PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát
triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào
thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải
từng dạng toán là hết sức cần thiết. Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên
nghiệp những năm gần đây bao giờ cũng có một câu hình tọa độ trong không
gian, hoặc có những câu hình không gian mà khi dùng phương pháp tọa độ để
giải thì bài toán trở nên đơn giản. Vì vậy khi dạy chương phương pháp tọa độ
trong không gian, bản thân tôi luôn trăn trở làm thế nào để khi học chương này
học sinh không thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ như vậy khi dạy
phần bài tập phương trình đường thẳng trong không gian tôi đã chuẩn bị một
chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho các em:
“ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian “. Và trong năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục
lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ năng
giải các dạng toán là rất cần thiết vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra các bài toán này
nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Trong đề tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ chỉ phương ); vtpt (véc tơ pháp
tuyến).
- Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng,
phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết
một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương.
Viết phương trình của đường thẳng
Bước 1: Tìm 1 vtcp
u ( a; b; c )
của đường thẳng.
Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng:
Phương trình tham số :
x
y
x
x0
y
z
0
0
at
bt
ct
(t R )
1
Phương trình chính tắc:
x x0 y y0 z z0
a
b
c
( abc 0)
Chú ý
1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
A2 B 2 C 2 0) và ( P ) : Ax B y C z D 0
- Đường thẳng ( d) có 1 vtcp
u n1 , n 2
( P ) : Ax By Cz D 0
( A2 B2 C 2 0) .
(Trong đó
n1 ; n 2
(
Khi đó:
lần lượt là vtpt của (P)
và (P’) )
- Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, z.
(Thường cho x một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên).
2) Đường thẳng (d) qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là AB .
3) Đường thẳng (d) vuông góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P).
4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng
( )
thì (d) và
( ) có
vtcp cùng
phương.
5) Hai đường thẳng vuông góc thì hai vtcp của chúng vuông góc với nhau.
II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Đứng trước những bài toán hình học tọa độ không gian học sinh thường lúng
túng không xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng nhiều
dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng và cách giải các dạng đó, nếu bài
toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được. Một số học sinh có thói quen
không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã kêu khó và không làm nữa. Số tiết bài tập
dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có
nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng không có tính chất hệ thống . Tuy nhiên nó
có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với thực
trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài tập nói
chung và các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng
giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất
đặc trưng hình học của bài toán để tìm các cách giải nhằm phát huy được tính tự
giác, tích cực của học sinh. Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ nêu được một số
bài toán, một số cách giải và một số bài tập.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
2
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc
tơ chỉ phương.
Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp
u ( a; b; c)
của đường thẳng
hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp.
- Nếu cho trực tiếp vtcp
u ( a; b; c )
của đường thẳng thì ta viết được
Phương trình tham số :
x
y
x
x0
Phương trình chính tắc:
x x0 y y0 z z0
( abc 0)
a
b
c
y0
z
at
bt
0
ct
(t R )
- Nếu cho gián tiếp véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì ta tìm vtcp
u ( a; b; c )
của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán.
Ví dụ1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường thẳng
(d) đi qua điểm M(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1= 0 .
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là
đi qua điểm M(-2;1;0) và nhận
là :
n(1;2; 2)
n (1;2; 2)
. Do đó đường thẳng (d)
làm 1 vtcp có phương trình chính tắc
x2 y 1
z
1
2
2
Ví dụ2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết
phương trình tham số của đường thẳng BC.
Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận
vtcp. Vây BC có phương trình tham số là :
x
y
z
1
2
1
BC (0; 1;2)
làm 1
t
2t
Ví dụ3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d 1) là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z - 1 = 0.Viết
phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;-2) và song song
với đường thẳng (d1).
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d) là
u n1 , n2 ( 4; 7; 3)
(Trong đó
n1 ; n2
lần
lượt là vtpt của (P) và (P’)). Đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-2) nhận
u ( 4 7 3)
làm 1 vtcp có phương trình là:
x 1 y 2 z2
4
7
3
.
3
Cách 2 : Gọi A(1;-4;-1), B(5;-11;-4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có
AB ( 4; 7; 3)
là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình:
x 1 y 2 z 2
4
7
3
.
Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d 1), thông thường chọn một giá
trị x nguyên để tìm y nguyên và z nguyên, mục đích để việc tính toán dễ dàng
hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đường
thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm. Nên học sinh
phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và (P) : 2x – 2y +
z – 1= 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông
góc với (P).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng
(d1 )
:
x
y
z
1
2t
3t
2
3t
. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (
nếu có) của đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1).
3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và
C(-1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng :
a, Đi qua hai điểm A và B.
b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam
giác ABC.
Bài toán 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng
chéo nhau (d1) và (d2).
Cách giải :
Cách 1: Viết
M (d1 )
Giải hệ
phương trình (d1 ) , (d 2 ) dưới dạng tham số, suy ra toạ độ
theo tham số t, toạ độ của N (d 2 ) theo tham số t'.
MN ..u1
MN ..u 2
0
0
tìm được t, t' ( u1 ;u2 lần lượt là vtcp của (d1 ) và (d 2 ) ),
suy ra toạ độ điểm M, N. Từ đó viết được phương trình MN và cũng chính là
phương trình của (d).
4
u1
Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp
vtcp
u2 và
và đi qua A; Đường thẳng (d 2 ) có 1
đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt phẳng
chứa (d 2 ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ đó suy ra được
phương trình của đường thẳng (d).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :
x y 1 z 2
2
1
1
và (d 2 ) :
x
y
z
1
1 t
3
2t
. Viết phương trình chính tắc
đường vuông góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) .
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp
u 2 ( 2;1;0) .
Gọi
đường thẳng (d 2 ) có 1 vtcp
M (2t1 ;1 t1 ; 2 t1 ) (d1 ); N ( 1 2t ;1 t ;3) (d 2 ) .
MN ( 2t 1 2t1 ; t t1 ;5 t1 ) .Ta
MN ( 1;2;4) .
u1 ( 2; 1;1) ;
MN ..u1 0
3t 6t1 3 0
t t1 1
MN ..u2 0 5t 3t1 2 0
có
.
Khi
đó
Suy
ra
M(2;0;-1);
Do đó phương trình chính tắc đường vuông góc chung (d) là
phương trình của đường thẳng MN :
x 2 y z 1
1
2
4
Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp
thẳng (d 2 ) có 1 vtcp
u 2 ( 2;1;0)
u1 ( 2; 1;1)
và đi qua A(0;1;-2); Đường
và đi qua B(-1;1;3); gọi
u u1 , u 2 ( 1;2;4)
.
Đường vuông góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d) nên (P) đi qua A nhận
1
n1 u , u1 ( 2;3; 1) làm
3
1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y-1)-(z+2) = 0 hay
2x+3y-z-5=0. (Q) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và (d) nên (Q) đi qua B nhận
n 2 u 2 , u ( 4; 8;5)
làm 1 vtpt có phương trình là: 4x - 8y + 5z – 3 = 0.Vậy tập
hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ:
Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành
x
y
z
2
t
2t
1
4t
2x 3y - z - 5 0 .
4 x 8 y 5 z 3 0
hay
Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là:
(I)
x 2 y z 1
.
1
2
4
x 2 y z 1
1
2
4
Bài tập:
5
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1);
C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vuông góc chung của
hai đường thẳng AC và BD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần
lượt có phương trình là (d1) :
x 2 y 3 z4
;
2
3
5
(d2):
x
y
z
1
4
4
3t
2t
t
.
Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của chúng.
3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d 1):
x 2 y2
z
1
5
2
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0;
x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của chúng.
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với hai
đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :
Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp
u k u1 , u 2
( k 0)
u1
, đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp
u2
. Chọn
làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d).
Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó
(P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M và
vuông góc với (d 2 )
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường
thẳng (d1):
x 2 y 1 z 1
;
3
2
1
(d2):
x 3 y 1 z
1
1
1
. Viết phương trình chính tắc
đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp
Chọn
u1 (3;2;1) ,
u u1 , u 2 (3; 2; 5)
phương trình là:
(d2 ) có 1 vtcp
u 2 (1; 1;1) .
làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có
x 2 y 1 z 1
3
2
5
Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
6
Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số
đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vuông góc với hai đường thẳng có phương
trình lần lượt là
x 1 y 1 z 2
2
3
1
và
x4 y2 z 4
.
3
2
1
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với
đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Cách giải :
Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)
và (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về dạng tham số), giải phương trình
MN .u 0
tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp
MN
.
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng
(d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d2), chọn véc tơ
k MN
( k 0)
là 1vtcp của
(d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng
(d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng (d 2). Đường
thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường
thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d):
x 1 y 1 z 1
.
1
2
1
x 2 y2 z 3
;
2
1
1
Viết phương trình chính tắc đường thẳng
(d'):
( ) đi
qua điểm A
vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
Hướng dẫn giải :
Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp
vuông góc với (d) thì ( ) nhận
u1 ( 2; 1;1) ;
u1 ( 2; 1;1) làm
gọi ( ) là mặt phẳng qua A và
1 vtpt có phương trình là:
2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và ( ) tọa độ điểm B là nghiệm
của hệ:
2 x y z 3 0
x 1
y 1
z 1
1
2
1
AB (1; 3; 5)
x 2
y 1
z 2
Đường thẳng
( )
đi qua điểm A nhận
làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:
x 1 y 2 z 3
1
3
5
Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
7
Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng
(d1):
x 1 y2 z
3
1
1
; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2 = 0;
x + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc
với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng
(d1):
x 2 y 1 z 1
;
3
2
1
(d2):
x
y
z
3
1
t
t
t
. Viết phương trình chính tắc
đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc và cắt
đường thẳng (d1).
Cách giải :
Cách 1 : Tìm véc tơ chỉ phương
u của
(d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)
và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải
viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp
MN
MN .u 0
tìm được t,
.
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d 1).Tìm
giao điểm N của (P) với (d1) chọn
k MN
( k 0)
là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra
phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1).
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường
thẳng (d):
( )
x
y
z
3
1
2t
t
1
4t
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng
đi qua A, vuông góc và cắt đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải:
Cách1: Gọi
M ( 3 2t ;1 t ; 1 4t ) (d )
AM (1 2t ;3 t ; 5 4t ) ;
góc (d) nên
đường thẳng (d) có 1 vtcp
AM .u 0 21t 21 t 1 .
qua A nhận
là giao điểm của (d) và
AM (3;2; 1)
Với t = 1 thì
u ( 2; 1;4)
.Vì
AM (3;2; 1) do
( ) thì
( ) vuông
đó
( ) đi
làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:
x4 y2 z 4
3
2
1
8
Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận
u ( 2; 1;4)
là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x - y + 4z -10 = 0.
Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(-1;0;3); () đi qua 2
điểm A, M.Vậy phương trình ():
x4 y2 z 4
3
2
1
Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d)
có phương trình:
x 1 y 1
z
2
1
1
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( )
đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng (d).
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;0) và đường thẳng (d)
là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường
thẳng (d).
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường
thẳng (d1) và (d2).
Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1); (Q) là mặt phẳng đi qua
M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và đường
thẳng (d1)
x 1 y z 3
;
2
1
1
(d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z - 1 = 0;
y + 2z - 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M cắt
cả hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1), (Q) là mặt phẳng đi qua M
và chứa (d2). Đường thẳng (d1) đi qua N(1;0;3) và có 1 vtcp
chọn
n u ; MN (3; 4;2)
u ( 2;1; 1)
. Ta
là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương trình là :
3x - 4y + 2z - 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z - 1 = 0.
Tập
hợp
những
điểm
nằm
trên
(d)
có
tọa
độ
thỏa
mãn
hệ:
9
(I) Đặt y = t thì hệ (I) trở thành
3 x 4 y 2 z 9 0
x y z 1 0
đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là:
x
y
z
7
6t
t
6
7t
Vậy
x 7 y z 6
6
1
7
Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và (d) chính là đường
thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và 1 vtcp
của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5) và hai đường thẳng
(d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d 1)
x
y
z
3
1
2
2t
t
3t
x
y
z
3 3t
1 4t
2 2t
; (d2)
.
Viết phương trình tham số đường thẳng
( ) đi
qua A, cắt cả hai đường thẳng
(d1) và (d2).
2..Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1):
x
y
z
2
2
2t
5t
t
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x
– y +z + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả
(d1) và (d2).
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mặt
phẳng (P) và cắt đường thẳng (d').
Cách giải :
Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ độ
giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình
IM .n P 0
( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng
MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm.
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương
trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ đó đường thẳng (d) là giao
tuyến của (Q) và (R) .
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng
(P): x - 2y + 3z -1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 4 x y z 6 0; ( ) : x y 3 0 .
Viết phương trình tham số đường thẳng (d)
đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P).
10
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là
của hai mặt phẳng
n (1; 2;3) .
nên tập hợp những điểm
( ) : 4 x y z 6 0; ( ) : x y 3 0
nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ
Đặt x = t thì hệ (I) trở thành
x
y
z
4 x y z 6 0
x y 3 0
gọi N(t;3-t;-3+3t) là giao điểm của (d) và (d')
vì (d) // (P) nên
(I) .
t
3
t
3 3t
Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là:
4 MN (1; 1; 1)
Đường thẳng (d') là giao tuyến
MN . n 0 t
5
.
4
x
y
z
t
3
t
3
3t
MN (t 1;1 t ;3t 4) ,
Đường thẳng (d) đi qua M nhận
làm 1 vtcp có phương trình tham số là:
x
y
z
1
2
1
t
t
t
Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;-3), đường thẳng
(d):
x 2 y z2
1
3
2
và mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = 0. Viết phương trình
đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d).
Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt
phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d').
Cách giải :
Cách 1 : Tìm vtcp
( d ) ( d )
( d ) ( p )
u
của đường thẳng (d'), vtpt
nên (d) có 1 vtcp
và có 1 véc tơ chỉ phương
v
v u , n
n
của mặt phẳng (P). Vì
. Từ đó suy ra (d) là đường thẳng qua M
.
Cách 2 :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng
(d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z 3
1
2
2
và mặt phẳng (P): 2x + z -5 = 0 .Gọi A là giao điểm của
( ) :
( )
và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên
(P), và (d) vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải: Vì
( ) .
A ( ) A(1 t ;2 2t ;3 2t ) .Lại
có
A (P )
nên
11
2(1+t)+3+2t-5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng
u (1;2;2) ;
(P) có 1 vtpt
v u , n ( 2;3; 4)
n ( 2;0;1)
; Vì
( d ) ( )
( d ) ( p )
( ) có
nên (d) có 1 vtcp
. Vậy (d) là đường thẳng qua A và có 1 vtcp
nên phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là :
1 vtcp
v (2;3; 4)
x 1 y 2 z 3
2
3
4
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z -1 = 0
và đường thẳng (d'):
x 1 y z 2
2
1
3
.Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trên
(P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vuông góc với (d').
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = 0
và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + 4z - 27 = 0 ;
6x +3y - z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình
đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d) và nằm trong (P).
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng
( )
đi qua M nằm trong mặt
phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến
( )
bằng k (k > 0 ).
Cách giải : Đường thẳng (d) có 1 vtcp
(P), vuông góc với (d) nên
vuông góc của M trên
( ) có
( ) khi
Viêt phương trình đường thẳng
u
u1 u , n
vtcp
đó từ hệ
; (P) có 1 vtpt
n
. Vì
( ) nằm
trên
. Gọi N(a;b;c) là hình chiếu
MN
MN
N
k
( P)
tìm được điểm N.
( ) .
Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 0
và đường thẳng (d ) :
x 3 y 2 z 1
2
1
1
phương trình đường thẳng
( )
mãn khoảng cách từ M tới
( ) bằng
.Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
nằm trên (P), vuông góc với (d) đồng thời thỏa
42
.
Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ:
vậy M(1;-3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp
Vì ( ) nằm trên (P), vuông góc với (d) nên
x 1
y2
z 1
x 3
1
1 y 3
2
z 0
x
y
z
2
0
u ( 2;1; 1)
( ) có
; (P) có 1 vtpt
1 vtcp
n (1;1;1)
u1 u , n ( 2; 3;1)
.
.
12
Gọi N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên
mặt khác
và
MN ( )
MN 42
( x
1) 2
( y 3) 2
x y z 2 0
2 x
3 y z
11 0
đó
MN ( a 1; b 3; c ) ,
nên
z
2
42
Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;-2;-5) ta có
Với N(-3;-4;5) ta có
( ) khi
() :
x 5 y 2 z 5
2
3
1
x 3 y 4 z 5
2
3
1
() :
Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y -z+1= 0
và đường thẳng (d ) :
x 2 y 1 z 1
1
1
3
phương trình tham số đường thẳng
M một khoảng bằng
3 2
. Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
( )
nằm trên (P), vuông góc với (d) và cách
.
Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) và
cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d 1) và (P); Tìm giao điểm B của
đường thẳng (d2) và (P). Phương trình của đường thẳng (d) chính là phương
trình của đường thẳng AB.
Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho (P): x - 2y + z - 2 = 0 và hai đường thẳng
( d1 ) :
x 1 2t
x 1
3 y
z 2
; ( d 2 ) : y 2 t
1
1
2
z 1 t
của đường thẳng
( ) nằm
.Viết phương trình tham số
trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải:
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d 1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A là
nghiệm của hệ:
nghiệm của hệ:
x 10
3 y
z 2
x 1
1
2 y 14
1
z 20
x
2y
z
2
0
x
y
z
x
1 2t
2 t
1
-
2y
t
z
-
2
0
đi qua B nhận BA(1;8;15)
x
y
z
9
6
5
vậy A(10;14;20); tọa độ điểm B là
x
y
z
9
6
5
vậy B(9;6;5). Đường thẳng
làm 1 vtcp có phương trình
( )
là :
t
8t
1 5t
Bài tập:
13
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z -26 = 0
và hai đường thẳng:
trình đường thẳng
(d1 ) :
( )
x
y 3 z 1
x 4 y z 3
; (d 2 ) :
.
1
2
3
1
1
2
Viết phương
nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y -13z+39= 0
và hai đường thẳng:
( d1 ) :
phương trình đường thẳng
( )
x 2
x 1
y 5
z 1
; ( d 2 ) : y 3 t
1
2
1
z 5 2t
. Viết
nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d 1)
và (d2).
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc
của (d') trên mặt phẳng (P).
Cách giải :
Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ độ hình
chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng HK chính là phương trình của (d) .
Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(Q) là mặt phẳng chứa (d') và vuông góc với (P).
*Đặc biệt: + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B (d') tìm
hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P) : Lấy B (d') tìm hình chiếu vuông góc B’ của B trên (P).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d').
Ví dụ : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):
x
y
z
4t
4 3t
1
2t
và
mặt phẳng (P): x - y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông
góc (d') của (d) lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải :
Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;-1) và có 1 vtcp
phẳng (P) có 1 vtpt là
n (1; 1;3)
u ( 4;3; 2) .
Mặt
. Hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng
(P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa
(d) và vuông góc với (P). (Q) đi qua A nhận
n1 u , n 7(1; 2; 1)
làm 1 vtpt
có phương trình: x - 2y - z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa
14
độ thỏa mãn hệ:
x
y
z
hay
x - y 3z 8 0 .
x 2 y z 7 0
9
1
(I) Đặt z = t thì hệ (I) trở thành
7t
4t
t
x 9 y 1
z
.Vậy
7
4
1
(d') có phương trình là:
x 9 y 1
z
7
4
1
Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.
Bài tập:
1. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường
thẳng (d):
x
y
z
3
t
5
t
.
Viết phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - y + z + 10 = 0, đường thẳng
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + z + 1 = 0 và x + 2y - z -3 = 0 . Viết
phương trình tham số hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua (P).
Cách giải :
+ Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên
(d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là
đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’)
Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt đối
xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
(d1 ) :
x 2 y 3 z 1
1
1
1
và
(P): x + 3y - z + 2 = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với
đường thẳng (d1) qua mp (P).
Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(-4 ;3;7) lấy
B(2;-3;1) (d1), Gọi (d 2 ) :
x 2 y 3 z 1
1
3
1
là đường thẳng qua B và vuông góc
với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra
H(
28 15 5
;
; );
11 11 11
B’ là điểm
15
đối xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’
B (
thẳng (d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là:
34 3 1
; ;
).
11 11 11
Đường
x4 y 3 z 7
39
15
39
Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mặt
phẳng (P) biết:
a, Đường thẳng
(d1 ) :
x 2 y 3 z 5
2
3
5
b, Đường thẳng
(d 1 ) :
x 2 y 3 z 5
1
2
3
Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song của
(d1) lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng (d1) và (d2)
phân biệt và không song song).
Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 1) và song
song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
( d1 ) :
x y 1 z
x 1 y z 2
; (d 2 ) :
1
2
1
2
2
1
. Viết phương trình chính tắc của hình
chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P) : x - 2y -2z - 1 = 0 theo phương
chiếu (d2).
Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp
M(0;1;0), đường thẳng (d2) có 1 vtcp
v ( 2;2;1)
u (1;2;1)
suy ra
và đi qua điểm
n u , v (0;1; 2)
. Gọi
(Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận véc
tơ
n
làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y - 2z - 1 = 0. Đường thẳng (d)
là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính tắc là:
x 3 y 1 z
6
2
1
Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d1 ) :
x 1
y
z 1
x y 7 z 5
(d 2 ) :
;
.
2
3
1
1
2
3
Viết phương trình tham số của hình
16
chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x + y -2z - 4 = 0 theo phương
chiếu (d2).
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d1 )
:
x
y
z
t
11
16
2t
t
;
(d 2 ) :
x 5 y 2 z 6
.
2
1
3
Viết phương trình tham số
của hình chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x - 2y -2z - 1 = 0 theo
phương chiếu (d2).
Bài toán 14: Viết phương trình đường thẳng (d) song song (d') hoặc vuông
góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :
Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra
phẳng (P) có 1 vtpt
AB
và
n
n
(hoặc (d') có 1 vtcp
cùng phương hay
AB
=k n
n
), do
( k 0)
Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp
n
(d ) ( P)
AB
, mặt
(hoặc (d)//(d') ) nên
giải tìm được tọa độ A (hoặc B).
.
Cách 2; - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d 1)và song song
với đường thẳng (d').
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 2) và song song với
đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2)
có phương trình lần lượt là
x y 1 z 1 x y z
; .
1
2
1
1 2 2
Viết phương trình tham
số đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 3x - y + z -1 = 0 đồng thời cắt
hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải :Gọi A(t ;1 2t ;1 t ); B(t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d)
với (d1) và (d2) suy ra
Do
và
(d ) ( P ) nên AB
AB (t1 t ;2t1 2t 1;2t1 t 1) ,
n
cùng phương hay
(P) có 1 vtpt
n (3; 1;1)
t1 t 2t1 2t 1 2t1 t 1
3
1
1
.
giải
17
tìm được
x
y
z
7
t1
13
7
13
14
13
14
13
khi đó
B(
7 14 14
;
;
).
13 13 13
Vậy (d )có phương trình là
3t
t
t
Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tham số đường thẳng
(d) song song với đường thẳng
( d1 ) :
( ) :
x y 1 z 5
3
1
1
và cắt hai đường thẳng
x 1 y2 z 2
x 4 y 7 z
; (d 2 ) :
1
4
3
5
9
1
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) có
phương trình lần lượt là
(d1 )
:
x
y
z
t
4
3
t
t
;
(d
2
)
:
x
y
z
1
2t
3 t
4
5t
. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxz và
cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).
Bài toán 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với
mặt phẳng ( ) (hoặc nằm trên ( ) ; hoặc vuông góc với
( ) )
sao cho
khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất.
Cách giải :
Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song ( ) .Gọi K là hình
chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d).
B
Ta có BK KH nên BH BK khoảng cách BH nhỏ nhất
bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
Cách 2: - Tìm 1 vtpt
- Tìm 1 vtcp của (d):
A có 1 vtcp
u
n của (P), tính
u n, n1
n1 n., AB
P
(d)
K
A H
, đường thẳng (d) đi qua
.
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) nằm trên ( ) thì không cần viết (P).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z -1= 0
và hai điểm A(1;1;0); B(2;-1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song song
với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B
đến (d) nhỏ nhất.
18
Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua A
và song song (P) có phương trình là: x – y + z = 0. Gọi K là hình chiếu vuông
góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận
làm 1 vtcp có phương trình:
x
y
z
x
2 t
1
t
1 t
y
z
0
x
y
z
x
y
z
2 / 3
1 / 3
1
3
2
t
1
1
t
t
n (1; 1;1)
là 1 vtpt của (Q)
. Tọa độ K là nghiệm của hệ
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (d) ta
có BH BK dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
Đường thẳng (d) đi qua A nhận
tham số là:
x
y
z
AK
1
1;2;1 làm
3
1 vtcp có phương trình
1 t
1 2t
t
Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z -3 = 0
và hai điểm A(1;-1;-1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi
qua A nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất.
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;-8;5) và B(1;2;-3).
Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng
() :
x y 1 z
2
1
3
viết
phương trình đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất.
Bài toán 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với
đường thẳng
( ) (
hoặc song song với mặt phẳng ( ) hoặc nằm trên ( ) )
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất.
Cách giải :
Cách 1: - Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vuông góc với ( ).
- Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên (P), Gọi H là hình
chiếu vuông góc của B trên (d).
( )
B
- Ta thấy BH BA khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi
H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc (ABK).P
(d)
K
A H
Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với AB và ( )
Ví dụ:
19
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
(d ) :
x 1 y 2 z
2
1
1
và
hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) đi
qua A vuông góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn nhất.
Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) suy ra (P)
nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là
hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vuông góc (P) có phương
trình:
x
y
z
2
1
1
nghiệm của hệ:
H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là
2t
t
t
x 2 2t
y
1 t
1 t
z
2 x y z
3
H (1
;
1
1
;
)
2
2
0
. Gọi K là hình chiếu của H trên (
) suy ra
BK ( ) , d ( B; ) BK
mà BK AB (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB khi
K trùng A. Do đó ( ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (ABH) nên (
) có 1 vtcp u AB, v ( 1;1;1) ; (trong đó v 2 HA (0;1; 1) ). Khi đó ( )
có phương trình chính tắc là
:
x 1 y 1 z
1
1
1
Bài tập:
1,Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và B(2;0;1).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vuông góc với đường thẳng
x
y
z
t
1
1
t
2t
và cách điểm B một khoảng lớn nhất.
2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1):
x 1 y 2 z
2
1
1
và hai điểm
A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và
vuông góc với (d1) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng (d) lớn
nhất.
Bài toán 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) và
tạo với đường thẳng
( ) góc
bé nhất, lớn nhất (đường thẳng
( ) không
song song hay nằm trên (P)).
Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với
( ) .
Trên đường thẳng này
lấy điểm B khác A cố định. Hình chiếu vuông góc của B trên (d) và (P) theo thứ
tự là H và K.Ta có: (d, ) = BAH; sin(d, ) =
BH
BK
AB
AB
P
A
B
K
H
d
20
- Xem thêm -
.DOC 
24 
136 
112 
