Tài liệu Skkn phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp thcs

  • Số trang: 67 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 364 |
  • Lượt tải: 0
tranvanhung

Tham gia: 20/02/2016

Mô tả:

1.PHẦN MỞ MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài 1.1.1.Cơ sở lý luận: Kiến thức về phương trình trong chương trình toán của cấp THCS là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc học này. Trong chương trình toán của cấp THCS, bắt đầu từ lớp 8 học sinh được học về phương trình, bất phương trình, bắt đầu là phương trình bậc nhất một ẩn. Cùng với đó học sinh được học các quy tắc biến đổi tương đương một phương trình là “Quy tắc cộng”; “Quy tắc chuyển vế”; “Quy tắc nhân”.. Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ơ mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu căn, phương trình quy về phương trình bậc hai. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh được trang bị những kiến thức và phương pháp giải các phương trình đại số. Tuy vậy nhưng để nắm chắc cách giải các dạng phương trình trên một các đầy đủ và áp dụng linh hoạt vào mỗi loại phương trình là một điều khó khăn với nhiều em học sinh Mỗi dạng phương trình có cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của từng phương trình. 1.1.2 Cơ sở thực tiễn Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Trong khi đó, việc hệ thống toàn bộ các dạng phương trình và trang bị các phương pháp giải phương trình từ đơn giản đến nâng cao hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo toán cấp THCS hiện chưa có dành cho học sinh trung học cơ sơ. Việc giải được các phương trình từ đơn giản đến phức tạp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên , đề thi khảo sát chất lượng học kì môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sơ Giáo dục và Đào tạo Hà Nam luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các phương trình. Với mục đích phân loại đối tượng học sinh. . Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề phương trình cấp THCS chưa có, chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến chuyên đề này. Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng kiến của mình là:“Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS”. 1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải phương trình cấp THCS dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sơ, ôn thi vào cấp 3. Nhiệm vụ cần đạt: 0 - Chỉ ra được kiến thức về phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải các dạng phương trình . - Phân loại, hệ thống các phương pháp giải cho mỗi dạng phương trình có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn. - Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho tứng phương pháp. 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân loại hệ thống các dạng phương trình cấp THCS và phương pháp giải, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành giải các dạng phương trình. 1.4 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu. - Giới thiệu nghiên cứu các dạng phương trình trong chương trình đại số cấp THCS - Làm trắc nghiệm trong học kỳ I. - Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. - Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua Giải phương trình đối với HS cấp THCS. 1.5: Phương pháp nghiên cứu. Tôi đã chọn các phương pháp nghiên cứu sau: - Nghiên cứu cơ sơ lý luận, phương pháp bộ môn. - Tham khảo tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ơ trường THCS.Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK - Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh. - Thực nghiệm dạy toán ơ lớp 8B năm học 2013-2014; lớp 9A, 9B năm học 2014-2015 trường THCS Thanh Thuỷ trên ba đối tượng học sinh: Khá, Giỏi - Trung bình - Yếu, Kém. -Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm. -Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể. -Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy của đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp , các buổi hội thảo, hội giảng các cấp . - Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo tài liệu, sách báo trên internet - Tham khảo các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm. 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1: Cơ sở lý luận: Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình được đề cập đến nhiều, và có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức từ cơ bản như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ơ mẫu.... ; ĐKXĐ của một số loại biểu thức. Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng tư duy cho 1 học sinh, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức được sử dụng thi tuyển sinh vào lớp 10 dưới dạng bài tập khó. Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh lúng túng khi giải một phương trình như : - Không biết nên làm như thế nào đẻ giải một phương trình. - Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK. - Ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em thường không có cơ sơ kiến thức để phát triển phương pháp giải. - Có rất ít tài liệu đề cập sâu về các dạng phương trình và phương pháp giải. - Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về phương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó. - Khi giải phương trình còn thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phương trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức). - Khi bình phương hai vế của phương trình thường các em không tìm điều kiện để cả hai vế đều dương. Để giúp các em học sinh nắm đúng, nắm chắc từng dạng phương trình và cách giải từng dạng phương trình từ cơ bản đến nâng cao , tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: ''Một số phương pháp giải phương trình môn toán cấp THCS'' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em học sinh khi giải phương trình và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều, sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể được áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lượng học tập của các em học sinh. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán Giải phương trình, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sơ các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn toán Để giải quyết tốt các vấn đề về giải phương trình thì học sinh cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau: + Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, ĐKXĐ của phương trình + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương. + Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn ơ mẫu, phương trình bậc hai một ẩn số... + Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số. + Định nghĩa phương trình + Các kiến thức cơ bản về căn thức, phân tích đa thức thành nhân tử, + Các dạng phương trình, cách giải từng dạng. + Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ. Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bài tập này. Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ơ trường phổ thông tôi đó mạnh dạn viết đề tài :“ Một số phương pháp giải các dạng phương trình môn toán ở trường THCS”cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS Thanh Thuỷ. 2 2.2: Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.2.1: Thuận lợi, khó khăn a, Thuận lợi: -Đổi mới phương pháp dạy học đã khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tri thức của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. -Phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. -Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi, khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. b, Khó khăn: - Thực tế đã có rất nhiều giáo viên nghiên cứu về :“ Một số phương pháp giải phương trình” song mới chỉ dừng lại ơ một dạng mà chưa tổng hợp tất cả các dạng phương trình và phương pháp giải cho từng dạng phương trình, và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó . - Thực trạng kỹ năng giải bài toán Giải phương trình của học sinh trường THCS Thanh Thuỷ là rất yếu. - Một số em không có kiến thức cơ bản về toán học. - Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm. - Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài yếu. - Khó khăn của học sinh khi giải loại toán này là kỹ năng của các em còn hạn chế, khả năng phân tích khái quát hoá, tổng hợp của các em rất chậm, các em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán. 2.2.2.Thành công, hạn chế a,Thành công: -Dạng toán Giải phương trình và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít. Nếu như rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đó trang bị cho các em lượng kiến thức không phải là nhỏ. Trong chương trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều dạng toán khác -Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới. b, Hạn chế: - Mỗi dạng toán mới chỉ đưa được một số bài toán điển hình làm mẫu. - Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của một bài toán. 2.2.3: Mặt mạnh, mặt yếu a. Mặt mạnh : - Nhà trường có một đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm, trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc. - Hầu hết các em học sinh khá giỏi thích học bộ môn toán. b. Mặt yếu: 3 - Trường THCS Thanh Thuỷ là điểm trường thuộc vùng núi, giao thông đi lại khó khăn, một số học sinh đi học phải đi đò qua sông để đến trường . - Một số em còn hổng kiến thức cơ bản về toán học. - Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm. - Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em cũng hạn chế. 2.2.4:Các nguyên nhân, các yếu tố tác động. a, Về phía giáo viên - Các tài liệu để giáo viên tham khảo chưa đồng nhất. - Do giáo viên chưa tìm được phương pháp tối ưu, chưa khái quát hóa tất cả caccs dạng phương trình và phương pháp giải, chưa đầu tư nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong các tiết học, ít chú ý đến cách suy nghĩ ,phân tích đẻ giải bài toán. b, Về phía học sinh - Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và hệ thống hóa được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh, học sinh lại nhanh quên. - Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích tổng hợp bài toán.. 2.3 Giải pháp, biện pháp 2.3.1:Mục tiêu của giải pháp, biện pháp: - Tăng cường quản học sinh trong các giờ tự học, đồng thời tăng thời gian phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo. - Lập ra cán sự bộ môn để kiểm tra và hướng dẫn các tổ nhóm làm bài tập, phân công học sinh khá kèm cặp học sinh yếu dưới sự giám sát của giáo viên. - Tạo ra hứng thú cho học sinh trong các giờ học. - Hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài, nghiên cứu trước bài mới ơ nhà. -Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đó cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải phương trình. - Tôi thường xuyên chú ý tới hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ khi đứng trước một bài giải phương trình , sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể. 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp: * Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học ơ trường trung học cơ sơ. -Nhiệm vụ năm học 2014-2015 của BGD đào tạo, của sơ, của Phòng Giáo Dục - Sách giáo viên, sách giáo khoa môn toán lớp 8, lớp 9 ; Nâng cao và phát triển triển Đại Số 8,9. Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9, tài liệu tham khảo của đồng nghiệm, trên internet -Một số đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, 9. Một số bài toán thi vào lớp 10. - Đưa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắc phải. - Phân loại được các dạng toán và đưa ra một vài gợi ý để giải từng dạng qua các ví dụ đồng thời rèn cho học sinh cách định hướng tìm lời giải. - Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 8B, 9A, 9B trường THCS Thanh Thuỷ. - Đề xuất một vài biện pháp có tính khả thi sau khi đó vận dụng. 4 CÁC NỘI DUNG CỤ THỂ TRONG ĐỀ TÀI: “Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS” I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH: 1. Khái niệm về phương trình - nghiên cứu của phương trình: Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x). Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x được gọi là ẩn số. Giá trị tìm được của ẩn số gọi là nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình. 2. Điều kiện xác định của phương trình: Điều kiện xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ 3. Hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. 4. Hai quy tắc biến đổi phương trình tương đương: * Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó. * Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : *Phương pháp chung: Để tiến hành giải một phương trình ta thường vận dụng một số phương pháp sau: + Dùng các phép biến đổi tương đương ( quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân để được phương trình mới đơn giản hơn và tương đương với phương trình đã cho ) + Đưa về phương trình tích + Bình phương hai vế, khử căn thức +Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc nhất , phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình… +Phương pháp xét khoảng giá trị (dùng cho phương trình có chưa dấu giá trị tuyệt đối) + Dùng bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki +Dùng phương pháp đối lập. +Phương pháp tổng bình phương các số không âm (A 2n+B2m =0 =>>A=0 hoặc B = 0) + Các phương pháp giải đặc biệt khác. 5 III. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN: 1.1 Định nghĩa: PT bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là hai số tùy ý và a ≠ 0. 1.2Phương pháp giải: - Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương: + Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó. + Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. - Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x=- Phương trình ax + b = 0 được giải như sau: ax + b = 0  ax = - b x= Tập nghiệm S = 1.3 Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 3x - 9 = 0 + Chuyển - 9 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được + Nhân cả 2 vế với , ta được 3x = 9 3x . = 9.  x=3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = b) - 7x + 15 = 0  - 7x = -15  x= x= Vậy tập nghiệm của phương trình là S = c) 2x - ( 5 - 3x ) = 3 ( x + 2 ) d) +x=1+  2x - 5 + 3x = 3x + 6  =  2x + 3x - 3x = 6 + 5  .6= .6  2x = 11  2. ( 8x - 2 ) = 3. ( 5 - 5x )  x=  16x - 4 = 15 - 15x  16x + 15x = 15 + 4  11    2 Phương trình có tập nghiệm S    31x = 19  x= Phương trình có tập nghiệm S = * Lưu ý: Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0 + Dạng 1: 0x = 0 + Dạng 2: 0x = c ( c ≠ 0 ) Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm S=R S= e) 2( x + 3 ) = 2( x - 4 ) + 14 f) 2( x - ) + 4(1 - x) = 1 6  2x + 6 = 2x - 8 + 14  2x - 1 + 4 - 2x = 1  2x - 2x = -8 + 14 - 6  2x - 2x = 1 + 1 - 4  0x = 0  0x = -2 Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm S=R S= * Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa: Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2  x = = 0 Nâng cao: Giải và biện luận phương trình: * Nhận xét: Giải phương trình mx+n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp. + Nếu m �0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -n/m + Nếu m= 0 thì phương trình có dạng 0x = n + Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm. + Nếu n �0 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ: Giải và biện luận phương trình: + = ( 1) Giải: PT ( 1 )  . 20 + . 20 = . 20  2( mx + 5 ) + 5 ( x + m ) = m  2mx + 10 + 5x + 5m = m  ( 2m + 5)x = m - 5m -10  ( 2m + 5) x = -2( 2m +5 ) + Nếu 2m + 5 ≠ 0  m ≠ , phương trình có nghiệm x = -2 + Nếu 2m + 5 = 0  m = , phương trình có dạng 0x = 0 hay phương trình có vô số nghiệm. Kết luận: + Với m ≠ , tập nghiệm của phương trình là S = + Với m = , tập nghiệm của phương trình là S = R 2. PHƯƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN: * Dạng tổng quát: ax2 + bx+c = 0, trong đó a, b, c ι R, a a/Cách giải: * Dùng công thức nghiệm: 0  =b - 4ac +  <0, PT vô nghiệm +  = 0, PT có nghiệm kép  '=b'2 - ac +  ' <0, PT vô nghiệm +  ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =-b/2a +  > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt x1 = x2 =-b'/a +  ' > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt 2 x1,2  b �  2a x1,2  b '�  ' a * Định lý Vi-et. 7 2 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x �R : ax  bx  c  0  1 nghiệm x1 , x2 thì S  x1  x2   a �0  có hai b c , P  x1.x2  . a a * Nhẩm nghiệm: - Nếu x1 + x2 = -b/a = m+n và x1.x2 = c/a =n.m thì x1 = m; x2 =n - Nếu a+b+c =0 thì : x1 = 1; x2 =c/a - Nếu a- b+c =0 thì : x1 = -1; x2 = -c/a * Phân tích vế trái thành tích: * Dấu các nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P  0 .  �0 � . �P  0  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu � �  �0 � �  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương � �P  0 . �S  0 �  �0 � �  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm � �P  0 . �S  0 � b/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a, x2 + 3x - 1 = 0 Có : a = 1; b = 3 ; c = -1  = 32 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 =  3  13 ; 2 x2 =  3  13 2 b, 4x2 - 4x + 1 = 0 Có : a = 4; b = -4; c = 1  = (-2)2 - 4.1 = 4 - 4 = 0. Phương trình có nghiệm kép : x 1 = x2 =  (2) 1  4 2 c, 3x2 + 5x + 4 = 0 Có : a = 3; b = 5; c = 4  = 52 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Phương trình vô nghiệm. d, 7x2 + 23x - 30 = 0 Có a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 =  30 7 e, x2 - 60x - 61 = 0 Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Phương trình có hai nghiệm : x1 = -1 ; x2 = 61 8 Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện x12  x 22 1 Bài giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m  0 ; ' ≥ 0 ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 '  0  m  4. Với 0  m  4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1; x 2 của phương trình có liên hệ: x1 + x2 = Do đó: 1 = 2( m  2) ; m x1.x2 = m3 m x12  x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m  2) 2 2(m  3) m m2  m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m  m2 - 10m + 16 = 0  m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0  m  4 Vậy với m = 2 thì x12  x 22 = 1 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 x1  x2   x1 x2 5 Bài giải:   Δ ' ( (m  2))2  (m 2  2m  3)  0 (1)  (2) Ta phải có:  x 1 .x 2  0 1 1 x1  x 2 (3) x  x  5 2  1 (1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m < 7 6 (2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3 x1  x2 x1  x2   ( x1  x2 )(5  x1 .x2 ) 0 (3)  x1 .x2 5  Trường hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)  Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0  m 2 (lo¹i)   m  4 (tho¶ m·n § K) Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x  x2 1 1   1 x1 x 2 5 Ví dụ 4: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số). a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 9 x1 + 4x2 = 3 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: a) Ta phải (1) 2( m  1)   x1  x2  m  m 4  x1.x2  m có:   x1  4 x2 3  m 0      ' (  ( m  1) 2  m( m  4) 0 Từ (1) và (3) tính được: x2  Thay vào (2) được (2) (3) (4) m 2 5m  8 ; x1  3m 3m (m  2)(5m  8) m  4   2m2 - 17m + 8=0 2 m 9m Giải phương trình 2m2 - 17m + 8 = 1 Vậy với m = 8 hoặc m = 2 0 được m = 8; m = 1 thoả mãn điều kiện (4). 2 thì các nghiệm của phương trình thoả mãn x 1 + 4x2 = 3. b) Theo hệ thức Viét: Thay x1 + x2 = 2 + 2 m x1 + x2 = 1 - 4 m (*) 2 = x1 + x2 - 2 vào (*) được x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2) m Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2) Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2 + 2x + m = 0 (1) 2 x + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phương trình khi đó ta có x02  2 x0  m 0 x02  mx0  2 0 Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x0 = m - 2 Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm Nếu m  2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3 Với m = - 3: (1) là x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3 Và (2) là x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x3 = 1 và x4 = 2 Rõ ràng với m = - 3 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1. c. Bài tập: 10 Bµi 1: Giải phương trình sau: a. x2 - x - 6 = 0 b. 3x2 + 2x - 8 = 0 c. x 2  x  2  2 0 d. 3x2 - 4x - 4 = 0 e. 2x2 - x - 6 = 0 f. x2 - 2x - 8 = 0 Bµi 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: Bµi 7.1 a. 2x2 - 5x + 3 = 0 b. x2 + 7x + 6 = 0 c. 2x2 - 5x + 3 = 0 d. x2 + 4x + 3 = 0 e. x2 - 3x - 4 = 0 Bµi 7.2 a. 23x2 – 9x – 32 = 0 b. 4x2 – 11x + 7 = 0 c. x2 – 3x – 10 = 0 d. x2 + 6x + 8 = 0 e. x2 – 6x + 8 = 0 * Các bài toán có liên quan đến tham số m Bài: 1 Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2 0 với m là tham số. a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1  x2 9 Bài 2: Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0 a. Giải phương trình trên khi m = 2 b. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm képp, vô nghiệm. c. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 20 x1 - x2 =10 Bài 3: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2. Bài 4: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 5: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại. 11 3.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH * Phương trình tích là phương trình có dạng: A(x).B(x)...M(x) = 0 * Phương pháp giải: Muốn giải PT tích A(x).B(x)...M(x) = 0, ta giải từng PT A(x) = 0; B(x) = 0; ... ; M(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm thu được. * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) ( 3x - 2)( 4x + 5) = 0 b) 2x( x-3 ) + 5( x - 3 ) = 0  3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0  ( x - 3 )( 2x + 5 ) = 0 +) 3x - 2 = 0  x =  x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0 +) 4x + 5 = 0  x = +) x - 3 = 0  x = 3 Vậy tập nghiệm của pt S = +) 2x + 5 = 0  x = Vậy tập nghiệm của pt S = 3 2 c/ x + 3x + 2x = 0 ó x(x2 + 3x + 2) = 0 óx1 = 0 Hoặc: x2 + 3x + 2 = 0 Giải pt: x2 + 3x + 2 = 0 a + b + c = 0 => x2 = -1; x3 = c/a =- 2 vậy pt đã cho có 3 nghiệm: x1= 0; x2 =-1; x3 = -2 Bài tập 1: giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích a. 3x3 + 6x2 - 4x = 0 b. x3  3 x 2  2 x  6 0 c. x4 – 7x2 + 6 = 0 d. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0 12 4. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU: 4.1: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. - Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. - Giải phương trình vừa nhận được. - Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, các giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ chính là các nghiệm của phương trình đã cho. 4.2: Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình ( x  2) 2 x 2  10  1 2x  3 2x  3 Bài giải: 3 ĐKXĐ: x � 2 2 2 2 2 ( x  2) x  10  ( x  2)  2 x  3  x  10  1 2x  3 2x  3 2x  3 2x  3 Khử mẫu ta được: (x + 2)2 – 2x + 3 = x2 + 10  x2 + 4x + 4 – 2x + 3 = x2 + 10  2x = 3  x= 3 (không thỏa mãn ĐKXĐ) 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 5x 6  1  2x  2 x 1 Bài giải: ĐKXĐ của PT là x –1 5x  2x  2 2.6 5x 6   1   2x  2 x 1 2( x  1) 2( x  1) Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2 = –12  7x = –14  x =  2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =   2 4.3 Một số phương pháp giải cụ thể 4.3.1 Phương pháp biến đổi 4.3.1.1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức * Ví dụ 1: Giải phương trình 1 1 1 3  2  2  . 2 x  5 x  4 x  11x  28 x  17 x  70 4 x  2 Hướng dẫn giải: 1� � ĐKXĐ: x ��10; 7; 4; 1; � 2 � Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với 1 1 1 3    ( x  1)( x  4) ( x  4)( x  7) ( x  7)( x  10) 4 x  2 13 1�1 1 � 1� 1 1 � 1� 1 1 � 3 � �    � � � � � 3 �x  1 x  4 � 3 �x  4 x  7 � 3 �x  7 x  10 � 4 x  2 1�1 1 � 3 3 3 � �  � 2  � 3 �x  1 x  10 � 4 x  2 x  11x  10 4 x  2 x  3 � � x 2  7 x  12  0 � � x  4 � So sánh với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = – 3. x 1 x  2 x  3 x  4    4. * Ví dụ 2: Giải phương trình x 1 x  2 x  3 x  4 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x � 3; 2;1;4 Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương với 2 4 6 8 1 1 1 1 4 x 1 x2 x3 x4 2 3 4 � �1 � 2�    � 0 �x  1 x  2 x  3 x  4 � 4 �� 2 3 � �1 ��   � � � 0 �x  1 x  4 � �x  2 x  3 � 5x  8 5 x  12  0 ( x  1)( x  4) ( x  2)( x  3) � (5 x  8)( x  2)( x  3)  (5 x  12)( x  1)( x  4)  0 16 � x2  x   0 5 � Kết hợp với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có hai nghiệm là: 1� 69 � 1� 69 � x1  �  1  ; x   1  � � � 2 2� 5 � 2� 5 � � � � � 1 1 1 1    * Ví dụ 3: Giải phương trình . 2012 x  1 2013x  2 2014 x  4 2015x  5 Hướng dẫn giải: 2 4 5 � � 1 ; ; ; ĐKXĐ: x �� � �2012 2013 2014 2015 Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với 1 1 1 1    2012 x  1 2015 x  5 2013 x  2 2014 x  4 4027 x  6 4027 x  6 �  (2012 x  1)(2015  5) (2013 x  2)(2014 x  4) 1 1  � 4027 x  6  0 hoặc (2012 x  1)(2015  5) (2013 x  2)(2014 x  4) � 4027 x  6  0 hoặc (2012 x  1)(2015  5)  (2013x  2)(2014 x  4)  0 � 4027 x  6  0 hoặc 2x2 + 5x + 3 = 0 6 3 ; x2  1; x3   . Kết luận: Phương trình đã cho có ba nghiệm x1  4027 2 14 4.3.1.2. Đưa về phương trình bậc cao giải được * Ví dụ 4: Giải phương trình 2x 13x  2  6. 3 x  5 x  2 3x  x  2 2 Hướng dẫn giải: � 2� 1; � ĐKXĐ: x �� �3 Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với 2x(3x2 + x + 2) + 13x(3x2 – 5x + 2) = 6(3x2 + x + 2)(3x2 – 5x + 2) � 54x4 – 117x3 + 105x2 – 78x + 24 = 0 � (2x – 1)(3x – 4)(9x2 – 3x + 6) = 0 1 2 3 4 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1  ; x2  . * Ví dụ 5: Giải phương trình 1 x 1  1 x 1  1 2 x . Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x > 0 và x �1 . Với ĐK trên, phương trình đã cho tương đương với 2 x 1 2  1 2 x (1)  Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số dương. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm.  Nếu x > 1 thì hai vế của (1) đều dương, bình phương hai vế ta được: x4 – 2x2 – 16x + 1 = 0 � (x2 + 3)2 – 8(x + 1)2 = 0 � (x2 – 2 2x + 3 – 2 2 )(x2 + 2 2x + 3 + 2 2 ) = 0 Kết hợp với điều kiện x > 1 ta có x = 2  2 2  1 . 4.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 4.3.2.1. Đặt một ẩn phụ * Ví dụ 6: Giải phương trình x 4  3x 2  1  3. x3  x 2  x Hướng dẫn giải: 1 � 5 ĐKXĐ: x �0 và x � . 2 1 3 x2 3 1 x  1 x x2  Chia cả tử và mẫu ơ vế trái cho x2 rồi rút gọn ta được: 1 x Đặt t = x  , phương trình trên trơ thành: t 1 � t2  5  3 � t 2  3t  2  0 � � t2 t 1 � 1 x  Với t = 1, ta có: x   1 � x 2  x  1  0 � x  1� 5 2 15 1 x 2  Với t = 2, ta có: x   2 � x  2 x  1  0 � x  1 � 2 Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1,2  * Ví dụ 7: Giải phương trình 1� 5 ; x3,4  1 � 2 . 2 2 13 6  2  . 3x  4 x  1 3x  2 x  1 x 2 Hướng dẫn giải: � 1� ĐKXĐ: x ��0;1; �. � 3 2 Biến đổi phương trình đã cho thành 3 x  4  1  13 3x  2  1 x 6 x 1 2 13 6 Đặt t = 3 x  4  . Phương trình trên trơ thành  x t t 6 1 � 2t 2  7t  4  0 � t  hoặc t  4 2   � 4 x � 1 1 1 3 2 Với t  , ta có 3x  4   � 6 x  11x  4  0 � � 1 x 2 2 � x � � 2 1 Với t  4 , ta có 3x  4   4 � 3x 2  1  0 x Phương trình này vô nghiệm. 4 3 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1  ; x2  * Ví dụ 8: Giải phương trình 1 . 2 1 1   15 . 2 x ( x  1) 2 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x � 0; 1 . Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: 2 � 1 � ( x  1) 2  x 2 2  15 � �  15 � 2 2 x ( x  1) �x ( x  1) � x( x  1) 1 Đặt = t. Phương trình trên trơ thành: t2 + 2t – 15 = 0 � t = 3 hoặc t = –5. x( x  1)  Với t  3 , ta có 1 3 � 21  3 � 3 x 2  3x  1  0 � x  x( x  1) 6  Với t  5 , ta có 1 5 � 5  4 � 5 x 2  5 x  1  0 � x  x( x  1) 10 Kết luận: Phương trình đã cho có bốn nghiệm x1,2  3 � 21 5 � 5 ; x3,4  . 6 10 4.3.2.2. Đặt hai ẩn phụ 2 �x  1 � x  1 2 �x  2 �  12 � * Ví dụ 9: Giải phương trình � � �. �x  2 � x  3 �x  3 � 16 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x � 2;3 . x 1 x2 ;v  thì phương trình đã cho trơ thành: x2 x 3 u 2  uv  12v 2 � (u  3v)(u  4v)  0 � u  3v hoặc u  4v x 1 x2 8 � 46  Với u  3v , ta có  3. � 2 x 2  16 x  9  0 � x  x2 x 3 2 x 1 x2  (4). � 5 x 2  12 x  19  0 (vô nghiệm)  Với u  4v , ta có x2 x 3 8 � 46 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x1,2  . 2 3 x � 3 x � * Ví dụ 10: Giải phương trình x. �x  � 2 . x 1 � x 1 � Đặt u  Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x �1 . 3 x 3 x ;b  x  . Ta có: a.b = 2 và a + b = 3. x 1 x 1 Do đó a và b là hai nghiệm của phương trình X2 – 3X + 2 = 0 � X1  1 hoặc X 2  2 .  Với a = 1, b = 2 ta được x2 – 2x + 1 = 0 � x = 1. Đặt a  x.  Với a = 2, b = 1 ta được x2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm). Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1. 4.3.3. Phương pháp đánh giá * Ví dụ 11: Giải phương trình 3 4 1  2  2. x  x  3 x  3x  9 2 x 2 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x �0 . Phương trình đã cho tương đương với 1 4 3  2  2 (*) 2 2x x  3x  9 x  x  3 a 2 b 2 ( a  b) 2  � với mọi x, y > 0. x y x y a b 1 4 (2  1) 2 3 � 2  2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  , ta có: 2  2 x y 2x x  3x  9 3x  3x  9 x  x  3 2 2 2 Suy ra (*) � x + 3x + 9 = 4x � x – x – 3 = 0 Áp dụng BĐT Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x1,2  1 � 13 . 2 4.4/ Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1 1 1 1    4 x  2016 5 x  2014 15 x  2017 6 x  2015 25 x 2  11 2. x 2  ( x  5) 2 1. 3. 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 17 x 1 x  2 x  4 x  5    0 x2 x3 x5 x6 1 18 18  2  2 5. 2 x  2 x  3 x  2x  2 x  2x  1 6 8  1 6. ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  4) 4. x (5  x ) � 5  x � x 5 � � x 1 � x 1 � 1 1 5   x2 ( x  2) 2 16 7. 8. x2  2x  1 x 2  2x  2 7   x2  2x  2 x2  2x  3 6 9. 10. 4x 3x  1 4 x 2  8 x  7 4 x 2  10 x  7 11. 2x 13 x  2 6 2 x  5x  3 2x  x  3 12. x3  2 1 � 1�  13 � x � x3 � x� 5.PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 5.1. Kiến thức cần nhớ : 5.1.1. Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu x , là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số. x nếu x 0 Ta có: x = -x nếu x 0 Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không âm, kí hiệu x được xác định như sau : x nếu x 0 Ta có : x = -x nếu x 0 * Với A(x) là một biểu thức tùy ý ta cũng có: A(x) nếu A( x) 0 A(x)  -A(x) nếu A( x) 0 * Với mọi x  R, f ( x ), g ( x ) là biểu thức tùy ý, ta có : 18 1  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x )  2 1 min( f ( x); g ( x)   f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  2 max( f ( x); g ( x)  5.1.2. Hệ quả :  x 0  x  R; x 0  x 0   x x   x  x  x ; x  x  x 0  x  0  x  hoặc x   x  ( 0)     x   x. y  x . y  x x  y y  x x 2  2 x2  x 5.1.3. Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối.  Định lí 1 : Nếu x, y là hai số thực thì : x  y  x  y . Dấu"=" xảy ra  x. y 0 Chứng minh : Ta có :  x  y   x  2 x . y  y  x 2  2. x. y  y 2  x 2  2 xy  y 2 ( x  y ) 2 . 2 2 2 Vậy x  y  x  y . Dấu"=" xảy ra  x. y 0 .  Định lí 2 : Nếu x, y là hai số thực thì : x  y x y x  y Chứng minh : Ta có : x ( x  y)  y  x  y  y (theo định lí 1).  x  y  x  y. mà : x  y  y  x  y  x Nên 19
- Xem thêm -