Tài liệu Skkn phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH Chúng tôi ghi tên dưới đây: Tỷ lệ (%) TT Họ và tên Ngày Nơi tháng năm công tác Trình độ Chức vụ đóng góp chuyên môn vào việc tạo ra sáng sinh kiến 1 Đinh Cao Thượng 07/07/1983 Trường THPT Kim Sơn A Tổ trưởng Thạc sĩ 50% 2 Doãn Huy Tùng 05/06/1983 Trường THPT Kim Sơn A Giáo viên Đại học 50% I. Tên sáng kiến: “ Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế.” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán. II. Nội dung sáng kiến: 1. Giải pháp cũ thường làm: Kiểm tra đánh giá là khâu không thể thiếu trong quá trình dạy học. Hoạt động này không chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuất những phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục. Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giá trong dạy học môn Toán cần có những thay đổi. Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm tra đánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia đề thi môn Toán đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đã được thực hiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế. Vì vây, từ kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũng như học sinh. 1 Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, còn với học sinh đó là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cần phải chú ý đến cả những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi. Chẳng hạn, trong nội dung về thể tích khối đa diện, là một nội dung khó đối với học sinh vì đòi hỏi kiến thức tổng hợp và tư duy trừu tượng cao, trước đây học sinh chủ yếu học tủ một số dạng câu hỏi thường gặp trong các đề thi. Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy trong năm học 2016 – 2017, nhằm chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia năm 2017 đối với bộ môn Toán nói chung và với dạng bài tập trắc nghiệm về thể tích khối chóp nói riêng chúng tôi đã viết sáng kiến “Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế”. Mục đích chính của Sáng kiến này là trình bày các phương pháp giải bài tập thể tích khối chóp trong phần hình học trung học phổ thông, đồng thời khai thác trong các bài toán thực tế gắn với khối chóp và các khối đa diện liên quan. 2. Giải pháp cải tiến: 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1. Kiến thức cơ bản 1. Công thức tính thể tích khối chóp V= 1 S .h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. 2. Các kiến thức cơ bản hình học phẳng a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2 = AB 2 + AC 2 b) BA2 = BH .BC; CA2 = CH .CB A c) AB. AC = BC. AH b c d) BC = 2AM e) f) 1 1 1 = + AH 2 AB2 AC 2 B M H C a BC = 2AM 2 g) sin B = b c b c , cosB = , tan B = ,cot B = a a c b h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = b b = , sin B cos C b = c. tanB = c.cot C b. Hệ thức lượng trong tam giác thường * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin: a b c = = = 2R sin A sin B sinC c. Các công thức tính diện tích a/ Công thức tính diện tích tam giác: S= 1 a.b.c 1 = p.r = a.ha = a.b sinC = 2 4R 2 p.( p − a )( p − b )( p − c ) với p = 1 Đặc biệt Tam giác ABC vuông ở A : S = AB.AC ; 2 ABC a+b+c 2 a2 3 đều cạnh a : S = 4 b/ Diện tích hình vuông cạnh a : S = a 2 . c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng. d/ Diên tích hình thoi : S = 1 (tích hai đường chéo). 2 1 2 d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao. e/ Diện tích hình bình hành : S = cạnh đáy x chiều cao. f/ Diện tích hình tròn : S =  .R2 . g/ Đa giác (H) phân chia thành các đa giác (Hi) thì 3. Khoảng cách trong không gian a. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau • Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. • Bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. • Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 3 4. Góc trong không gian. a. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. b. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (P). c. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. 5. Tỉ số thể tích. Cho khối chóp thuộc SA , SB , SC S.ABC và A', B' , C' là các điểm tùy ý lần lượt S ta có B' VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' . = . . VS . ABC SA SB SC Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác A' C' B A đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số C điều kiện sau · Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh. · Đáy hai khối chóp phải là tam giác. · Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng. 4 2.2 Giải pháp mới: Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = a3 3 6 B. V = a3 3 2 C. V = a3 3 3 D. V = a 3 3 Phân tích, lời giải và bình luận 1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu, tương đương Câu 36 trong đề minh họa môn Toán của BGD. Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2a 3 6 A. V = B. V = 2a 3 4 C. V = 2a 3 D. V = 2a 3 3 + Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích tam giác vuông. 2) Lời giải: 1 3 + Xác định công thức: V = .SA.SABC + SA = a 3 . + SABC 1 a2 = AB.AC = . 2 2 1 3 1 3 Do đó: V = .SA.SABC = .a 3. a 2 a3 3 = 2 6 Đáp án: A 3) Bình luận: 5 • Các phương án nhiễu: + B : Học sinh quên 1 trong công thức thể tích khối chóp. 3 + C : Học sinh quên 1 trong công thức diện tích tam giác. 2 + D : Học sinh quên cả 1 1 và trong hai công thức trên. 3 2 • Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác, đó là: V = 3 , do học sinh sử dụng máy 6 tính và gán cho a = 1. • Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy , do đó việc xác định công thức tương đối dễ dàng, vấn đề chỉ nằm ở việc học sinh tính toán 2 yếu tố trong công thức là chiều cao và diện tích đáy. Cũng vì đó, các thầy cô có thể đưa ra câu hỏi cùng dạng toán trên nhưng có thể mức độ khác nhau. Chẳng hạn: + Biết đáy, chưa biết chiều cao (phải tính thông qua giả thiết khác, ví dụ góc giữa cạnh bên và mặt đáy…) + Biết chiều cao, chưa đủ yếu tố để tính diện tích đáy (phải tính thông qua giả thiết khác, ví dụ góc giữa cạnh bên và mặt đáy…) + Chưa đủ yếu tố tính diện tích đáy và chưa cho chiều cao (phải tính thông qua các giả thiết của câu hỏi). + Thay đổi đáy là các tam giác, tứ giác mà học sinh đã biết công thức tính. +Thay giả thiết cho cạnh bên vuông góc với đáy bằng giả thiết hai mặt bên kề nhau vuông góc với đáy. • Một số câu hỏi cùng dạng: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = a3 4 B. V = 3a 3 4 C. V = a3 2 D. V = 3a 3 2 Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = a và góc BAC bằng 1200 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 6 A. V = 6a 3 6 6a 3 4 B. V = C. V = 6a 3 12 D. V = 6a 3 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 A. V = 4 3a 3 B. V = 4 a3 C. V = 2 3a 3 D. V = 2 Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = a và góc BAC bằng 1200 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 3a 3 24 B. V = 3a 3 12 C. V = 3a 3 8 D. V = 6a 3 4 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 6a 3 3 B. V = 6a 3 6 C. V = 6a 3 D. V = 6a 3 2 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng đáy bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 2a 3 3 B. V = 2a 3 6 C. V = 2a 3 D. V = 2a 3 2 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD với AC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB = a 5 . Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 450. 2 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 3a 3 12 B. V = 3a 3 4 C. V = 3a 3 6 D. V = 3a 3 2 Câu 8: (Trích đề thi TNTHPT năm 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC bằng 1200. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 7 A. V = 2a 3 36 B. V = 2a 3 12 C. V = 2a 3 18 D. V = 2a 3 6 Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 6a 3 6 B. V = 6a 3 4 C. V = 6a 3 12 D. V = 6a 3 2 Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2 2a 3 A. V = 3 B. V = 2 2a 3 2a 3 C. V = 3 D. V = 4 2a 3 Câu 10: (Trích đề thi TNTHPT năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 3a 3 3 B. V = 3a 3 C. V = 2 3a 3 3 D. V = 2 3a 3 Câu 11: (Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 4 3a 3 A. V = 3 B. V = 4 3a 3 8 3a 3 C. V = 3 D. V = 8 3a 3 8 Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Ví dụ: (Trích đề thi TSĐH Khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = a3 3 6 B. V = a3 3 C. V = a3 6 D. V = a3 3 2 Phân tích, lời giải và bình luận 1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản. + Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích hình vuông, cách xác định chiều cao của hình chóp. 2) Lời giải: + Xác định công thức: Gọi H là trung điểm AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB . Mà (SAB) ⊥ (ABCD);(SAB)  (ABCD) = AB;SH  (SAB) 1 nên: SH ⊥ (ABCD) . Do đó: V = .SH.SABCD 3 + SH = a 3 , (đường cao tam giác đều cạnh a). 2 + SABCD = AB2 = a 2 . 1 a 3 2 a3 3 . .a = 3 2 6 1 3 Do đó: V = .SH.SABCD = . Đáp án: A 3) Bình luận: • Các phương án nhiễu: + B : Học sinh coi chiều cao là SA. + C : Học sinh xác định được SH nhưng tính toán sai trong quá trình áp dụng giá trị lượng giác của góc trong tam giác vuông SAH hoặc SBH. + D : Học sinh quên 1 trong công thức tính thể tích. 3 9 • Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác theo các sai lầm đã nói ở Bài 1. • Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy , do đó việc khó khăn nhất của bài toán là xác định chiều cao của chóp. Vấn đề này liên quan đến tính chất hai mặt vuông góc mà học sinh đã được học lớp 11. Ta cần nhấn mạnh rằng: “Đường cao của hình chóp chính là đường cao kẻ từ S của tam giác là mặt bên nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy”. Nói cách khác, hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy nằm trên đường thẳng chứa cạnh đáy, là giao tuyến của mặt bên vuông góc với đáy và đáy. Để có thể tạo ra các bài tập ở dạng tương tự ta có thể: Chẳng hạn: + Thay đổi các giả thiết tương tự Bài 1. + Cho trước luôn hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm cho trước trên một cạnh đáy nào đó. Một số câu hỏi cùng dạng: Câu 1: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2014)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 3a 3 24 B. V = 3a 3 8 C. V = 3a 3 12 D. V = 3a 3 4 Câu 2: (Trích đề thi TSĐH Khối D năm 2011)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và góc SBC bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 2 3a 3 B. V = 6 3a 3 C. V = 2a 3 D. V = 3a 3 Câu 3:(Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 7a 3 12 B. V = 7a 3 4 C. V = 7a 3 6 D. V = 7a 3 2 Câu 4:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, góc ABC bằng 300 , tam giác SBC đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 10 A. V = a3 16 B. V = 3a 3 16 C. V = a3 8 D. V = 3a 3 8 Câu 5:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2014)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SD = 3a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là 2 trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 A. V = 3 B. V = a 3 a3 C. V = 6 a3 D. V = 2 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD. A. V = 3a 3 24 B. V = 3a 3 8 C. V = 3a 3 12 D. V = 3a 3 4 Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC. A. V = a3 12 B. V = a3 4 C. V = 3a 3 12 D. V = 3a 3 4 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , H là trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp a. 13a 3 A. V = 2 3 13a 3 B. V = 2 C. V = 3 13a 3 D. V = 13a 3 Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. A. V = 2 3a 3 B. V = 6 3a 3 C. V = 3a 3 D. V = 13a 3 3 11 Dạng 3: Thể tích khối chóp đều. Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = a 3 11 12 B. V = a3 3 12 C. V = a 3 47 24 D. V = a 3 11 4 Phân tích, lời giải và bình luận 1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu. + Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích tam giác đều, cách xác định chiều cao của hình chóp đều. 2) Lời giải: + Xác định công thức: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều 1 3 nên SH là đường cao của hình chóp. Do đó: V = .SH.SABC . 2 + SH = 2 a 3 a 33 . SA − AH = 4a −  .  = 3 3 2  2 2 2 1 2 + SABC = AB.AC.sin 600 = 1 3 a2 3 . 4 1 a 33 a 2 3 a 3 11 . . = 3 3 4 12 Do đó: V = .SH.SABC = . Đáp án: A 3) Bình luận: • Các phương án nhiễu: + B : Học sinh coi chiều cao là SA. 12 1 3 + C : Học sinh tính AH sai: AH = AM = + D : Học sinh quên a 3 6 1 trong công thức tính thể tích. 3 • Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2. • Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp đều vì thế cần nắm vững định nghĩa hình chóp đều cũng như các tính chất liên quan. Đôi khi giả thiết có thể cho đáy là tam giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau thì bản chất cũng là cho hình chóp đều. Để tạo ra các bài toán cùng dạng ta có thể áp dụng cách làm trong các bài toán trên. Một số câu hỏi cùng dạng: Câu 1: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. A. V = 2a 3 12 B. V = 2a 3 4 C. V = 2a 3 2 D. V = 2a 3 6 Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 6a 3 A. V = 6 6a 3 B. V = 2 6a 3 C. V = 3 D. V = 6a 3 Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 2a 3 6 B. V = 2a 3 2 C. V = 2a 3 3 D. V = 2a 3 Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 3a 3 24 B. V = 3a 3 8 C. V = 3a 3 12 D. V = 3a 3 4 Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và chiều cao bằng a 2 . 2 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.. A. V = 2a 3 6 B. V = 2a 3 2 C. V = 2a 3 12 D. V = 2a 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = 13 SD, tam giác SBD là tam giác vuông. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.. A. V = 2a 3 6 B. V = 2a 3 2 C. V = 2a 3 12 D. V = 2a 3 4 2a 3 12 D. V = 2a 3 4 Câu 7: Tính thể tích của khối bát diện đều cạnh a. A. V = 2a 3 6 B. V = 2a 3 2 C. V = Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối chóp S.ABC là: 11a 3 A. V = 12 11a 3 B. V = 4 11a 3 C. V = 6 11a 3 D. V = 2 Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3 , và SA = SB = SC = SD = a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: A. V = 2a 3 6 B. V = 2a 3 2 C. V = 2a 3 12 D. V = 6a 3 6 Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm2, diện tích một mặt bên là 8 3cm2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: A. V = 32 11a 3 3 B. V = 32 11a 3 C. V = 64 11a 3 3 D. V = 64 11a 3 14 Dạng 4: Thể tích khối chóp có hình chiếu của đỉnh không thuộc cạnh đáy. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AC = 4AH. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = a 3 14 12 B. V = a 3 14 4 C. V = a 3 14 24 D. V = a 3 14 8 Phân tích, lời giải và bình luận 1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu. + Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích hình vuông, cách tính đường cao trong một tam giác. 2) Lời giải: 1 3 + Xác định công thức: V = .SH.SABC . 2 +SH = a 2 a 14 . SA − AH = a −   = 4  4  2 2 2 + SABCD = a 2 . 1 a 14 2 a 3 14 . .a = 3 4 12 1 3 Do đó: V = .SH.SABCD = . Đáp án: A 3) Bình luận: • Các phương án nhiễu: + B : Học sinh quên 1 trong công thức tính thể tích. 3 + C : Học sinh nhân thêm 1 trong công thức tính diện tích hình vuông. 2 + D : Sai lầm của cả B và C • Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2. • Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp mà hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm không thuộc cạnh đáy, vị trí của nó trên mặt phẳng đáy đã chỉ rõ, vì vậy việc xác 15 định công thức là tương đối dễ dàng. Để tính được nó chỉ cần dựa vào giả thiết để đưa chiều cao cần tính về tính chiều cao trong tam giác mà thôi. • Một số câu hỏi cùng dạng Câu 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a, hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V = 7a 3 18 B. V = 7a 3 6 C. V = 7a 3 9 D. V = 7a 3 3 Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O với AC = a, cạnh bên SA = a, SO vuông góc với (ABCD) và SO = A. V = 3a 3 12 B. V = a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 2 3a 3 4 C. V = 3a 3 6 D. V = 3a 3 2 Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là trung điểm BC, hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM. Biết góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. a3 A. V = 16 a3 C. V = 8 3a 3 B. V = 16 3a 3 D. V = 8 Câu 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O với AB = a và AD = a 3 , SO = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 3a 3 A. V = 3 B. V = 3a 3 3a 3 C. V = 6 3a 3 D. V = 2 Câu 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD tại A và D với CD = 2AB = 2AD = 2a, SA = a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BD. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 2a 3 4 B. V = 3 2a 3 4 C. V = 2a 3 2 D. V = 3 2a 3 2 Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . a Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc 2 với mặt phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD. 16 4a 3 A. V = 15 4a 3 B. V = 5 8a 3 C. V = 15 8a 3 D. V = 5 Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 3 , ACB = 600 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 78a 3 A. V = 18 78a 3 B. V = 6 78a 3 C. V = 9 78a 3 D. V = 3 Câu 8: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a và M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 60 0. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC. 6a 3 A. V = 16 3 6a 3 B. V = 16 6a 3 C. V = 8 3 6a 3 D. V = 8 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I, AB = 2a 3 , BC = 2a.Chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy trùng với trung điểm DI. Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. V = 12a 3 B. V = 4a 3 C. V = 6a 3 D. V = 2a 3 Câu 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trong tâm của tam giác ABD. Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD . A. V = 3a 3 9 B. V = 3a 3 3 C. V = 2 3a 3 9 D. V = 2 3a 3 3 17 Dạng 5: Thể tích khối chóp tính theo tỉ số thể tích. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng qua A và vuông góc SC cắt SB và SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của khối tứ diện SAHK. 8a 3 B. V = 15 8a 3 A. V = 45 16a 3 C. V = 45 16a 3 D. V = 15 Phân tích, lời giải và bình luận 1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản. + Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông. 2) Lời giải: + Tam giác SAC vuông tại A có AK là đường SK SA 2 4a 2 2 = = = . cao, nên: SC SC2 6a 2 3 +Ta chứng minh được AH vuông góc với SB nên tương tự trong tam giác vuông SAB ta có: SH SA 2 4a 2 4 = = = . SB SB2 5a 2 5 + Ta có: VSAHK SH SK 8 = . = . VSABC SB SC 15 1 1 3 2 + Mà: VSABC = . BA.BC.SA = Do đó: V = a3 3 8a 3 . 45 Đáp án: A 3) Bình luận: • Bài toán trên có thể tính thể tích bằng phương pháp trực tiếp: Tính chiều cao SK và diện tích tam giác AHK. • Các phương án nhiễu: 18 + B : Học sinh quên 1 trong công thức tính thể tích. 3 + C : Học sinh nhân thêm 1 trong công thức tính diện tích hình vuông. 2 + D : Sai lầm của cả B và C • Đây là dạng toán liên quan tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp gián tiếp, cụ thể là tỷ số thể tích. Học sinh cần nắm được tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác: VS.A'B'C' SA ' SB' SC' = . . VS.ABC SA SB SC Đặc biệt: VS.AB'C' SB' SC' = . VS.ABC SB SC VS.ABC' SC' = VS.ABC SC Thường thì ta áp dụng công thức trên trong trường hợp 2 chóp tam giác có chung đỉnh nhưng hai đáy nằm trên 2 mặt phẳng khác nhau. Còn nếu trong trường hợp hai chóp chung đỉnh và hai đáy cùng nằm trên mặt phẳng thì ta quy về tính theo tỷ số diện tích của hai đáy(vì cùng chiều cao). 19 Ví dụ: Câu 37 đề minh họa của BGD Câu 36: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD và DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP. A. V = 7a 3 2 C. V = B. V = 14a 3 28a 3 3 D. V = 7a 3 • Một số bài tập cùng dạng: Câu 1:Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF. a3 A. V = 36 a3 B. V = 12 a3 C. V = 18 a3 D. V = 24 Câu 2:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.DBC. A. V = 5 3a 3 96 B. V = 3 3a 3 96 C. V = 5 3a 3 32 D. V = 5 3a 3 192 Câu 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi M là trung điêm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích V của khối chóp S.AEMF. A. V = 6a 3 18 B. V = 6a 3 6 C. V = 6a 3 9 D. V = 6a 3 12 Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , A C và A D đôi một vuông góc với nhau, AB = a ; AC = 2a và AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD , CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . 2a 3 a3 3a 3 A. V = a . . C. V = . D. V = . 3 4 4 Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AB = a , BC = a 3 , SA = a . Một mặt phẳng ( ) qua A vuông góc 3 B. V = SC tại H và cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. 20