Tài liệu Skkn phương pháp tứ giác nội tiếp

Môc lôc Néi dung A. §Æt vÊn ®Ò I. Lý do chän ®Ò tµi 1. C¬ së lý luËn 2. C¬ së thùc tiÔn II. Môc ®Ých nghiªn cøu III. NhiÖm vô ®Ò tµi IV. Giíi h¹n ®Ò tµi B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu II. Néi dung cô thÓ 1. KiÕn thøc c¬ b¶n 2. Bµi tËp minh ho¹ 2.1 Bµi tËp chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn Ph¬ng ph¸p 1 Ph¬ng ph¸p 2 Ph¬ng ph¸p 3 Ph¬ng ph¸p 4 2.2 Bµi to¸n hay vµ khã vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh nhiÒu ®iÓm cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Chøng minh ®êng trßn ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Chøng minh quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó t×m quü tÝch mét ®iÓm. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó dùng h×nh. III. KÕt qu¶ thu ®îc IV. Bµi häc kinh nghiÖm C. KÕt luËn -1- Trang 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 10 10 11 13 15 16 18 18 20 A - §Æt vÊn ®Ò I. Lý do chän ®Ò tµi 1. C¬ së lý luËn Trong ho¹t ®éng gi¸o dôc hiÖn nay, ®ßi hái häc sinh cÇn ph¶i tù häc tù nghiªn cøu rÊt cao. Tøc lµ c¸i ®Ých cÇn ph¶i biÕn qu¸ tr×nh gi¸o dôc thµnh qu¸ tr×nh tù gi¸o dôc. Nh vËy, häc sinh cã thÓ ph¸t huy ®îc n¨ng lùc s¸ng t¹o, t duy khoa häc, tõ ®ã xö lý linh ho¹t ®îc c¸c vÊn ®Ò cña ®êi sèng x· héi. Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p ®Ó gióp häc sinh ®¹t ®îc ®iÒu ®ã ®èi víi m«n To¸n (cô thÓ m«n H×nh Häc 9) ®ã lµ khÝch lÖ c¸c em sau mçi ®¬n vÞ kiÕn thøc cÇn kh¾c s©u, t×m tßi nh÷ng bµi to¸n liªn quan. Lµm ®îc nh vËy cã nghÜa lµ c¸c em rÊt cÇn sù say mª häc tËp, tù nghiªn cøu ®µo s©u kiÕn thøc. 2. C¬ së thùc tiÔn §èi víi häc sinh líp 9 khi häc c¸c bµi to¸n vÒ ®êng trßn th× chuyªn ®Ò tø gi¸c néi tiÕp vµ nh÷ng bµi to¸n liªn quan lµ rÊt quan träng. §ãng vai trß lµ ®¬n vÞ kiÕn thøc träng t©m cña néi dung H×nh Häc líp 9. Mµ ®a sè c¸c em míi chØ biÕt ®Õn chøng minh mét tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn lµ nh thÕ nµo, cßn Ýt biÕt vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp ®Ó lµm g× ? Ta biÕt r»ng cã nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ néi tiÕp ®êng trßn. Khi biÕt mét tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn th× suy ra ®îc gãc trong ë mét ®Ønh b»ng gãc ngoµi ë ®Ønh ®èi diÖn víi nã hay vËn dông c¸c §Þnh lý vÒ mèi liªn hÖ gi÷ c¸c lo¹i gãc cña ®êng trßn ®Ó t×m ra nh÷ng cÆp gãc b»ng nhau. Víi ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ vËn dông ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n hay vµ khã . Víi lý do ®ã, t«i ®· chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho m×nh lµ: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” II.Môc ®Ých nghiªn cøu Nghiªn cøu ®Ò tµi nh»m môc ®Ých gióp gi¸o viªn n¾m râ c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®ång thêi vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n hay vµ khã nh sau: Chøng minh nhiÒu ®iÓm cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Chøng minh ®êng trßn ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. -2- Chøng minh quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó t×m quü tÝch mét ®iÓm. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó dùng h×nh. Nh vËy, gi¸o viªn cã thÓ gióp häc sinh n¾m v÷ng, khai th¸c s©u, ®Çy ®ñ mét c¸ch cã hÖ thèng ®¬n vÞ kiÕn thøc “Tø gi¸c néi tiÕp trong mét ® êng trßn”. III. NhiÖm vô cña ®Ò tµi + §a ra c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã minh häa. + §a ra c¸c lo¹i bµi tËp vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp hay vµ khã cã bµi tËp minh häa. IV. Giíi h¹n ®Ò tµi §Ò tµi nµy ®îc gãi gän víi mét ®¬n vÞ kiÕn thøc träng t©m ë bé m«n H×nh Häc líp 9. -3- B – Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I – Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu §Ó nghiªn cøu ®Ò tµi nµy, t«i ®· sö dông c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n sau: 1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt KÕt hîp kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cã ®îc víi sù nghiªn cøu tµi liÖu, t«i ®· sö dông c¸c tµi liÖu nh: - S¸ch gi¸o khoa Tãan 9 (tËp II) - S¸ch bµi tËp To¸n 9 (tËp II) - Tãan n©ng cao H×nh häc 9 – NXB Thµnh phè Hå ChÝ Minh - Tãan n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò 9 – NXB Gi¸o dôc. - C¸c bµi tãan hay vµ khã vÒ ®êng trßn – NXB §µ N½ng. 2. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn. T«i tiÕn hµnh d¹y thö nghiÖm ®èi víi häc sinh líp 9A – Trêng THCS §¹i §ång vµ båi dìng ®éi tuyÓn häc sinh Giái cña trêng. 3. Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸. KÕt thóc chuyªn ®Ò ®èi víi häc sinh líp 9A, t«i cã tiÕn hµnh kiÓm tra ®¸nh gi¸ møc ®é nhËn thøc vµ suy luËn cña c¸c em. -4- II – Néi dung cô thÓ 1 – KiÕn thøc c¬ b¶n 1.1 Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp * Tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn lµ tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn ®êng trßn ®ã. B A O * Trong h×nh 1, tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) vµ (O) ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD. C D H×nh 1 1.2.§Þnh lý. * Trong mét tø gi¸c néi tiÕp tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng180o. * NÕu mét tø gi¸c cã tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng180 o th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn. Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn  A + C = 1800 hoÆc B + D = 1800 1.3. Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800. - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn. - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc  . 1.4. Mét sè bµi to¸n hay vµ khã vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp. Chøng minh nhiÒu ®iÓm cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Chøng minh ®êng trßn ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Chøng minh quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó t×m quü tÝch mét ®iÓm. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®Ó dùng h×nh. 2 - Bµi tËp minh ho¹ 2.1. Bµi tËp chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. Ph ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. Bµi to¸n 1: -5- Cho tam gi¸c ABC, 2 ®êng cao BB’, CC’. Chøng minh tø gi¸c BCB’C’ néi tiÕp. A B' C' O B Chøng minh: C¸ch 1: LÊy O lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. XÐt BB’C cã :  BB’C = 900 (GT) OB’ lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn  OB’ = OB = OC = r (1) XÐt BC’C cã :  BC’C = 900 (GT) T¬ng tù trªn  OC’ = OB = OC = r (2) Tõ (1) vµ (2)  B, C’, B’, C  (O; r)   BC’B’C néi tiÕp ®êng trßn. C¸ch 2: Ta cã: BB’  AC (GT)   BB’C = 900. CC’  AB (GT)   BC’C = 900.  B’, C’ cïng nh×n c¹nh BC díi mét gãc vu«ng  B’, C’ n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC Hay  BC’B’C néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh BC. -6- C Ph ¬ng ph¸p 2 : Dùa vµo ®Þnh lý Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn  A + C = 1800 hoÆc B + D = 1800 Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC nhän vµ néi tiÕp (O), 2 ®êng cao BB’, CC’. a/ Chøng minh tø gi¸c BCB’C’ néi tiÕp. b/ Tia AO c¾t (O) ë D vµ c¾t B’C’ ë I. Chøng minh tø gi¸c BDIC’ néi tiÕp. A C' B' I O C B D Chøng minh: a/ (Bµi to¸n 1) b/ Tõ c©u a   C +  BC’B’ = 1800 (Tæng hai gãc ®èi cña tø gi¸c néi tiÕp) Mµ :  C =  D (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AB)   D +  BC’I = 1800   BDIC’ néi tiÕp ®êng trßn. Ph ¬ng ph¸p 3: Dùa vµo quü tÝch cung chøa gãc Bµi to¸n 3: M Cho  ABC c©n ë A néi tiÕp (O). Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm M, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm N sao cho AM=CN. Chøng minh  AMNO néi tiÕp. A 1 2 O 1 B C N Chøng minh: Ta cã:  ABC c©n ë A vµ O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp  ABC   A1 =  A2 -7- AOC c©n t¹i O (v× OA = OC)  A2 = C1 nªn A1 = A2 = C1 Mµ A1 + OAM = 1800 vµ C1+ OCN= 1800.  AOM = OCN XÐt OAM vµ OCN cã : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN  OAM = OCN (c.g.c)  AMO = CNO hay AMO = ANO   AMNO néi tiÕp ®êng trßn (hai ®Ønh kÒ nhau M vµ N cïng nh×n c¹nh OA díi cïng mét gãc). Ph ¬ng ph¸p 4 : Dùa vµo: tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn. Bµi to¸n 4: M Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O), M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. Nèi M víi D, M víi C c¾t AB lÇn lît ë E vµ P. Chøng minh tø gi¸c PEDC néi tiÕp ®îc ®êng trßn. A P E B O D C Chøng minh: Ta cã :  MEP lµ gãc cã ®Ønh n»m bªn trong (O) �  MB � ) s� (AD 2 � s�DM �  � MEP Mà �  DCP Hay L¹i cã : Nªn : 2 (gãc néi tiÕp) �  MA � ) (AD �  s� DCP 2 �  MB � AM � � = DCP MEP NghÜa lµ:  PEDC cã gãc ngoµi t¹i ®Ønh E b»ng gãc trong t¹i ®Ønh C VËy  PEDC néi tiÕp ®îc ®êng trßn. Bµi to¸n 5: (Bµi tËp tæng hîp c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp) -8- Cho h×nh vÏ: BiÕt AC  BD t¹i O, OE AB B E t¹i E; OF  BC t¹i F; OG  DC t¹i F A G; OH AD t¹i H. H·y t×m c¸c tø gi¸c néi tiÕp trong h×nh vÏ bªn. C O H G D Chøng minh: * C¸c tø gi¸c néi tiÕp v× cã hai gãc ®èi lµ gãc vu«ng lµ: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * C¸c tø gi¸c néi tiÕp v× cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn AEFC; AHGC; BEHD; BFGD ThËt vËy: XÐt tø gi¸c AEFC Ta cã: EAC =  EOB (cïng phô víi  ABO)  BFE = EOB (Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung EB)  EAC =  BFE. C¸c tø gi¸c AHGC; BEHD; BFGD chøng minh t¬ng tù. * Tø gi¸c EFGH néi tiÕp v× cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 ThËt vËy: Ta cã :  OEH = OAH ( v× cïng ch¾n cung OH) OAH = HOD (v× cïng phô víi AOH) HOD = HGD ( v× cïng ch¾n cung HD)   OEH =HGD Chøng minh t¬ng tù ta ®îc : OEF = FGC Tõ ®ã :  OEH + OEF =HGD + FGC   FEH =HGD + FGC MÆt kh¸c: HGD + FGC+ HGF = 1800   FEH + HGF = 1800 ( ®iÒu ph¶i chøng minh) 2.2. Bµi to¸n hay vµ khã vËn dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp. trßn. Bµi tãan 1. Chøng minh nhiÒu ®iÓm cïng n»m trªn mét ® êng a. Ph¬ng ph¸p: -9- NÕu ta ph¶i chøng minh 5 ®iÓm A, B, C, D, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp vµ tø gi¸c ABCE néi tiÕp. Suy ra 4 ®iÓm A, B, C, D vµ 4 ®iÓm A, B, C, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. Hai ®êng trßn nµy cã ba ®iÓm chung lµ A, B, C thÕ nªn theo ®Þnh lý vÒ sù x¸c ®Þnh ®êng trßn th× chóng ph¶i trïng nhau. Tõ ®ã suy ra 5 ®iÓm A, B, C, D, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b. VÝ dô 1: (Bµi to¸n vÒ ®êng trßn Euler) A Chøng minh r»ng, trong mét tam gi¸c bÊt k×, ba trung ®iÓm cña c¸c c¹nh, ba ch©n cña c¸c ®êng cao, ba trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng nèi trùc t©m víi ®Ønh ®Òu ë trªn mét ®êng trßn. K M L F l E H O N B P I D Chøng minh: Ta cã: ME lµ ®êng trung b×nh cña AHC ND lµ ®êng trung b×nh cña BHC  ME = ND = HC/2  tø gi¸c MNDE lµ h×nh b×nh hµnh (1) L¹i cã : ME // CH; MN // AB (v× MN lµ ®êng trung b×nh cña HAB) Mµ CH  AB (GT)  ME  MN (2) Tõ (1) vµ (2)  Tø gi¸c MNDE lµ h×nh ch÷ nhËt Gäi O lµ trung ®iÓm cña MD  O còng lµ trung ®iÓm cña NE Nªn h×nh ch÷ nhËt MNDE néi tiÕp (O; OM) Chøng minh t¬ng tù ta ®îc h×nh ch÷ nhËt FMPD còng néi tiÕp (O; OM) V×  MID = 900  I  (O; OM) V×  FLP = 900 ;  NKE = 900  L; K  (O; OM) VËy ta cã : 9 ®iÓm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM) (§iÒu ph¶i chøng minh) c.Bµi tËp: - 10 - C 1. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã  A nhän. §êng trßn t©m A b¸n kÝnh AB c¾t ®êng th¼ng BC ë ®iÓm thø hai E. §êng trßn t©m C b¸n kÝnh CB c¾t ®êng th¼ng AB ë ®iÓm thø hai K. Chøng minh r»ng: a. DE = DK b. n¨m ®iÓm A, D, C, K, E cïng thuéc mét ®êng trßn. 2. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ë ngoµi nhau.KÎ c¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi AB vµ A’B’, c¸c tiÕp tuyÕn chung trong CD vµ EF (A, A’, C, E  (O); B, B’, D, F  (O’)). Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF, N lµ giao ®iÓm cña CD vµ A’B’. H lµ giao ®iÓm cña MN lµ OO’. Chøng minh r»ng: a. MN  OO’ b. n¨m ®iÓm O’, B, M, H, F cïng thuéc mét ®êng trßn c. n¨m ®iÓm O, A, M, E, H cïng thuéc mét ®êng trßn Bµi tãan 2. Chøng minh ® êng trßn ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. a. Ph¬ng ph¸p: NÕu ta ph¶i chøng minh mét ®êng trßn (ABC) ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, C¸ch 1: Ta cã thÓ xÐt thªm mét ®iÓm D cè ®Þnh nµo ®ã råi chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn. Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. C¸ch 2: Ta chän mét ®iÓm nµo ®ã trªn ®êng trßn (ABC) sau ®ã ta ®i chøng minh ®iÓm ®· chän lµ ®iÓm cè ®Þnh. b. VÝ dô 1: Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB, ®iÓm C cè ®Þnh trªn ®êng E kÝnh Êy (C kh¸c O). §iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn. §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t MA, MB theo thø tù ë E vµ F. M Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c A. F O A 1 2 K C Chøng minh: Gäi K lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn ®i qua ba ®iÓm A, E, F víi AB. Nèi K víi F Ta cã  F1 =  A ( cïng b»ng nöa sè ®o cung KE)  F2 =  A ( cïng phô víi  MBA) - 11 - B   F1 =  F2  K ®èi xøng víi B qua C Do B vµ C lµ hai ®iÓm cè ®Þnh nªn suy ra K cè ®Þnh VËy ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF ®i qua ®iÓm K cè ®Þnh. VÝ dô 2: Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn. LÊy ®iÓm D n»m gi÷a B vµ C. Qua D vÏ mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OD c¾t AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F. Khi ®iÓm D di ®éng trªn BC, chøng minh r»ng ®êng trßn (AEF) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c A. Chøng minh: Ta cã : B E O A D C F  EBO = 900 (AB lµ tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i B)  EDO = 900 (GT)  hai ®Ønh B vµ D cïng nh×n ®o¹n OE díi mét gãc vu«ng.   EBOD néi tiÕp ®êng trßn   BEO =  BDO (1) (cïng ch¾n cung OB) Chøng minh t¬ng tù ta cã :  ODCF néi tiÕp ®êng trßn   OFC =  BDO (2) (gãc trong mét ®Ønh b»ng gãc ngoµi t¹i ®Ønh ®èi diÖn) Tõ (1) vµ (2)   OFC =  BEO   AEOF néi tiÕp ®êng trßn (theo dÊu hiÖu gãc trong mét ®Ønh b»ng gãc ngoµi t¹i ®Ønh ®èi diÖn) VËy ®êng trßn (AEF) ®i qua ®iÓm O cè ®Þnh. c. Bµi tËp: 1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O), I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC kh«ng chøa A. VÏ (O1) ®i qua I vµ tiÕp xóc víi AB t¹i B, vÏ (O2) ®i qua I vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. Gäi K lµ giao ®iÓm thø hai cña hai ®êng trßn (O1) vµ (O2). a/ Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, K, C th¼ng hµng. b/ LÊy ®iÓm D bÊt k× thuéc c¹nh AB, ®iÓm E thuéc tia ®èi cña tia CA sao cho BD = CE. Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADE lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c A. - 12 - Bµi tãan 3. Chøng minh quan hÖ vÒ ®¹i l îng. Mét sè bµi to¸n ®Ò cËp tíi quan hÖ vÒ ®¹i lîng nh: - Chøng minh c¸c hÖ thøc h×nh häc. - Chøng tØ sè c¸c ®o¹n th¼ng kh«ng ®æi (nh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau, ®o¹n nµy gÊp ®«i ®o¹n kia….) hoÆc chøng minh tæng hiÖu c¸c gãc lµ kh«ng ®æi.... * §Þnh lý Pt« - lª – mª. Chøng minh r»ng trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tÝch cña hai ®êng chÐo b»ng tæng c¸c tÝch cña hai cÆp c¹nh ®èi. Chøng minh: Ta cã :  ABCD néi tiÕp (O) Ta ph¶i chøng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC ThËt vËy. LÊy E  BD sao cho  BAC = B A E O C  EAD   DAE  CAB (g. g)  D AD DE  AC BC  AD. BC = AC. DE (1) T¬ng tù:  BAE  CAD (g. g)  BE AB  CD AC  BE. AC = CD. AB (2) Tõ (1) vµ (2)  AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC  AD. BC + AB. CD = AC. DB (§PCM) c. Bµi tËp 1.Sö dông §Þnh lý Pt« - lª – mª ®Ó chøng minh ( §Þnh lý C¸c – n«) Chøng minh r»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp mét tam gi¸c nhän ®Õn c¸c c¹nh cña tam gi¸c b»ng tæng c¸c b¸n kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã. 2. Cho  ABC nhän víi trùc t©m H. VÏ h×nh b×nh hµnh BHCD. §êng th¼ng qua D vµ song song víi BC c¾t ®êng th¼ng AH t¹i E. a.Chøng minh c¸c ®iÓm A, B, C, D, E cïng thuéc mét ®êng trßn. b.Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp  ABC , chøng minh: - 13 -  BAE =  OAC vµ BE = CD. c. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, ®êng th¼ng AM c¾t OH t¹i G. Chøng minh G lµ träng t©m cña  ABC. Bµi tãan 4. Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ® êng trßn ®Ó t×m quü tÝch mét ®iÓm. a. C¸c bíc gi¶i bµi to¸n quü tÝch: Bíc1: Chøng minh phÇn thuËn Chøng minh r»ng nh÷ng ®iÓm M cã c¸c tÝnh chÊt ®· cho thuéc h×nh H + Giíi h¹n quü tÝch Bíc 2: chøng minh phÇn ®¶o Chøng minh mçi ®iÓm cña h×nh H ®Ò cã tÝnh chÊt ®· cho. Bíc 3: KÕt luËn b. VÝ dô 1 : Cho h×nh vu«ng ABCD, t©m O. Mét ®êng th¼ng xy quay quanh O c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N. Trªn CD lÊy ®iÓm K sao cho DK = DM. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña K trªn xy. T×m quü tÝch ®iÓm H. B A N O 2 H l 12 M 1 D K C Chøng minh: PhÇn thuËn: Ta cã CN = AM (tÝnh chÊt ®èi xøng t©m) V× DK = DM (GT) nªn CK = AM  CK = CN L¹i cã  MHKD vµ  NHKC néi tiÕp (v× cã hai gãc ®èi vu«ng)   M1 =  H1 = 450 vµ  N2 =  H2 = 450   DHC = 900 VËy H n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh DC Giíi h¹n: V× ®êng th¼ng xy quay quanh O nhng ph¶i c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N nªn ®iÓm H chØ n»m trªn mét nöa ®êng trßn ®êng kÝnh CD n»m trong h×nh vu«ng. PhÇn ®¶o: - 14 - LÊy ®iÓm H bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh CD. VÏ ®êng th¼ng HO c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N. LÊy ®iÓm K trªn CD sao cho DK = DM. Ta ph¶i chøng minh H lµ h×nh chiÕu cña K trªn MN. ThËt vËy, V×  DHC =900 ;  DOC = 900 nªn  HOCD néi tiÕp   DHM =  DCO = 450 MÆt kh¸c  DKM = 450 nªn  DHM =  DKM   HKDM néi tiÕp   KHM = 900  KH  NM  H lµ h×nh chiÕu cña K trªn MN. KÕt luËn: VËy quü tÝch cña ®iÓm H lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh CD, nöa ®êng trßn nµy n»m trong h×nh vu«ng. Bµi tãan 5 . Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ® êng trßn ®Ó dùng h×nh. a. VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC nhän (AB < AC), ®iÓm D di ®éng trªn c¹nh BC. VÏ DE  AB, DF  AC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó: a/ EF cã ®é dµi nhá nhÊt. b/ EF cã ®é dµi lín nhÊt. A a E O B Chøng minh: Gäi O lµ trung ®iÓm cña AD Tø gi¸c AEDF cã :  AED +  AFD = 900 + 900 = 1800 - 15 - F M D C   AEDF néi tiÕp (O; OA) VÏ OM  EF  ME = MF §Æt  BAC = a Ta cã :  EOM =  EOF: 2 =  BAC = a XÐt  MOE cã  OME = 900.  EM = OE. sin a  EF = 2 OE. sin a  EF = AD. sin a (*) ( v× AD = 2OE) a/ Do a kh«ng ®æi nªn tõ (*) suy ra EF nhá nhÊt  AD nhá nhÊt  AD  BC  D lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC. b/ V× D  BC vµ AB < AC nªn AD  AC Tõ (*)  EF lín nhÊt  AD lín nhÊt  D trïng víi C. b. Bµi tËp: 1. Cho  ABC nhän néi tiÕp (O). Gäi M lµ mét ®iÓm trªn cung ABC. VÏ MD  BC; ME  AC; MF  AB. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt. - 16 - III – KÕt qu¶ thu ®îc Sau chuyªn ®Ò “Ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp” t«i ®· tiÕn hµnh d¹y cho c¸c ®èi tîng häc sinh, ®· thu ®îc kÕt qu¶ nh sau: 1. §èi víi ®éi tuyÓn häc sinh giái cña trêng THCS §¹i §ång. KÕt qu¶ bµi kiÓm tra cuèi chuyªn ®Ò cña 5 häc sinh. Ph¬ng :9 Hoa : 8,5 TiÒn : 8,5 HuyÒn :6 §øc :7 2. §èi víi häc sinh líp 9A. SÜ sè : 42 Sè lîng bµi lµm : 42 §iÓm 9 - 10 : 11 §iÓm 7 - 8 : 21 §iÓm 5 – 6 : 9 §iÓm 1 – 4 :1 IV – bµi häc kinh nghiÖm Qua viÖc nghiªn cøu vµ tiÕn hµnh d¹y thö nghiÖm chuyªn ®Ò ®ång thêi t«i cã lÊy ý kiÕn cña häc sinh. ThÊy ®îc: + B¶n th©n t«i n¾m râ rµng hÖ thèng kiÕn thøc vÒ tø gi¸c néi tiÕp. + Häc sinh hiÓu râ vµ kh¾c s©u kiÕn thøc h¬n. V× vËy, c¸c chuyªn ®Ò tiÕp theo t«i ®· ®a ra vµ yªu cÇu häc sinh dùa vµo c¸ch häc nh vËy tù nghiªn cøu tríc ë nhµ hoÆc th¶o luËn nhãm nhá sau ®ã t«i sÏ hoµn chØnh gióp c¸c em trong c¸c buæi häc chuyªn ®Ò. Nh vËy, häc sinh ®· tõ häc thô ®éng giê cã thÓ chñ ®éng h×nh thµnh tri thøc b»ng c¸ch tù häc. - 17 - C. KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®ång thêi sö dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp ®Ó chøng minh mét sè bµi to¸n hay vµ khã. Do kinh nghiÖm cña m×nh qua thùc tÕ gi¶ng d¹y cßn Ýt nªn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña t«i ch¾c sÏ cßn nhiÒu thiÕu xãt. RÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña c¸c ®ång nghiÖp gióp t«i söa ch÷a vµ bæ sung ®îc ®Çy ®ñ vµ tèt h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! - 18 -