Mô tả:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC"
1
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại
học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình
lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự giải quyết tốt khi gặp các phương
trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải
phương trình lượng giác là một việc làm cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn
luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
+) sinx= m
Với
m
1 và
x k 2
x k 2
sin =m (có thể lấy arcsinm).
+) cosx= m x k 2
Với
m
( k z ).
( k z ).
1 và cos =m (có thể lấy arccosm).
+) tanx= m x=
k
, với tan =m ( có thể lấy =arctanm)
+) cotx= m x=
k
, với cot = m ( có thể lấy arccotm)
( k z ).
( k z ).
b) Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng giác nào
đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2 0)
Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+ ) hoặc Ccos(x+ )
2
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= 0 ( a2+ b2+ c2 0)
Chia hai vế cho cos2x( với cosx 0), hoặc chia hai vế cho sin2x( với sinx 0)
+) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d. (a2+b2+c2
0
).
Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx.
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx+ cosx=
sin x cos x
2 sin( x
t2 1
2
) 2 cos( x )
4
4
(đk:
t
2)
phương trình bậc hai ẩn t.
+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx- cosx=
2 sin( x
) 2 cos( x )
4
4
(đk:
t
2 ).
Phương
1 t 2 pháp giải phương trình lượng giác
phương trình bậc hai ẩn t.
sin x cos x
2
Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau
Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích
Biến đổi
tổng
thành
tích
Biến đổi
tích
thành
tổng
Phương pháp giải phương
trình lượng giác: Đại số
hóa bằng cách đặt ẩn phụ
Phương trình
bậc 1, bậc 2
đối với các
hàm số lượng
giác
Phương
trình bậc 1
đối với sinx
và cosx
Phương pháp giải
phương trình
không mẫu mực
Phương
trình thuần
nhất bậc 2
đối với sinx
và cosx
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp giải phương
trình đưa về phương trình
lượng giác đã biết cách giải
Phương
trình đối
xứng đôí
vơí sinx,
cosx
3
2. Thực trạng vấn đề .
Khi gặp bài toán giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng trong cách giải
quyết.Tuy nhiên khi nắm bắt được quy luật của một số dạng toán thì khó khăn sẽ được
giải quyết.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành 4 phương pháp. Mỗi phương pháp tôi đưa ra một
số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong các đề thi đại học, đề thi
học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương tự. Sau đây là một số phương pháp
giải phương trình lượng giác
4
1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình lượng giác đã
biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng các công thức lượng
giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích
thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
x
x
(sin 2 +cos 2 )2 +
3
cosx =2
(1a)
Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
cos 2
x
x
sin 2
2
2
1+ sinx +
x
x
x
x
cosx
1
2
+2sin 2 cos 2 +
3
k 2
6
3
k 2
6
3
3
cosx =2
sinx +
3
2
x 2 k 2
x k 2
6
1
1
cosx = 2 cos(x- 6 ) = 2
(k z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x=
2
+k2 , x= -
6
+k2
(k z ) .
Ví dụ 2 . Giải phương trình :
sin2xcosx +
3
cos3x =2- cos2xsinx
(3a)
Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :
1
2
(sin3x +sinx ) +
3
cos3x = 2-
1
2
(sin3x - sinx)
5
sin3x +
3
cos3x= 2
1
2
3
2
sin3x +
cos3x = 1
cos( 3x )= 1 3x = k2 x =
6
6
18
Vậy phương trình có nghiệm là:
x=
18
-
k 2
3
k 2
3
(k z)
(k z)
Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:
cos23xcos2x - cos2x = 0
(4a)
Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
cos2x + cos6x cos2x - 1- cos2x = 0
1
cos6x cos2x -1= 0 (cos4x + cos8x )- 1= 0
2
cos8x+ cos4x- 2= 0
2
2cos 4x + cos4x - 3 = 0
3
cos 4 x 2 cos 4 x 1
.
cos 4 x 1
+) cos4x = 1 4x = k2 x =
k
2
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
(k z).
k
2
(k z).
Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:
Giải
(2
x
3 ) cos x 2 sin 2 ( )
2 4 1
2 cos x 1
(5a)
6
1
Đk: cosx 2
(*)
Phương trình (5a) tương đương với:
(2-
3 )cosx
(2-
- [1- cos(x-
3 )cosx
(2-
3 )cosx
2 cosx - 1 sinx =
)] = 2cosx- 1
2
- 1+ cos(x-
2
) = 2cosx - 1
- 1+ sinx = 2 cosx -- 1
3 cosx
3 cosx
+ sinx = 2 cosx - 1
tanx =
3
x=
+
3
k ( k z ).
Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
3
+(2k’+ 1)
( k’ z).
Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình :
cos( 2x+
4
)
+ cos( 2x-
4
)+ 4sinx = 2+
2
(1- sinx)
(6a)
Giải:
Phương trình (6a) tương đương với :
2 cos2x.cos
2
2
4
+ 4 sinx +
2
sinx - 2 -
cos2x + ( 4 -
2
)sinx - 2 -
sin2x - (4 +
2
) sinx + 2 = 0 (*)
2
2
2
=0
=0
7
1
x 6 k 2
sin
x
1
2 sin x
2 5
x k 2
sin x 2
6
(k z).
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
Ví dụ 6:(HSG-2011)
k 2
6
, x=
5
k 2
6
(k z).
Giải phương trình.
(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0.
(7a)
Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0
cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx
1
5
Đặt:
cos 2 x
sin
1
5
2
5
,
sin 2 x
cos
1
5
sin x
2
5
cos x
2
5
sin cos2x+ cos sin2x= sin sin2x- cos cosx
sin(2 x ) cos( x) sin(2 x ) sin( x
2 x x 2 k 2
2 x x k 2
2
x 2 k 2
x 2 k 2
3
3
3
Vậy phương trình có nghiệm là: x=- 2
tập tương tự
)
2
k 2
hoặc x= 3
(k z )
2 k 2
3
3
(k z ) *Một số bài
8
Giải các phương trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan2x
2
2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x = sin 2 x
3. (Đại học khối A - 2009).
(1 2 sin x) cos x
(1 2 sin x)(1 sin x)
4.(Đại học khối D- 2009).
3
=
3
cos5x - 2 sin3x cos2x -sinx= 0
5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình :
sinx +
cos 3 x sin 3 x
)
1 2 sin 2 x
5(
= cos2x +3
3
6.(Đại học khối D - 2005) . cos4x +sin4x +cos(x- 4 ) .sin(3x- 4 ) - 2 = 0
7.
4sin
2
x
2
-
3
2
cos2x = 1 + cos (
3
x- 4
)
8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x +
9.
tanx= cotx+
2 cos 4 x
sin 2 x
3
cos3x= 2 ( cos4x + sin3x)
.
2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình
đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x)....( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương
trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=
2x
3
, t=
x
...
6 2
).
Ví dụ 1. Giải phương trình :
9
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:
(2b/ )
3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0
Đặt sinx + cosx = t (
t
2
) sinx.cosx =
t2 1
2
Phương trình ( 2b/ ) trở thành:
2
2
3t + 2t - 2+3 = 0 2t +3t+ 1 = 0
+) Với t= -1 sinx + cosx = -1
sin(x + ) = 4
+)Với t = -
1
2
1
2
= sin(- 4 )
2
1
sin( x +
4
)=-1
x 2 k 2
x k 2
(k z)
1
sinx + cosx = -
2
sin( x +
)=-2 2
4
t 1
(t / m)
t 1
2
2
sin( x +
4
)
1
=-2
1
x 4 arcsin( 2 2 ) k 2
x 3 arcsin( 1 ) k 2
4
2 2
Vậy phương trình có các nghiệm là:
x=-
+k2 , x= +k2 , x=
2
1
arcsin(2 2
4
)+k2 , x=
3
4
+arcsin(- 2
1
2
)
(k z )
Ví dụ 2. Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3
( 3b)
10
Giải:
ĐK: cosx 0
2t
Đặt tanx= t sin2x= 1 t 2 . Phương trình (3b) trở thành:
2t
1 t2
+ 2t= 3 2t3- 3t2+ 4t- 3= 0 t= 1.
+) Với t= 1 tanx= 1
x k
4
(k z )
Vậy phương trình có nghiệm là: x=
k
4
(k z )
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+
6
6
3 cos x 4 sin x 1
(4b)
Giải.
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t 3cosx+ 4sinx= t- 1( t o).
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+
6
6
t
t2- t+ 6= 6t
t 6
t2 -7t+ 6= 0
t 1
+) Với t= 6 4sinx+ 3cosx+ 1= 6 4sinx+ 3cosx= 5
3
4
cos x sin x 1
5
5
3
4
sin cos x cos sin x 1 (sin 5 , cos 5 )
sin(x+ ) = 1 x k 2 x= - k 2 (k z )
2
2
+)Vớit=1 3cosx+4sinx=0
3
4
cos x sin x 0 sin( x ) 0
5
5
11
3
4
(sin 5 , cos 5 )
x k x k
(k z ) .
Vậy phương trình có nghiệm là: x=- 2 k 2 , x=- k (k z )
Ví dụ4:
Giải phương trình:
sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0
(4b)
Giải:
+) Nếu cosx = 0 x= 2 +k
(k z)
Phương trình trở thành : 1 = 0 vô lý . Vậy cosx 0 .
Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x 0
khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0
(4b/)
Đặt: tanx=t.
(4b/) t3 - 6t2 +11t - 6 = 0 ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0
t 1
t 2
t 3
(t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0
+)Với t=1 tanx =1 x=
4
+k
(k z)
+)Với t =2 tanx = 2 x= + l
+)Với t= 3 tanx= 3 x=
(l z , tan =2)
+m
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
4
(m z ,tan = 3)
+k , x= +l , x=
( k, l, m z ; tan =2 ;tan =3).
+m
12
Ví dụ5. Giải phương trình: sin(2x+ 6 ) cos( x
) 1
6
Giải.
Đặt: x- 6 t
sin( 2t
2
2t
6
2
) cos t 1 2 cos 2 t
x
2
k x k
6 2
3
k 2 x k 2 x k 2
3
6 3
2
+) t=- 3 k 2
cot 0
t 2 k
t k
3
cos t 0
1
cos t
2
+) t= 2 k
+) t=
2x
x
(k z )
k 2 x
k 2
6
3
6
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x
2
k , x k 2 , x
k 2 (k z ).
3
2
6
Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình:
sin(3 x
) sin 2 x.sin( x )
4
4
Giải.
Đặt:
t x
.Phương
4
trình đã cho trở thành:
13
) sin t sin 3t cos 2t sin t
2
sin t 0
sin 3 t sin t 0 2
sin t. cos t 0
sin t 1
sin(3t ) sin( 2t
sin 2t 0 t k
x k
2
4
2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
k ( k z ).
4
2
x
. (*) Một số bài tập tương tự:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
3
1. (HVQHQT- 2000) . cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin4x + sin4( x+
4
) + sin4(x -
4
9
)=8.
4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx
6. 8 cos3( x+
7. 4cos3x +3
8.
3 sin 2
3
2
) = cos3x
sin2x = 8 cosx
x
3
x
2)
2 cos( 2
+
3 sin 2
x
2
cos
x
2
=sin
x
2
2
cos
x
2
+sin
x
(2 2
2
)cos
x
2
Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
14
Bài 3:
Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn:
0
x
Bài 4:
Cho phương trình .
m(sinx+ cosx) +1+
1
2
1
1
(tanx +cotx+ sin x + cos x ) =0
1
a) Giải phương trình khi m= 2
b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0;
2
).
3.Phương pháp3: Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số
chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy
năm gần đây. Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về thủ thuật biến đổi nhưng
đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
+) cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)2
15
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx
(3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx
4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx
2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx
(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0
2 cos x 1 0
2 sin x cos x 1 0
1
cos x 2
sin 2 x 1
2
x 3 k 2
x 2 k 2
3
x k
4
(k z)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=
2
3
+k2 , x=-
2
3
+k2 , x=
4
+k ( k z)
Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x
(3b)
Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x
1 cos 6 x
2
+
1 cos 12 x
2
=
1 cos 10 x
2
+
1 cos 8 x
2
16
cos12x - cos6x = cos8x - cos10x
- 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx
2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0
sin 9 x 0
sin x sin 3 x
9 x k
x 3 x k 2
x 3 x k 2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
x k 9
x k
2
x k
2
x=
k
9
, x=
(k z).
k
2
(k z).
Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ). Giải phương trình .
cotx -1 =
cos 2 x
1 tan x
+sin2x -
1
2
sin2x
(3c)
Giải.
Điều kiện xác định:
tan x 1
cos x 0
sin x 0
(*)
Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:
cos x
sin x
-1=
cos x sin x
sin x
cos x sin x
sin x
cos 2 x sin 2 x
1 tan x
=
+ sin2x -
1
2
2sinxcosx
cos x (cos x sin x)(cos x sin x)
cos x sin x
- sinx(cosx- sinx)
= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)
(cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin2x) = 0
17
cos x sin x 0
2
1 sin x cos x sin x 0
+) cosx -sinx = 0 tanx = 1 x=
+) 1 - sinxcosx +sin2x = 0 1 -
1
2
4
+ k (k z)
sin2x + sin2x = 0
2 - sin2x + (1 - cos2x) = 0 sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=
4
+ k
(k z)
Ví dụ 4: (ĐHQG--HN-99). Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x)
(3d)
Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0
cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0
cos6x .cos2x - sin6x .cos2x = 0
cos2x ( cos6x - sin6x ) = 0
cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0
1
cos22x ( 1 - sin2x.cos2x) = 0 cos22x (1 - sin22x) = 0
4
cos2x = 0 2x =
+k x= 4 + k 2 ( k z)
2
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
4
+k
2
(k z).
18
Ví dụ5. (Đại học khối A- 2011).
Giải phương trình:
1 sin 2 x cos 2 x
2 sin x sin 2 x
1 cot 2 x
(3e)
Giải.
ĐK: x k
( k z)
Phương trình (3e) tương đương với:
sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) =
2
sinx ( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2
cos x 0
cos x sin x 2
sinxsin2x
2
sinxcosx
x 2 k
sin( x ) 1
4
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
x 4 k
x 2m
4
k
4
, x=
(m, k z ) .
2m
4
(m, k z ).
Ví dụ 6. (Đại học khối B- 2011). Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx
sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0
cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0
(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0
19
2
x
k
cos 2 x cos x
3
3
sin x 1
x k 2
2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
Ví dụ7 (HSGT-2010).
x
2
k 2 , x k
(k z ).
2
3
3
Giải phương trình:
cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x.
(3f)
Giải.
(3f) (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)
(2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 0.
(2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 0
1
sin 3 x 2
cos 3 x cos( x)
2
2
x 18 k 3
x 5 k 2
18
3
x k
8
2
x
k
4
(k z ) .
Vậy phương trình có nghiệm là:
x= 18 k
2
3
, x=
5
2
k
18
3
,
x=
k ,
8
2
x=-
k
4
(k z).
(*) Một số bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:
1. Đại học khối A-2010).
(1 sin x cos x) sin( x
1 tan x
4
=
1
2
cosx
20
- Xem thêm -