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát cao hơn so với các môn học khác. Vì thế, nếu
sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan sẽ góp phần vào việc phát triển tư duy trừu
tượng, nâng cao hiệu quả của quá trình dạy và học.
2
Qua tìm hiểu, nghiên cứu lý luận của các nhà triết học, toán học trong và ngoài nước về
vai trò, chức năng và hiệu quả của việc sử dụng phương tiện trực quan vào quá trình dạy
học, tôi nhận thấy đó là yêu cầu cần thiết và thiết thực, phù hợp với tư duy phát triển của
con người
Sau đây là sơ đồ thể hiện mối quan hệ phương tiện trực quan và tư duy con ngườisau:
Trừu tượng hoá
Cái cụ thể
hiện thực
Phương tiện
trực quan
Cái trừu
tượng lý
thuyết
Cụ thể hoá
Sơ đồ 1
II. THỰC TIỄN DẠY HỌC PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGRÍT Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy học
phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức,
lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không
nắm được các tính chất, không hiểu được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số
logarít.
Chẳng hạn: “4 3 nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu chính xác. Bên
cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công thức… nhiều học sinh
còn phạm phải sai lầm.
Ví dụ như cho rằng:
3
+) logaA.B = log
a
A.logbB (A,B > 0 và a,b 1 )
+) loga(A+B) = logaA + logaB
+) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 = - 8)
+) logax = logax;
n
a. m a =
m n
a ….
Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn tới việc vận
dụng vào các bài toán cụ thể thường mắc sai lầm. Điều đó có lẽ một phần là do nội dung
cấu trúc chương trình và sách giáo khoa chưa thật hợp lý, phương pháp dạy học của giáo
viên lại có chỗ cần được điều chỉnh, chẳng hạn hầu như các tính chất hàm số mũ, hàm số
logarít không được chứng minh, giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc
phục; mặt khác, hệ thống bài tập và câu hỏi trong sách giáo khoa chỉ đòi hỏi học sinh ở
mức độ rất đơn giản, áp dụng đơn thuần, học sinh dễ vấp phải các sai lầm mà bản thân
không phát hiện ra.
Từ thực tế đó, tôi mạnh dạn đưa ra một số biện pháp sau:
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TRONG DẠY
HỌC GIẢI BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARÍT
Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh
tri thức, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các phương tiện trực quan
trong quá trình giải phương trình ( bất phương trình)mũ - logarít.
Hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng
(hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức…).
Trong quá trình giải phương trình mũ - logarít việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực
quan tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết bài toán đỡ khó khăn hơn,
4
cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyện được kỹ năng nhiều hơn, những sai
sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn...
Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phương trình và bất phương trình
mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các phương pháp: Phương pháp
đưa về cùng cơ số; logarit hóa và mũ hoá; đặt ẩn phụ; đánh giá
Nhưng đối với một số dạng phương trình đặc biệt là các bài toán có chứa tham số học
sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan sẽ
làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt của bài toán.Chẳng hạn ta xét các bài
toán sau:
Bài toán 1.1. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1 2 2x = m
(1)
Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị
GV: đặt 2x = t ( t > 0), yêu cầu học sinh đưa phương trình về hệ
t2 + m 2 = 1
t >0
(I)
? Cứ giả sử rằng phương trình (1) là có nghiệm khi đó hiển nhiên m phải có điều kiện gì ?
(m 0) nếu m < 0 phương trình (1) vô nghiệm
t2 + m2 = 1
Hệ (I)
m0
(II)
t>0
5
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu diễn miền nghiệm của t 2 + m2 = 1 là
đường tròn tâm O(0,0) bán kính R = 1 xét trong hệ tọa độ vuông góc tOm.
Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các điểm M(t,m) thỏa
mãn (II) được biểu diễn bằng đường đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ điểm B).
Vậy: 0 m < 1 phương trình có nghiệm
duy nhất
m
m<0
Phương trình vô nghiệm
m1
1B
A
00
Nhận xét: Bài toán 1 có thể giải bằng
t
1
phương
pháp sử dụng các định lý đảo về dấu
của
tam
thức bậc 2.
Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán tương tự.
Bài toán 1.2. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
1 2 2x = m - 2
Bài toán 1.3. Tìm m để bất phương trình
f(x) = 2x + (3 - m)2-x - m 0 (1) đúng
x R
Có thể giải bài toán như sau: Đặt 2x = t với điều kiện t > 0
Bất phương trình (1) về dạng:f(t) = t2 - mt + 3 - m 0 (2)
(1) đúng
xR
Nếu = m2 + 4m –12 0
f(t) 0
thì bất phương trình (2) phải đúng
t
t
>0
t > 0
-6 m 2 khi đó f(t) 0
> 0 do đó f(x) 0
x
Để bất phương trình
t
R
6
m -6
thì f(t) có 2 nghiệm phân biệt t1 t2.
m 2
Nếu > 0 tức là
Trong trường hợp này đa số học sinh gặp khó khăn, hoặc có vận dụng định lý về dấu của
tam thức bậc hai thì cũng rất mơ hồ và máy móc bằng sự minh họa của trục số học sinh
+
dễ dàng quan sát.
Để f(t) 0
t (-, t1)]
Theo giả thiết t(0, +)
t1
[t2,+ )
[t2
+ ) thì t2 0
>0
f(0) > 0
<0
-
+
t2
f(t) 0
Như vậy (0, +) là tập con của (-,t1]
con của (-, t1 ]
] ///////////// [
[t2
+ ), căn cứ vào trục số để
(0, +) tập hợp
t1 t2 < 0
m <-6
m>2
3–m>0
<0
m < -6 hoặc 2 < m < 3
Trong khi giảng dạy giáo viên cần phải phát huy tích cực nhận thức của học sinh trong việc
vận dụng các phương tiện trực quan. Chẳng hạn như trong bài toán 1.3. Có thể dẫn dắt học
sinh bởi những câu hỏi để họ tích cực suy nghĩ:
-
t(0,
+) đều làm cho f(t) 0 tức là
t(0,
+) đều thuộc vào tập nghiệm của bất
phương trình f(t) 0 có mối quan hệ như thế nào giữa (0, +) với tập nghiệm đó?
- Tập nghiệm của bất phương trình f(t) 0 còn phụ thuộc vào những yếu tố nào ? hãy chỉ ra
tập nghiệm của bất phương trình tương ứng với các trường hợp ?
- Hãy biểu diễn (0, +) cùng với (-, t1)
(t2,+)
(trong trường hợp
> 0) trên trục số
để rút ra vị trí tương đối giữa (0, t1, t2)…
Những câu hỏi như vậy có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giải nhưng đồng thời
cũng có chức năng kiểm tra những kiến thức cơ bản, nhìn nhận vấn đề một cách rõ ràng
trực quan hơn.
7
Nhận xét:
- Nếu như học sinh có ý thức và kỹ năng sử dụng phương tiện trực quan thì đối với bài
toán trên, cho dù t = 0 nhìn vào trục số ta vẫn thấy [0, +) là tập con của (-, t1 ]
[t2 +
).
Sau khi giảng xong bài toán trên giáo viên có thể truyền thụ cho học sinh những tri thức,
phương pháp sau đây
“Tìm điều kiện để tam thức f(x) 0 (f(x) 0; f(x) > 0…)
xA
là một dạng toán rất
quan trọng, thực chất ta tìm điều kiện để tập nghiệm bất phương trình f(x) 0 chứa A
sau đó biểu diễn A lẫn tập nghiệm lên trục số nhằm phát hiện ra những đặc điểm về các
nghiệm (nếu có) của tam thức f(x)”.
Biện pháp 2: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác tiềm năng logíc
bên trong của vấn đề được trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm vững bản chất vấn
đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng hơn, mạch lạc hơn.
Khai thác tiềm năng từ logíc bên trong vấn đề, ta càng nắm vững các thuộc tính bản chất
của vấn đề, chính hoạt động đó từ các phương tiện trực quan tạo điều kiện tối ưu trong
qúa trình giải quyết vấn đề. Chẳng hạn trong quá trình giải các bài toán phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình mũ và logarit rất nhiều trường hợp ta thu được một hệ hỗn
hợp gồm có phép hội lẫn phép tuyển, các mối liên hệ còn tiềm ẩn chưa rõ ràng, khi đó
bằng các phương tiện trực quan sẽ giúp học sinh hiểu rõ vấn đề hơn.
Bài toán 2.1. Với giá trị nào của a thì phương trình
4x - 2x + a = 0 (1) có nghiệm.
Cách 1: ? Yều cầu HS đặt 2x = t (t > 0) rồi đưa phương trình về dạng t2- t = -a (t > 0).
? Yêu cầu HS vẽ parabol:
y = t2-t và đường thẳng y = -a trên cùng hệ trục tọa độ tOy.
8
Để phương trình (2) có nghiệm
t > 0 thì -a phải là một giá trị của hàm số y = t 2 - t với
tập xác định là (0, +)
Từ đồ thị học sinh sẽ suy ra được: phương trình (2) có nghiệm t > 0 thì đường thẳng y =
y
-a phải cắt đồ thị hàm số f(t) = t2 – t trên (0,+)
-a -
1
4
a
1
4
y = -a
Cách 2: đặt 2x = t(t > 0) để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình t 2 - t + a = 0 (2)
phải có nghiệm t > 0.
1
2
0
Trường hợp 1: phương trình (2) có 1 nghiệm
1
thỏamãn
4 t1
1.f(0) < 0 a < 0
1
t
< 0 < t2
Hình 15
Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t1 t2
= 1- 4a 0
P =a>0
S=1>0
a
a>0
Kết hợp 2 trường hợp phương trình có nghiệm khi a
0
0 hệ tương đương
y
u2 +(v+1)2 m(1)
v2 + (u+1)2 m (2)
10
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh phát hiện ra rằng:
v
Gọi X1, X2 lần lượt là tập nghiệm của (1)
X1 là tập các điểm trong hình tròn
u
Tâm I1(0,-1)
(C1)
và (2)
I1
Bán kính R1 = m
0
I2
X2 là tập các điểm trong hình tròn
(C2)
Tâm I1(-1, 0)
Bán kính R2 =
? GV: từ các đồ thị trên hãy tìm điều kiện để hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau? Bằng
trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi (C 1) tiếp
xúc với (C2).
I 1 I2 = R 1 + R 2
Kết luận: với m =
2 = 2 m m=
1
2
1
thỏa mãn điều kiện đầu bài
2
Bằng cách lập luận tương tự bài toán 2.2 giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán
sau:
22x+ (2y+1)2 = m
(2X+1)2+22Y = 4
Bài toán 2.3. Cho hệ phương trình
11
Tìm m để hệ có nghiệm, khi đó hãy khẳng định rằng hệ có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
u = 2x
Đặt:
điều kiện u,v > 0
v = 2y
Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của 2 đường tròn (C 1) và (C2), đối với (C1) ta chỉ lấy cung AB
(trên góc phần tư thứ nhất).
Hệ
2
2
u +(v +1) = m (1)
(u+1)2 +v2 = 4 (2)
Phương trình (1) là
đường tròn (C1) có
Tâm I1(0,-1)
Bán kính:R1 =
Phương trình (2) là
đường tròn (C2) có
Tâm I2(-1,0)
R2 = 2
Đối với (C2) chỉ lấy cung CD (trong góc phần tư thứ nhất). Vậy hệ có nghiệm khi cung
AB và cung CD giao nhau khác rỗng
I1C < R1 < I1D
2 < m < 4 +2
2
<
m
< 1+
3
3
và khi đó vì cung AB và cung CD giao nhau tại điểm {M} nên hệ có nghiệm duy nhất.
Vậy 2 < m < 4+2
3
hệ có nghiệm duy nhất.
Bài toán 2.5. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình
12
lg (m-x2) = lg (x2 –3x +2)
Phân tích lời giải: Biến đổi phương trình về dạng
x2-3x+2>0
m-x2 = x2-3x+2
x< 1 x >2
(I)
2
2x -3x+2 = m
Để biện luận hệ phương trình (I) bằng các định lý đảo của tam thức bậc 2 thì học sinh sẽ
phải phân chia làm rất nhiều các trường
y hợp, sẽ không tránh khỏi khó khăn và sai sót. Khi
học sinh đã biết kiến thức về đồ thị4hàm số:
y=m
2
f(x) = ax + bx + c (a0) ở lớp 10, bài toán sẽ trở nên đơn giản, bằng sự mô tả đồ thị
học sinh dễ dàng phát hiện số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường
thẳng y = m với đồ thị hàm số y
0
Biện luận:
Với m <
7
8
7
=82x 2-3x+2
7
8
1
phương trình vô nghiệm, m =
(-,1) (2,+).
trên miền
2
7
8
x
1 m 4 phương trình có một nghiệm,
< m < 1 m > 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
Thông qua các bài toán trên giáo viên có thể ý thức cho học sinh một “quy trình”,
“phương pháp mới” khi giải các bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarít (có
chứa tham số) bằng việc vận dụng các phương tiện trực quan.
13
Biện pháp 3: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác các kết quả ứng
dụng khác nhau của khái niệm, định nghĩa, định lý và đề xuất bài toán nâng cao nhằm
khắc sâu các khái niệm, định nghĩa, định lý.
Theo quan điểm “đặt bài toán cần giải quyết trong mối quan hệ tương quan với các khái
niệm, định nghĩa, định lý đã biết” Chính việc thực hiện quan điểm trên là phát triển được
năng lực định hướng, năng lực huy động kiến thức cho học sinh, thông qua việc vận dụng
các phương tiện trực quan, cụ thể ta xét các bài toán sau:
Bài toán 3.1:
y
x
Giải phương trình: 2 = 4x
y = 4x
GV dẫn dắt HS phát hiện được
phương
A
trình trên không giải được bằng
phương
pháp đại số, nên cần phải khai
thác
theo con đường khác.
B
Dễ dàng tìm được một nghiệm
Để tìm nghiệm khác (nếu có)
cả
là
4
y = 2x
0
0,3
x
(x = 4).
tốt
hơn
ta
dựng đồ thị từ mô hình trực quan để tìm được nghiệm thứ 2...
Học sinh đã biết khái niệm hàm số mũ, hàm số bậc nhất. Giáo viên yêu cầu học sinh dựng
đồ thị y = 2x và y = 4x, ở đây tung độ tăng nhanh hơn hoành độ nên ta chọn (tỷ lệ xích)
trên trục 0x nhỏ hơn trục 0y. Từ đồ thị, học sinh sẽ tìm được giao điểm A và B của hai đồ
thị và chỉ có hoành độ điểm A là x = 4, hoành độ điểm B là x 0,3.
Có thể chính xác hóa nghiệm tìm được bằng tính toán dùng bảng logarít.
định lý.
Bài toán 3.2: Cho các bất phương trình
14
log 21 x log 1 x 2 0
2
(1)
4
x2 + mx + m2 + 6m < 0
(2)
a. Giải bất phương trình (1)
b. Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2).
Giải: Việc nắm vững các tính chất, định lý và vận dụng chúng là rất cần thiết đối với việc
giải bất phương trình (1).
Giáo viên yêu cầu học sinh: xác định tập xác định của bất phương tình (x > 0) rồi sử dụng
các tính chất logarít đưa bất phương tình về dạng
log 21 x log 1 x 0 đặt log 1 x = t
2
2
2
t2+t < 0
-1 < t < 0. Do đó - 1 <
log 1 x
2
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh hiểu rằng
nên hàm số y =
log 1 x
2
< a(*) 1 < x < 2
log 1 x
2
là hàm số có cơ số là nhỏ hơn 1
nghịch biến; việc vận dụng vào đẳng thức (*) phải lưu ý để lấy
khoảng nghiệm của bất phương trình.
Xác định m để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2), giáo viên có thể nêu những câu hỏi
sau:
- Với 1 < x < 2 đều làm cho f(x) = x2 + mx + m2 + 6m < 0 tức là
x (1,2) đều
thuộc vào tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 có mối quan hệ như thế nào giữa
(1,2) với tập nghiệm đó ?
- Hãy biểu diễn (1,2) cùng với các tập nghiệm của bất phương trình (2) lên trục số ?
15
Những câu hỏi này có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giải: mọi nghiệm của (1) là
nghiệm của (2) có nghĩa là cần tìm m để tập nghiệm của (2) chứa hết khoảng 1 < x < 2.
Bằng sự biểu diễn trên trục số học sinh sẽ phát hiện dễ dàng hơn.
Bài toán tương đương với điều kiện
1+m+m2+6m<0
m2 +7m +1<0
4+2m+m2+6m<0
+
(1,2)
+
////////(
)/ / / / / / / /
x1 - x2
m2+8m+4 <0
- 7 - 45
m -4 2 3
2
22x+32y = 1
2x +2y = a
Bài toán 3.4: cho hệ phương trình
v
B
u
Xác định a để hệ phương trình có nghiệm
0
nhất và tìm nghiệm đó ?
A
duy
u+v = a
Giáo viên dẫn dắt học sinh đặt
Với điều kiện u,v > 0 hệ phương trình sẽ đưa về dạng:
u+v=a
(I)
u2 + v2 = 1
16
Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu học sinh biểu diễn miền nghiệm hệ (I) trên hệ trục
uOv: u2 + v2 = 1 là đường tròn đơn vị (C) có
Tâm O(0,0)
Bán kính R = 1
(chỉ lấy cung AB góc phần tư thứ nhất)
u + v = a là phương trình đường thẳng (d) từ mô hình trực quan dễ thấy rằng hệ phương
trình có nghiệm duy nhất (d) tiếp xúc với đường tròn tâm (O) tại cung AB.
Khoảng cách từ O (d) = R
-a
a> 0
1
a 2
a>0
Khi (d) tiếp xúc (c) tại điểm M (-
2 2
2
) suy ra u = v =
;
2 2
2
2x =
2
2y =
u
x=
y = log3
Bài toán 3.5: Giải bất phương trình:
17
1
log 1 2x 2 - 3x 1
3
1
log 1 (x 1)
(1)
3
Đa số học sinh khi gặp bài toán này đều thấy khó khăn và phải phân chia rất nhiều trường
hợp. Nếu các em để ý biểu diễn trên trục số thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Bằng
phương tiện trực quan là trục số
Giáo viên có thể khai thác các tính chất, định lý về logarít nhằm giúp học sinh phân chia
các trường cho chính xác. Cụ thể như sau:
-11 (x 0,)
Điều kiện của bất phương trình:
3
2
2
Đặt A log 1 2 x 3x 1 0 2x 3x 0 0 x 2
3
B log 1 (x 1) 0 x 1 1 x 0
3
Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn miền nghiệm của A và B lên trục số
x
-∞
-1
0
1/2
1
3/2
+∞
A
-
+
+
-
B
+
-
-
-
18
? Từ bảng xét dấu trên hãy xét các trường hợp có thể xảy ra đối với bất phương trình
trên.
- Trong khoảng (-1,0) VT < 0, VP > 0 nên bất phương trình (1) không xảy ra.
- Trong khoảng (0,
1
)
2
- Trong khoảng (1,
3
)
2
VT > 0, VP < 0, bất phương trình (1) đúng.
VT > 0, VP < 0 bất phương trình (1) đúng trong miền xác
định.
3
2
- Trong khoảng ( , +∞) VT < 0, VP < 0 bất phương trình (1) tương đương với:
log 1 2 x 2 3 x 1 < log 1 ( x 1)
3
3
x 1
2
x
5
x
0
2 x 2 3x 1 x 1 0
1 x 0
3
x 5 vì điều kiện x >
x 5
2
1
2
3
2
Tóm lại nghiệm của bất phương trình x (0, ) (1, ) (5,)
Nhận xét:
Con đường giải toán theo định hướng trên đòi hỏi người giáo viên cần phải cung cấp cho
học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh tự tìm tòi, tự phát hiện vấn đề, tìm ra
được hướng giải của một bài toán
Biện pháp 4: Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa
thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
1. Sai lầm phổ biến trong việc giải các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ,
logarít:
Có những sai lầm được xem là đơn giản, nói chính xác hơn là những sai lầm không đáng
có, mà có những sai lầm khó nhận ra, chẳng hạn khi chuyển qua một mệnh đề tương
19