Tài liệu Skkn rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 7 phần hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 7 PHẦN HÌNH HỌC I. Đặt vấn đề. - Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc đổi mới phương pháp dạy học có tầm quan trọng đặc biệt. Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán. Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn luyện các kĩ năng tư duy, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện học sinh tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác. Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành cảm xúc thẩm mĩ qua học tập môn toán. Việc tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy trong suy nghĩ, trong lập luận, trong việc giải quyết vấn đề... qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác. Bên cạnh đó chúng ta đã biết hình học lớp 7 có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy học toán ở bậc THCS vì ở lớp 7 lần đầu tiên học sinh được rèn luyện có hệ thống kĩ năng suy luận... đó là các kĩ năng đặc trưng cho tư duy toán học. Việc dạy học giải toán cho học sinh lớp 7 có tầm quan trọng đặc biệt (nhất là đối với hình học) do vậy tôi chọn đề tài: "Rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh lớp 7 phần hình học). II. Giải quyết vấn đề: Trong quá trình giảng dạy phần hình học ta cần lưu ý rèn luyện một số kĩ năng khi giải toán: - Kỹ năng vẽ hình - Kỹ năng suy luận và chứng minh - kỹ năng tính toán. 1. Rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, hình vẽ chính xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải bài toán. Một số học sinh vẽ hình không chính xác cho bài toán, bởi vậy tôi luôn chú ý đầu tiên phải hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ năng hình. Trong quá trình dạy tôi thấy một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp. Ví dụ 1: (bài 94 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 trang 109) Cho D ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB, gọi K là giao của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Bài tập này nên cho học sinh xét các trường hợp tam giác có góc A nhọn, góc A là góc tù. A K E D E A D K B C B VD2: (bài 14 sách bài tập toán tập 1 trang 75) Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau: C Vẽ góc xoy có số đo = 600. Lấy điểm A vẽ trên tia ox, rồi vẽ đường thẳng d1 vuông góc với tia ox tại A. lấy điểm B trên tia oy rồi vẽ đường thẳng d2 vuông góc với tia oy tại B gọi giao điểm của d1 là C. Bài tập này cần chú ý cho học sinh có nhiều hình vẽ khác nhau tuỳ theo vị trí điểm A, B được chọn. d2 A A x 0 C 0 x A 600 600 B B d1 y VD 3: vẽ D ABC cân tại A. x C 0 600 B y C d1 y d2 d2 - Khi vẽ D cân một số học sinh yếu thường vẽ không chính xác bởi vậy tôi thường hướng dẫn cho học sinh vẽ cạnh đáy trước, sau đó dựng trung trực của cạnh đáy trên trung trực đó lấy một điểm bất kỳ (điểm đó khác trung điểm của cạnh đáy) nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta sẽ được D cân. - Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước, sau đó trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc cùng hợp với cạnh đáy hai góc bằng nhau. (thường khác 600) ta sẽ được D cân. Ví dụ 4: cho D ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến Trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE = HA Trên tia đối của MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Nối B với E, C với I, chứng minh BE = CI. Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: D ABC tại A thì lúc này đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau. Dẫn đến việc giải bài toán gặp vào trường hợp đặc biệt. Do vậy: để giúp học sinh tính được những sai lầm này trong dạy học tôi luôn lưu ý nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không nên vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác. 2. Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh. Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt và học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải toán chứng minh mà cả khi các bài toán về quỹ tích dựng hình và một số bài toán tính toán. Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theo các hướng. - Tăng cường tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lý. - Hướng dẫn cho học sinh suy luận theo quy tắc suy diễn và quy tắc quy nạp. - Tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận ngược và suy luận xuôi (quy tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổng hợp) - Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện. a. Nhận dạng và thể hiện định lý. Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lí. Nhận dạng một định lý là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định lý nào đó hay không, còn thể hiện định lý là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước. Ví dụ: (bài 81 SBT tập 2 trang 33) Cho D ABC qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành D DEF. Chứng minh rằng A là trung điểm của EF. Hướng dẫn: F A E B C D Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE = AF ở bài này để có điều trên ta cần chứng minh AE và AF bằng đoạn thẳng BC muốn vậy ta có thể ghép D ABC với 2 D đó là D CEA và D BAF ta có AC: cạnh chung CAB = ACE ( so le trong, AB // DE) ABC = CAE (so le trong, BC // EF) Do đó D ABC = D CEA (g.c.g) => BC = AE chứng minh tương tự ta có: BC = AF do đó A là trung điểm của EF Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lý "nếu hai D ABC và D A'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', Â = Aˆ' thì hai D đó bằng nhau" b. Quy tắc suy luận. Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc nạp và quy tắc suy diễn. Quy tắc nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát. Quy tắc suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể. Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta thường đi từ kết luận đến giả thiết (phân tích đi lên) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp tổng hợp (đi từ giả thiết suy ra kết luận) Ví dụ1: Bài 25 sách giáo khoa tập 2 trang 67) Cho D vuông ABC có hai cạnh vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A với trọng tâm G của D ABC. Hướng dẫn: Bài toán đã cho chúng ta những yếu tố nào? cần tìm yếu tố nào? Để tính AG ta cần có thêm yếu tố nào? phải áp dụng tính chất nào? khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược lại. Cụ thể: D ABC vuông ở A nên ta có: BC2 = AB2 + AC2 (theo pitago) = 32 + 42 = 25 => BC = 5 Ta có AM = 1 BC (tính chất trong D vuông, trung tuyến ứng với 2 cạnh huyền bằng một nửa cạnh ấy) => AM = 1 5 2 .5 = ta lại có: AG = AM (tính chất trung tuyến của 2 2 3 D) => AG = 2 5 5 . <=> AG = (cm) 3 2 3 Ví dụ 2: (bài 43 SGK tập 1 trang 125) Cho góc xoy góc bẹt, lấy các điểm A, B Î tia ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D Î tia oy sao cho OC = OA, OD = OB, gọi E là giao điểm của AD và BC chứng minh rằng: D EAB = D ECD Hướng dẫn: D EAB và D ECD đã có những yếu tố nào bằng nhau ? Đề kết luận D EAB = D ECD ta cần có thêm điều kiện gì ? Để chứng minh được các yếu tố đo ta cần ghép chúng vào các D nào ? Khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược x Cụ thể: Xét D AOD và D COB 1  chung OA = OC (gt) OB = OD (gt) -> D AOD = D COB (c.g.c) -> Bˆ = Dˆ , Aˆ1 = Cˆ do đó Â2 = Ĉ2 -> D EAB = D ECD (g.c.g) B A 0 2 1 2 C E D y Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 của chúng ta mới tập giải toán chứng minh. Do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các luận cứ sao cho lôgic, chặt chẽ. Như ở ví dụ trên tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh suy luận đề dẫn đến việc CM D AOD = D COB. - Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. - Trong quá trình giải toán, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. - Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp có thể xảy ra, các trường hợp riêng, nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến kết luận hoặc có phân chi những không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng. c. Khái quát hoá: Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và CM trong một số trường hợp, nên hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán: Ví dụ (Bài 14 SBT tập 1 trong 81) a. Hãy vẽ 2 góc xoay và góc kề bù, tia phân giác ot của góc xong, tai phân giác ot' của góc yox' và gọi số đo của góc xoay là mo. b. Hãy viết giả thiết và kết luận của định lí "hai tia phân giác của 2 góc kề bù tạo thành một góc thường". c. Hãy điền vào chỗ trống (...) và sắp xếp 4 câu sau đâu một các hợp lí để chứng minh định lí trên. 1. toy = 1 o m vì ...... 2 2. t'oy = 1 (108o - mo ) vì..... 2 3. tot' = 90o vì ........ Hướng dẫn t y a. t' m0 x' x b. gt xoy và yox' kề bù xoy = mo ot là tia phân giá của xoy ot' là tia phân giác của yox' KL tot' = 90o c. Sắp xếp theo thứ tự 4, 2, 1, 3 Sau khi học sinh giải bài tập này, có thể cho học sinh kết luận luận 1 lần nữa về 2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau. Ví dụ 2: (Bài 51 SBT tập 2 trang 29) Tính góc A của D ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Trong đó góc BIC bằng: A a. 120o b. a (a > 90o ) E Hướng dẫn: 2 o a. D BIC có BIC= 120 B nên Bˆ1 + Cˆ1 = 180o - 120o = 60o -> Bˆ1 + Cˆ1 = 60o.2 = 120o do đó  = 180o - 120o = 60o b. Bˆ1 + Cˆ1 = 180o - a Bˆ + Cˆ = 2.(180o - a ) = 360o - 2a  = 180o - ( Bˆ + Cˆ ) = 180o - (360o - 2a ) 1 I a D 2 1 C = 180o - 360o + 2a = 2a - 182o 3. Rèn luyện kỹ năng tính toán: Trong quá trình giải toán, học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn gọn hay không, điều đó phụ thuộc vào kĩ năng tính toán, một số em thường không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau, vận dựng lí thuyết chưa khéo. Ví dụ 1: (Bài toán 2 SGK Tập 1 trang 55): Tam giác ABC có số đo góc là Aˆ , Bˆ , Cˆ lần lượt tỉ lệ với 1;2;3 tính số đo các góc của D ABC. Để giải bài này học sinh phải vận dụng phối hợp kiến thức tổng 3 góc trong tam giác và vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Giải: Nếu gọi số đo các góc của D ADC là A, B, C (độ) thì theo điều kiện bài ra ta có: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ + Bˆ + Cˆ 180o = = = = = 30o 1 2 3 1+ 2 + 3 6 Vậy  = 1 . 300 = 300 0 0 0 0 B̂ = 2. 30 = 60 Ĉ = 3. 30 = 90 Ví dụ 2: Tam giác ABC có 3 cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6 gọi M, N, P là trung điểm các cạnh của D ABC. Tính các cạnh của D ABC biết chu vi của D MNP bằng 5,2m. Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về chu vi, về tính chất đường trung bình của D và khéo léo thiết lập mối quan hệ giữa chu vi của 2 D sau đó dùng đến kiến thức đại số đó là tính A chất của dãy tỉ số bằng nhau. Giải : M B N P C Vì M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC nên MN, NP, MP là các đường trung bình của D ABC. 1 BC 2 1 NP = BC 2 1 MP = AC 2 MN = MN + NP + MP = 1 ( AB + AC + BC ) 2 -> AB + AC = BC = 2(M + NP = MP) = 2.2,5 = 10,4m Theo bài ra ra có -> AB AC BC AB + AC + BC 10,4 = = = = = 0,8m 3 4 6 3+ 4+6 13 AB = 0,8.3 = 2,4m AC = 0,8.4 = 3,2m BC = 0,8.6 = 4,8m Vậy độ dài 3 cạnh của D ABC là 2,4m; 3,2m; 4,8m III. Kết luận: 1. Kết quả: Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên, trong khi truyền thụ cho học sinh tôi thấy học sinh lĩnh hội được kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống. Học sinh được rèn luyện nhiều về các kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng suy luận, kĩ năng tổng quát hoá... qua đó rèn luyện được cho học sinh trí thông minh, sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu của hình học, giúp học sinh có hứng thú khi học bộ môn này. Kết quả cụ thể. Với những bài tập giáo viên ra, học sinh đã giải được 90% một cách tự lập và tự giác. 2. Bài học kinh nghiệm. Là năm đầu tiên toán lớp 7 nói riêng và giảng dạy theo đổi mới chương trình, bản thân thấy rằng dựa vào sgk, SBT và tham khảo thêm một số tài liệu toán khác trong quá trình dạy học giải toán có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận, chứng minh rất tốt. Từ chỗ các em bở ngỡ, mô hồ trong giải toán hình học, đến nay các em đã biết vẽ hình chính xác, biết suy luận và lập luận có căn cứ, biết trình bày lời giải lô gic, chặt chẽ. Bên cạnh đó việc chú trọng lựa chọn hệ thống bài tập theo yêu cầu dạy học đề ra thì có thể không ngừng nâng cao hiệu quả giáo dục, tạo niềm say mê học tập môn toán cho học sinh. Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà bản thân tôi tự rút ra được khi dạy môn hình 7 cho học sinh chắc chắn sẽ chưa thể hoàn hảo được. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để cùng nhau tiến bộ, đáp ứng với yêu cầu của giáo dục.