Tài liệu Skkn-rèn luyện, phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8

A. Đặt vấn đề I- Mở đầu. Cùng với sự phát triển của đất nước ta, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới. Vì thế các nhà trường càng phải luôn luôn chú trọng đến chất lượng của học sinh một cách toàn diện. Bởi vậy phải có sự đầu tư thích đáng cho nền giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt bản thân môn toán và các môn khoa học khác. Một vấn đề được đặt ra là dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng tư duy lô gíc, rèn luyện kỹ năng làm các bài tập của bộ môn toán cũng như các môn khoa học khác, có thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để các em tạo được sự hứng thú say mê trong việc học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đưa các kiến thức đó áp dụng ra ngoài cuộc sống đời thường là câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn phải đặt ra để có thể truyền đạt kiến thức một cách tốt nhất cho các em học sinh thân yêu của mình. Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các em học sinh, trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc ra những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dung kiến thức chính trong bài học giúp học sinh có thể nắm được cái quan trọng, nội dung chính trong bài học đồng thời có thể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã học một cách nhanh nhất. Qua một thời gian giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS Tuân Đạo, bản thân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình học toán và đã đạt được một số kết quả, có thể đây là bước đầu trao đổi thành một đề tài về kinh nghiệm rèn luyện tư duy trong học toán của học sinh. Tôi mạnh dạn Trang 1 viết thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Rèn luyện, phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8” của mình để cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn nhau trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 trong trường một cách tốt hơn. II- Thực trạng vấn đề nghiên cứu * Trường THCS Tuân Đạo có 400 học sinh cụ thể chất lượng là: 45 % Mức độ đạt yêu cầu trong đó 20 % Học sinh khá và giỏi (kết quả khảo sát chất lượng đầu năm) *Đối với học sinh lớp 8 Số học sinh: 84 em trong đó 20 học sinh khá giỏi - Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau : + Nhóm những em tiếp thu nhanh, giải quyết vấn đề nhanh, linh hoạt: 30%. + Nhóm HS biết vận dụng trực tiếp: 55 %. + Nhóm HS chưa biết vận dụng : 15 %. ( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn Toán ) - Học sinh chưa biết lập luận trên cơ sở khoa học chặt chẽ và chưa biết cách tự học, tự giải quyết vấn đề chiếm tới 85 %. - Về tài liệu: SGK, SGV đầy đủ, sách nâng cao, sách tham khảo của học sinh và giáo viên còn hạn chế, phần lớn là do giáo viên và học sinh tự mua sắm. - Qua quá trình trực tiếp giảng dạy Toán các khối lớp 8, 9 từ các tiết luyện tập, các tiết kiểm tra, các tiết bồi dưỡng học sinh yếu kém và ôn thi học sinh giỏi và các tiết đi dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp. Tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng, không tìm ra hướng giải quyết hoặc đã tìm ra nhưng không biết làm như thế nào, làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng như các bài kiểm tra 1 tiết thường là không chặt chẽ, không có tính logic nhiều bài làm cho lời giải một cách rời rạc để nhiểu chỗ không hợp lý, đặc biệt là những bài toán khó, những tình huống toán học mang tính thực tiễn. Trang 2 b. Giải quyết vấn đề I- Các giải pháp thực hiện: 1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh. 2. Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập bất đẳng thức. 3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. 4. Tham khảo các tài liệu trong thư viện, trên báo chí, ý kiến của các đồng nghiệp, các chuyên gia, điều tra, thống kê kết quả học tập của học sinh, hiệu quả trang công tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm kịp thời... về các vấn đề nghiên cứu và một số vấn đề liên quan. II- Các biện pháp thực hiện 1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh. Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động, bồng bột, giải quyết vấn đề hầu như dựa vào cảm tính. Nắm được sự phát triển tâm lí này, giáo viên cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh tính kỉ luật, khoa học…đồng thời kích thích sự hướng thú say mê học tập của học sinh trong quá trình học tập môn toán. Để làm được điều này là một người giáo viên cần có nhiều biện pháp như: cho học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập dưới hình thức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu những bài toán lí thú,… Đặc biệt là phải phân rõ các dạng toán một cách rõ ràng để học sinh dễ hình dung và dễ tiếp thu nó 2. Phân loại và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập. Được chia làm 2 phần + Giới thiệu kiến thức cơ bản + Các bài tập áp dụng Trang 3 (ở phần này được chia làm các dạng toán để học sinh có hệ thống trong quá trình làm các bài tập) 3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua các dạng bài tập 1. Giới thiêu kiến thức cơ bản a). Định nghĩa a > b nếu a – b > 0 b). Tính chất (Có 3 tính chất) - Tính chất 1: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức a>b  a+c>b+c - Tính chất 2: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số dương a  b  c  0  a.c > b.c - Tính chất 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số âm a  b  c 0  a.c < b.c Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức cơ bản nhất, là tiền đề để làm các bài tập áp dụng. Trong từng dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã dũng tính chất gì, hướng phân tích bài toán, tìm ra lời giải thì phải hướng dẫn mẫu và cách trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng trong cách trình bày lời giải. 2. Các bài toán áp dụng I. Khi nào một biểu thức có giá trị âm hoặc dương Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, sao cho: a). Biểu thức A = 2x – 1 > 0 có giá trị dương b). Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm Giải a). 2x – 1 > 0  2x > 1  x > 1 2 . Với mọi x > 1 2 thì A > 0 b). 8 – 2x < 0  8 < 2x  4 < x  x > 4. Với mọi x > 4 thì B < 0 Nhận xét:- ở đây đã dùng chiều ngược lại của tính chất 1 (a – b > 0  a > b) Trang 4 Dạng 2: Biểu thức đưa về dạng tích Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm Giải A < 0  (x - 1) và (x + 3) trái dấu. Do x – 1 < x + 3   x  1 0  x 3  0   x 1  x 3  -3 < x < 1 Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trong trường hợp này -3 1 x < 1 để trắng, x  1 loại (dùng dấu “ ” trên trục số) x > -3 để trắng, x  -3 loại (dùng dấu “ ” trên trục số) Phần còn lại trên trục số không bị gạch bỏ chính là phần nghiệm chung. (Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm trên trục số) Nhận xét: Tập cho học sinh khả năng viết gọn tập nghiệm bằng cách dùng trục số Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x2 – 3x có giá trị dương? Giải Biến đổi B = x(x - 3). Cách 1: B > 0 khi các thừa số x, x – 3 cùng dấu. Do x – 3 < x nên TH1: Cùng dương  0 < x – 3 < x  x < 3 TH2: Cùng âm  x – 3 < x < 0  x < 0 Cách 2: chú ý: x = 0 hoặc x = 3 làm cho các thừa số x và x – 3 bằng 0, do đó ta xét 3 khoảng giá trị của x a). Với x < 0 thì 2 thừa số đều âm  B > 0 b). Với 0 < x < 3 thì hai thừa số trái dấu nhau  B < 0 c). x > 3 thì hai thừa số cùng dường  B > 0 Kết luận: Vậy B > 0  x > 3 hoặc x < 0 Trang 5 Có thể tổng hợp các kết quả trên vào 1 bảng xét dấu như sau: x x x-3 x(x - 3) 0 0 3 + + 0 + 0 + 0 + (Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm bằng cách dùng bảng) Nhận xét: - Rèn cho học sinh thêm một cách giải khác bằng cách dùng bảng xét dấu. - Một bài toán không chỉ có 1 cách giải mà có thể có nhiều cách, tuỳ vào từng bài toán mà chúng ta có thể chọn 1 trong những cách đơn giản để trình bày. - Một số bài toán muốn đơn giản thì cần phải quan sát bài toán, có thuộc vào các bài toán giải bằng phương pháp đặc biệt không. Có những bài toán thì cần phải phân tích từ bên trong những cũng có những bài toán cần phải phân tích từ phía ngoài mới tìm ra được lời giải hay. Dạng 3: Biểu thức đưa về dạng thương Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = x 3 x 1 có giá trị âm. Giải A < 0  x + 3 và x – 1 trái dấu. Do x – 1 < x + 3   x  1 0  x 3  0   x 1  x 3  -3 < x < 1 Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu hoặc bảng xét dấu để thu gọn tập nghiệm, học sinh có thể thấy được việc dùng trục xét dấu nó đơn giản hơn bảng xét dấu. - Xét dấu ở dạng tích cũng tương tự như việc xét dấu ở dạng thương. Ta có thể quy về dạng tích để xét dấu. - Luyện cách dùng dấu “  ”thay cho chữ “và” hoặc dùng dấu “  ” thay cho chữ “hoặc” để giải toán. II. Khi nào thì A > B hoặc A < B Thực chất của loại toán này là tìm giá trị của biến để biểu thức A – B có giá trị dương hoặc âm. Trang 6 Ví dụ 5: Cho biểu thức A = x 5 . x 8 Tìm các giá trị của x để A > 1 Giải Do A > 1  x 5 x 8 -1>0  ( x  5)  ( x  8) x 8 >0   3 x 8 >0  3 x 8 <0  x + 8 < 0  x < -8 Vậy x < -8 thì A > 1 Ví dụ 6: Với giá trị nào của x thì 3 1 x  1 x 5 4 2 Giải 3 1 3 1 1 1 x  1 x 5  x  1 x  5  0  x 60  x 6  4 2 4 2 4 4 x > 24 Nhận xét: Rèn luyện cho học sinh khả năng quy đồng mà mẫu số bằng chữ như ở ví dụ số 5, đồng thời rèn luyện quy tắc chuyển vế được ứng dụng trong các bất đẳng thức tương tự như trong các đẳng thức III. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn biểu thức x2. Biểu thức này có giá trị dương khi x  0. Có giá trị bằng 0 khi x = 0. Như vậy biểu thức x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất. Thật vậy, giả sử x 2 có giá trị lớn nhất là m tại x 1 thì x2 cũng bằng m tại x2 là số đối của x1. Giả sử x1 > 0, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một giá trị x 3 mà x32  m . Ta chọn x3 > x1 > 0 khi đó x32  x12 . Mà x12 m nên x32 > m , trái với điều giả sử m là giá trị lớn nhất của biểu thức. Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x)  m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra . Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x)  m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra . Trang 7 Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chẳng hạn ta có  x 2  3 2  0. Muốn dấu “=” xảy ra ta phải có x 2 + 3 = 0, điều này không thể xảy ra vì x 2 + 3  3 với mọi x. Như vậy mặc dù (x2 + 3)  0 nhưng 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x2 + 3)2, GTNN của biểu thức này là 9 khi x = 0. Một số ví dụ khác: xét biểu thức x 2 + (x - 2)2. Ta cũng có x2 + (x - 2)2  0 nhưng dấu đẳng thức không xảy ra. GTNN của biểu thức này là 2 khi x = 1. Phương pháp: Để chứng tỏ rằng f(x)  m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức: x2  0 ; |x|  0 Để chứng tỏ rằng f(x)  m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức: -x2  0 ; -|x|  0 Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)2 – 5 Giải Ta có: (x + 3)2  0  x  R.  2(x + 3)  0  2(x - 5) – 5  -5 (Sử dụng tính chất 1) . TGNN của A = 5  x = x + 3 = 0  x = -3 Chú ý: Có những biểu thức không có GTLN và GTNN Chẳng hạn A = 4x ; B = 5 x . Tuy nhiên nếu xét các giá trị của biến trong một tập hợp hẹp hơn, biểu thức là có thể có GTLN hoặc GTNN. Chẳng hạn, xét x  R; x  Q; x  Z thì biểu thức x + 5 không có GTNN những nếu xét x  N thì biểu thức đó có GTNN bằng 5 với x = 0. Ví dụ 8: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = Tìm giá trị đó. Giải Trang 8 14  x 4 x có giá trị lớn nhất. Biến đổi D = 14  x 4 x 4  x  10 10 1  4 x 4 x = D lớn nhất khi và chỉ khi 10 4 x lớn nhất. TH1: x > 4  10 4 x <0 TH2: x > 0  10 4 x > 0. Phân số (1) 10 4 x có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mộu 4 – x nguyên dương, nhỏ nhất khi 4 – x = 1  x = 3. Khi đó 10 10 4 x Từ (1) và (2)  (2) 10  10. 4 x Vậy D lớn nhất bằng 11 tại x = 3. Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu đều có biến bậc nhất thì phương pháp chung là phải là sao mất biến ở tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt, …) còn biến ở mẫu số. - Dựa vào điều kiện của đề bài để đưa ra kết quả. 4. Tham khảo ý kiến của các đồng nghieep, các loại sách tham khảo tôi thấy hầu hết các sách đều trình bày theo lối. - Đưa ra các nội dung kiến thức cơ bản - Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng bài toán này. - Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này. - Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo. Đó chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên không thể bồi dưỡng được. Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để cho học sinh từ yếu, kém, trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm được cái căn bản của tri thức. - Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn củng cố cho học sinh một số kĩ năng, cách giải các bài toán, cách phân tích các bài toán để có thể giải một số bài toán khó những được quy về một số dạng nào đó mà học Trang 9 sinh đã có dịp bồi dưỡng, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh cách tư duy các bài toán, từ dễ đến khó, từ đơn giãn đến phúc tạp, một số “kĩ xảo” để giải các bài toán về dạng bất đẳng thức này. Đây là một dạng toán mà ở lớp các học sinh chưa có dịp học một cách cụ thể. - Đồng thời rèn luyện cho các em có tinh thần học tập, khả năng tự học, tự đọc và tìm ra các lời giải hay, phong phú, tao hưng phấn cho học tập bộ môn toán này, một môn học mà nhiều người cho là khô khan. - Bất đẳng thức là một trong những lĩnh vực mà theo tôi là tương đối khó. Bởi vậy phải luyện cho học sinh nhiều để cho học sinh nắm được các dạng toán này để có thể giải được nhiều bài tập hơn. C- Kết luận I- Kết quả nghiên cứu vào giảng dạy - Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng daỵ, đại đa số học sinh đều lúng túng khi làm bài tập, chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ, các bài toán phải ở sẵn dạng quen thuộc đã làm thì học sinh theo dạng đó mới làm được, chưa có những suy luận logic, phân tích bài toán hợp lý để giải các bài toán mà nó chưa có sẵn dạng quen thuộc. Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nào chỉ biết cách làm bài đó không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán về những dạng đã làm, đã giải, không biết mở rộng những bài toán đã làm... - Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi thấy: + Học sinh vận dụng nhanh kiến thức vào giải toán. +Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài toán nâng cao chính xác và nhanh hơn. +Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen, suy nghĩ, phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận, chính xác trước khi giải một bài toán học nói riêng và các bài toán nói chung. +Tạo nếp suy nghĩ, nếp khai thác chiều sâu, hay mở rộng bài toán. +Tạo nếp tự học, độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh, đồng thời Trang 10 có ý thức tham khảo ý kiến, cách làm hay của các em học sinh khác để từ đó rút ra những lời giải hay trong quá trình giải toán. + Giúp học sinh say mê, hứng thú trong quá trình học tập bộ môn toán nói riêng cũng như các bộ môn khoa học khác nói chung. II- Kiến nghị đề xuất: - Vấn đề sách tham khảo trường trung học cơ sở Tuân Đạo còn hạn chế, chưa đáp ứng đủ yêu cầu, của giáo viên và học sinh, vì vậy cần được đầu tư thêm về tài liệu học tập cũng như các thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy được tốt hơn, giáo viên chủ động trong công tác giảng dạy và học sinh tích cực hơn trong việc học tập. - Với việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực, phát huy tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình lâu dài từng bước từ thấp đến cao. Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho học sinh nắm được nội dung kiến thức của từng tiết học, của từng chương, của từng cấp học để học sinh giải các bài toán một cách chặt chẽ, có đủ cơ sở lý luận trong lời giải của mình, học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế. Bản thân tôi ít nhiều qua nhiều năm cũng đã cố gắng thể hiện chuyên đề này tại trường dù sao vẫn còn nhiều điều phải học tập và phấn đấu để đạt kết quả cao hơn. Nhưng tôi vẫn mạnh dạn áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này áp dụng vào việc giảng dạy, ít nhiều có kết quả với đối tượng học sinh tôi được phân công giảng dạy. Mong các cấp quản lý chuyên môn, các đồng nghiệp góp ý thêm để tôi làm hoàn thành sáng kiên kinh nghiệm một cách tốt hơn! Tuân Đạo, ngày 10 tháng 05 năm 2009 Người viết Trang 11 Bùi Văn Vịnh Trang 12