Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ

Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ A - MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ. Thực tế ở trường THPT Chu Văn An chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại. Đặc biệt, học sinh khối 12 khi học về tích phân rất vất vả để tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để ít nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “rèn luyện kỹ năng giải bài tập nguyên hàm, tích phân”. II. Mục đích nghiên cứu: Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Chu Văn An. Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các dạng toán thường gặp liên quan đến nguyên hàm và tích phân. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học. III. Cấu trúc của đề tài: A – MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Cấu trúc của đề tài B - NỘI DUNG 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Cơ sở lí luận Thực trạng của đề tài Giải quyết vấn đề Định nghĩa nguyên hàm và tích phân Một số tính chất của nguyên hàm và tích phân Các dạng bài tập cơ bản Một số bài tập tham khảo C - KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo B - NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi. Riêng về môn giải tích 12, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về nguyên hàm, tích phân các em thường có tâm lí “sợ” khi giải các bài tập nguyên hàm tích phân đặc biệt những em học trung bình trở xuống, lí do các em không hệ thống được các dạng bài tập, do đó các em ‘sợ’ bài tập chương này. Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh. Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn. 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ II. Thực trạng của đề tài: - Học sinh còn lúng túng khi giải bài tập nguyên hàm, tích phân. - Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Đa số học sinh có tâm lí sợ học tích phân. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như  Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân.  Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt các dạng bài tập về nguyên hàm, tích phân.  Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung.  Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi. III. Giải quyết vấn đề: TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA 1. Định nghĩa: 1. Nguyên hàm: Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K. hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K Kí hiệu: f ( x) dx  F ( x)  C � (C là 1 hằng số) Nhận xét: khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên nhớ rằng : “ để tính f ( x)dx � ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)” 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Tính chất nguyên hàm : f ( x)dx) '  f ( x) 1. ( � kf ( x) dx  k � f ( x) dx 2. � ( f ( x) �g ( x)) dx  � f ( x )dx �� g ( x)dx 3. � 4. f (t )dt  F (t )  c � � f [u ( x )]u '( x )dx  F [u ( x )]  C � các phương pháp tính nguyên hàm. Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào. Do vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đườn lối. Nó được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm. Đó là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân từng phần. I. TÍNH NGUYÊN HÀM BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp STT Hàm số 1 Y=x 2 Y = x Đạo hàm Nguyên hàm dx  x  C y' = 1  x dx  x  1 C  1 (   1) y' = 2  .x   1 3 Y = sin x y' = cosx cos xdx sinx  C 4 Y = cosx y' = sinx sin xdx  5 Y = tgx y' = cos 2 x , x  2  k 6 Y = cotgx 7 Y = lnx 1  1 y' =  sin 2 x , x k y' = 1 , x  R * x cosx  C dx cos 2 x tgx  C dx sin 2 x  cot gx  C dx x ln x  C ( x 0) 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ 8 Y = logax y' = 1 x ln a 1 x ln a dx log a x  C , x  R * ,0  a 1 x dx e x  C 9 Y = ex y' = ex e 10 Y = ax y' = ax lna x a dx  ( 0  a 1 ) ax C ln a ( 0  a 1 ) II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) 1) DAÏNG 1:Tính I = � Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: f  u ( x )  .u '( x)dx  � f (t ) dt � f(x)dx baèng caùch ñaët x = (t) 2) DAÏNG 2: Tính I = � f ( x )dx  � f   (t )   '(t ) dt Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: I  � III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: Hay: u ( x ).v '( x )dx  u ( x ).v ( x )  � v( x ).u '( x)dx � udv  u.v  � vdu � Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : 1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng. 2. Tích phân vu ' dx � được xác định một cách dễ dàng hơn so với I nguyên hàm và tích phân hàm hửu tỉ Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: Hướng dẫn: Cần lưu ý hai điểm sau: A dx � ax  b A A dx  ln | ax  b | C ax  b a 1/ Dùng công thức � 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Ví dụ minh họa 5 1. dx  5ln | x | C � x 2. dx  ln | 2 x | C � 2x 2 3. dx  ln | 2 x  5 | C � 2x  5 2 4. dx  ln | 2 x  5 | C � 2x  5 2 5 5 7 7 6 6 dx ax  bx  c Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I= � 2 Hướng dẫn: Tính  hay  ’của mẩu rồi tùy theo dấu của  hay  ’ để áp dụng công thức sau: 1)  >0 hay  ’>0 (có 2 nghiệm x1,x2) I= 1 x  x1 ln C a ( x1  x2 ) x  x2 2 2)  =0 hay  ’=0: I= (ax 2  bx  c) '  C 2 ( ax 2  bx  c) ' 1 (ax 2  bx  c) ' arctan  C hay I= arctan C 3)  <0 hay  ’<0: I=    ' 2  ' Ví dụ minh họa dx x  7 x  10 1. I= �2 Ta thấy x2-7x+10 có  =9>0 suy ra x2-7x+10 có 2 nghiệm phân biệt x1=5,x2=2 Vậy I= 1 x  x1 1 x 5 1 x5 ln C = ln  C = ln C a ( x1  x2 ) x  x2 1(5  2) x  2 3 x2 Chú ý nếu lấy x1=2,x2=5 sẽ có I= 1 x  x1 1 x2 1 x2 ln C = ln  C =  ln C a ( x1  x2 ) x  x2 1(2  5) x  5 3 x 5 dx 2 x  5x  3 2. I= � 2 Ta thấy 2x2-5x-3 có  =49>0 suy ra 2x2-5x-3 có 2 nghiệm phân biệt x1=3,x2=- 1 2 1 x  x1 1 x 3 1 2( x  3) ln C = ln  C = ln C 1 1 a ( x1  x2 ) x  x2 7 2 x  1 2(3  ) x  2 2 dx 3. I= � 2 4 x  24 x  36 Ta thấy 4x2-24x+36 có  ’=0 2 2 1 C = C Vậy I= (4 x 2  24 x  36) '  C = 8 x  24 4 x  12 dx 4. I= � 2 5x  2 x  2 Vậy I= 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Ta thấy 5x2-2x+2 có  ’=-9<0 1 (5 x 2  2 x  2) ' 1 10 x  2 1 5x 1 arctan  C = arctan  C = arctan C 3 6 3 3  ' 2  ' Ax  B dx Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có dạng: I= � 2 ax  bx  c Vậy I= Hướng dẫn: Biến đổi sao cho có dạng sau: Ax  B u' dx dx =  � dx   � 2 trong đó  ,  là các hằng số ax  bx  c u ax  bx  c I= � 2 u' dx =ln|u|+C � u � ax 2 dx đã biết cách tính ở phần trên  bx  c Ví dụ minh họa: 3x  1 dx 4 x  5x  2 3 15 (8 x  5)   1 = 8 � 4 x 2  5 x 82 dx 3 7 (8 x  5)  = 8 �4 x 2  5 x  28 dx 3 8x  5 7 dx dx + � 2 = �2 8 4x  5x  2 8 4 x  5x  2 3 7 2 8x  5 | 4 x 2  5 x  2 | dx  . arctan C =8� 8 7 7 1.I= � 2 3 7 8x  5 | 4 x 2  5 x  2 | dx  arctan C � 8 4 7 3x  1 dx Phân tích các bước: I= � 2 4 x  5x  2 = Bước 1: Lấy đạo hàm 8x-5 của phía dưới mẫu đem lên trên và giữ nguyên phía dưới mẫu: � 4x 8x  5 dx  5x  2 2 Bước 2: Đem hệ số của x mới có ở trên tử là 8 ra ngoài thành mẫu của một phân số mới: ? (8 x  5) 8 dx � 4 x2  5x  2 Bước 3: Đem hệ số của x đã có sẵn ở phần trên trong I là 3 làm tử để được phân số 3 : 8 3 (8 x  5) 8 dx � 4 x2  5x  2 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Bước 4: 3 15 Nhân với hằng số ở trên tử là -5 để được - : 8 8 3 15 (8 x  5)  8 8 dx � 4x2  5x  2 Bước 5: thêm hằng số đã có sẵn ở phần trên trong I là -1 thành: 3 15 (8 x  5)   1 8 8 dx 2 � 4 x  5x  2 Bước 6: Rút gọn thành : 3 7 3 8x  5 7 dx (8 x  5)  dx  � 2 I= 8 8 dx = � 2 8 4x  5x  2 8 4 x  5x  2 �4 x 2  5 x  2 Và kết quả là: 3 8 I= ln | 4 x 2  5 x  2 |  7 8x  5 arctan C 4 7 8x  3 dx 2x  4x  2 2. I= � 2 8 (4 x  4)  8  3 = 4 �2 x 2  4 x  2 dx 2(4 x  4)  11 dx =� 2 2x  4x  2 4x  4 dx dx + 11� 2 = 2� 2 2x  4x  2 2x  4x  2 2 C = 2 ln | 2 x 2  4 x  2 | 11 4x  4 11 C = 2 ln | 2 x 2  4 x  2 |  2x  2 3x  1 dx x  8 x  15 3. I= �2 3 (2 x  8)  12  1 = 2 � x 2  8 x  15 dx 3 (2 x  8)  13 = 2 �x 2  8x  15 dx 3 2x  8 dx dx +13 �2 = �2 2 x  8 x  15 x  8 x  15 3 13 x  5 2 C = ln | x  8 x  15 |  ln 2 2 x 5 Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ có mẩu lớn hơn bậc hai: Trường hợp 1: mẫu có thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai Hướng dẫn: 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ Ta đã biết cách tính tích phân của hàm số hữu tỷ có mẩu thuộc bậc nhất hoặc bậc hai. Nếu mẫu có bậc cao hơn bậc hai thì ta giải quyết cách khác trong đó có một cách thường dùng là áp dụng đồng nhất thức và làm như sau: - Đổi mẫu số thành nhiều thừa số bậc nhất và bậc hai ( không được quá bậc hai) - Đổi hàm số ra tổng của nhiều phân thức mà mỗi phân thức có mẫu là một thừa số đã có ở trên và tử là một biểu thức bậc thấp hơn mẫu một bậc thí dụ mẫu bậc nhất thì mẩu là hằng số, mẫu bậc hai ax 2  bx  c thì tử là Ax+B - Sau khi đã tách ra như trên lại quy đồng mẫu số thì sẽ thấy mẫu số giống mẫu số trong hàm đã ra và có tử số mới - Cho tử số mới đồng nhất với tử số cũ( tức là luôn luôn bằng nhau với mọi x) ta sẽ tìm ra cụ thể các tử số mới, từ đó biến đổi tích phân thành hợp của 3 dạng: A dx ; � � ax  b ax 2 dx Ax  B dx ; �2  bx  c ax  bx  c Ví dụ minh họa: 4x2  x  2 dx 3x  5 x 2  7 x  5 1. I= � 3 Đặt 4x2  x  2 4x2  x  2 A Bx  C A(3x 2  2 x  5)  ( Bx  C )( x  1)     3x3  5 x 2  7 x  5 ( x  1)(3x 2  2 x  5) x  1 3x 2  2 x  5 ( x  1)(3x 2  2 x  5) Sẽ có đồng nhất thức: A(3 x 2  2 x  5)  ( Bx  C )( x  1) �4 x 2  x  2 1 cho x=1 ta có A= 2 9 cho x=0 ta có C= 2 5 cho x=-1 ta có B= 2 do đó: 1 5 9 x 2  2 2 dx � x  1 3x 2  2 x  5 15 10 9 (6 x  2)   1 = ln | x  1|  12 � 3x 2  2 x 125 2 dx 2 1 5 6x  2 16 dx dx  � 2 = ln | x  1|  � 2 2 12 3 x  2 x  5 3 3x  2 x  5 1 5 16 1 (3 x 2  2 x  5) ' arctan C = ln | x  1|  ln | 3 x 2  2 x  5 |  2 12 3 14 2 14 I= Trường hợp 2: mẫu không thể biến đổi thành tích của nhiều thừa số bậc nhất hoặc bậc hai Hướng dẩn: - Trường hợp trong tử có chứa đạo hàm của mẫu u: hãy dùng cách đổi biến số - Trường hợp các bậc cao ở mẫu so le nhau một hoặc hai bậc: hãy đặt x= 1 t Ví dụ minh họa: 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ 10 x 4  6 x 2  4 5 x4  3x2  2 dx  2 dx � x  x3  2 x  1 x5  x3  2x 1 Đặt u= x5  x3  2 x  1 có du= ( 5 x 4  3x 2  2 )dx du Vậy I= 2� =2ln|u|+C=2ln| x5  x 3  2 x  1 |+C u 2 x 4 2. I= � 7 6 dx ( có mẫu so le 1 bậc) 2x  x 1 1 Đặt x= có dx=- 2 dt t t 1 4 1 t2 ( 2 dt ) Vậy I= � 2 1  6 t 7 t t 5 7 t  4t 1 ( 2 dt ) =� 2t t 5 7 t  4t dt = �2 t (2  t ) 4t 5  t 3 dt =� 2t 120 (4t 4  8t 3  15t 2  30t  60  ) dt =� t2 4t 5 =  2t 4  5t 3  15t 2  60t  120 ln | t  2 | C 5 1 1 Do x= � t  nên t x 4 2 5 13 60 1 I= 5  4  3  2   120ln |  2 | C 5x x x x x x 1 3. I= �6 8 dx ( có mẫu so le 2 bậc) x x 1 1 Đặt x= có dx=- 2 dt t t 1  2 dt t Vậy I= � 1 1  t6 t8 t 6 = �2 dt t 1 1 (t 4  t 2  1  2 )dt =� t 1 5 3 t t 1 t 1 | C =    t  ln | 5 3 2 t 1 1 1 Do x= � t  nên t x 1. I= �5 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ 1 1 1 1 1 1 x I=  5  3   ln | 1 | C 5 x 3x x 2 1 x 1 1 1 1 1 x  5  3   ln | | C 5x 3x x 2 1 x C - KẾT LUẬN: Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số cách tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ cơ bản. Qua mỗi phần một số ít bài toán giúp học sinh hệ thống kiến thức, hình thành phương pháp giải, rèn luyện việc tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12 - Sách giáo khoa giải tích lớp 12. - Sách giáo viên giải tích lớp 12. - Phương pháp dạy học môn toán. 11 Gv: Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An