Bïi ThÞ Thuý Nga
I ) Lý do chän ®Ò tµi
Tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh tæng vµ tÝch 2 nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh bËc 2 , häc sinh cã ph¬ng tiÖn lµ hÖ thøc Vi – Ðt ®Ó tÝnh to¸n . HÖ thøc cßn
gióp häc sinh xÐt dÊu 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ khong biÕt cô thÓ mçi nghiÖm
lµ bao nhiªu .
Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc 2 cã chøa tham sè lµ lo¹i to¸n khã . TiÕp tôc bµi
to¸n nµy thêng kÌm theo yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc , quan hÖ gi÷a 2 nghiÖm ,
c¸c phÐp tÝnh trªn 2 nghiÖm ... cña ph¬ng tr×nh . ViÖc tÝnh mçi nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh theo c«ng thøc nghiÖm lµ v« cïng khã kh¨n v× ph¬ng tr×nh ®ang chøa tham
sè . Trong trêng hîp ®ã hÖ thøc Vi – Ðt lµ 1 ph¬ng tiÖn hiÖu qu¶ gióp häc sinh gi¶i
lo¹i to¸n nµy .
Cuèi häc kú 2 líp 9 , thêi gian gÊp rót cho «n thi häc kú 2 vµ c¸c kú thi cuèi cÊp .
C¸c bµi to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ®a d¹ng cã mÆt trong nhiÒu kú thi quan
träng nh thi häc kú 2, thi tuyÓn sinh vµo líp 10 , thi vµo c¸c trêng chuyªn líp
chän ...Trong bµi viÕt nµy , t«i hy väng ®ãng gãp thªm 1 sè kinh nghiÖm híng dÉn
häc sinh lµm quen vµ tiÕn tíi gi¶i tèt c¸c bµi cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi - Ðt
II ) Néi dung ®Ò tµi
A) KiÕn thøc c¬ b¶n :
1) NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2
th× tæng vµ tÝch hai nghiÖm ®ã lµ:
S = x1 x2
c
b
vµ P = x1.x2
a
a
2 ) TÝnh nhÈm nghiÖm
a ) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã c¸c nghiÖm sè
c
a
b ) NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) cã c¸c nghiÖm sè
lµ
x1 1, x2
lµ x1 1, x2
c
a
3 ) T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng
NÕu 2 sè u vµ v cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P th× u vµ v lµ 2 nghiÖm cña ph 1
Bïi ThÞ Thuý Nga
¬ng tr×nh bËc hai :
x 2 Sx P 0
B ) Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao
1 ) Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh
Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ?
a) x 2 13 x 40 0
b) 5 x 2 7 x 1 0
c) 3 x 2 5 x 1 0
Gi¶i
a) Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã S = x1 x2
P = x1.x2
b
13
a
c
40
a
V× P > 0 nªn 2 nghiÖm x 1 vµ x 2 cïng dÊu
S > 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu d¬ng
c
a
1
5
b) Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã P = x1.x2 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu
S = x1 x2
c) P = x1.x2
b 7
0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m
a
5
c 1
0 nªn 2 nghiÖm tr¸i dÊu
a 3
b
a
5
3
S = x1 x2 0
Bµi tËp 2 : Cho ph¬ng tr×nh
x 2 10 x m 2 0 (1)
Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña
m � 0 .
NghiÖm mang dÊu nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n ?
Gi¶i
Ta cã a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 víi mäi m � 0
V× a , c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh (1) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt . Theo hÖ
thøc Vi - Ðt : P = x1 , x2 m 2 < 0 . Do ®ã x1 vµ x2 tr¸i dÊu
S = x1 x2 10 nªn nghiÖm d¬ng cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n
2
Bïi ThÞ Thuý Nga
Bµi tËp 3: (§Ò TS chuyªn H¹ Long 1999 – 2000)
(3®)
Cho ph¬ng tr×nh x 2 ( m 1) x m 2 m 2 0 (1)
(víi m lµ tham sè)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn víi m = 2
b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu m
c) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2 T×m m ®Ó biÓu thøc
3
3
�x � �x �
A � 1 � � 2 �®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
�x2 � �x1 �
Gi¶i :
a) Thay m = 2 vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc
x2 x 4 0
1 4.( 4) 17 0
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
x1
x2
1
17
2
1
17
2
1
1 3
3�
� 1 2
b)XÐt ac m2 m 2 (m 2 m 2) (m2 2 m 1 ) �
(m ) 1 �
2
4 4
4�
� 2
2
2
1�
3
� 1� 3
Cã �
m�
��
m ��
1 � 1
P
�
� 0
�
4
� 2�
� 2� 4
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu m
1
3
4
P
0 m
c) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2
Tõ kÕt qu¶ phÇn b cã x 1 , x 2 � 0 , biÓu thøc A ®îc x¸c ®Þnh víi mäi x 1 , x 2 tÝnh
theo m vµ (
§Æt (
x1 3
x
) 0; ( 2 ) 0
x2
x1
x1 3
) a Víi a > 0
x2
Cã A = -a +
1
a
�(
x2 3 1
)
x1
a
mang gi¸ trÞ ©m
A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt <=> - A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
2
Cã – A = a + 1 a 1
a
a
3
Bïi ThÞ Thuý Nga
Theo bÊt ®¼ng thøc C« si ¸p dông cho hai sè kh«ng ©m a vµ
1
1
( v× a > 0 vµ 0 )
a
a
1
1
) : 2 � a.
a
a
Cã � ( a 1 ) : 2 �1
a
1
� a
�2
a
(a
VËy – A �2 nªn – A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 <=> A �2 nªn A cã GTLN lµ - 2
* A 2 � a
1
2
a
1
2
a
� a.a 1 2 a
� a
� a 2 2a 1 0
� a 2 2a 1 0
� ( a 1) 2 0
� a 1
( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > 0 )
Víi a = 1 th× (
x1 3
x
) 1 � 1 1 � x1 x2
x2
x2
Theo kÕt qu¶ x1 x2 cã S x1 x2 x2 x2 0
b
a
� (m 1) 0
� m 1 0
� m 1
* KÕt luËn : Víi m = 1 th× biÓu thøc A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ - 2
2) Lo¹i to¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa tæng, tÝch 2 nghiÖm
Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh :
x 2 (m 1) x m 2 m 2 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m
b) Gäi 2 nghiÖm lµ x 1 vµ x 2 t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x12 x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Gi¶i:
4
Bïi ThÞ Thuý Nga
a ) Ta cã a = 1 > 0
c m 2 m 2 (m 2 m 2)
1 7
(m 2 m )
4 4
1
7
7
(m ) 2 �
0
2
4
4
a, c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi tham sè m
P = x1.x2
Theo hÖ thøc Vi Ðt
c
m 2 m 2 0 do ®ã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
a
b) Ta cã
x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 (m 1) 2 2(m 2 m 2)
= m 2 2m 1 2m 2 2m 4 3m 2 4m 5
5�
2 4 11
�2 4
3�
m m � 3(m 2 2m )
3
3�
3 9 9
�
2
11 11
3(m ) 2 �
3
3 3
VËy Min x12 x22
2
11
khi m =
3
3
Bµi tËp 5:
Cho ph¬ng tr×nh 2 x 2 ( m 2) x 7 m2 0
T×m gi¸ trÞ d¬ng cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã
gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nghÞch ®¶o cña nghiÖm kia
Gi¶i :
Ta cã a = 2 > 0
Phong tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu � 7 m2 0 � 7 m 7
Víi ®iÒu kiÖn nµy gi¶ sö x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo ®Ò ra ta cã
x1
1
7 m 2
� x1 x2 1 � (
) 1 � 7 m2 2 � m2 5 � m � 5
x2
2
V× m > 0 nªn ta chän
m=
5 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 7 m 7 )
5
Bïi ThÞ Thuý Nga
KÕt luËn : VËy víi m =
5 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ
nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng ngÞch ®¶o cña nghiÖm kia .
Bµi tËp 6 : ( §Ò tuyÓn sinh líp 10 n¨m 2006 – 2007 )
(2 ®)
XÐt ph¬ng tr×nh : x 4 2(m 2 2) 5m 2 3 0 (1) víi m lµ tham sè
1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 4 nghiÖm
ph©n biÖt
2) Gäi c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ x1 , x2 , x3 , x4 . H·y tÝnh theo m gi¸ trÞ
cña biÓu thøc M =
1) §Æt x 2 = y
1
1
1
1
2 2 2
2
x1
x2
x3
x4
Gi¶i :
( §K : y �0 ) Pt (1) trë thµnh
y 2 2( m 2 2) y 5m 2 3 0 (2)
2
2
, �
(m 2 2) �
�
� (5m 3)
( m 2 2) 2 (5m 2 3)
m 4 4 m 2 4 5m 2 3
m4 m2 1
1 1 3
2 4 4
1
3
(m2 ) 2
2
4
(m 2 ) 2 2m 2 .
1 2
1
3 3
) �0 � ( m 2 ) 2 �
2
2
4 4
Ph¬ng tr×nh (2) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã
Cã ( m 2
nªn
, �0
b 2( m 2 2)
S y1 y2
2(m 2 2)
a
1
P y1. y2
c
5m 2 3
a
6
Bïi ThÞ Thuý Nga
XÐt P 5m 2 3 cã m 2 �۳�
0 5�
m2
nªn P > 0 víi mäi m � Z
0
5m 2
3 3
� y1 , y2 cïng dÊu
XÐt S y1 y2
b
2(m 2 2) .
a
V× m 2 �0 � m 2 2 �2 � 2( m 2 2) �4
nªn S > 0 � y1 , y2 cïng dÊu d¬ng (tho¶ m·n §K y �0)
VËy ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng nªn ph¬ng tr×nh (1)
cã 4 nghiÖm ph©n biÖt ®èi nhau tõng ®«i mét .
2) Theo kÕt qu¶ phÇn a cã x1 , x2 , x3 , x4 �0
vµ x1
x3
M
y1 , x2 y1
y2 , x4 y2
1
1
1
1
( y1 ) 2 ( y1 ) 2 ( y2 ) 2 ( y2 ) 2
1
1
1
1
y1
y1
y2
y2
2
2
y1
y2
2 y1 2 y2
y1. y2
2( y1 y2 )
y1. y2
Thay kÕt qu¶ S vµ P vµo M ta ®îc
2.2(m 2 2) 4( m 2 2)
M
5m 2 3
5m 2 3
2
KÕt luËn: M 4(m 2)
2
5m 3
Bµi tËp 7: (§Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 1997 - 1998 )
( 2,5 ®)
Cho ph¬ng tr×nh x 2 2( m 1) x m 0 ( mlµ tham sè)
7
Bïi ThÞ Thuý Nga
a) Chøng minh : Ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m
b) Trong trêng hîp m > 0 vµ x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nãi trªn h·y
t×m GTLN cña biÓu thøc
x12 x2 2 3( x1 x2 ) 6
A
x1 x2
Gi¶i:
a) , (m 1) m
2
( m 1) 2 m
m 2 2m 1 m
m2 m 1
1
1 3
m 2 2. .m
2
4 4
(m
1 2 3
)
2
4
1
1
3 3
V× (m ) 2 �0 nªn (m ) 2 �
2
2
4 4
, 0m �Z � Ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ
m
x12 x2 2 3( x1 x2 ) 6
b) A
x1 x2
Theo kÕt qu¶ phÇn a ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ta cã
S = x1 x2
b
2m 2
a
P = x1.x2
c
m
a
V× P = m > 0 nªn x2 , x2 �0 biÓu thøc A ®îc x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ x1 , x2 x1 , x2
tÝnh theo m
x12 2 x1 x2 x22 2 x1 x2 3( x1 x2 ) 6
A
x1.x2
8
Bïi ThÞ Thuý Nga
( x1 x2 ) 2 2 x1.x2 3( x1 x2 ) 6
=
x1 x2
Thay S vµ P vµo biÓu thøc A ta ®îc :
(2m 2) 2 2m 3(2m 2) 6
A
m
2
4m 8m 4 2m 3(2m 2) 6
m
4m 2 4
m2 1
m2 1
4(
) 4(
)
m
m
m m
1
4(m )
m
Theo bÊt d¼ng thøc C« Si v× ( m
1
1
) : 2 � m.
m
m
( do m > 0vµ
1
0)
m
1
�2. 1
m
1
� m �2
m
1
� 4( m ) �8
m
VËy biÓu thøc A cã GTNN lµ 8
� m
Trong bÊt ®¼ng thøc C« Si dÊu b»ng x¶y ra � m =
1
m
� m2 1
� m �1
Víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0
m = -1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0
VËy víi m = 1 th× A cã GTNN b»ng 8
Bµi tËp 8 : ( ®Ò TS chuyªn H¹ Long 2005 - 2006 )
XÐt phu¬ng tr×nh mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1)
(2 ®)
víi m lµ tham sè
a ) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x 1 , x 2 tho¶ m·n
x12 x22 x1 x2 4
b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã
nghiÖm sè h÷u tØ
Gi¶i
9
Bïi ThÞ Thuý Nga
m �0
�
a ) §iÒu kiÖn ®Ó m cã 2 nghiÖm �
�0
�
XÐt (2m 1) 2 4m(m 2)
4 m 2 4 m 1 4 m 2 8m
4m 1
��
0 �۳
4m 1 0
m
1
4
1
4
VËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ m �0 vµ m �
Víi ®iÒu kiÖn trªn theo hÖ thøc Vi Ðt cã
S x1 x2
P x1.x2
Gäi
b 1 2m
a
m
c m2
a
m
A x12 x22 x1 x2
( x1 x2 )2 2 x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )2 3 x1 x2
�m �0
�
¸p dông hÖ thøc Vi Ðt cã A = 4 ( §K � 1 )
m�
�
�
4
�(
1 2m 2
m2
) 3
4
m
m
1 4m 4m 2 3m 6
4
m2
m
� 1 4m 4m 2 3m 2 6m 4m 2
�
� 3m 2 2m 1 0
� 3m2 2m 1 0
Cã a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m 1 = 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m �0 vµ m
1
� )
4
m2 =
1
1
( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m �0 vµ m � )
3
4
10
Bïi ThÞ Thuý Nga
VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n
x12 x22 x1 x2 4
c) Gäi n �N * ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp
( TM§K m � 0 )
d) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã
4m 1 4n( n 1) 1 4 n 2 4n 1 (2n 1) 2
�0 vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m
2n 1 2n 1 ( do n > 0 )
x1
1 2m 1 2 n( n 1) 2 n 1 1 2 n 2 2 n 2n 1
2m
2n( n 1)
2n(2 n 1)
2 2n 2
2(1 n 2 ) 2(1 n)(1 n) 1 n
2n(n 1) 2n(n 1)
2n(n 1)
n
1 2n 1 2n(n 1) 2n 1 1 2n 2 2n 2n 1
x2
2m
2n(n 1)
2n(n 1)
2n 2 4n 2n(n 2)
n2
2n(n 1)
2n( n 1)
n 1
V× n �N * nªn 1- n �Z vµ n �N * => x1
tö n +2 �N * vµ n +1 �N * => x2
1 n
lµ ph©n sè �Q
n
n2
lµ ph©n sè �Q
n 1
KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè
h÷u tØ
3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng
Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt
a) x + y = 11 vµ xy = 28
b) x – y = 5 vµ xy = 66
Gi¶i :
a ) Víi x + y = 11 vµ xy = 28 theo kÕt qu¶ hÖ thøc Vi Ðt x ,y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 - 11x + 28 = 0
11
Bïi ThÞ Thuý Nga
b 2 4ac = 121 – 112 = 9 > 0
3 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ
11 3
11 3
=4
7; x2
2
2
VËy x = 7 th× y = 4
x = 4 th× y = 7
x1
�x y 5
�x ( y ) 5
b) Ta cã �
��
�xy 6
�x ( y ) 66
cã x , y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 - 5x - 66 = 0
b 2 4ac = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17
5 17
5 17
11; x2
6
2
2
VËy x = 11 th× y = - 6 cßn x = - 6 th× y = 11
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ x1
Bµi tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt x 2 + y 2 = 25 vµ xy = 12
Gi¶i :
Ta cã x 2 + y 2 = 25 <=> (x + y ) 2 - 2xy = 25 <=> (x + y ) 2 - 2.12 = 25
(x + y ) 2 = 49 <=> x +y = � 7
* Trêng hîp x + y = 7 vµ xy =12
Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x 2 - 7x +12 = 0
b 2 4ac = 49 – 4.12 = 1
7 1
7 1
4; x2
3
2
2
* Trêng hîp x + y = - 7 vµ xy =12
Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
x1
x 2 +7x +12 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc x 3 = -3 ; x 4 = - 4
c¸c cÆp sè x, y cÇn t×m lµ (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Lo¹i to¸n t×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a tæng tÝch 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc
tham sè :
Bµi tËp 11 : Cho ph¬ng tr×nh x 2 - ax + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1 , x2
12
Bïi ThÞ Thuý Nga
3 x12 3x22 3
a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M 2
x1 x2 x22 x1
b) T×m a ®Ó tæng c¸c b×nh ph¬ng 2 nghiÖm sè ®¹t GTNN ?
Gi¶i
2
2
3�
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 1�
3(
x
x
1)
�
�
1
2
a) M
x1 x2 ( x1 x2 )
x1 x2 ( x1 x2 )
Theo hÖ thøc Vi Ðt cã S x1 x2 a; P x1.x2 a 1
3�
a 2 2( a 1) 1�
� 3 (a 1)(a 1) 2(a 1)
VËy M �
a (a 1)
a (a 1)
3(a 1) 2 3(a 1) 2 3( a 1)
a(a 1)
a(a 1)
a
b) Ta cã S x1 x2 a
(§K : a �0, a �1 )
(1)
P x1.x2 a 1 (2)
Trõ 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1 x2 x1 x2 1 , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ
x 2 kh«ng phô thuéc vµo a
C) C¸c bµi tËp t¬ng tù
Bµi tËp 1 : Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ?
a) x 2 - 6x +8 = 0
b) 11 x 2 +13x -24 =0
c) 2 x 2 - 6x + 7 = 0
Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña k , ph¬ng tr×nh
a) 7 x 2 + kx -23 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
b) 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
c) x 2 - ( k +1)x + k = 0 cã mét nghiÖm b»ng 1
Bµi tËp 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh
a) mx 2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0
b) (m -1) x 2 + 3m + 2m + 1 = 0
c) (1 – 2m) x 2 + (2m +1)x -2 = 0
13
Bïi ThÞ Thuý Nga
Bµi tËp 4 : Cho ph¬ng tr×nh x 2 - 2m + m - 4 = 0
a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau . TÝnh 2 nghiÖm ®ã
b) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc d¬ng
Bµi tËp 5 : ( ®Ò TS chuyªn H¹ Long n¨m häc 2002 -2003 )
Cho ph¬ng tr×nh x 2 - mx +1 = 0 ( m lµ tham sè )
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 5
(2,5 ®)
b) Víi m = 5 , gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho khi ®ã cã 2 nghiÖm lµ x1 , x2
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
3 x12 5 x1 x2 3 x22
A
x1 x23 x13 x2
Híng dÉn gi¶i:
a) Víi m = 5 ph¬ng tr×nh trë thµnh x 2 -5x +1 = 0
= 21 , ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 (5 21) , x2 5 21
2
2
b)Víi m = 5 , ta cã ph¬ng tr×nh bËc hai : x 2 5 x 1 0
Theo hÖ thøc Vi Ðt :
S x1 x2 5 vµ P x1.x2 1
3 x12 5 x1 x2 3 x22
A
x1 x23 x13 x2
3( x12 2 x1 x2 x22 ) x1 x2
x1 x2 �
( x12 x22 2 x1 x2 ) 2 x1 x2 �
�
�
3( x1 x2 ) 2 x1 x2
x1 x2 �
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 �
�
�
Thay S vµ P vµo A ta ®îc :
14
3
Bµi tËp 6 :( ®Ò thi häc sinh giái líp 9 thÞ x· Hµ §«ng , Hµ T©y 2003 -2004) (4®)
A
Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x :
x 2 2(m 1) x 2m 2 3m 1 0
(1)
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0 �m �1
b) Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh r»ng
14
Bïi ThÞ Thuý Nga
8
x1 x2 x1 x2 �
8
Híng dÉn gi¶i:
a) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm <=> , ( m 1) 2 (2m 2 3m 1) �0
2
�m��
m�۳
0
m 0 hoÆc m 1 �0
m(m 1) 0
ۣۣۣ
�0 m 1
c) Khi m �1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã
S x1 x2 2(m 1)
P x1.x2 2m 2 3m 1
� Q x1 x2 x1.x2 2(m 1) 2m 2 3m 1 2m 2 m 1
2 m2
m 1
1
9
2 (m ) 2
2 2
4
16
V× 0 �m �1 �
1
1 3
1
9
�m � � (m )2 �
4
4 4
4
16
1
9
do ®ã (m ) 2 �0
4
16
1 � 9
1
�9
Q 2 � (m ) 2 � 2( m ) 2
16
4 � 8
4
�
1 2
1
V× 2(m ۣ��
)
0 ���
2( m
) 2
4
4
0
9
8
2( m
1 2
)
4
9
8
9
8
Q
Bµi tËp 7 : ( ®Ò thi TS líp 10 H¶i D¬ng 2003 – 2004 )
(1®)
Cho ph¬ng tr×nh : 2 x 2 5 x 1 0
TÝnh x1 x2 x2
(Víi x 1 , x 2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh)
x1
Híng dÉn gi¶i:
Theo ®Þnh lý Vi Ðt ta cã x1 x2
Ta cã A x1 x2 x2 x1
5
1
; x1 x2 �
2
2
x1 x2 ( x1
x1 x2
1
2
x2 )
NÕu S x1 x2 � S 2 x1 x2 2 x1 x2 5 2 � S 5 2 2
2
Do ®ã A = x1 x2 x2
2
x1
15
Bïi ThÞ Thuý Nga
1
2
52 2
1
2
2
5 2 2
Bµi tËp 8 : (®Ò thi häc sinh giái líp 9 - TP Hå ChÝ Minh 2003- 2004)
(4®)
2
2
a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 x 2mx m 2 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
b) Gäi 2 nghiÖm lµ x 1 , x 2 , T×m GTNN cña biÓu thøc
A 2 x1 x2 x1 x2 4
Híng dÉn gi¶i:
a) , m 2 2(m 2 2) m 2 4
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
� �0
� m 2 �0
ۣ m2
4
� 2 �m �2
2
b)Theo ®Þnh lý Vi Ðt cã x1 x2 m; x1 x2 m 2
2
Do ®ã ta cã A 2 x1 x2 x1 x2 4 (m 2)( m 3)
V× m � 2; 2 nªn (m + 2)(m - 3) �0
1
25 25
Khi ®ã A (m 2)(3 m) m 2 m 6 (m ) 2
�
2
4
4
VËy GTNN cña A lµ
25
khi vµ chØ khi m = 2
4
Bµi tËp 9 : (®Ò thi TS líp 10 chuyªn to¸n THPT n¨ng khiÕu TrÇn Phó)
(2,5®)
1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh x 2 4 x 1 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ x12 vµ x22
2) T×m m®Ó ph¬ng tr×nh x 2 2mx 2m 3 0 cã hai nghiÖm cïng dÊu .Khi ®ã hai
nghiÖm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d¬ng ?
Híng dÉn gi¶i:
1) , 4 1 0 nªn ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
S x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 42 2.1 14
P x12 x22 ( x1 x2 ) 2 1
16
Bïi ThÞ Thuý Nga
vËy ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ x 2 - 14x +1 = 0
2) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu
�
(m 1) 2 2 �0
�
, m 2 2m 3 �0
3
�
��
�� 3
�m
2
x1 x2 2m 3 0
m�
�
�
� 2
Khi ®ã x1 x2 2m 0 Suy ra ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng
Bµi tËp 10 : ( §Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 2005 – 2006)
XÐt ph¬ng tr×nh mx 2 (2m 1) x m 2 0 vãi m lµ tham sè
a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x 1 , x 2 tho¶ m·n x12 x22 x1 x2 4
b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã
nghiÖm h÷u tØ
III) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh
Trong giê häc chÝnh kho¸ t«i lång ghÐp c¸c bµi tËp cïng lêi gi¶i mÉu, c¬ së gi¶i
theo tõng ph¬ng ph¸p ®Ó häc sinh h×nh thµnh kü n¨ng gi¶i tõng lo¹i to¸n nµy . Cho
häc sinh thùc hµnh bµi tËp t¬ng tù ngay t¹i líp .
§Æc biÖt , trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp ch¬ng gi¸o viªn tiÕp tôc cho häc sinh gi¶i
c¸c bµi tËp n©ng cao , lµm thö c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh chuyªn chän . Qua ®ã häc sinh
thÊy ®îc tÇm quan träng cña lo¹i to¸n nµy , tù rÌn luyÖn t¹o kü n¨ng cho m×nh
.B»ng rÌn luyÖn thùc hµnh gi¶i bµi tËp , häc sinh c¸ch gi¶i c¸c bµi tËp phøc t¹p
h¬n . C¸c em ®îc n©ng cao kiÕn thøc , h×nh thµnh kü n¨ng ph¶n x¹ khi gÆp c¸c bµi
to¸n t¬ng tù .
IV) Ph¹m vi , ®èi tîng nghiªn cøu
Häc sinh khèi líp 9 trêng THPT Hßn Gai
V) Tæng kÕt vµ rót kinh nghiÖm
Qua ¸p dông vÊn ®Ò nªu trªn vµo gi¶ng d¹y ë khèi líp 8 , kÕt qu¶ thu ®îc lµ häc
sinh ®· h×nh thµnh , ®Þnh híng ®îc c¸ch gi¶i lo¹i to¸n nµy . B»ng ph¬ng ph¸p gîi
më nªu vÊn ®Ò , c¸c c©u hái dÉn d¾t , c¸c em tù ph¸t hiÖn ra híng gi¶i cho tõng bµi
tËp . Gi¸o viªn t¹o høng thó , ph¸t triÓn trÝ th«ng minh s¸ng t¹o cho häc sinh .
C¸c tµi liÖutham kh¶o khi gi¶ng d¹y lo¹i to¸n cÇn ¸p
dông hÖ thøc Vi Ðt
17
Bïi ThÞ Thuý Nga
1)
2)
3)
4)
5)
SGK vµ s¸ch gi¸o viªn líp 9 c¶i c¸ch
“ Bµi tËp n©ng cao vµ 1 sè chuyªn ®Ò to¸n 9” cña Bïi V¨n Tuyªn
B¸o to¸n häc vµ tuæi th¬ 2” cña Bé Gi¸o Dôc
C¸c ®Ò thi TS vµ thi chuyªn chän hµng n¨m cña c¸c tØnh trªn toµn quèc
“ Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9” cña Vò H÷u B×nh
18
Bïi ThÞ Thuý Nga
X¸c nhËn cña tæ chuyªn m«n :
H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m .......
Tæ trëng
X¸c nhËn cña trêng THPT Hßn Gai :
H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m .......
19
Bïi ThÞ Thuý Nga
20
- Xem thêm -
.DOC 
20 
95 
136 
