Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH" 1 A. MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán. Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì? Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Trong chương trình môn toán,hệ phương trình được đưa vào từ cấp 2 và xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông. Nó có vai trò quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan. Trong chương trình toán THPT,hệ phương trình được thể hiện dưới các hình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thông thường, các hệ phương trình vô tỷ chứa các hàm lượng giác, các hệ phương trình chứa hàm lôgarit. Việc giải thành thạo các hệ phương trình thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán. 2 Mặt khác, thực trạng hiện nay là kỹ năng giải toán của học sinh đang còn yếu, các em học một cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều hơn là sáng tạo, tư duy logic của các em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức để đi đến tìm hướng giải bài toán,... Từ những lý do đã nói trên, với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình" II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải hệ phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán. - Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. - Xây dựng các phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. - Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo về hệ phương trình, để thấy được vị trí và tầm quan trọng của hệ phương trình, cũng như những vấn đề về nội dung và phương pháp giảng dạy hệ phương trình. 3 2. Điều tra quan sát: + Thực tiễn dạy học giải hệ phương trình ở trường THPT + Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải hệ phương trình. B. NỘI DUNG Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. - Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại. - Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng. Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: 4 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài. Đây là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán. Bước 2: Tìm cách giải. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ các giả thiết... Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó. Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới Sau đây tác giả xin giới thiệu một số phương pháp giải Hệ phương trình I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1.Kỹ thuật biến đổi tương đương Nội dung: Biến đổi tương đương hệ đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là phương trình tích Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Biến đổi phương trình (2) ta có: <=> 5 <=> <=> <=> xy = 1 hoặc x2 + y2  2=0 Với xy = 1 thay vào (1) ta được: <=> <=> <=> x=y ( do xy = 1 nên y ) <=> x = y = 1 hoặc x = y = -1  Với x2 + y2 2 = 0 <=> x2 + y2 = 2, thay vào (1) ta được: <=> <=> <=> x = 2y hoặc x = y thay vào hệ phương trình ta được các nghiệm (x;y) của hệ là: (1;1), (-1;-1), , . 6 2.Kỹ thuật cộng đại số Nội dung: + Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc trừ theo vế hai phương trình. + Hoặc nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi cộng vào phương trình còn lại. + Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích hoặc hằng đẳng thức, từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y. + Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của hệ sẽ được nhân tử chung( áp dụng cho hệ đối xứng loại 2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Giải: Từ 2 phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được: <=> <=> hoặc  Nếu  Nếu , khi đó ta được hệ: <=> , khi đó ta có hệ: 7 Từ x suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm . Do đó là nghiệm duy nhất của hệ này. Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: Giải: Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được: <=> <=> <=> <=> hoặc - Với thay vào (2) ta được: - Với thay vào (2) ta được: y= phương trình này vô nghiệm. <=> . Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x;y) là: , . 8 Nhận xét: Ở ví dụ 3, nếu giải thông thường bằng cách rút y từ phương trình (2) thế vào phương trình (1) thì ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 không đặc biệt, giải khó khăn hơn. Vì vậy việc đưa về phương tích là hợp lý và nó khẳng định tính hiệu quả của phương pháp này đối với các hệ có dạng tương tự. 3.Kỹ thuật nhân, chia 2 vế với cùng một biểu thức hoặc nhân, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận xét: x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình Với x 0 và y Ta xét x > 0 và y hoặc x và y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình : Chia 2 vế của (1) cho và chia 2 vế của (2) cho ta được: <=> Nhân theo vế các phương trình (3), (4) ta được: <=> <=> 9 <=> <=> thay vào (4) ta được => Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), ( ; ). 4.Kỹ thuật thế Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy , không là nghiệm của hệ, xét khi đó rút từ (1) thế vào (2), ta được: <=> <=> <=> Vậy hệ có 3 nghiệm (x;y) là: (0; ), ( ; 0). 10 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Giải: Thay từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được: <=> <=>  Với <=> khi đó hệ trở thành Hệ này vô nghiệm  Với khi đó hệ trở thành <=> Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( -2;-1). II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ 1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại 1 Hệ có chứa các biểu thức: xy, x+y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 11 Giải: Đặt S = ,P= <=> . Khi đó hệ trở thành: <=> <=> <=> Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (2;0), (0;2). Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: Giải: Đặt Đặt S = <=> , . Khi đó hệ trở thành: ,P= , khi đó hệ trên trở thành: <=> <=> <=> Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (64;8), (8; 64). 2. Kỹ thuật giải hệ đẳng cấp bậc hai 12 Nội dung: Xét xem hệ phương trình có nghiệm hay không. Xét khi đó đặt Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy là một nghiệm của hệ. Xét thành <=> Từ đó suy ra , đặt khi đó hệ trở <=> <=>  Với => <=>  Với => <=> Vậy hệ có 5 nghiệm (x;y) là: (0;0), , 3. Kỹ thuật biến đổi và đặt ẩn phụ 13 Thường thì đề thi đại học cho hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng ta không thể thấy ngay được nên đặt cái gì. Vì vậy phải biến đổi như nhân hoặc chia với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như x, y, x2, x3, xy, ...) sau đó mới đặt ẩn phụ được. Ví dụ 10: Giải hệ phương trình: Giải: Nhận xét: là nghiệm của phương trình Với Xét không thỏa mãn hệ phương trình. : Chia 2 vế của (1) cho x và chia 2 vế của (2) cho ta được: <=> Đặt ; . Ta có hệ phương trình: <=>  Với <=> <=> <=> 14  Với <=> <=> <=> <=>  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1). Ví dụ 11: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Với điều kiện trên, hệ phương trình tương đương với: Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình: <=> 15  Với <=>  Với <=> <=> <=> Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là: (2;1), ( ; ) III.PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu của hàm số Nội dung: Biến đổi một phương trình của hệ thành Nếu chứng minh được hàm số định của hệ thì phương trình . đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền tương đương với xác lúc này ta thế ngược lại hệ đã cho. Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành: 16 Xét hàm số trên miền xác định, ta có miền xác định. Do đó <=> nên đơn điệu trên <=> . Thay vào phương trình (2) ta suy ra , Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất . . Ví dụ 13: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: Phương trình (2) tương đương với: Xét hàm số Do đó hàm số (3) trên miền xác định có luôn đồng biến. Từ (3) suy ra hay thay vào phương trình (1) ta được phương trình: ( với *Xét ) ta có: <=> <=> 17 <=> Do *Xét với mọi ta có: <=> <=> <=> Do với mọi  Với  Với Vậy hệ có 2 nghiệm 2. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình. Ví dụ 14: Giải hệ phương trình: Giải: 18 Coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là x thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là <=> . Cũng coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn là y thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là <=> Nhận thấy . , không là nghiệm của hệ. Ta chia 2 vế của (1) cho xy => <=> Ta có: => ( Với ) đồng biến => Vậy Thay vào (2) thấy thỏa mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2; 1). Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: Giải: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: <=> Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra => . . Vậy . 19 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (*) Xét phương trình (*): i).Với thì => => , từ đó suy ra ii).Với => => , hệ vô nghiệm. => , từ đó suy ra iii).Với => , hệ vô nghiệm. . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 1; 1). 3. Kỹ thuật sử dụng BĐT cổ điển. Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng các BĐT thông dụng như BĐT Cauchy, Bunhiacopski...để đánh giá hai vế của một PT. Từ đó sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của các BĐT thức để tìm nghiệm của PT. Ví dụ 16: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: 20