Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết trong chương trình toán thcs

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS A. ĐẶT VẤN ĐỀ I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm. Thực tiễn dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn rất yều. Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,... Một trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”. Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian của tiết dạy. Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp, thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này III/ GIẢI PHÁP Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg chương, từng khối lớp. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ I/CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể hiện dạng toán “chia hết”. Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy trong quá trình giảng dạy bài mới. Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán “chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán. Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic II./GIẢ THUYẾT Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạng này 1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích -Nếu a m và b m -Nếu a m thì an m thì a+b m , a -b m, a.b m (n là số tự nhiên) 2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11 Chia hết cho 2 3 4 Dấu hiệu Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn số có tổng các chữ số chia hết cho 3 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số 5 6 8 chia hết cho 4 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số 9 10 11 chia hết cho 8 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 Số có chữ số tận cùng là 0 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 3.Đồng dư + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a �b(mod c) + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ a �a(mod m) �‫ۺ‬ a b���(mod m) b a (mod m) a � b(mod � m); b c(mod m) a a ��� b(mod  � m); c d (mod m) a c b d (mod m) a � b(mod ��m); c d (mod m) ac bd (mod m) �‫ۺ‬ a b���(mod m) an c(mod m) b n (mod m) 4.Nguyên tắc Đirichlê Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ. 5.Phương pháp chứng minh quy nạp Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3... ta chứng minh như sau: -Khẳng định A1 đúng -Giả sử Ak đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng Kết luận: Khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3... 6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau: -Giả sử P sai -Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý -Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng *CÁC DẠNG TOÁN Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá trình giải toán 1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8 Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8 Vì 19 ab chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và 19 ab chia hết cho 8 nên suy ra b=0 Mặt khác , 19a 0 chia hết cho 8 nên suy ra a  {0;2;4;6;8}. Ta có 19a 0 19a 0 chia hết cho 4 khi chia hết cho 8 khi a 0 chia 9a 0 chia hết cho 4 hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960 Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM vì  aaaaa96 8 RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” a96 8  100a + 96 8 suy ra 100a 8 vậy a là số chẵn  a  2, 4, 6, 8} (1). vì  (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) aaaaa96 3  mà 15 3 3  5a + 15 3 5a 3 mà (5, 3) = 1 Suy ra a 3 vậy a  3, 6 ,9} (2). từ (1) và (2 ) suy ra a = 6 KL: Vậy dố phải tìm là 6666696. Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để 1aaa1 11. HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a. *Nếu 2a  a + 2  a  2 thì 2a – (a + 2) = a -2  9 – 2 = 7 mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0  a = 2 *Nếu 2a  a + 2  a 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.vậy a=2 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm x,y sao cho 1994 xy 72 HD: 1994 xy Vì 32  32 + 72 xy = 72. 2769 + 32 + xy  32 + 99 = 131 nên 32 + 72 xy  32 + = 72  xy xy 72 = 40 vậy x = 4 , y = 0. Bài 2; Tìm x để HD: Vì x1994 3 x1994 nhưng không chia hết cho 9 chia hết cho 3  (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1 x  9 nên 24  23 + x  32 Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3 HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2 nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp nhau 2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số Bài toán 1 : Chứng minh rằng 2139+3921 chia hết cho 45 *Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1) Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hết cho 5 Vậy 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hết cho 5 Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) Mà 2139- 339= 18 (2138+ …+338) chia hết cho 9 2139- 339 = 36 (3920+…+320) chia hết cho 9 Vậy 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9 Mà ( 5,9) = 1 nên 2139 + 3921 45 *Cách 2: vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 21 39 + 3921 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32 Ta có: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 +…+ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9 Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5 Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321. 739. 318+ 1321. 321 = 321 (739. 318+ 1321) = (33)7 (739. 318+ 1321) chia hết cho 9 *C¸ch 3 Ta có: 21  1 (mod 20) 39  -1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921  139+ (-1)21 0 (mod 20) Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9 KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 Bài toán 2: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15. Ta có: A =2 + 22 + 23+…+ 260 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 6 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hết cho 3 Ta có A = 2 + 22 + 23+…+ 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22) A = 2 . 7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7 (2 + 24 + …+ 258) chia hết cho 7 Ta có A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + …+ 257.15 A = 15( 2 + 25 + … + 257) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15. Bài toán 3:Chứng minh rằng 4343-1717 chia hết cho 5 Ta có 4343= 4340. 433= (434)10.4343 Ta có 433 có tập cùng là chữ số 1 nên 43 4 có tận cùng là chữ số 1 hay 43 40 có tận cùng là chữ số 1 4343 có tận cùng là chữ số 7. Vậy 4340.433 có tận cùng là chữ số 7 hay 433 có tận cùng là chữ số 7 Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17 Vì 174 có tận cùng là 1 nên (17 4 ) 4 cũng có tận cùng là 1 hay 17 6 cũng có tận cùng là 1. Do đó 1716.17 có tận cùng là 7 Hai số 4343 và 1717 có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343-1717 có chữ số tận cùng là 0, Suy ra 4343-1717 chia hết cho 5 Bài tập tương tự Bài1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991. Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41 Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1. Chứng minh rằng C chia hết cho 5 Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003 B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Bài toán 1: Chứng minh rằng n3-n chia hết cho 6 với n nguyên *Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n 3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1) Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1) 2. Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k  Z) + Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3 + Nếu n = 3k + 1 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3. + Nếu n = 3k + 2 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) KL: Vậy n3 – n 6 3. với n nguyên *Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6) + Nếu n = 6p thì n3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1) 6 +Nếu n = 6p + 1 thì n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6. + Nếu n = 6p + 2 thì n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) + Nếu n = 6p + 3 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. 6. + Nếu n = 6p + 4 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. + Nếu n = 6p + 5 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6. KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên *Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 Nếu n  0 (mod 2) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 2) Nếu n  1 (mod 2) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 2) Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 8 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Như vậy với n nguyên, n3 – n  0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2 Mặt khác + Nếu n  0 (mod 3) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 3) + Nếu n  1 (mod 3) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 3) + Nếu n  2 (mod 3) thì n3 – n  23 – 2  0 (mod 3) Với n nguyên n3 – n  0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3. KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên  ...1 chia hết cho 3. Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n + 11 nchuso *Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia  ...1 - n chia hết cho 9. cho 9. Do đó 11 nchuso  ...1 = 3n + ( 11  ...1 - n) chia hết cho 3. Ta có: 2n + 11 nchuso nchuso Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.  ...  9 - 9n + 27n *Cách 1: A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1 = 99 nchuso  ...1 - n) + 27n = 9( 11 nchuso  ...1 - n) chia hết cho 9 suy ra 9( 11  ...1 - n) Mà 27n chia hết cho 27 nên ( 11 nchuso nchuso Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27. *Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học) + Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27. Vậy mệnh đề đúng với n = 1. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” + Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức là Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27 Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1 Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27 Ak+1 = 10 (10k +18k-1) – 27.6k + 27 Mà 10 ( 10k + 18k-1) 27 . 6k 27 27 => Ak+1 27 ; 27 27 Vậy 10n + 18 n-1 chia hết cho 27 Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh: B = 7n +3n -1 chia hết cho 9. Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học) +Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9 9. Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Bk = 7k +3k -1 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1. Thật vậy: Bk+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) -1. Bk+1 = 7. 7k + 3k + 3 -1 Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6. 3k – 9 Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9 Bk+1 9 Vậy 7n + 3n -1 9 mọi n nguyên dương Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Cách 2: Ta có : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1 = 6n + c1n 6n-1 + c2n . 6n-2 + …. + cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =(6n+ cn1.6n-1 + cn2 . 6n-2 +…..+ cnn-2. 62) + cnn-1 . 6+ cnn+3n-1 =(3.2)n +cn1. . (2.3)n-1 + cn2 .(3.2)n-2+….+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1 =2n . 3n + cn1 .2n-1.3n-1+….+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1 =32 (2n . 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + …. +cnn-2 .22 )+9n. =9(2n . 3n-2 + cn1 . 2n-1. 3n-2+…+ cnn-2 .22) + 9n Vậy 7n + 3n -1 9 9 mọi n nguyên dương Bài tập tương tự Bài1: Chứng minh rằng : a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91. b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì (n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hết cho 2. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì12 2n+1 + 11n+2 chia hết cho 133. +Đối với bài số 3 thì đây là dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm cần định hướng cho học sinh cách làm như sau: Cách 1: Ta có: 122n+1+11n+2 = (122)n .12 + 11n . 112. =144n .12 + 11n . 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121. nn = 12 . 133 . M + 133 . 11n. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Mỗi số hạng đều hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133. Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học). Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 .11 + 112) =22.133 chia hết cho 133. vậy mệnh đề đúng với n=1. Giả sử mệnh đề đúng với n=k Tức là 122k+1+11k+2 chia hết 133. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Thật vậy: 122k+3 +11k+3=144 .122k+1+11k+3. = 133. 122k+1 +11. 122k+1 + 11k+3. =133. 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ). Vỉ 133 . 122k+1 133; 11(122k+1 +11k+2) 133 133. 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hết cho 133 Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133. Cách 3: Ta có : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1) =(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2) =122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2). =(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1) Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) . P  133. và 113n -1 = (113 -1) . Q =(n-1) (n2 +11 +1) .Q = 10 . 133 . Q  133 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Vậy 122n+1 +11n+2 chia hết cho 133 Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một biểu thức Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4 Ta có : n4 n n 1 để (n2 + 4) = (n+1) n  1 5 n 1 thì 5 n ( n  1)( n  1)  5 = n+1 +1 n 1 = n-1 + 5 n 1 hay n+1  Ư(5). Mà Ư(5) ={1; 5} *n+1 = 5 -> n = 0 (thoả mãn) *hoặc n+1 = 5 -> n = 4 (thoả mãn). Vậy với n = 0 ; n = 4 thì n2 + 4 n+1 Bài toán 2: tìm số tự nhiên n để : 32n+3 + 24n +1) 25 đặt A = 32n+3 + 24n +1) =27.32n + 2. 24n =25 .32n + 2(32n+24n) =BS25 + 2(9n + 16n) +Nếu n lẻ thì 9n +16n 25 do đó A 25 +Nếu n chẵn thì 9n có tận cùng là 1, còn16n có tận cùng là 6  2( 9n +16n) có tận cùng là 4. Vậy A không chia hết cho 25 Vậy với n lẻ thì 32n+3 + 24n +1) 25 Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x 3 +3ax2 -6x -2a (a Q). Xác định a sao cho f(x) (x +1) +Cách 1: đặt phép chia đa thức. a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 ) x +(a2-3a -6) +(-a2 +a +6) để f(x)  (x+1), ta phải có: -a2+a +6 = 0  (a+2) (3-a) = 0 => a+2 = 0 hoặc (3-a) = 0 nên a = -2; a = 3 Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x)  (x+1) +Cách 2: dùng hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nhất nên thương là một đa thức bậc hai. Gọi thương của phép chia là:a2x2+bx-2, ta có f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a)  a2 x3 +3ax2 -6x -2a =a2x3 +(a2 +b) x2 +(b-2a) x -2a Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” � a 2  b  3a �� b  2a  6 � Giải hệ phương trình ta được a= -2 thì b=-10 và a=3 thì b=0. +Cách 3: Gọi thương của phép chia f(x) cho (x+1) là q(x).  a2x3 +3ax2 -6x -2a =(x+1) q(x). Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x =-1 ta được -a2 +3a +6 -2a =0 -a2 +a + 6 =0 từ đó a = -2; a = 3 Với a = -2 thì f(x) = 4x3 - 6x2 - 6x + 4 q(x) = 4x2 -10x +4 Với x =3 thì f(x) = 9x3 + 9x2 - 6x - 6 q(x) = 9x2 - 6 *Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm k để k(k2 -1) (k2 -4)  480 HD: để ý rằng tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. Đáp số : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t - 1 Bài 2: Tìm n để 5n -2n  9 HD: Lần lượt xét n=3k ,n =3k +1, n=3k +2 Chỉ có n =3k thì 5n -2n  9 Bài 3: Xác định các hằng số a,b để. a) x4 + ax2 +b  x2 –x +1. b) ax3 + bx2 + 5x – 50  x2 + 3x - 10 HD: thực hiện phép chia. a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a. Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a=1, b=a. b) Đặt phép chia : Tính được a=1, b=8 . III./QUÁ TRÌNH THỬ NGHIỆM SÁCH GIÁO KHOA Sau khi nhận thấy cần nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” cho học sinh tôi đã rèn luyện cho học sinh ngay từ đầu học kỳ I của lớp 6, đặc biệt bồi dưỡng HS Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” giỏi 9. Như vậy việc giải các bài toán “chia hết” của học sinh ngày càng tốt hơn, ngày càng nắm chắc hơn cách giải của các dạng toán. IV./HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI. Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích…để giải quyết triệt để các dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết” Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và điểm thi HKI vừa qua và kỹ năng giải toán chia hết đạt 85% so với trước khi thử nghiệm, đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán. Qua kết quả trên tôi thấy viêc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết là rất cần thiết và phương pháp cho từng dạng toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc nâng cao kỹ năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng. C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM I./Kinh nghiệm cụ thể Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá trình dạy và học môn toán. Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người dạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cả học sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho riêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan. II./ Sử dụng sáng kiến. Người dạy và học muốn có hiệu quả cao trong việc áp dụng sáng kiến để nâng cao kỹ năng giải toán chia hết thì người dạy và học cần nhiệt tình nắm rõ các bước sau: Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” * Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau: Người dạy cần: Nắm rõ các kiến thức đã học liên quan về toán chia hết Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán hoạt Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm * Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau: Học sinh cần: Nắm vững các kiến thức đã học cũng như phương pháp giải cho từng dạng toán Có tính sáng tạo , tự giác, tích cực Biết vận dụng vào thực tế Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” III./ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích….Bên cạnh đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chưng minh quy nạp toán học, phương pháp phản chứng, định nghĩa và các tính chất về đồng dư thức… và một số các phương pháp khác nữa. Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có như vậy mới đạt được kết quả tốt. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng rất đa dạng và phong phú. Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc. Trên đây là một số dạng toán thườbng gặp trong chương trình toán THCS. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên.Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọ một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6,7,8,9 trong tiết học, trong tiết luyện tập, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh tiến bộ hơn rất nhiều. Các em dần thích thú say mê với dạng toán này. Số đông các em không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển biến rõ rệt. Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Nhân Cơ, ngày 22 tháng 2 năm 2009 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Người thực hiện Lê Thị Phương Mai Gv trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” Tài liệu tham khảo 1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD 2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD 3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản GD 4/ Toán số học nâng cao của tác giả Vũ Dương Thụy_Nàh xuâr1 bản GD Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 19 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” XÁC NHẬN CỦA CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 20