Tài liệu Skkn skkn phương pháp dạy so sánh phân số cho học sinh giỏi khối 4 - 5

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ----------o0o---------- SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên : Đào Kim Quý Sinh ngày: 12/4/1973 Năm vào ngành: 2007 Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác: Trường Tiểu học Mỹ Thành - Mỹ Đức - Hà Nội Trình độ chuyên môn: Đại học Khen Thưởng: Lao động tiên tiến cấp cơ sở 1 Tháng 5/ 2014 MỤC LỤC NỘI DUNG PHẦN I: Đặt vấn đề. Trang 1 1/ Cơ sở lý luận. 1 2/ Cơ sở thực tiễn. 2 3/ Mục đích nghiên cứu. 2 4/ Phương pháp nghiên cứu/ 2 5/ Phạm vi nghiên cứu 3 PHẦN II: Phần nội dung. Chương I : Những kiến thức liên quan. Chương II: Một số phương pháp so sánh phân số. 2 So sánh phân số bằng cách quy đồng tử số. 10 1/ So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số. 3/ So sánh phân số với đơn vị. 3 3 6 11 12 4/ So sánh phân số dựa vào phân số trung gian. 13 5/ So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị 14 6/So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị 7 Sosánh các phân số mà tử số và mẫu số của phân số này là chuỗi lặp lại của tử số và mẫu số của phân số kia. 9/ So sánh phân số bằng cách đưa về dạng hỗn số để so sánh.19 8/ So sánh phân số bằng cách nhân tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia,rồi so sánh hai tích. 10/ So sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược. 17 11/ So sánh phân số bằng cách thực hiện phép chia hai phân số. 24 12/ So sánh phân số bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng. 25 Chương III: Bài tập áp dụng PHẦN III: Kết luận chung 18 20 22 26 35 2 ĐẶT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Có thể nói , quá trình dạy học là quá trình quan trọng bậc nhất, nó là quá trình sư phạm tổng thể. Nó được thực hiện ở các bậc học khác nhau. Song dù ở bậc học nào thì quá trình đó vẫn mang quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy và học, luôn phản ánh mối quan hệ tất yếu và bền vững giữa hai nhân tố đặc trưng của quá trình dạy học. Trong công tác giảng dạy, vai trò của người thầy rất quan trọng.Người giáo viên chủ yếu cung cấp cho học sinh một cách đầy đủ, chính xác, có hệ thống kiến thức. Ngoài ra, còn thường xuyên rèn luyện cho các em những kỹ năng cần thiết giúp các em có phương pháp vận dụng kiến thức đã học vào việc giải các bài tập Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục, căn cứ vào thực trạng dạy và học toán hiện nay, cần có hướng đổi mới phương pháp dạy toán ở Tiểu học là tích cực hoá hoạt động học tập của HS, tập trung vào việc rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và tự giải quyết vấn đề, nhằm hình thành ở HS tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo . Để đạt được điều đó, trong giảng dạy bộ môn Toán, người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và dễ dàng phát hiện những mặt mạnh, mặt yếu của từng em về kiến thức, về kỹ năng và tư duy để từ đó giúp học sinh phát huy được tính chủ động và sáng tạo trong học tập. Đây cũng là một dạng toán thường có mặt trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi các cấp. Trong chương trình toán lớp 4 chỉ đưa ra phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi giải quyết các bài tập nâng cao , mở rộng, so sánh phân số theo nhiều cách khác nhau.Để giúp các em tháo gỡ vướng mắc trên ; để phát huy khả năng tư duy và năng khiếu toán học cho các em đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ta không chỉ áp dụng một cách so sánh phân số như sách giáo khoa đã đưa ra mà phải hướng dẫn các em các cách so sánh phân số khác nữa. Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng,cách giải hay là rất khó. Nhất là với những bài toán trong sách nâng cao và các tài liệu tham khảo. Bởi lẽ đó,tôi nhận thấy trong môn Toán 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan trọng. Ở mảng kiến thức này có một số vấn đề HS sẽ gặp phải khó khăn trong đó có 3 vấn đề "So sánh phân số". So sánh phân số là gì? Cũng giống như đối với số tự nhiên, so sánh hai phân số là xét xem hai phân số đó bằng nhau hay không bằng nhau, và nếu không bằng nhau thì phân số nào bé hơn, phân số nào lớn hơn. Vậy để khắc phục khó khăn trong phần này cho học sinh ,trong quá trình giảng dạy tôi luôn rèn cho học sinh khả năng định hướng và tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán, đồng thời giúp học sinh nhận dạng, phân loại bài tập,có phương pháp suy nghĩ khoa học. Trong mỗi dạng, mỗi bài toán, tôi cố gắng cung cấp cho học sinh một số phương pháp, cách thức nhất định để giải .Song bản thân tôi, không có tham vọng lớn mà chỉ cố gắng nghiên cứu, tìm tòi nhằm đáp ứng được phần nào trong việc đổi mới và nâng cao chất lượng dạy học ,vì lẽ đó trong năm học 2012 – 2013 này tôi đã chọn Đề tài: “ Phương pháp dạy so sánh phân số cho học sinh giỏi khối 4 - 5." Để nghiên cứu và áp dụng vào công tác giảng dạy của mình. Nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi. Giúp học sinh giải bài toán so sánh phân số thành thạo và đặc biệt áp dụng trong giải toán qua mạng Internet hiện nay rất phổ biến trong mỗi vòng thi Violympic. Một trong những biện pháp thực hiện là hình thành tốt cho học sinh những nhận xét, những quy tắc so sánh qua các ví dụ cụ thể. Phát hiện, nhấn mạnh điều kiện bổ sung để nhận xét đúng, nêu rõ nên áp dụng cách so sánh phân số này trong trường hợp nào. Sau đó cho học sinh áp dụng để giải một số bài tập. Tiếp theo, giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập tổng hợp, nâng cao, hướng dẫn các em quan sát như thế nào, thứ tự quan sát ra sao, từ đó tìm lời giải thích hợp. Trước khi hướng dẫn các cách so sánh phân số cho học sinh, bản thân giáo viên cần có ý thức soi sáng các quy tắc, hiểu quy tắc đó được hình thành dựa trên cơ sở lý thuyết nào. Đièu này giúp giáo viên hiểu sâu sắc quy tắc, tiếp cận quy tắc nhanh và chính xác. 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN. 2.1. Với học sinh: Vướng mắc khi gặp: - Một số bài toán so sánh phân số không được quy đồng. - Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn. - Sắp xếp các phân số trong bảng theo thứ tự tăng dần trong các vòng thi Violympic. - Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách. - Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số. 4 - Một số bài tập yêu cầu lựa chọn cách làm hợp lí nhất. - Việc lựa chọn phương pháp nào để giải học sinh còn rất lúng túng. 2.2. Với giáo viên. - Phải có niềm say mê , sáng tạo trong dạy học giải toán. - Phải đầu tư nghiên cứu đề ra những biện pháp cụ thể cho từng tiết dạy. - Nhằm giúp cho HS có cách giải nhanh, gọn, hợp lý, đồng thời phát triển tư duy lôgíc cho HS. Từ đó nâng cao chất lượng môn Toán, 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4 hệ thống được các phương pháp so sánh phân số. - Giải quyết những khó khăn, những lỗi cơ bản trong việc tiếp thu kiến thức về: "So sánh phân số" cho học sinh. - Rèn cho học sinh kĩ năng giải toán, tư duy lô gíc, khái quát hoá... - Rèn cho học sinh các năng lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thân, sáng tạo. - Rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán. - Mặt khác, khuyến khích cho học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để tập cho học sinh nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Để hình thành và viết chuyên đề sáng kiến, tôi đã sử dụng một số phương pháp sau: - Phương pháp tra cứu tập hợp hồ sơ, tài liệu - Phương pháp tổng hợp so sánh, phân tích kết quả. - Phương pháp thực nghiệm. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. - Thực hiện ở lớp 4A của trường. 5 - Dạy toán 4 phần "So sánh phân số" PHẦN NỘI DUNG 1. Tình hình nghiên cứu: Đối với học sinh phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải các bài toán về so sánh phân số. Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách giải (căn cứ vào cách phân dạng và phương pháp GV cung cấp) và nhờ đó tư duy sáng tạo phát triển rõ rệt. 2. Nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm - Đưa ra một số phương pháp so sánh phân số. - Chọn ra các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với từng trình độ của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số ở lớp 4. CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trước khi bắt tay vào việc dạy học sinh các phương pháp so sánh phân số, tôi đã khảo sát :Số lượng điều tra học lực đầu năm : Lớp 4A 4B Sĩ số 22 22 Điểm 9-10 SL % 3 13,5 3 13,5 Điểm 7-8 SL % 9 41,0 8 36,5 Điểm 5-6 SL % 9 41,0 10 45,5 Điểm dưới 5 SL % 1 4,5 1 4,5 Tôi luôn tìm tòi, sáng tạo phương pháp giảng dạy phù hợp,có hệ thống, bổ sung cho các em các kiến thức có liên quan đến việc so sánh phân số. 1. Khái niệm về phân số. Phân số là số chỉ một hoặc một số nguyên phần đơn vị thường được viết dưới dạng a ; a gọi là tử số, b gọi là mẫu số trong đó b # 0. b Ví dụ: 1 3 ; ...là những phân số. 2 4 6 2. Quy đồng mẫu số .a) ThÕ nµo lµ quy ®ång mÉu sè? Quy đồng mẫu số là quá trình ta đưa các phân số khác mẫu số về những phân số có cùng mẫu số. a c và (b, d # 0) b d a axd = b bxd c cxb = d dxb b) Cách so sánh: Các phân số có cùng mẫu số thì: + Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. + Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn. + Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. c) Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Ta có : 4 5 5 Vì 30 So sánh 2 phân số : 1 4 và 6 5 1 1 5 5 = = 6 6 5 30 4 6 24 = = 5 6 30 24 1 4 < ( do 5 < 24 ) nên < 30 6 5 Ví dụ 2: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau: a. 1 2 và 3 5 b. 2 5 và 3 6 Bài giải 1 1x5 5 = = 3 3 x5 15 2 2 x3 6 4 x3 12   = = 5 5 x3 15 5 x3 15 a. Ta có: b. Vì 6 : 3 = 2 nên 2 2 x2 4 = = 3 3x2 6 3 . Quy đồng tử số : Quy đồng tử số là quá trình ta đưa các phân số khác tử số về những phân số có cùng tử số. 7 a c và (b, d # 0) b d a axc = b bxc c cxa = d dxa 3.1. Cách so sánh: Các phân số có cùng tử số thì: + Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn. + Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn. + Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. Ví dụ: Quy đồng tử số các cặp phân số sau: a. 3 2 và 7 9 Bài giải: a. Ta có: b. 3 3x2 6 = = 7 7 x2 14 2 2 x3 6 = = 9 9 x3 27 3 6 và 7 8 b. Vì 6 : 3 = 2 Nên 3 3x2 6 = = 7 7 x2 14 * Qua ví dụ trên vấn đề đặt ra là làm thế nào để hướng dẫn học sinh nhận biết khi nào so sánh hai phân số ta tiến hành quy đồng tử số, khi nào tiến hành quy đồng mẫu số? Để giải quyết vấn đề đó ta có thể làm như sau: Ví dụ 1: So sánh hai phân số 4 12 và 13 17 Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng tử số nên ta hướng dẫn để học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai tử số của hai phân số( 12 = 4 x3 ) . Trong trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng tử số . Minh hoạ: Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số. 4 4 3 12 = = 13 13 3 39 12 Giữ nguyên phân số 17 12 12 4 12 Vì < ( do 39 > 17 ) nên < . 39 17 13 17 Ta có : Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số. 4 4 17 68 = = 13 13 17 221 12 12 13 156 = = 17 17 13 221 68 156 4 12 Vì < nên < . 221 221 13 17 Ta có: 8 Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách quy đồng tử số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều. Ví dụ 2: So sánh hai phân số 4 9 và 7 14 Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng mãu số nên ta hướng dẫn để học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai mẫu số của hai phân số( 14 = 7 x2 ) . Trong trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng mẫu số . Minh hoạ: Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số. 4 4 2 8 = = 7 7 2 14 9 Giữ nguyên phân số 14 8 9 4 9 Vì < nên < . 14 14 7 14 Ta có: Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số. 4 4 9 36 = = 7 7 9 63 9 9 4 36 = = 14 14 4 56 36 36 4 9 Vì < ( do 63 > 56 ) nên < . 63 56 7 14 Ta có : Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách quy đồng mẫu số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều. 3.2. Một số dạng bài tập áp dụng phương pháp quy đồng tử số và quy đồng mẫu số. Bài 1 : So sánh hai phân số: 2 3 và 5 7 2 4 b) và 7 9 1 4 c) và 5 15 a) Bài 2: Cho 3 phân số 3 5 7 , , . Hãy xếp các phân số đó theo thứ tự tăng dần. 4 6 8 Bài 3: Điền dấu >, < , = vào chỗ chấm. 5 6 ……… 11 12 5 3 ……….. 9 8 9 4 3 ………. 7 4 2 8 ……… 5 11 4 . Tính chất của phân số. Ví dụ: Viết phân số bằng phân số 6 bằng cách. 14 a - Nhân cả tử và mẫu với 3 b - Chia cả tử và mẫu cho 2 6 6 x3 18 = = 14 14 x3 42 6 6:2 3 b. = = 14 14 : 2 7 a. Tính chất: Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 1 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. a axc = (b, c # 0) b bxc a a:c = (b, c b b:c # 0; cả a và b đều chia hết cho c) 5 . Rút gọn phân số: 5.1 / Rút gọn phân số là gì? Rút gọn phân số là đưa phân số đó về một phân số mới có tử số và mẫu số bé đi mà phân số mới ấy vẫn bằng phân số đã cho. 5.2/ Cách làm: * Thông thường khi rút gọn phân số là phải được một phân số tối gản. Cách rút gọn phân số là cùng chia cả tử số và mẫu số cho một số tự nhiên lớn hơn 1. Điều quan trọng nhất là phải tìm số tự nhiên đó để thực hiện việc rút gọn phân số. Việc này có thể thực hiện một lần hoặc vài lần mới tìm được phân số tối giản. + Dựa vào dấu hiệu chia hết: Ví dụ : = = 10 + Chia dần từng bước hoặc gộp các bước: = = = = = = = =.> 2 x 2 x 3 = 12 Nên = + Dùng cách thử chọn theo các bước: Bước 1: 26:2=13 Bước 2: 65:13=5 Bước 3: Cùng chia cho 13: = =. + Phân số có dạng đặc biệt: Ví dụ : Bước 1: 1133:11=103 Bước 2: 1442:14=103 Bước 3: Cùng chia cho 103: = = . CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ Sau khi đã hệ thống các kiến thức liên quan tôi bắt tay vào việc dạy từng phương pháp phù hợp với các đối tượng học sinh. 1. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH QUY ĐỒNG MẪU SỐ: a - So sánh hai phân số cùng mẫu số. Ví dụ 1: So sánh hai phân số Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên 2 3 và 7 7 2 3 < 7 7 Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. a c và (b # 0) b b 11 - Nếu a > c  a c > b b - Nếu a < c  a c < b b - Nếu a = c  a c = b b b- So sánh hai phân số khác mẫu số. (thường dùng cho bài toán có mẫu số nhỏ). Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a, 3 5 và ; 4 7 b, Bài giải: a, Ta có: Vì 21 > 28 20 28 5 4 và 12 6 3 3 x7 21 = = 4 4 x7 28 nên b, Vì 12: 6 = 2 nên ; 5 5x4 20 = = 7 7 x4 28 3 5 > 4 7 4 4 x2 8 8 5 4 5 = = ; ta thấy > nên > 6 6 x2 12 12 12 6 12 * Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau. 2. SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH QUY ĐỒNG TỬ SỐ: 2.1 - So sánh 2 phân số cùng tử số. Ví dụ : So sánh 2 phân số Bài giải: 8 < 11 nên 3 3 và 8 11 3 3 > . 8 11 Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. a a và (b, d # 0) b d 12 a a < b d a a + Nếu b < d  > b d a a + Nếu b = d  = b d + Nếu b > d  2.2 - So sánh hai phân số khác tử số. (Thường dùng cho các bài toán có tử số nhỏ) Ví dụ : So sánh các cặp phân số : 3 5 và ; 7 8 a, Bài giải :a, 3 3 x5 15 = = ; 7 7 x5 35 Vì b, b, 3 9 và 7 8 5 5 x3 15 = = 8 8 x3 24 15 15 3 5 < nên < 35 24 7 8 3 3 x3 9 9 3 9 9 = = Vì < nên < 7 7 x3 21 21 8 7 8 Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau. 3. SO SÁNH PHÂN SỐ VỚI ĐƠN VỊ: Ví dụ : So sánh phân số sau với 1. a, 3 ; 5 b, 7 2 c, 4 4 Bài giải: a, Ta thấy 3 5 < mà 5 5 5 3 = 1 nên <1 5 5 b, Ta có: 7 2 2 7 > mà = 1 nên >1 2 2 2 2 c, Ta có 4 =1 4 13 Kết luận: - Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1. a a nếu a < b thì < 1 b b - Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1. a a nếu a > b thì > 1 b b - Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1. a a nếu a = b thì = 1 b b 4 . SO SÁNH PHÂN SỐ DỰA VÀO PHÂN SỐ TRUNG GIAN: Ví dụ : So sánh các cặp phân số sau mà không quy đồng. a, 16 15 và 23 29 b, 2 5 và 9 12 c, 7 13 và 9 10 Bài giải: a, + Cách 1: Ta có: + Cách 2: Ta thấy b, + Cách 1: Vậy 16 16 16 15 16 15 > và > nên > 23 29 29 29 23 29 16 15 15 15 16 15 > và > nên > 23 23 23 29 23 29 2 3 < 9 9 ; 5 4 3 4 1 > mà = = 12 12 9 12 3 2 1 5 2 5 < < nên < 9 3 12 9 12 + Cách 2: c, Ta có: 2 2 2 3 1 < mà = = 4 9 8 8 12 ; 3 5 2 5 < nên < 12 12 9 12 7 13 7 13 7 13 < 1 và > 1 Vậy < 1 < hay < 9 10 9 10 9 10 *Kiến thức cần nhớ: 14 So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia. Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách chọn. Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, còn mẫu là mẫu số của phân số thứ hai. Ví dụ : Hai phân số: 12 13 và 49 47 Ta chọn phân số trung gian Ta có: Vậy 12 47 12 12 13 < < 49 47 47 12 13 < 49 47 Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử số là tử số của phân số thứ 2. Ví d ụ : So sánh 2 phân s ố Ta thấy 16 15 và 23 29 16 15 15 15 16 15 > và > nên > 23 23 23 29 23 29 * Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai. Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân số. V í d ụ: So sánh 2 phân số: 2 5 và 9 12 15 Ta có: 2 2 2 3 1 < mà = = 4 9 8 8 12 ; 3 5 2 5 < nên < 12 12 9 12 Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị áp dụng với các bài toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại nhỏ hơn đơn vị. V í d ụ: So sánh 2 phân số: Ta có: 7 13 và 9 10 7 13 7 13 7 13 < 1 và > 1 Vậy < 1 < hay < 9 10 9 10 9 10 5 . SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH SO SÁNH PHẦN BÙ VỚI ĐƠN VỊ CỦA PHÂN SỐ . Ph¬ng ph¸p so s¸nh : 5.1. ThÕ nµo lµ phÇn bù với đơn vị ? - PhÇn bï ®Õn đơn vịcủa ph©n sè là hiệu giữa 1 và phân số đó. VÝ dô: PhÇn bï ®Õn 1 cña ph©n sè ( V× 3 1 lµ . 4 4 3 1 3 1 + = 1 hay 1 - = ) 4 4 4 4 5.2. Nh÷ng ph©n sè nh thÕ nµo th× cã thÓ ¸p dông ph¬ng ph¸p so s¸nh nhê phÇn bï ®Õn 1? - C¸c ph©n sè ®ã cã tö sè nhá h¬n mÉu sè cïng mét sè ®¬n vÞ . NghÜa lµ nÕu hai ph©n sè a c vµ b d mµ cã b- a = d- c th× ta so s¸nh ph©n sè b»ng ph¬ng ph¸p phÇn bï ®Õn 1. 5.3. C¸ch so s¸nh: - §Ó so s¸nh hai phan sè b»ng ph¬ng ph¸p so s¸nh phÇn bï ®Õn 1 , ta so s¸nh phÇn bï ®Õn 1 cña hai ph©n sè ®ã. - Phần bù đến đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó. -Trong 2 phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. 5.4. Ví dụ minh hoạ: So sánh hai phân số : 7 3 và . 15 11 + Hai phân số trên đều có tử số bé hơn mẫu số 8 đơn vị nên ta có thể áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1. + Ta có: Phần bù đến 1 của phân số Phần bù đến 1 của phân số 7 8 7 8 là ( vì 1 = ) 15 15 15 15 3 8 3 8 là ( vì 1 = ) 11 11 11 11 16 8 8 3 7 < ( do 15 > 11 ) nên < 15 11 11 15 Vì 5.5. Một số dạng toán áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1. Ví dụ 1: So sánh hai phân số : 545454 19971997 và 575757 20002000 *Trước khi so sánh ta rút gọn : 545454 = 575757 19971997 = 20002000 545454 10101 54 = 575757 10101 57 19971997 10001 1997 = 20002000 10001 2000 54 3 Ta có : Phần bù đến 1 của phân số là 57 57 1997 3 Phần bù đến 1 của phân số là 2000 2000 3 3 54 1997 Vì > nên < 57 2000 57 2000 Hay 545454 19971997 < 575757 20002000 Ví dụ 2: So sánh hai phân số: 31 17 và 34 18 17 17 3 51 = = 18 18 3 54 31 3 Ta có: Phần bù đến 1 của phân số là 34 34 * Trước khi so sánh ta biến đổi : Phần bù đến 1 của phân số Vì 51 3 là . 54 54 3 3 31 51 > nên < 34 54 34 54 Hay 31 17 < . 34 18 Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 17 1 2 , , 2 3 Ta có : 3 , 4 4 5 6 7 8 9 , , , , , . 5 6 7 8 9 10 1 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 2 2 2 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 3 3 3 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 4 4 4 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 5 5 5 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 6 6 6 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 7 7 7 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 8 8 8 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 9 9 9 1 + Phần bù đến 1 của phân số là . 10 10 Ta nhận thấy: 1 1 1 1 1 1 1 1 > > > > > > > > 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 Vậy : < < < < < < < < 2 3 4 5 6 7 8 9 1998 1999 Ví dụ 4: So sánh hai phân số: và 1999 2000 Bài giải: Ta thấy: 1mà 1998 1 = ; 1999 1999 1- 1 . 10 9 . 10 1999 1 = 2000 2000 1 1 1998 1999 > nên < 1999 2000 1999 2000 * Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại. 1- a c a c < 1 - thì > ; b d b d 1- a c a c > 1 - thì < b d b d Nhận xét: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau. 18 6 .SO SÁNH PHÂN SỐ BẰNG CÁCH SO SÁNH PHẦN HƠN VỚI ĐƠN VỊ CỦA PHÂN SỐ . Ph¬ng ph¸p so s¸nh : * ThÕ nµo lµ phÇn hơn đến đơn vị của phân số ? - PhÇn hơn ®Õn đơn vị của ph©n sè là hiệu của phân số và 1. -Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. VÝ dô1 : So sánh hai phân số: và Bước 1: Tìm phần hơn. Ta có : - 1 = -1= Bước 2: So sánhphần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh. Vì > nên > * VÝ dô2 : So sánh hai phân số: và Bước 1: Ta có: = = -1= -1= Bước 2: Vì < nên < hay < 7. SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ MÀ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ NÀY LÀ CHUỖI LẶP LẠI CỦA TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ KIA. Ví dụ : Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ nhất: 307307 ; 507507 307 ; 507 307307307 Nhận xét:tử số và mẫu số của phân số thứ hai và thứ ba là sự 507507507 lặp lại 2,3 lần của tử số và mẫu số của phân số thứ nhất. Ta chia các tử số và mẫu số cho nhau để tìm quy luật cấu tạo. 307307:307=1001 507507:507=1001 Ta có : 307307 307 307307 : 1001 = = 507507 : 1001 507507 507 307307307:307=1001001 507507507:507=1001001 19 307307307 307 307307307 : 1001001 = = 507507507 : 1001001 507507507 507 Ta có: Vậy 307 307307 307307307 = = 507 507507 507507507 *Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh. Nhưng điều bất ngờ là các phân số đó lại bằng nhau. Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể). Sau đó sẽ so sánh. Ví dụ 1. 11 111 và 31 311 Với bài này hướng dẫn học sinh nhận biết được: Để hai phân số có phần bù bằng nhau thì ta phải nhân cả tử số và mẫu số của phần bù của phân số thứ nhất với 10. Ta tìm phần bù của hai phân số đó: 11 20 = 31 31 200 111 Và 1 = 311 311 200 20 x10 Do = mà 31x10 310 11 111 Nên suy ra : < 31 311 1- 200 310 > 200 311 8. SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ BẰNG CÁCH NHÂN TỬ SỐ CỦA PHÂN SỐ NÀY VỚI MẪU SỐ CỦA PHÂN SỐ KIA, RỒI SO SÁNH HAI TÍCH. Ví dụ : So sánh hai phân số: Bài giải: Ta thấy: 3 5 và 128 207 3 x 207 = 621 5 x 128 = 640 mà 621 < 640 nên 3 5 < 128 207 Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này nhân với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. Thật vậy 20