Cung cấp các PP giai một số dạng toán chứa dấu GTTĐ trong chương trình THCS
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Môc lôc
Trang
PhÇn thø nhÊt: Më ®Çu
I. LÝ do chän ®Ò tµi.
II. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña ®Ò tµi.
III. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu.
IV. Thêi gian nghiªn cøu.
V. Dù kiÕn kÕt qu¶ cña ®Ò tµi.
PhÇn thø hai: Néi dung
Ch¬ng I: Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
II. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi c¸c biÓu thøc cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
Ch¬ng II: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
A. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B .
B. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B .
C. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B C .
D. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt.
E. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt.
G. HÖ ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè.
Ch¬ng III: BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
A. BÊt ph¬ng tr×nh d¹ng A B (t¬ng tù víi A B ).
B. BÊt ph¬ng tr×nh d¹ng A B C .
C. BÊt ph¬ng tr×nh cã chøa mÉu thøc.
D. BÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng tham sè.
Ch¬ng IV: Ph¬ng tr×nh bËc hai cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
A. Ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c + A = 0.
B. Ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c + A + B = 0.
C. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax bx c mx nx p 0
Ch¬ng V: Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh bËc hai cã chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
Ch¬ng VI: Hµm sè bËc nhÊt.
Ch¬ng VII: Mét sè bµi to¸n cùc trÞ cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
PhÇn thø ba: KÕt luËn
2
Tµi liÖu tham kh¶o
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
5
10
10
15
16
18
21
24
28
28
30
31
31
34
34
36
34
37
40
45
50
56
PhÇn thø nhÊt: Më ®Çu
I. LÝ do chän ®Ò tµi:
To¸n häc lµ mét m«n khoa häc c¬ b¶n, cã liªn quan ®Õn nhiÒu
nghµnh, nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña cuéc sèng. C¸c thµnh tùu cña
to¸n häc lu«n gãp phÇn to lín vµo viÖc c¶i t¹o tù nhiªn, ®em l¹i lîi Ých
phôc vô cho cuéc sèng cña loµi ngêi ngµy mét tèt ®Ñp h¬n.
1
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
D¹y häc to¸n lµ nh»m trang bÞ cho häc sinh mét hÖ thèng tri thøc
khoa häc phæ th«ng c¬ b¶n, t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em ®îc h×nh thµnh vµ
ph¸t triÓn c¸c phÈm chÊt, n¨ng lùc trÝ tuÖ, ®ång thêi trang bÞ cho hä mét
hÖ thèng tri thøc ®¶m b¶o ®ñ ®Ó hä cã thÓ nghiªn cøu vµ kh¸m ph¸ thÕ
giíi xung quanh, trªn c¬ së ®ã cã thÓ gãp phÇn c¶i t¹o thÕ giíi, c¶i t¹o
thiªn nhiªn mang l¹i cuéc sèng Êm lo, h¹nh phóc cho b¶n th©n còng
mäi ngêi.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n, ®Æc biÖt lµ d¹y c¸c vÊn ®Ò to¸n häc
cã liªn quan ®Õn phÇn gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cho häc sinh, b¶n th©n t«i thÊy
r»ng, ®øng tríc nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc nªu trªn häc sinh thêng lóng
tóng, ®«i khi cã phÇn e ng¹i v× ®©y lµ mét ph¹m trï kiÕn thøc t¬ng ®èi
trõu tîng vµ phøc t¹p. Thùc tÕ cho thÊy, nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc cã liªn
quan ®Õn gi¸ trÞ tuyÖt ®èi l¹i cã øng dông rÊt réng r·i, ®Æc biÖt lµ c¸c u
thÕ trong viÖc rÌn luyÖn c¸c phÈm chÊt vµ n¨ng lùc to¸n häc cho häc
sinh. Víi nh÷ng lÝ do nªu trªn t«i ®· quyÕt ®Þnh ®i s©u vµo nghiªn cøu
vµo ®Ò tµi “Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt
®èi” nh»m gióp cho c¸c em hiÓu râ h¬n, ®Æc biÖt lµ gióp cho c¸c em
n¾m v÷ng vµ vËn dông linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng bµi
tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
II. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña ®Ò tµi:
§Ò tµi nªu mét sè d¹ng bµi tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, c¬ së
lÝ luËn vµ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi tËp nªu trªn. Gióp häc sinh dÔ hiÓu,
dÔ nhí. Tõ ®ã c¸c em cã thÓ vËn dông linh ho¹t kiÕn thøc vµo viÖc gi¶i
c¸c bµi tËp thùc tÕ.
III. §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu:
1. §èi tîng nghiªn cøu
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
2. Ph¹m vi nghiªn cøu
Nghiªn cøu t×nh h×nh gi¶i c¸c bµi tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
cña häc sinh líp 8 vµ líp 9 trêng THCS §oµn ThÞ §iÓm – Yªn Mü –
Hng Yªn.
IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- §äc tµi liÖu tham kh¶o liªn quan ®Õn viÖc gi¶i bµi to¸n cã chøa dÊu
gi¸ trÞ tuyÖt ®èi;
- Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan, trao ®æi ý kiÕn;
- KiÓm tra thùc tÕ;
- Thèng kª, tæng hîp.
V. Thêi gian nghiªn cøu:
- Tõ th¸ng 11 n¨m 2006 ®Õn th¸ng 1 n¨m 2007, nghiªn cøu tµi liÖu cã
liªn quan ®Õn ®Ò tµi, thu thËp sè liÖu ®¸nh gi¸ thùc tÕ viÖc gi¶i to¸n cã
chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña häc sinh, t×m hiÓu nguyªn nh©n sai lÇm
vµ nh÷ng khã kh¨n cña häc sinh khi gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy.
- Tõ 25 th¸ng 1 n¨m 2007 ®Õn 05 th¸ng 2 n¨m 2007 viÕt b¶n th¶o.
2
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- Tõ 06 th¸ng 2 n¨m 2007 ®Õn 16 th¸ng 02 n¨m 2007 viÕt b¶n chÝnh.
VI. Dù kiÕn kÕt qu¶ cña ®Ò tµi:
Khi cha thùc hiÖn ®îc ®Ò tµi nµy, häc sinh chØ gi¶i ®îc mét sè bµi
tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®¬n gi¶n, hay m¾c sai lÇm, hay gÆp
khã kh¨n vÒ ®Þnh híng gi¶i cha ®óng, lóng tóng vµ hay bèi rèi khi lùa
chän c¸ch tr×nh bµy lêi gi¶i.
NÕu thùc hiÖn ®îc ®Ò tµi nµy sÏ g©y ®îc høng thó häc tËp, gióp häc
sinh häc tËp tÝch cùc h¬n, ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao h¬n trong häc tËp, tù gi¶i
quyÕt ®îc c¸c bµi tËp cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi d¹ng t¬ng tù. H¹n
chÕ vµ kh¾c phôc ®îc rÊt nhiÒu c¸c sai lÇm khi häc sinh gi¶i c¸c bµi
to¸n cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
PhÇn thø hai: Néi dung
Ch¬ng I: Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
1/ §Þnh nghÜa:
Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè thùc x lµ mét sè thùc kh«ng ©m, kÝ hiÖu
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
x
x
x
nÕu
nÕu
x
x 0
x 0
NhËn xÐt:
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè thùc x, thùc chÊt lµ mét ¸nh x¹:
f :
R R
x
x R y x
x
nÕu
nÕu
x 0
x0
- Víi mäi sè thùc x ta lu«n biÓu diÔn x thµnh tæng cña sè thùc kh«ng
©m vµ sè thùc d¬ng, tøc lµ:
x x x x
, trong ®ã x x 0 ; x x 0
x
2
2
2
2
Víi A(x) lµ mét biÓu thøc tuú ý ta còng cã:
A(x)
A(x)
A(x)
nÕu
nÕu
A(x) 0
A(x) 0
- Víi mäi x R, f(x), g(x) lµ biÓu thøc tuú ý, ta cã:
1
f(x) g(x) f(x) g(x)
2
1
min f(x);g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
2
max f(x); g(x)
2/ HÖ qu¶:
a)
b)
víi mäi x R ;
x .
x 0
-x
x 0 x 0
.
3
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
c) x x x .
d) x 0 x hoÆc x - .
e) x ( 0) - x .
f) x.y x . y .
x
g) xy y .
h) x x .
i) x x .
3/ TÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
a) §Þnh lÝ 1: NÕu x, y lµ hai sè thùc th×:
2
2
2
x y x y
x y x y x.y 0.
Chøng minh:
Ta cã:
x y
2
x
2
2. x . y y
2
x 2 2. x.y y 2 x 2 2xy y 2 x y
2
VËy x y x y dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x.y = 0.
b) §Þnh lÝ 2:
NÕu x, y lµ hai sè thùc th×: x y x y x y .
Chøng minh:
Ta cã x x y y x y y (Theo ®Þnh lÝ 1)
x y x y
V¶ l¹i
x y y x y x
x y x y x y
nªn
x y x y
x y x y
(1)
(2)
Ta l¹i cã:
Tõ (1) vµ (2) ta cã x y x y x y .
II. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi c¸c biÓu thøc cã chøa gi¸
trÞ tuyÖt ®èi
1. Môc ®Ých biÕn ®æi
BiÕn ®æi c¸c biÓu thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nh»m thay ®æi
chóng b»ng c¸c biÓu thøc t¬ng ®¬ng kh«ng cßn chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt
®èi, nãi c¸ch kh¸c lµ nh»m lo¹i trõ c¸c dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi khái c¸c
biÓu thøc ®Ó cã thÓ tiÕn hµnh c¸c phÐp tÝnh ®¹i sè quen biÕt. Th«ng thêng ta sÏ ®îc c¸c biÓu thøc kh¸c nhau (kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt
®èi) trong nh÷ng kho¶ng gi¸ trÞ kh¸c nhau cña biÕn.
2. Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi
Muèn biÕn ®æi c¸c biÓu thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nh»m
lo¹i bá c¸c dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi th× ph¶i nhÊt thiÕt c¨n cø vµo:
§Þnh nghÜa cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi vµ hÖ qu¶ ®· nªu ë trªn;
Quy t¾c vÒ dÊu cña c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt vµ c¸c tam thøc bËc hai
nh sau:
x y x (- y) x y x y
4
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
NhÞ thøc ax + b (a ≠ 0) cïng dÊu víi a khi x >
khi x <
b
a
b
a
, vµ tr¸i dÊu víi a
.
ThËt vËy, gäi x0 lµ nghiÖm cña nhÞ thøc ax + b th× x0 =
XÐt
b
a
ax b
b
x x x 0
a
a
- NÕu x > x0 th× x – x0 > 0
- NÕu x < x0 th× x – x0 < 0
ax b
0 ax b cïng dÊu víi a.
a
ax b
0 ax b tr¸i dÊu víi a.
a
* Tam thøc bËc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) tr¸i dÊu víi a trong kho¶ng gi÷a
hai nghiÖm (nÕu cã) cïng dÊu víi a trong mäi trêng hîp kh¸c.
3. Bµi tËp ¸p dông
Bµi 1: Cho x, y lµ hai sè tho¶ m·n x.y ≥ 0, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
B
xy
x y
x
2 2
xy
x y
y
2 2
Gi¶i:
BiÕn ®æi B ta cã
B
xy
x y
2 2
§Æt B xy x2 2y
Tõ ®ã tÝnh B12 ta ®îc:
1
2
B 1 xy
x y
x y
2 2
x y
xy 0
2 2
xy
x2 y2
xy
x xy y xy
xy x xy y xy
4
4
2
xy x 2 y 2
xy
2xy 2
2
4
4
2
2
x 2 2xy y 2
x y
2
2
V×
x y
xy
2
nªn
x y
2xy 2
2
2
2
xy
2
2xy
2
Suy ra: B1 x y .
VËy B x y x y
MÆt kh¸c do xy ≥ 0 nªn x, y cïng dÊu, suy ra
Do ®ã B = 0.
Bµi 2: Rót gän biÓu thøc sau
A
Gi¶i:
TX§:
x
Ta cã
A
x y x y
x 1 x 2 4x 4
2x 3
3
2
x 1 x 2 4x 4
2x 3
x 1 x 2
2x 3
5
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
1 x 2 x 3 2x
A
1 .
2x 3
2x 3
< 2 vµ x 3 ta cã: A x - 1 2 x 1 .
2
2x 3
2x 3
x - 1 x - 2 2x - 3
ta cã: A 2x 3 2x 3 1 .
+> NÕu x ≤ 1 ta cã:
+> NÕu 1 < x
+> NÕu x ≥ 2
Tãm l¹i:
1
1
2x
1
A
nÕu
nÕu
3
nÕu
x
1
1
x
x
2
2
Bµi 3: Rót gän
x 1 x 3
2
x 1 x 3
2 x 3
B
2 x 1 x 3 2 x 1 x 3 x 1 2 x 3 2
Gi¶i:
§Æt x 1 a ;
x 3 b ;
(a 0, b 0)
, ta cã:
2
B
ab
a b
2a
2
2 a b 2 a b a b 2
2
2
a b a b 4a 2
2 a 2 b2
2
4ab 4b
2 a 2 b2
4b a b
2 a b a b
2b
a b
2x 3
Do ®ã B x 1 x 3
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
x
x 3
x 1
Tö thøc
MÉu thøc
-∞
3-x
1-x
2(3 - x)
-2
1
0
-2
3–x
x-1
2(3 - x)
2(x - 2)
3
0
0
2
+∞
x-3
x-1
2(x - 3)
2
KiÓm tra l¹i gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 x t¹i hai ®Çu mót cña ®o¹n [1, 3]
x 2
®óng b»ng - 2 vµ 0, ta ®i ®Õn kÕt luËn:
3 - x
B x - 2
x - 3
Víi 1 x 3 vµ x 2
Víi x R \ 1, 3
Bµi 4:
Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng. Rót gän biÓu thøc:
C a b c 2 ac bc
a b c 2 ac bc
Gi¶i:
Víi a, b, c > 0 ta cã:
6
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
C a b c 2 ac bc
ab
ab
a b
+> NÕu a + b ≥ c th×
c
2
c
a b c 2 ac bc
a b
ab
c
a b
2
2
2
c
Vi
ab
c 2 a b
a b c 2 c
C ab c
C
c
C ab c ab
+> NÕu a + b < c th×
Tãm l¹i:
c
c 0
.
.
a b
nÕu
a b c
c
nÕu
a b c.
4. Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi 1: Rót gän biÓu thøc
1/ A 4a 2 20a 25 2a 17 víi a 3 ;
2/ B x 2 16x 64 2 x 2 8x 16
3/ C
3 2x x
2x 3 x 2
4/ D
xx 2
2
x 5x 6
5/ E x x 1 .
x2 ;
;
;
Bµi 2: Cho A(x) 2x 2 2x 1 2x 8 6 2x 1
a) T×m ®o¹n [a, b] sao cho A(x) cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi trªn ®o¹n ®ã.
b) T×m x sao cho A(x) > 4.
Bµi 3: Rót gän biÓu thøc
1
víi x
2
2b x 2 1
a) A
x
x2 1
a
a
b
b
2
1 1
a 1
4 a
2b
b) B
2
1 1
1
a 1
4 a
2
c) C
y x
xy
1
a
víi 0 a 1;
a
y x yx 2
yx 2
xy
z
xy
xy
z
Víi x 5; y
x 2 25
x 2 25
; z
.
10x 25
15x 25
x
x
x
x 5
7
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Ch¬ng II: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã chøa dÊu gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi
A. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B
1. Ph¬ng ph¸p gi¶i:
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt tuú ý cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, ta
t×m c¸ch biÕn ®æi nã thµnh mét ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng kh«ng cßn chøa
dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
§èi víi ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B trong ®ã A, B lµ c¸c nhÞ
thøc bËc nhÊt th× ta tiÕn hµnh gi¶i theo c¸ch sau:
a/ NÕu B < 0 th× kÕt luËn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
b/ NÕu B ≥ 0 th× ®a vÒ ph¬ng tr×nh A = B hoÆc A = - B.
c/ NÕu cha biÕt râ dÊu cña B th× biÕn ®æi nh sau:
B 0
A B
A B hoÆc A - B.
2. Mét sè bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
1)
3x 1 2 3x 4;
2)
x 3 x 1;
3)
x 2005 x 2005.
Gi¶i:
3x 1 2 3x 4
1)
3x 1 3x 2
3x
3x
3x
3x
2 0
- 1 3x 2
2 0
1 3x 2
2
x
3
1 2
2
x
3
6x 1
1
x
.
6
V« lý
8
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ
2)
x
1
6
.
x 3 x 1
* NÕu x ≥ 0, ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi
x 3 x 1
Víi x ≥ 0 râ rµng x + 1 > 0, khi ®ã ta cã:
x
3
x 1
x - 3 x 1
x 0
x - 3 x 1
x 0
3 1
hoÆc
x - 3 - x - 1
x 0
x 3 x 1
hoÆc
v« lý
x 0
2x 2
x 1
* NÕu x < 0, ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
- x 3 x 1
x 3 x 1
- 1 x 0
x 3 x 1
- 1 x 0
x 3 x 1
- x 3 x 1
x 3 x 1
- 1 x 0
x 3 x 1
- 1 x 0
x 3 x 1
1 x 0
2 0
(V« lý)
- 1 x 0
2x 4
x 2
(Kh«ng
tho¶
m·n).
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: S = { 1 }.
3) Ta cã A A víi mäi A
DÊu " " x¶ y ra khi vµ chØ khi A 0.
Do ®ã x 2005 x 2005 x - 2005 0 x 2005.
Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sau theo tham sè m:
x 1 3x 2m
(1).
Gi¶i: Ta cã
(1)
3x 2m 0
x 1 3x 2m
3x 2m 0
x 1 3x
2m
x
x
x
x
2m
3
2m 1
2
2m
3
1 2m
4
Râ rµng, ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× ta ph¶i cã:
2m 1
2m
1 2m
2m
hoÆc
2
3
4
3
2m 1
2m
3
a) NÕu
6m 3 4m m
2
3
2
1 2m
2m
3
b) NÕu
3 6m 8m 2m 3 m .
4
3
2
Tãm l¹i:
3
2m 1
, th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x
.
2
2
3
1 - 2m
NÕu m , th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x
.
2
2
NÕu m
Bµi 3: Gi¶i theo m ph¬ng tr×nh m x 3 4
Gi¶i:
* NÕu m > 0 ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng:
m
(2).
mx 3 4 m
0 m 4
0 m 4
hoÆc
mx - 3 4 - m
mx 3 m 4
0 m 4
0 m 4
7 - m hoÆc
m -1
x
x
m
m
* NÕu m < 0 ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng:
9
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- mx 3 4 m
mx 3 4 m
Râ rµng víi m < 0 th× 4 - m > 0 nªn ta cã:
m 0
mx 3 4 m
m 0
1 m
x
m
hoÆc
m 0
mx 3 m 4
hoÆc
m 0
m 7
x
m
Tãm l¹i:
- NÕu m < 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ
1 m
m 7
hoÆc x
m
m
7 m
m 1
lµ x m hoÆc x m
x
- NÕu 0 < m ≤ 4 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
- NÕu m = 0 hoÆc m > 4 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
B. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B
1. Ph¬ng ph¸p gi¶i:
§èi víi ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B trong ®ã A, B lµ nh÷ng
nhÞ thøc bËc nhÊt ®èi víi Èn sè. Muèn lo¹i bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi th× ph¶i
biÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®É cho thµnh ph¬ng tr×nh t¬ng t¬ng sau ®©y:
A B A B
hoÆc A B
2. Mét sè bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x 2005 2005x
Gi¶i:
Theo c¸ch biÕn ®æi trªn ta cã
2x
2005
2x
2x
2005
2005
2003x
2007x
x
x
1
2
(1)
2005x
2
2005x
2
2
2005x
2003
2007
1
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = 1 vµ x = - 1.
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng trinh 5x 1 2 4x 3 (2)
Gi¶i:
Ta cã:
5x 1 2 4x 3
5x 1 2 4x 3
5x 1 2 3 4x
(3 )
4x
5x
4x
5x
1 0
1 4 x
(4 )
5
4 x 0
4x
5x 1 5
5
5 x 1 4 x
1 0
1 1
1
4x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
4
0
5x 1 4x 1
5x 1 5 4x
(3)
(4)
(Lo¹ i)
1
4
1
9
5
4
2
3
5
4
4
(Lo ¹i)
2
x 3
x 4
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ
x
2
3
vµ x = - 4.
C. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt d¹ng A B C
1. Ph¬ng ph¸p gi¶i:
§èi víi lo¹i ph¬ng t×nh bËc nhÊt dang A B C trong ®ã A, B, C
lµ nh÷ng nhÞ thøc bËc nhÊt th× nªn dïng ph¬ng ph¸p lËp b¶ng ®Ó biÕn
®æi.
2. Mét sè bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng trinh x 2 x 3 4 (1) .
Gi¶i:
10
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu
x
f(x) x 2 x 3
-∞
2
0
+∞
3
x 2
2-x
x-2
x 3
3-x
3-x
f(x)
5 - 2x
1
x-2
0
x-3
2x - 5
Theo b¶ng trªn ta cã:
- NÕu x < 2 ph¬ng tr×nh (1) 5 - 2x = x 2x = 1 x = 1 tho¶ m·n
2
x < 2.
- NÕu 2 x 3 do 1 4 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
- NÕu x > 3 ph¬ng tr×nh (1) 2x = 9 x = 92 (tho¶ m·n x > 3)
Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = 1 hoÆc x =
2
x
1
x
2
2
x
3
2005 (2) .
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
Gi¶i:
9
2
.
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu vÒ tr¸i cña (2) ta ®îc:
-∞
x
-2
x 1
1-x
x2
-x-2
-2 x
VT
3
1-x
1
0
+∞
3
x-1
x-1
x+2
x+2
x+2
2x - 6
2x - 6
2x - 6
-7
2x - 3
4x - 5
0
0
- 2x - 6
7
Theo b¶ng trªn ta cã:
- NÕu x - 2, do - 7 2005 nªn ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm.
- NÕu -2 < x < 1 ph¬ng tr×nh (2) 2x - 3 = 2005
2x = 2008
x = 1004 (kh«ng tho¶ m·n).
- NÕu 1 x < 3 ph¬ng tr×nh (2) 4x - 5 = 2005
4x = 2010
x = 1005
(kh«ng tho¶ m·n).
2
- NÕu x 3, do 7 2005 nªn ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm.
Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm.
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: m 1 x x 2 3m 4
Gi¶i:
Ta xÐt 3 trêng hîp sau:
NÕu x < - 2 th× (m - 1)(- x - x - 2) = 3m - 4
(m - 1)(-2x - 2)= 3m - 4.
11
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- Víi m 1 th×
x
5m 6
m 2
2 hay
0
2m 2
m 1
(®óng víi mäi m 2; m < 1 hoÆc m > 2)
NÕu -2 x 0 th× (m - 1)(- x + x + 2) = 3x - 4.
Khi m 1 th× 3m 4 2 , nªn m = 2 ph¬ng t×nh v« sè nghiÖm.
m 1
NÕu x > 0 th× (m - 1)(2x + 2) = 3m - 4.
Khi m 1 th× x m 2 0 ®óng víi mäi x 2; m < 1 hoÆc m > 2.
2m 2
D. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) x x 3 x x 1 1
b) x 3 x 2 0
Gi¶i:
2
3
2
1 1 3
1
3
a) Ta cã : x 2 x 1 x 2 2.x. x 0
2 4 4
2
4
Do ®ã x x 1 x x 1 .
Suy ra ph¬ng tr×nh:
2
2
x x 3 x 2 x 1 1
x x 3 x 2 x 1 1
x x 3 x 2 x 1 1
x x 3 x 2 x 2
(1)
NÕu x - 3, ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh:
x(x + 3) = x2 + x + 2
x2 + 3x = x2 + x + 2
2x = 2
x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ang xÐt)
NÕu x < - 3 th× ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh:
x(- x - 3) = x2 + x + 2
- x2 - 3x = x2 + x + 2
2x2 + 4x + 2 = 0
x2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
x = - 1 (kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ang xÐt)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm lµ x = 1.
b) §Æt t x víi t 0, khi ®ã ph¬ng tr×nh x 3 x 2 0 trë thµnh:
t3 - 3t + 2 = 0
t3 - t - 2t + 2 = 0
(t3 - t) - 2(t - 1) = 0
t(t2 - 1) - 2(t - 1) = 0
t(t - 1)(t + 1) - 2(t - 1) = 0
(t - 1)(t2 + t - 2) = 0
(t - 1)(t2 + 2t - t - 2) = 0
(t - 1)[(t(t + 2) - (t + 2)] = 0
(t - 1)2(t + 2) = 0
2
* NÕu (t - 1) = 0 t - 1 = 0 t = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t 0)
3
12
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
* NÕu t + 2 = 0 t = - 2 ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t > 0).
Víi t = 1, ta cã x 1 x = 1.
VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ: S = {- 1; 1}.
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 100x x 100 (1)
Gi¶i:
C¸ch 1:
3
(1)
x
x
2
x
x
x
x
x
2
100
100
x
2
100
x
1
0
0
100 0
2
1 0
100
.
1
C¸ch 2:
x
x
(1)
3
100x
2
x
3
100x
2
x
x
2
2
x
100
x
100
x
x
2
2
100
x
x
x
0
100
0
1
1
100
100
x
100
x
100
0
0
1 00
h oÆc
x
1
x
x
1 00
x
100
hoÆc
x
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 5 4 x 1
x 10 6 x 1 1
Gi¶i:
§iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh: x - 1.
Khi ®ã ph¬ng t×nh ®· cho t¬ng ®êng víi ph¬ng tr×nh sau:
x 1 4
x 1 4
x 1 2
x 1 2
2
x 1 6
x 1 3
x 1 3 1
2
x 1 9 1
1
(*)
C¸ch 1: Ta thÊy
x 1 2
x 1 3
x 1 2 3
x 1
x 1 2 3
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi:
x 1 2 3
x 1 1
x 1 0
2 x 1 3
x 1
3 x 8.
VËy ph¬ng tr×nh cã mäi nghiÖm x [3; 8].
C¸ch 2: Tõ ph¬ng tr×nh (*) ta cã:
NÕu
Ta cã:
x 1 2
1 x 3.
x 1
(*) 2
x 1 3
x 1 1
5 2 x 1 1
x 1 2
x 3 (lo¹i vi kh«ng tho¶ m·n 1 x 3)
NÕu
Khi ®ã: (*) x 1 2 3 x 1 1 1 1
Chøng tá ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm x [3; 8].
NÕu
Khi ®ã ta cã:
2 x 1 3
3 x 8.
x 1
x 1 3
x 8.
x 1
13
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
(*)
x 1 2
x 1 3 1
2 x 1 6
x 1 3
x 8 (lo¹i vi kh«ng tho¶ m·n diÒu kiÖn x 8).
E. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
2x 3 5y 4 4
3x 2 2 y 9
(A)
(1)
(2)
Gi¶i:
Muèn gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn ta xÐt c¸c trêng hîp sau ®Ó ph¸ bá
dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®a vÒ hÖ bËc nhÊt hai Èn sè råi gi¶i chóng.
Xem y lµ tham sè, ta lËp b¶ng biÕn ®æi c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cã chøa
x.
x
2x 3
3x 2
-∞
-2x + 3
-3x - 2
(1)
(2)
2
3
3
2
-2x + 3
3x + 2
0
5y 4 2x 1
5y 4 2x 1
2 y - 3x 11
2 y 3x 7
+∞
0
2x - 3
3x + 2
5y 4 2x 7
2 y 3x 7
Thuéc ph¹m vi kho¶ng xÐt.
(Lo¹i)
VËy víi
7
7
x ,
3
2
(Lo¹i)
7
7
x
3
2
ta cã:
5y 4 2x 7
5y - 4 = -2x + 7 hoÆc 5y - 4 = 2x - 7
5y + 2x = 11 (3) hoÆc 5y - 2x = - 3 (4).
L¹i cã
2 y 3x 7
2y = 3x - 7 hoÆc 2y = 7 - 3x
3x - 2y = 7 (5) hoÆc 3x + 2y = 7 (6)
KÕt hîp (3) vµ (4) víi (5) vµ (6) ta ®îc 4 hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi
ph¬ng tr×nh ®· cho:
(A)
7
7
3 x 2
2x 5y 11
3x
2y 7
7
7
3 x 2
2x 5y 11
3x 2y 7
hoÆc
7
7
3 x 2
5y 3
2x
3x
2y 7
7
7
3 x 2
5y 3
2x
3x 2y 7
7
7
x
2
3
x 3 ; y 1
7
7
3 x 2
x 1 3 ; y 1 9
11
11
7
7
3 x 2
x 2 9 ; y 5
11
11
7
7
3 x 2
x 41 ; y 5
19
19
(Ngh iÖm th Ých h îp)
(Ngh iÖm k h« ng th Ých h îp)
(Ng hiÖm thÝch hî p)
(Ng hiÖm k h« ng thÝch h îp)
14
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
x 3 ; y 1
x 29 ; y 5
11
11
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
(B)
5 3x 2 7 5y 1 88
3x 5y
7
Gi¶i:
(B)
NÕu
x
5 3x 2 7 5y 1
5y
-1
6
5 3x 2
3x
2
,
3
21 2
5y
88
3x
3x
88
7
ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
3x 2 21 2
5
3x 5y 7
NÕu
2
x 2 ,
3
36x 36
3x 5y 7
x
y
1
( NghiÖm
2
x
88
thÝch
hîp)
ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
2 21 2
5 3x
3x 5y 7
6x 56
3x 5y 7
x
y 7
28
3
x 88
( NghiÖm
kh«ng
thÝch
hîp)
NÕu x > 2, ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
2 21 x
5 3x
3x 5y 7
36x 140
3x 5y 7
x
y
35
9
14
15
Tãm l¹i: HÖ (B) cã nghiÖm lµ:
2
88
(Ngh iÖm
thÝch
hîp)
x 1 ; y 2
x 35 ; y 14
9
15
G. HÖ ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè
Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh víi tham sè m
(A)
x 2y m
m x 4y 1
(1)
(2)
Gi¶i:
Tõ ph¬ng tr×nh (1) 2y = x - m thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã:
m x 2 x - m 1
m x 2x 2m 1
a) NÕu x 0, ta cã:
mx + 2(x - m) = 1
(m + 2)x = 2m + 1 (3)
Khi m = - 2, ph¬ng tr×nh (3) 0x = - 3 (v« lÝ). Do ®ã hÖ v«
nghiÖm.
Khi m - 2 x 2m 1 . §Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
m2
2m 1
1
0 m
m2
2
hoÆc m 2 .
cÇn cã:
a) NÕu x < 0, ta cã: - mx + 2x = 2m + 1
(2 – m)x = 2m + 1 (4)
Khi m = 2, ph¬ng tr×nh (4) 0x = 5 (v« lÝ). Do ®ã hÖ v« nghiÖm.
15
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Khi m 2
tr×nh cÇn cã
KÕt luËn:
+ NÕu
+ NÕu
+ NÕu
m 2
m 1
2
m
2
m 1
2
m 2
m -2
x
2m 1
0
2-m
2m 1
.
2-m
§Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph¬ng
m > 2 hoÆc m <
th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:
1
2
.
2m 1
x
m 2
y x m
2
2m 1
x
2 - m
y x m
2
th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Bµi 2: T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
x 1 y 2 1
2
m x y 1 x
x y
(1)
y
(2)
Gi¶i:
Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã: 1 x 1 y 2 x y 1 (3)
Tõ ph¬ng tr×nh (2) ta cã: (x – y)2 – (x – y) + m(x – y – 1) = 0
(x – y + m)(x – y – 1) = 0
x – y = 1 hoÆc x – y = - m.
NÕu x – y = 1 th× tõ (3) 1 ≥ 2 (v« lÝ).
NÕu x – y = - m th× tõ (3) 1 1 m 0 m 2 .
VËy hÖ cã nghiÖm khi 0 ≤ m ≤ 2.
H. Bµi tËp luyÖn tËp:
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
1) 2x 3 10x
3) x - 2005 x 200
2) 12 2x 9 15 x
4) 3x 1 3x 4
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh víi tham sè m
1
3 x m 1 2x m m 1 3x 25
2
5
10
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho.
2) Ph¶i cho m gi¸ trÞ nµo ®Ó cã x = 36.
3) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó cã nghiÖm x thuéc kho¶ng (0 ; 8).
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
16
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
1) x 3 x 2 x x
2) x 5 x 4 x 3 x 2 2 x 1
3)
15
3 x 4 x 1 x
4
2
4)
3 x 4 x 1 1
5)
3x 4 x 1
5
x 1
x 8 6 x 1 x 14.
Bµi 4: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau
1)
1
1
0,6
x
y 1
3
x
2
1,3
y 2
mx 3y 5
3)
m 1 x 2y 3
x
5
7
y
2)
x 500 8
y 500
11
x y 1
4)
x
2y
m
Ch¬ng III: BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã chøa gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi
Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã chøa
A trong ®ã A lµ bËc nhÊt ®èi víi Èn sè lµ chuyÓn tÊt sang vÕ tr¸i, vÕ
ph¶i lµ sè kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, theo quy t¾c:
A
A
A
nÕu
nÕu
A 0
A 0
Sau ®ã gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh kh«ng cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
trong c¸c kho¶ng chia. Cuèi cïng tæng hîp c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®îc ®Ó cã
toµn bé nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh.
Trong mét sè trêng hîp, cã thÓ gi¶i nhanh h¬n ph¬ng ph¸p chung
nãi trªn bëi c¸c biÕn ®æi t¬ng ®¬ng sau:
1/
a) Víi a lµ sè d¬ng ta cã A(x) a a A(x) a .
b) Víi B(x) 0 ta cã A(x) B(x) B(x) A(x) B(x) .
2/
17
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
a) Víi a lµ sè d¬ng ta cã A(x) a A(x) a hoÆc A(x) a .
b) B(x) 0 ta cã A(x) B(x) A(x) B(x) hoÆc A(x) - B(x) .
3/ B(x) 0 ta cã A(x) B(x) A(x) B(x) .
A. BÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng A B (t¬ng tù víi A B ).
Bµi 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 3x 2 4 .
Gi¶i:
C¸ch 1: BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi
- 4 < 3x - 2 < 4
- 2 < 3x < 6
2 < x < 2.
3
C¸ch 2:
V× hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh ®Òu d¬ng nªn ta b×nh ph¬ng hai vÕ
cña bÊt ph¬ng tr×nh ta ®îc:
2
2
3x 2 4
(3x 2) 2 4 2
(3x 2) 2 4 2 0
(3x 6)(3x 2) 0
3x 6 0
3x 6 0
hoÆc
3x 2 0
3x 2 0
x 2
x 2
2
hoÆc
x 2
2
2
3
x
x
3
3
C¸ch 3: (Theo ph¬ng ph¸p chung)
BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho th¬ng ®¬ng víi
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
x
3x 2 4 0
2/
3
-∞
2 - 3x
- 2/3 < x < 2/3
3x 2 4
NghiÖm thÝch
hîp
+∞
3x - 6
2/3 x < 2
VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x (- 2/3 ; 2).
Bµi 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
2x 1 x 3
Gi¶i:
C¸ch 1: Sö dông ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ta cã:
2x 1 x 3
x 3 0
- x - 3 2x - 1 x 3
x 3
2
x 4
3
2
x 4
3
C¸ch 2: BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi bÊt ph¬ng tr×nh sau:
2x 1 x 3 0
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
x
2x 1 x 3
2x 1 x 3 0
NghiÖm thÝch
1/2
-∞
- 2x + 1 - x - 3
- 3x - 2 < 0
- 2/ 3 < x < 1/2
+∞
2x - 1 - x - 3
x-4<0
1/2 x < 4
18
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
hîp
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: - 2/3 < x < 4.
B. BÊt ph¬ng tr×nh d¹ng A B C
Ph¬ng ph¸p gi¶i ë ®©y cã nhiÒu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, nªn viÖc xÐt ®Çy
®ñ c¸c trêng hîp cã thÓ x¶y ra cã phÇn phøc t¹p. Nªn sö dông ph¬ng
ph¸p l¹p b¶ng biÐn ®æi.
Bµi 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x 1 x 2 5
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh sau:
x 1 x2 50
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
-∞
x
-2
x 1 x2 50
1-x
-x-2
- 2x - 6
NghiÖm
x>0
x 1
x2
1-x
x+2
-2
§óng
víi mäi
x
0
-1
0
+∞
x-1
x+2
2x - 4
x<2
Bµi 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
x x 2 2 x 4
Gi¶i:
x x 2 2 x 4
x 2 x 4 x 2 0
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
x
-∞
x
x 4
x 2x 4 x 2
x 2 x 4 x 2 0
NghiÖm
-x
4-x
0x - 6
0x - 6 0
§óng víi
mäi x
0
0
4
x
4-x
2x - 6
2x - 6 0
x3
+∞
x
0
x-4
- 2x + 10
- 2x + 10
0
x5
VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: x 3 hoÆc x 5.
C. BÊt ph¬ng tr×nh cã chøa Èn ë mÉu thøc:
VÝ dô: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
G¶i:
Ta cã
2x 1
2
x 1
(2)
2x 1
2
x 1
x 1
2x - 1 2 x 1
x 1
2x - 1 2 x 1 0
LËp b¶ng biÕn ®æi ta cã:
19
Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
-∞
x
2x 1
2x 1
(2)
NghiÖm
1 - 2x
2x - 2
-1>0
V« nghiÖm
1/2
0
1
2x - 1
2x - 2
4x - 3 > 0
4/3 < x < 1
0
+∞
2x - 1
- 2x + 2
1>0
Lu«n ®óng
VËy bÊt ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ T = (3/4 ; 1) (1 ; + ∞ ).
D. BÊt ph¬ng tr×nh cã d¹ng tham sè
Nh¾c l¹i lý thuyÕt c¬ b¶n:
1/ §Ó gi¶i vµ biÖn luËn mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt víi Èn sè lµ x
cã tham sè m ta thùc hiÖn nh÷ng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó ®a bÊt ph¬ng
tr×nh vÒ d¹ng ax > b (ax < b) trong ®ã a, b lµ nh÷ng biÓu thøc phô thuéc
vµo tham sè m. Muèn chia hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh trªn cho a th× ph¶i
biÕt dÊu cña a v× vËy ph¶i xÐt c¸c trêng hîp a > 0 ; a < 0 vµ a = 0.
2/ §Ó l¹o bá dÊu gi¸ tri tuyÖt ®èi th× ta ph¶i dùa vµo viÖc biÕn ®æi
c¸c biÓu thøc theo c«ng thøc:
A
A
A
nÕu A 0
nÕu A 0
Trong nh÷ng trêng hîp phøc t¹p cã nhiÒu dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi th×
nªn dïng ph¬ng ph¸p lËp b¶ng biÐn ®æi.
Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh sau:
(m 1)x m 2 1
Gi¶i:
Ta cã: (1) (m 1) x m 1 (2)
Ta thÊy ®iÒu kiÖn: m2 - 1 > 0
+ NÕu m > 1 m - 1 > 0 do ®ã:
(2) (m - 1) x < m2 - 1
x - (m + 1) hoÆc x < m + 1.
VËy bÊt ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiÖm lµ:
- (m + 1) < x < m + 1
nÕu m > 1;
x > - (m + 1) hoÆc x < m + 1 nÕu m < - 1.
Bµi 2: Gi¶i bÊt vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:
x 3m 4 xm
(1)
20
- Xem thêm -