“Néi dung vµ ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh líp
5 gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè”
PhÇn më ®Çu.
I. Lý do nghiªn cøu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
§Êt níc ta ®ang trªn con ®êng ®æi míi tiÕn tíi chñ nghÜa ho¸ hiÖn ®¹i ho¸ ®Êt níc. Mét trong nh÷ng yÕu tè quyÕt ®Þnh cho sù thµnh
c«ng cña sù nghiÖp ®ã chÝnh lµ yÕu tè con ngêi. Bëi vËy §¶ng vµ Nhµ
níc ta ®· ®Æt nhiÖm vô gi¸o dôc lªn hµng ®©u, coi gi¸o dôc lµ “Quèc
s¸ch”. §iÒu ®ã ®îc thÓ hiÖn râ ë NghÞ quyÕt 2 cña Ban chÊm hµnh
trung ¬ng §¶ng kho¸ VIII ®ã lµ: “N©ng cao toµn diÖn chÊt lîng bËc
tiÓu häc”. §ã lµ nhiÖm vô ®Æc biÖt quan träng cña bËc TiÓu häc. Mét
trong nh÷ng yÕu tè quyÕt ®Þnh sù h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn nh©n c¸ch,
ãc s¸ng t¹o, kh¶ n¨ng t duy ®éc lËp vµ sù ham kh¸m ph¸, t×m tßi kiÕn
thøc khoa häc ®ã lµ viÖc häc to¸n, Häc to¸n sÏ gióp häc sinh ph¸t triÓn
kh¶ n¨ng t duy kh¸ linh ho¹t. Do ®ã ngêi thÇy cÇn ph¶i ph¸t hiÖn, båi
dìng kÞp thêi nh÷ng mÇm mèng trÝ tuÖ to¸n häc. ViÖc gi¶i to¸n, ®ßi
hái häc sinh ph¶i t duy linh ho¹t, tæng hîp c¸c kiÕn thøc mét c¸ch hÖ
thèng vµ gi¶i quyÕt c¸c t×nh huèng to¸n häc thËt chÝnh x¸c cao. Trong
thùc tÕ gi¶ng d¹y, ë mét líp häc lu«n cã 4 ®èi tîng häc sinh: Giái Kh¸ - Trung b×nh - YÕu.
Do ®ã ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i biÕt bao qu¸t c¸c ®èi tîng häc
sinh ®Ó cã ph¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp nh»m phô ®¹o nh÷ng hãc inh
cßn yÕu kÐm vµ ph¸t hiÖn nh÷ng häc sinh cã kh¶ n¨ng to¸n häc. §Æc
biÖt lµ c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè cã néi dung hÕt søc phong phó vµ phøc
hîp - lµ d¹ng to¸n ®iÓm h×nh trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 5, lu«n g¾n
víi c¸c t×nh huèng thùc tÕ, vµ c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè ®ßi hái häc sinh
cã kh¶ n¨ng t duy nhanh. Trong nhiÒu n¨m d¹y to¸n líp 5, t«i ®· tÝch
gãp ®îc mét sè kinh nghiÖm båi dìng häc sinh giái líp 5 gi¶i to¸n vÒ
ph©n sè, v× vËy t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi: “Néi dung vµ ph¬ng ph¸p
båi dìng häc sinh giái líp 5 gi¶i to¸n vÒ ph©n sè” nh»m n©ng cao tr×nh
®é
Ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh giái ë bËc tiÓu häc cho b¶n th©n
vµ cho ®ång nghiÖp, gi¶i quyÕt tèt c«ng t¸c ph¸t hiÖn vµ båi d ìng häc
sinh giái to¸n ë tiÓu häc nãi chung vµ ë líp 5 nãi riªng
II. Môc ®Ých nghiªn cøu s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm:
- Gãp phÇn vµo c«ng t¸c ph¸t hiÖn vµ båi dìng häc sinh giái to¸n
ë tiÓu häc hiÖn nay, t«i ®· t×m hiÒu vµ xin ®a ra néi dung vµ ph¬ng
ph¸p båi dìng hãc inh giái to¸n víi ®Ò tµi:
“Néi dung vµ ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh giái líp 5 gi¶i c¸c
bµi to¸n vÒ ph©n sè”
- N©ng cao tr×nh ®é, ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh giái ë tiÓu
häc cho b¶n th©n. Cïng ®ång nghiÖp nghiªn cøu vµ trao ®æi kinh
nghiÖm gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ båi dìng häc sinh giái to¸n.
- KÕt qu¶ cña ®Ò tµi nghiªn cøu sÏ lµ tµi liÖu båi dìng häc sinh
giái to¸n ë tiÓu häc.
III. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm.
- §äc tµi liÖu cã liªn quan ®Õn gi¶i to¸n vÒ ph©n sè.
- T×m hiÓu c¸c lo¹i s¸ch n©ng cao, båi dìng häc sinh giái líp 5
- Nghiªn cøu c¸c ®Ò thi hãc inh giái cÊp huyÖn, tØnh, quèc gia
hµng n¨m.
- Dù giê vµ trao ®ái cïng ®ång nghiÖp vÒ c¸ch thøc båi d ìng häc
sinh giái to¸n.
- Tæ chøc d¹y thùc ngiÖm néi dung vµ ph¬ng ph¸p båi dìng häc
sinh giái to¸n ë tiÓu häc.
- Qua kinh nghiÖm båi dìng häc sinh giái ë trêng cña b¶n th©n.
IV. Thêi gian nghiªn cøu s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm.
N¨m häc 2005 - 2006
V. Tãm t¾t néi dung cña s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm.
Ch¬ng 1: HÖ thèng c¸c chuyªn ®Ò to¸n n©ng cao dµnh cho häc
sinh giái to¸n ë tiÓu häc.
Ch¬ng 2: VÞ trÝ vµ tÇm quan träng cña m¹ch kiÕn thøc vÒ ph©n
sè.
Ch¬ng 3: Ph©n tÝch thùc tr¹ng viÖc d¹y vµ häc kiÕn thøc vÒ ph©n
sè.
Ch¬ng 4: Néi dung biªn ph¸p vµ kÕt qu¶ båi dìng m¹ch kiÕn
thøc vÒ ph©n sè.
VI. Mét s« kÕt qu¶ ®¹t ®îc trong s¸ng kiÕn
kinh nghiÖm.
§a ra ®îc néi dung vµ ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh giái to¸n
theo ®Ò tµi: “Néi dung vµ ph¬ng ph¸p båi dìng häc sinh giái líp 5 gi¶i
to¸n vÒ ph©n sè”.
Cô thÓ:
+ HÖ ®ång ho¸ kiÕn thøc cÇn nhí cho häc sinh, ®Ò xuÊt c¸ch
gi¶i, x©y dùng thÝ dô minh ho¹, su tÇm vµ giíi thiÖu mét sè bµi to¸n
theo tõng d¹ng cã trong s¸ng kiÕn.
+ Trao ®æi kinh nghiÖm cïng ®ång nghiÖp gãp phÇn n©ng cao
hiÖu qu¶ cïng c¸c båi dìng häc sinh giái to¸n vÒ ph©n sè.
VII. TriÓn väng nghiªn cøu tiÕp s¸ng kiÕn kinh
nghiÖm.
Tõ viÖc viÕt SKKN nµy ®· gióp b¶n th©n cã c¬ söo ®Ó sau nµy
tiÕp tôc nghiªn cøu c¸c ®Ò tµi kh¸c cã liªn quan ®Õn viÖc ph¸t hiÖn vµ
båi dìng häc sinh giái ë bËc tiÓu häc.
B. PhÇn néi dung.
Ch¬ng I: HÖ thèng c¸c chuyªn ®Ò to¸n n©ng cao
dµnh cho häc sinh giái to¸n ë tiÓu häc.
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
Chuyªn
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
®Ò
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Sè vµ cÊu t¹o sè.
§Õm sè vµo phÐp tÝnh
C¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt vµ chia cã d.
C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè.
C¸c bµi to¸n vÒ tÝnh tuæi.
Ph©n sè vµ sè thËp ph©n
C¸c bµi to¸n vÒ hinh häc
C¸c bµi to¸n vÒ suy luËn ...........
c¸c bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng
Chuyªn ®Ò 10: C¸c bµi to¸n vui vµ to¸n cò
Ch¬ng II: VÞ trÝ vµ tÇm quan träng cña m¹ch kiÕn
thøc vÒ phÇn sè.
- RÌn luyÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy, ãc ph¸n ®oµn suy luËn nhanh
nh¹y.
- Gãp phÇn häc tèt c¸c phÇn kh¸c cña sè häc còng nh hç trî vµo
viÖc häc c¸c yÕu tè ®¹i sè vµ h×nh häc.
- H×nh thµnh nh÷ng phÈm chÊt c¶ nh÷ng lao ®éng míi s¸ng t¹o,
linh ho¹t, lµm viÖc khoa häc vµ chÝnh x¸c cao.
Ch¬ng III: Ph©n tÝch thùc tr¹ng viÖc d¹y vµ häc kiÕn
thøc vÒ ph©n sè.
1. VÒ viÖc d¹y cña gi¸o viªn.
- Thùc tÕ n¨m häc 2005 - 2006, nhµ trêng ph©n c«ng t«i trùc tiÕp
båi dìng häc sinh giái líp 5B. Qua thêi gian d¹y, t«i ®· n¾m b¾t ® îc
t×nh h×nh chÊt lîng häc tËp tõng häc sinh trong líp. Tõ ®ã, t«i tù lËp kÕ
ho¹ch båi dìng cô thÓ tõng d¹ng theo tõng ®èi tîng häc sinh, ph©n lo¹i
kh¼nng trÝ tuÖ, kh¶ n¨ng lÜnh héi kiÕn thøc cña tõng häc sinh. Tõ ®ã
x©y dùng ph¬ng ph¸p tù häc, tù nghiªn cøu, t×m tßi cho häc sinh, hÖ
thèng cho c¸c em nh÷ng kiÕn thøc cÇn nhí, nhí ch¾c, nhí l©u ®· ¸p
dông gi¶i tõng d¹ng to¸n, rÌn cho c¸c em c¸ch lµm viÖc khoa häc
nhanh nh¹y trong viÖc xö lý c¸c t×nh huèng to¸n häc.
2. VÒ phÝa häc cña häc sinh:
- Trong 1 líp häc båi dìng, cã nhiÒu kh¶ n¨ng tiÕp cËn kiÕn
thøc. §èi víi nh÷ng häc sinh cã kh¶ n¨ng tiÕp thu nhanh nh¹y th× hay
hÊp tÊp. DÉn ®Õn nh÷ng sai sãt kh«ng ®¸ng cã. Mét sè häc sinh ch a
thÝch øng nhanh nh¹y kü n¨ng to¸n häc nªn cßn lóng tóng trong viÖc
®Þnh híng c¸ch gi¶i tõng d¹ng to¸n vÒ ph©n sè.
Qua kh¶o s¸t chÊt lîng ®Çu n¨m häc (th¸ng 9 n¨m 2005) ë líp
5B - Trêng TiÓu häc §«ng LÜnh A vÒ viÖc gi¶i to¸n vÒ ph©n sè.
KÕt qu¶ d¹t ®îc nh sau:
+ Néi dung kh¶o s¸t: 3 bµi
+ Thêi gian kh¶o s¸t: 40 phót
+ Sè häc sinh ®îc kh¶o s¸t: 29 em
+ KÕt qu¶ kh¶o s¸t nh sau:
§iÓm
Sè lîng
Tû lÖ (%)
9 - 10
5
17,3
7-8
7
24,1
5-6
7
24,1
Díi 5
10
34,5
* Mét sè sai lÇm häc sinh thêng m¾c lµ:
+ Häc sinh cßn lóng tóng trong viÖc ®Þnh híng c¸ch gi¶i tõng
d¹ng to¸n vÒ ph©n sè.
+ Häc sinh cha n¾m ch¾c c¸ch gi¶i tõng d¹ng to¸n vÒ ph©n sè
nªn dÉn ®Õn lóng tóng c¸ch tr×nh bµy bµi gi¶i.
3. VÒ viÖc sö dông tµi liÖu d¹y häc:
HiÖn nay, tµi liÖu båi dìng häc sinh giái líp 5 gi¶i to¸n rÊt
nhiÒu. NHê cã tµi liÖu tham kh¶o mµ häc sinh ®· tÝch luü ® îc nhiÒu
kiÕn thøc mét c¸ch tæng hîp vµ bao qu¸t c¸c d¹ng to¸n. Song tµi liÖu
chØ mang tÝnh chÊt tham kh¶o. §iÒu c¬ b¶n lµ ng êi häc ph¶i biÕn tµi
liÖu thµnh kiÕn thøc cña chÝnh b¶n th©n m×nh. Do vËy ®ßi hái gi¸o viªn
ph¶i lµ ngêi ®Þnh híng cho hãc inh c¸ch tham kh¶o tµi liÖu häc to¸n ®Ó
häc sinh tù chiÕm lÜnh kiÕn thøc to¸n häc cña m×nh.
Ch¬ng IV: Néi dung, biÖn ph¸p vµ kÕt qu¶ båi dìng m¹ch kiÕn
thøc vÒ ph©n sè.
I. Néi dung kiÕn thøc vÒ ph©n sè:
Qua nghiªn cøu thùc tÕ båi dìng häc sinh giái trong n¨m häc
võa qua, t«i cã thÓ chia c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè thµnh 4 d¹ng sau:
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ cÊu t¹o ph©n sè.
Lo¹i 1: C¸c bµi to¸n vÒ kh¸i niÖm ph©n sè.
Lo¹i 2: C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè ¸p dông c¸c.........?....
D¹ng 2: C¸c bµi to¸n vÒ so s¸nh ph©n sè.
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ vËn dông kü n¨ng thùc hµnh bèn phÐp
tÝnh trªn ph©n sè.
D¹ng 4: Gi¶i to¸n cã lêi v¨n
II. Ph¬ng ph¸p d¹ng vµ häc kiÕn thøc vÒ ph©n sè.
- C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè lµ mét chuyªn ®Ò khã vµ rÊt quan
träng. §ßi hái gi¸o viªn ph¶i cã kiÕn thøc v÷ng vµng.
- D¹ng c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè chñ yÕu chó träng phÇn luyÖn tËp
thùc hµnh tõ dÔ ®Õn khã cho häc sinh, gióp cho sinh n¾m ch¾c tõng
d¹ng vµ c¸ch gi¶i tõng d¹ng vÒ ph©n sè. CÇn rÌn cho häc sinh tÝnh
chÝnh x¸c khi gi¶i.
- Gi¸o viªn chó träng khuyÕn khÝch hãc inh t×m ra c¸ch gi¶i
nhanh gän vµ mang tÝnh hÖ thèng cao.
- Híng cho häc sinh tù t×m tßi, kh¸m ph¸, ®éc lËp suy nghÜ c¸ch
gi¶i, ®óng nhÊ, hay nhÊt, chÝnh x¸c nhÊt.
- Ph¸t huy cao ®é kh¶ n¨ng t duy ®éc lËp cña häc sinh trong viÖc
t×m kiÕn c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt.
III. Néi dung, ph¬ng ph¸p gi¶i tõng d¹ng:
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ cÊu t¹o ph©n sè.
1. KiÕn thøc cÇn nhí:
1. §Ó ký hiÖu mét sè ph©n sè cã tö sè b»ng a, mÉu sè b»ng b (víi
a lµ sè tù nhiªn vµ b lµ sè tù nhiªn 0) ta viÕt:
a
b
- MÉu sè b chØ sè phÇn b»ng nhau ®îc chia ra tõ 1 ®¬n vÞ, tö sè a
chØ sè phÇn ®îc lÊy ®i.
Ph©n sè
a
b
cßn hiÒu lµ ........? cña phÐp chia a: b.
2. Mçi sè tù nhiªn a cã thÓ coi lµ mét ph©n sè cã mÉu sè b»ng 1
a=
a
1
3. Ph©n sè cã tö sè nhá h¬n mÉu sè th× nhá h¬n 1; cã tö sè lín
h¬n mÉu sè th× lín h¬n 1 vµ tö sè b»ng mÉu sè th× b»ng 1.
4. NÕu nh©n c¶ tö sè vµ mÉu sè cña mét ph©n sè víi mét sè tù
nhiªn kh¸c 0 th× ®îc ph©n sè b»ng ph©n sè ®· cho:
axn a
( n 0)
bxn b
5. NÕu ta chia c¶ tö sè vµ mÉu sè cña mét ph©n sè ®· cho cïng
mét sè tù nhiªn kh¸c 0 (gäi lµ rót gän ph©n sè) th× ® îc ph©n sè b»ng
ph©n sè ®· cho.
a:m a
( n 0 )
b:m b
6. Ph©n sè cã mÉu sè b»ng 10, 100, 1000... gäi lµ ph©n sè thËp
ph©n.
+ TÝnh chÊt cña ph©n sè.
TÝnh chÊt 1: Khi céng c¶ tö sè vµ mÉu sè cua rmét ph©n sè víi
cïng mét sè tù nhiªn th× hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã
kh«ng thay ®æi.
TÝnh chÊt 2: Khi bít c¶ tö sè vµ mÉu sè cña mét ph©n sè ®i cïng
mét sè tù nhiªn th× hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã kh«ng
thay ®æi.
TÝnh chÊt 3: NÕu ta thªm vµo tö sè vµ bít ®i ë mÊu sè cña mét
ph©n sè víi cïng 1 sè tù nhiªn th× tæng sè cña tö sè vµ mÉu sè cña
ph©n sè ®ã kh«ng thay ®ái.
TÝnh chÊt 4: NÕu ta bít ë tö sè vµ thªm vµo mÉu sè cña 1 ph©n sè
víi cïng 1 sè tù nhiªn th× tæng cña tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã
kh«ng thay ®æi.
2. Ph¬ng ph¸p gi¶i d¹ng 1:
Lo¹i 1: C¸c bµi to¸n vÒ kh¸i niÖm ph©n sè.
+ LËp b¶ng ph©n tÝch mét sè thµnh tæng..........? cña 2 sè.
+ Dùa vµo b¶ng ph©n tÝch ®Ó kÕt luËn ph©n sè cÇn t×m.
Lo¹i 2: C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè ¸p dông c¸c tÝnh chÊt.
+ ¸p dông 4 tÝnh chÊt cña ph©n sè ®Ó nhËn xÐt tæng hoÆc hiÖu
cña 2 ph©n sè ®· cho.
+ Dùa vµo nhËn xÐt ®Ó ®a vÒ bµi to¸n vÒ d¹ng t×m 2 sè khi biÕt
tæng (hoÆc hiÖu) vµ tû sè cña chóng .........................
Mét sè vÝ dô minh ho¹ d¹ng 1:
Lo¹i 1: c¸c bµi to¸n vÒ kh¸i niÖm ph©n sè.
VÝ dô 1: H·y viÕt c¸c ph©n sè cã tæng c¸c tö sè vµ mÉu sè b»ng
8.
Gi¶i
Ta lËp b¶ng ph©n tÝch 8 thµnh tæng 2 sè cã tæng b»ng 8:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
6
5
4
3
2
1
Nh×n vµo b¶ng trªn ta cã c¸c ph©n sè cÇn t×m lµ:
0 1 2 3 4 5 6 7
; ; ; ; ; ; ;
8 7 6 5 4 3 2 1
tr¶ lêi: c¸c ph©n sè cÇn t×m lµ:
0 1 2 3 4 5 6 1
; ; ; ; ; ; ;
8 7 6 5 4 3 2 7
VÝ dô 2: H·y viÕt c¸c ph©n sè cã tÝch cña t«s vµmaux sè b»ng
200 sao cho khi chia c¸c tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã cho 5 ta ® îc 1
ph©n sè tèi gi¶m.
Gi¶i
Ta cã b¶ng ph©n tÝch 200 thµnh tÝch c¸c cÆp sè sau:
1
2
4
5
8
10
20
200
200
100
50
40
25
20
10
Nh×n vµo b¶ng ph©n tÝch trªn ta cã ph©n sè cÇn t×m lµ:
5
40
vµ
40
5
Tr¶ lêi: Ph©n sè cÇn t×m lµ:
5
40
vµ
40
5
Lo¹i 2: C¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè ¸p dông c¸c tÝnh chÊt.
VÝ dô 1: (¸p dông tÝnh chÊt 1)
Khi céng
13
31
víi cïng 1 sè tù nhiªn ta ®îc 1 ph©n sè b»ng
2002
2005
T×m sè tù nhiªn ®ã.
Gi¶i
Ta nhËn xÐt: Khi céng c¶ tö sè vµmaux sè cña 1 ph©n sè víi cïng
1 sè tù nhiªn th× hiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay
®æi.
HiÖu gi÷a mÉu sè cña ph©n sè ®· cho lµ:
31 - 13 = 18
Ta cã s¬ ®å sau;
2002 phÇn
Tö sè míi:
2005 phÇn
MÉu sè míi:
Tö sè cña ph©n sè míi lµ:
18: (2005 - 2003) x 2002 = 12012
STN cÇn t×m lµ:
12012 - 13 = 11999
Tr¶ lêi: STN cÇn t×m lµ: 11999
VÝ dô 2: (¸p dông tÝnh chÊt 2)
Khi tÊt c¶ tö sè vµ mÉu sè cña 1 ph©n sè
Ta ®îc 1 ph©n sè b»ng ph©n sè
7
3
271
151
®i cïng 1 STN
t×m STN ®ã
Gi¶i:
HiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®· cho lµ:
271 - 151 = 120
Ta nhËn xÐt; Khi bít ®i c¶ tö sè vµ mÉu sè cña 1 ph©n sè víi
cïng 1 STN th× hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay
®æi.
Ta cã s¬ ®å sau:
Tö sè míi:
MÉu sè míi:
120
MÉu sè cña ph©n sè míi lµ:
120 : (7-3) x 3 = 90
STN cÇn t×m lµ:
151 - 90 = 61
VÝ dô 3: (¸p dông tÝnh chÊt)
Khi céng thªm tö sè vµ biÕt ®i ë mÉu sè cña ph©n sè
cïng 1 STN ta ®îc 1 ph©n sè
7
3
53
67
víi
. T×m STN ®ã:
Gi¶i:
Tæng cña sè vµ mÉu sè cñaphan sè ®· cho lµ:
53 + 67 = 120
Ta nhËn xÐt: Khi thªm vµo tö sè vµ bít ®i ë mÉu sè cña 1 ph©n sè cïng
víi 1 STN th× tæng cña tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi.
Ta cã s¬ ®å sau:
Tö sè míi:
120
Tö sè cña ph©n sè míi lµ:
120 : (7 + 50) x 7 = 70
STN cÇn t×m lµ:
70 - 53 = 17
Tr¶ lêi: STN cÇn t×m lµ 17.
VÝ dô 4: (¸p dông th 4)
Khi bít ®i ë tö sè vµ thªm vµo mÉu sè cña ph©n sè
1 STN ta ®îc 1 ph©n sè
7
5
87
33
víi cïng
tÇn sè tù nhiªn ®ã.
Gi¶i
Tæng cña tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®· cho lµ:
87 + 33 = 120
Ta nhËn xÐt: Khi b¾t ®i ë tö sè vµ thªm vµo mÉu sè cña 1 ph©n sè
víi cïng 1 STN th× tång cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi.
Ta cã s¬ ®å sau:
Tö sè míi:
120
Tö sè cña ph©n sè míi lµ:
120: ( 7 + 8) x 7 = 70
STN cÇn t×m lµ:
87 - 70 = 17
Tr¶ lêi: STN cÇn t×m lµ 17
4. Su tÇm vµ giíi thiÖu 1 sè bµi to¸n ë d¹ng 1:
Lo¹i 1:
Bµi 1: H·y viÕt c¸c ph©n sè tèi gi¸m lín h¬n 1 cã tæng cña tö sè
vµ mÉu sè b»ng 8.
Bµi 2: T×m mét ph©n sè b»ng
7
13
sao cho mÉu sè cua rnã lín h¬n
tö sè 114 ®¬n vÞ.
Bµi 3: T×m 1 ph©n sè b»ng
cña ph©n sè Êy b»ng 1000.
9
16
sao cho tæng cña tö sè vµ mÉu sè
Bµi 4: T×m ph©n sè lín h¬n 1 sao cho tÝch cña tö sè vµ mÉu sè
cña ph©n sè Êy b»ng 111.
Bµi 5: ViÕt tÊt c¶ c¸c ph©n sè cã:
a. Tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 10.
b. TÝch cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 100.
Lo¹i 2:
Bµi 1: Cho ph©n sè
5
11
céng c¶ tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã
víi cïng 1 STN ta ®îc ph©n sè
Bµi 2: Cho ph©n sè
211
,
313
113
116
t×m sè ®ã.
Trõ c¶ tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè ®ã
cho cïng 1 STN ta ®îc ph©n sè b»ng
Bµi 3: T×m 1 ph©n sè b»ng
21
,
23
3
. TÇn sè ®ã.
5
biÕt r»ng khi ta céng thªm vµo t-
oso vµmaux sè cña ph©n sè ®ã víi cïng 1 STN ta ®îc ph©n sè
Bµi 4: T×m 1 ph©n sè b»ng
15
19
66
72
.
, biÕt r»ng khi ta trõ c¶ tö sè vµ
mÊuè cña ph©n sè ®ã cïng 1 STN ta ®îc ph©n sè b»ng
21
37
5. C¸ch ra ®Ò ë d¹ng 1:
- Lo¹i ¸p dông tÝnh chÊt vµ tÝnh chÊt 2:
Khi ra ®Ò cÇn 3 ®iÒu kiÖn:
§K 1: Ph©n sè ®· cho < 1 hoÆc >1
§K
2:
Ph©n
sè
®·
cho
ph¶i ...........?
§K 3: HiÖu gi÷a tÇn sè mÉu sè cña
ph©n sè thø nhÊt chia hÕt cho hiÖu
gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña ph©n sè
T2.
- Lo¹i ¸p dông t/c 3 vµ t/c 4:
Khi ra ®Ò cÇn 3 ®k:
§K 1: Ph©n sè ®· chã >1
§K 2: Ph©n sè ®· chã tèi gi¶m
§K 3: tæng cña t/sè vµmaux sè cña
ph©n sè t¹o thµnh ph¶i chia hÕt
cho tæng cña t/sè vµ mÉu sè cña
ph©n sè ®· cho.
D¹ng 2: c¸c bµi to¸n vÒ so s¸nh ph©n sè.
1. KiÕn thøc cÇn nhí.
1. Muèn quy ®ång mÉu sè cña 2 ph©n sè ta nhËn c¶ tö sè vµ mÉu
sè cña ph©n sè thø nhÊt víi mÊu sè cña ph©n sè thø 2: Nh©n tö sè
vµmaux sè cña ph©n sè t2 víi mÉu sè cña ph©n sè T1.
3. C¸c c¸ch thêng sö dông ®Ó so s¸nh ph©n sè:
C¸ch 1: ¸p dông quy t¾c so s¸nh ph©n sè cã cïng mÉu sè khi so
s¸nh 2 ph©n sè cã cïng mÉu sè: ta so s¸nh 2 tö sè, ph©n sè nµo cã tö
sè lín h¬n lµ lín h¬n.
C¸ch 2: ¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 ph©n sè kh¸c mÉu sè khi so
s¸nh 2 ph©n sè kh¸c mÉu sè: Tríc hÕt ta quy ®ång mÉu sè råi ¸p dông
c¸ch 1.
2. Muèn nh©n nhÈm mét sè cã 2 ch÷ sè víi 101 ta chØ viÖc viÕt
vµo sau sè chÝnh sè ®ã: .........?......
- Muèn nh©n nhÈm 1 sè cã 3 ch÷ sè víi 1 t¶ chØ viÖc viÕt ®»ng
sau.......................
C¸ch 3: ¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 ph©n sè cã cïng tö sè. NÕu
hai ph©n sè cã cïng tö sè th× ph©n sè nµo cã mÉu sè nhá h¬n sÏ lín
h¬n.
C¸ch 4: So s¸nh qua ph©n sè trung gian.
a c
c e
vµ
b d
d f
th×
a
b
<
e
f
C¸ch 5: ¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 “ph©n tö” víi 1 cña mçi ph©n
sè:
1-
a
c
1
b
d
th×
a c
b d
C¸ch 6: ¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 phÇn h¬n víi 1 cña mçi ph©n
sè:
a
c
1 1
b
d
th×
a c
b d
C¸ch 7: Phèi hîp gi÷a c¸c quy t¾c nãi trªn.
C¸ch gi¶i: - Khi ®Ò bµi cho c¸c ph©n sè cã tö sè lín h¬n mÉu sè
th×
¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 phÇn h¬n so víi 1
- Khi ®Ò bµi cho c¸c ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè
th×
¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 phÇn bï so víi 1.
- Tuú ®Ò bµi ra mµ ¸p dông c¸c c¸ch so s¸nh cho linh
ho¹t.
Mét sè vÝ dô minh ho¹ d¹ng 2:
VÝ dô 5: So s¸nh hai ph©n sè:
131
133
vµ
67
59
Gi¶i:
¸p dông quy t¾c so s¸nh qua 1 ph©n sè trung gian ta cã:
131 131 133
67
59
59
VËy:
131 133
67
59
VÝ dô 6: H·y s¾p sÕp c¸c ph©n sè sau theo thø tù tõ lín ®Õn bÐ
b»ng c¸ch hîp lý nhÊt:
13 53 95 1995
;
;
;
17 57 99 1999
Gi¶i:
¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 “phÇn bï’ víi 1 ta cã:
1-
13
4
17 17
1-
53
4
57 57
1-
95
4
99 99
1Ta thÊy:
1995
4
1999 1999
4
4
4
4
17 57 99 1999
4
4
4
4
1999 99 57 17
Do ®ã c¸c sè ®Þnh s¾p xÕp ®Ó tõ tõ lín lªn ®Õn lóc lµ:
1995 95 53 13
1999 99 57 17
Tr¶ lêi: c¸c sè ®îc s¾p xÕp theo thø tù tõ lín ®Õn bÐ lµ:
1995 95 53 13
1999 99 57 17
VÝ dô 7: H·y x¾p xÕp c¸c ph©n sè sau theo thø tù tõ bÐ ®Õn lín:
7 67 97 1997
;
;
;
4 64 95 1995
Gi¶i
¸p dông quy t¾c so s¸nh 2 phÇn h¬n so víi 1 ta cã:
7
3
1
4
4
97
2
1
95
95
;
67
3
1
64
64
Ta thÊy:
;
1997
2
1
1993
1995
3
3
2
2
vµ
64 4
1995 95
¸p dông quy t¾c so s¸nh qua 1 ph©n sè trung gian ta cã:
2
3
3
95 95 64
Do ®ã:
2
2
3 3
1995 95 64 4
VËy c¸c sè ®îc s¾p xÕp theo thø tù tõ bÐ ®Õn lín lµ:
1997 97 67 7
1995 95 64 4
Tr¶ lêi: C¸c sè ®îc s¾p xÕp thoe thø tù tõ bÐ ®Õn lín lµ:
1997 97 67 7
1995 95 64 4
VÝ dô 8: H·y viÕt 5 ph©n sè n»m gi÷a 2 ph©n sè
5
6
vµ
7
7
Gi¶i
Ta cã:
5 5x 6 30
7 7x 6 42
6 6 x6 36
7 7x6 42
VËy gi÷a 2 ph©n sè
5
6
vµ
7
7
cã 5 ph©n sè lµ:
31 32 33 34 35 36
;
;
;
;
;
42 42 42 42 42 42
Tr¶ lêi: ta viÕt ®îc 5 ph©n sè n»m gi÷a 2 ph©n sè
5
6
vµ
7
7
lµ:
31 32 33 34 35
;
;
;
;
42 42 42 42 42
VÝ dô 1: Rót gän ph©n sè:
1313
1737
Gi¶i:
¸p dông quy t¾c nh©n nhÈm 1 sè cã 2 ch÷ sè víi 101 ta cã:
1313 13x101 13
3737 37x101 37
Tr¶ lêi: Ph©n sè ®· ®îc rót gän lµ :
VÝ dô 2: Rót gän ph©n sè
13
37
123123
321321
Gi¶i:
¸p dông quy t¾c nh©n nhÈm 1 sè cã 3 ch÷ sè víi 101 ta cã:
123123 123x1001 123
321321 321x1001 321
Tr¶ lêi: Ph©n sè ®· ®îc rót gän lµ
VÝ dô 3: Rót gän ph©n sè:
123
321
17....7
88...85
biÕt r»ng tö sè cã 100 ch÷ sè
7 vµ mÉu sè cã 100 ch÷ sè 8.
Gi¶i
Ta nhËn xÐt: 85 = 17 x 5
885 = 177 x 5
VËy quy luËt ë ®©y lµ: Nªu sè ch÷ sè 7 ë tö sè b»ng sè ch÷ sè 8
ë mÊu sè th× mÉu sè gÊp 5 lÇn tö sè.
Ta cã:
17....7
88...85
17...7
1
17...7x5
5
=
Tr¶ lêi: Ph©n sè ®· ®îc rót gän lµ:
1
5
VÝ dô 4: Rót gän ph©n sè:
13...3
66...65
biÕt r»ng tö sè cã 100 ch÷ sè 3 vµ mÉu sè cã 100 ch÷ sè
6
Gi¶i:
Ta nhËn xÐt: 65 = 13 x 5
665 = 133 x 5
VËy quy luËt ë ®©y lµ: NÕu sè ch÷ sè 3 ë tö sè b»ng sè ch÷ sè 6
ë mÉu sè th× mÉu sè gÊp 5 lÇn tö sè.
Ta cã:
13...3
66...65
=
13...3
1
13...3x5 5
Tr¶ lêi: Ph©n sè ®· ®îc rót gän lµ
1
5
Su tÇm vµ giíi thiÖu mét sè bµi to¸n ë d¹ng 2
Bµi 1: Rót gän c¸c ph©n sè sau:
a.
1818181818
8181818181
b.
199619961996
149714971497
Bµi 2: so s¸nh c¸c ph©n sè sau b»ng c¸ch nhanh nhÊt:
a.
14
5
vµ
25
7
b.
1993
997
vµ
1995
998
Bµi 3: H·y viÕt c¸c ph©n sè sau:
a.
1992 1993 1994 1995 1996
;
;
;
;
1991 1992 1993 1994 1995
b.
7 17 57 97
;
;
;
8 18 58 98
theo thø tù t¨ng dÇn.
theo thø tù gi¶m dÇn
Bµi 3: H·y t×m 5 ph©n sè cã tö sè chia hÕt cho 5 vµ n»m gi÷a 2
ph©n sè:
a.
999
1001
vµ
1001
1003
b.
9
11
vµ
10
13
Bµi 4: h·y chøng tá r»ng c¸c ph©n sè sau ®Òu b»ng nhau:
a.
23 2323 232323
23232323
;
;
vµ
31 3131 313131
31313131
b.
1995
1996
;
19951995 199519951995
;
19911996 199619961996
C¸ch ra ®Ó ë d¹ng 2.
Khi ra ®Ò cÇn: Cho tÊt c¶ c¸c ph©n sè cã tö sè lín h¬n mÉu sè
hoÆc cho tÊt c¶ c¸c ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè.
D¹ng 3: c¸c bµi to¸n vÒ vËn dông kü n¨ng thùc hµnh bèn phÐp
tÝnh trªn ph©n sè.
1. KiÕn thøc cÇn nhí:
1. Ph¸p céng: Muèn céng hai ph©n sè cã cïng mÉu sè ta céng tö
sè víi tö sè vµ gi÷ nguyªn mÉu sè:
a c a c
b b
b
- Muèn céng hai ph©n sè kh¸c mÉu sè, tríc hÕt quy ®ång mÉu sè
cña chóng, sau ®ã céng tö sè víi nhau vµ gi÷ nguyªn mÊu sè chung:
a c axc cxb
b d
bd
2. PhÐp trõ: (t¬ng tù nh phÐp céng)
3. PhÐp nh©n: Muèn nh©n mét ph©n sè víi mét ph©n sè ta lÊy tö
sèvíi tö sè vµ mÉu sè nh©n víi mÉu sè.
a c a c
b d bxd
a. PhÐp chia:
Muèn chia hai ph©n sè, ta lÊy tö sè cña ph©n sè thø nhÊt nh©n
víi mÉu sè cña ph©n sè thø hai ®îc kÕt qu¶ lµ tö sè cña th¬ng vµ lÊy
mÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt nh©n víi tö sè cña ph©n sè thø hai ® îc kÕt
qu¶ lµ mÉu sè cña th¬ng:
a c axd
:
b d bxc
4. C¸c tÝnh chÊt cña phÐp tÝnh trªn ph©n sè:
a. TÝnh chÊt giao kho¸n:
a c c a
b d d b
a c c a
x x
b d d b
b. TÝnh chÊt kÕt hîp:
a c e a c e
b d f b d f
a c e a c e
x x x x
b d f b d f
c. TÝnh chÊt ph©n phèi:
d c e a c a e
x x x
b d f b d b f
C¸ch gi¶i: - VËn dông kü n¨ng thùc hµnh 4 phÐp tÝnh vÒ ph©n sè
- ¸p dông c¸c tÝnh chÊt cña ph©n sè ®Ó gi¶i.
Mét sè vÝ dô minh ho¹ d¹ng 3:
1. VÝ dô 1: TÝnh nhanh c¸c biÓu thøc sau:
a)
1995 x 1994 – 1
1993 x 1995 + 1994
b)
20,2 x 5,1 - 30,3 x 3,4 + 14,58
14,58 x 460 + 7,29 x 540 x 2
Gi¶i
a)
1995 x 1994 – 1
1993 x 1995 + 1994
=
1995 x (1993 + 1) - 1
1993 x 1995 + 1994
a)
1995 x 1993 + 1995 - 1
1993 x 1995 + 1994
=
1995 x 1993 + 1994
1993 x 1995 + 1994
b)
20,2 x 5,1 - 30,3 x 3,4 + 14,58
14,58 x 460 + 7,29 x 540 x 2
=
20,2 x 3 x 1,7,1 - 30,3 x 2 x 1,7 + 14,58
14,58 x 460 + 7,29 x 540 x 2
=
60,6 x 1,7 - 60,6 x 1,7 + 14,58
14,58 x 460 + 14,58 x 540
=
14,58
14,58 x (460 + 540)
=
14,58
14,58 x 100
=
1
1000
VÝ dô 2: tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau b»ng c¸ch hîp lý nhÊt:
0,36 x 950 + 0,18 x 726 x 2 + 3 x 324 x 0,12
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 27 + 29 + 31 - 152
Gi¶i
TÝnh 1: ta tÝnh gi¸ trÞ cña tö sè nh sau:
TÝnh 2: Ta tÝnh gi¸ trÞ cña mÉu sè nh sau:
=1
Ta nhËn xÐt: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + 27 + 29 + 31 lµ 1 d·y sè
c¸ch ®Òu cã kho¶ng c¸ch lµ 2
Sè h¹ng cña d·y sè lµ:
( 31 - 1) : 2 + 1 = 16 (sè)
Gi¸ trÞ cña d·y sè lµ:
( 31 + 1 ) x 16 : 2 = 256
Gi¸ trÞ cña mÉu sè lµ:
256 - 152 = 104
0,36 x 950 + 0,18 x 726 x 2 + 3 x 324 x 0,12
= 0,36 x 950 + 0,36 x 726 + 0,36 x 324
= 0,36 x (950 + 726 + 324)
= 0,36 x 2.000
= 720
VËy gi¸ rÞ cña biÓu thøc lµ
720
90
=
104
13
VÝ dô 3: TÝnh nhanh biÓu thøc sau:
(23,4 + 19,5) x 7 + (23,4 + 19,50 x 3 + 11
0,55 x 2 x 30 + 5 x 11 + 2,75 x 8
Gi¶i
(23,4 + 19,5) x 7 + (23,4 + 19,5) x 3 + 11
0,55 x 2 x 30 + 5 x 11 + 2,75 x 8
=
=
=
42,9 x 7 + 42,9 x 3 + 11
0,55 x 60 + 55 + 0,05 x 55 x 8
42,9 x 7 + 42,9 x 3 + 11
0,55 x 0,6 + 55 + 55 x 0,4
42,9 x (7 +3) + 11
55 x (0,6 + 1 x 0,4)
=
42,9 x 10 + 11
55 x 2
- Xem thêm -