Tài liệu Skkn phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 11

Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học A - MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường trung học phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết còn rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, bồi dưỡng tính sáng tạo và thẩm mĩ. Thực tế ở trường THPT Thanh Khê chúng tôi hiện nay, chất lượng vào đầu cấp còn khá thấp so với mặt bằng chung của thành phố, đặc biệt đa số các em xuất thân từ các gia đình kinh tế khó khăn, ít có điều kiện học tập, bị hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn, thêm vào đó, lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với phần lớn học sinh ở đây nên việc truyền tải và phát triển khả năng nhận thức, tư duy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh gặp nhiều trở ngại. Đặc biệt, học sinh khối 11 khi học về phép biến hình trong mặt phẳng rất vất vả để tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để ít nhiều giúp học sinh học tốt một phần của chương trình này, tôi đã chọn đề tài “Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học”. II. Mục đích nghiên cứu: Tạo hứng thú học tập, tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT Thanh Khê. Làm cho học sinh hiểu, phân biệt rõ các phép dời hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh cũng như chất lượng giảng dạy trong các tiết học. III. Cấu trúc của đề tài: A – MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Cấu trúc của đề tài B - NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng của đề tài Giải quyết vấn đề Định nghĩa và biểu thức toạ độ phép dời hình Một số tính chất của phép dời hình Các dạng bài tập cơ bản Một số bài tập tham khảo C - KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo B - NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú trọng phát huy động cơ học tập giúp học sinh thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận Trần Thị Phước Vinh 3 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn; hay có thể có những em thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Dù là khả năng nào đi chăng nữa, học sinh cần thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển thì phải có tri thức, phải luôn học hỏi. Riêng về môn Hình học 11, qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép dời hình, các em thường có tâm lí không biết ứng dụng của phép dời hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học chương này. Thế nên giáo viên cần chỉ rõ, đưa ra những ví dụ cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép dời hình vào giải toán. Ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp cụ thể, trực tiếp vào đúng đối tượng học sinh để các em yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, còn số ít các em khá không thấy chán nản, vẫn có thể vừa rèn luyện, tiếp nhận kiến thức, vừa giúp đỡ bạn. II. Thực trạng của đề tài: - Học sinh còn lúng túng khi tìm ảnh của một hình qua một phép dời hình. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Đa số học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích. Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, như  Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về các phép dời hình.  Hướng dẫn học sinh ghi nhớ bằng cách phân biệt sự giống nhau và khác nhau về định nghĩa, biểu thức tọa độ, các tính chất giữa các phép dời hình.  Phân dạng bài tập, phương pháp và các bước thực hiện chung.  Khai thác triệt để bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cho đối tượng trung bình, yếu và một số bài tập đòi hỏi tư duy cao dành cho đối tượng khá giỏi. III. Giải quyết vấn đề: 1. Định nghĩa, biểu thức tọa độ rcủa phép dời hình: ; y�  x� , Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ v( a, b) , các điểm: M  x; y  , M � � � � M� ; y�  x�  , I  x0 ; y0  và đường thẳng  : ax  by  c  0 . Tên Phép tịnh tiến Định nghĩa Biểu thức tọa độ uuuuu r r � T  M   M � MM � v r v Trần Thị Phước Vinh 4 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Tvr  r r v �0  Phép đối xứng trục �d Phép đối xứng trục �d Phép đối xứng tâm �I  xa �x� M�  Tvr ( M ) � �  y b �y� �d ( M )  M � uuuuuur uuuuur � M 0M �  M 0M  M 0  d �MM �  Q I ,   M   M � OM �  OM � ��  OM , OM �   � Phép quay Q I ,  Phép dời hình F (I ) �  x �x� � M�  �Oy ( M ) � � �  y. �y�  x �x� M�  �O ( M ) � �  y uuur uuur �y� �I ( M )  M � � IM �   IM �  2 x0  x �x� � M�  �I ( M ) � � �  2 y0  y �y� Phép quay Q I ,  Phép đồng nhất I � by  c x�  � � a M�  � ( M ) � � ax  c �y�  . � b x �x� M�  �Ox ( M ) � �   y; �y� �  m y  y0   x0 �x� M�  Q I ;�900 ( M ) � �    � x  x0   y0 . �y� � y  �x� M�  Q O;�  ( M ) � � k �  II  �  k � x �y� � y mx tan   / 2  �   0; k �  � � � x my tan   / 2  � � � IM M F  M   M� � � N�  MN �� M � F  N   N �� - Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng nhau. - Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình. Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  : ax  by  c  0 , điểm M  x, y  . Gọi M� , y   � ( M ) . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:  x�� � by  c x�  � � a M�  � ( M ) � � (I )  ax  c �y�  . � b Trần Thị Phước Vinh 5 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Chứng minh: sao cho MM � . Gọi M 0  x0 , y0    �MM � � ax  by  c x  � ax0  by0  c  0 � � �0 2a �� �� a  x0  x   b  y0  y   0 � by  ax  c � y  �0 2b Mà M�là điểm trên đoạn MM�sao cho M0 là trung điểm. �� by  c x  � � �x  2 x0  x � a �� ��  2 y0  y ax  c �y� �y�  . � b Vậy (I ) được chứng minh. Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M  x, y  và số thực 0    900 . , y   Q O;�   M  . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay Q O;�  :  x�� Gọi M�  2 trong đó k �   x my tan 2 � y  �x� M�  Q O;�  ( M ) � � k � �  k � x, �y� y mx tan  II  Chứng minh: Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm M  x, y  . yM y  và  : yM x  x M y  0 + Khi x M �0 �  có hệ số góc k  tan  Ox;    xM x  : ax  by  0 là đường thẳng thỏa  , � Gọi �   � ,  Ox, �  � 00 ;900 , �có hệ 2  y   tan Ox ,  � tan � tan y m x tan   a  � 2  x 2  2   tan �  Ox,   � � số góc k� �  y   b 2 � � 1 mtan  Ox,   .tan 1 m tan x my tan 2 x 2 2   0:   0:  y O y � M�  M    x/ 2  /M 2 O   tan  Ox, � + Khi x M  0 �  �Ox : y  x0 � k �   �tan . 2 , y   Q O;�   M  � M�  Đ� M  . Áp dụng bổ đề 1, ta có  x�� Gọi M� Trần Thị Phước Vinh 6 � M� Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học �� by  c �� b x  x  y � y �  � � a �� a � �x� � � � k� ax  c a �y� �y� �y�  k� x   x � � � b b , Ox   00 � � �Ox : y  0 � M�  ĐOx  M  . *) Trường hợp suy biến: - Nếu  � , Ox   900 � � �Oy : x  0 � M�  ĐOy  M  . - Nếu  � Vậy (II ) được chứng minh. 2. Một số tính chất của phép dời hình: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. - Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Các dạng bài tập cơ bản: <*> Một số dạng bài tập cơ bản: Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh. - Để dựng điểm M ta làm như sau: Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình. Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình. Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình. <*> Yêu cầu chung: Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề và thực hiện theo các bước: Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề. Bước 2: Xác định dạng bài tập. Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó. Bước 4: Hoàn thành bài giải. * Tìm cách giải khác (nếu có). Trần Thị Phước Vinh 7 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học BÀI TẬP Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C , D qua uur 1) Phép tịnh tiến TuAB ; 2) Phép đối xứng trục �AB ; 3) Phép đối xứng tâm � ; 4) Phép quay Q O;900 .  O uuur Hướng uuu r dẫn giải uur  A   B; Tuuur  B   B� � BB�  AB 1) TuAB uAB uur uuu r uur  C   C � TuAB � CC �  AB; B uuur uuu r uur  B   B� TuAB � BB�  AB. O A 2) �AB  AB   AB; uuur uuu r �AB  C   C1 � BC1   BC; uuuu r uuur �AB  D   D1 � AD1   AD.  B’ C’ C DC1 D1 B C O D A 3) �O  A   C; �O  B   D . OA2  OA � � 4) Q O ;900   A   A2 � �  OA; OA2   900 � OB2  OB � � Q O;900  B   B2 � �    OB; OB2   900 � OC2  OC � � Q O ;900  C   C2 � �    OC; OC2   900 � OD2  OD � � Q O;900  D   D2 � �    OD; OD2   900 � C2 B B2 A D2 O C D A2 B C D ( như hình vẽ ) có AB  A�� Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và A���� B . Tìm BCD . một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành A���� A A� B Hướng dẫn giải D � DA’ C B� C� B 1 B’ A D B r1 uuur 1 hình vẽ ) ta - Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo v  AA�( C như C’ B1C1D1 . được ảnh của nó là hình D vuông A� C D’ Trần Thị Phước Vinh 8 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học B1C1D1 tâm A� D1; A�� D  ta được - Thực hiện quay hình vuông A� , góc quay    A� hình vuông A���� BCD . Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình BCD . biến hình vuông ABCD thành A���� Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau  O1  và  O2  . Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia. Hướng dẫn giải Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia: - phép tịnh tiến T�OuuuOuur ,  - phép đối xứng tâm ĐO (O là trung điểm của O1O2 ), - phép quay I, với I � , - phép đối xứng trục Đ . 1 2 O �1 �r , v   3;5  . Tìm tọa độ Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M � ;4 � �2 � điểm ảnh của M qua các phép dời hình a) Tvr ; b) �Ox ; c) �Oy ; d) �O . 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900. Hướng dẫn giải 1/ a) Gọi M  x , y  , M1  x1 , y1   Tvr  M  . �x1  x  a Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tvr  M   M 1 � � , ta có: y  y  b �1 5 � 1 �x1    3   2 � 2 � �y1  4  5  9 �5 �  ;9 �. Vậy điểm ảnh của M qua Tvr là M 1 � �2 � b) Gọi M2  x2 , y2   �Ox  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx : � 1 �x2  x �x  �Ox  M   M2 � � � �2 2 �y2   y � �y2  4 �1 � Vậy điểm ảnh của M qua �Ox là M 2 � ; 4 � . �2 � c) Gọi M3  x3 , y3   �Oy  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOy : Trần Thị Phước Vinh 9 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học 1 � �x3   x �x3   �Oy  M   M3 � � �� 2 y  y �3 � �y3  4 �1 � Vậy điểm ảnh của M qua �Oy là M 3 � ; 4 �. �2 � d) Gọi M4  x4 , y4   �O  M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐO : 1 � �x4   x �x4   �O  M   M4 � � �� 2 y   y �4 � �y4  4 �1 �  ; 4 � Vậy điểm ảnh của M qua �O là M 4 � . �2 �  Q O;900  A  . Gọi B  3;0  , C  0;4  lần lượt là hình chiếu vuông 2/ Cách 1: Gọi A�   góc của A lên các trục Ox, Oy. A�� C . Phép Q O ;900  biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB�  0;3 , C �  4;0  . Vậy điểm ảnh của A qua Q O;900  là A�  4;3 . Ta thấy B� �    y  y0   x0 �x� � M  Q ( M ) � Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay �  I ;900    x  x0   y0 . �y�  4;3 . Suy ra Q O;900  A   A�   r Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ v( 2;3) , đường thẳng d có phương trình: 3 x  5 y  3  0 . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép Tvr . 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M  1;5  , đường tròn (C) có phương trình x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 , đường thẳng d có phương trình x  2 y  4  0. a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục  : x  y  1  0 . Hướng dẫn giải , y   Tvr  M  ; d �  Tvr  d  .  x�� 1/ Gọi M� Trần Thị Phước Vinh 10 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Cách 1:  3;3 �d � Chọn M  1;0  �d � Tvr  M   M � . : 3x  5 y  C  0 , M � �d � � C = 24. Vì d’//d nên d � Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 x  5 y  24  0. Cách 2: x'  x  2 �x  x ' 2 Tvr � � � Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến : y '  y  3 �y  y ' 3 � �  5 y�  24  0. Thay vào phương trình của d ta được: 3 x� Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 x  5 y  24  0. Cách 3: Lấy M , N rbất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ v . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’. 2/ a) Gọi M 1 ,  C1  , d1 lần lượt là ảnh của M ,  C  , d qua phép đối xứng trục ĐOx . + Ta có M 1  1; 5  . + Đường tròn (C) có tâm I  1; 2  , bán kính R  3 . Đường tròn ảnh ( C1 ) của (C) có ’  IOx     1;2  và bán kính R  3 . tâm là IĐ Vậy phương trình ( C1 ) là:  x  1   y  2   9. 2 2 �x '  x �x  x ' �� + Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx : � �y '   y �y   y ' Thay vào phương trình của d ta được: x’  2 y’  4  0. Vậy phương trình của d1 là x  2 y  4  0. � by  c x�  � � a  � ( M ) � � b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: M � ax  c �y�  . � b �� 1.5  1 x  4 � � 1 Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng  vào ta có � 1.1  1 �y�  2 � 1 Vậy Đ  M   M 2  4;2  . � by  c � c  by� � x  x � � � � a a  � ( M ) � � , ta có � Từ biểu thức tọa độ M � ax  c �y� �y  c  ax�  � � b b + Pt đường thẳng d2 ảnh của d qua Đ là c  by� c  ax� 2  4  0 � 2 x�  y� 70 a b Trần Thị Phước Vinh 11 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Vậy d2 : 2 x  y  7  0. + Pt đường tròn  C2  ảnh của (C) qua Đ là 2 2 2 �c  by� � �c  ax� � 2  1  y� 9 � a  1� � b  2 � 9 �  x� � � � � 2 Vậy  C2  :  x  1  y 2  9 . Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A  1; 1 , B  3;1 , C  2;3 . Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải Giả sử điểm D  x; y  . uuu r uuur uu r ( D)  C Để ABCD là hình bình hành thì BA  CD . Nên TuBA . uuu r uuur Với BA   4; 2  , CD   x  2; y  3 . �x  2  4 �x  2 �� Do đó: � . �y  3  2 �y  1 Vậy D  2;1 . Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 2) Có ba thành phố A, B, C tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng. Tìm vị trí I trong ABC sao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất. Hướng dẫn giải 1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a �b Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. + Thực tế: a song song với b uuuu r Các đường thẳng a, b cố định � MN cố định. Trần Thị Phước Vinh 12 Trường THPT Thanh Khê P Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học uuu r  A   A’ � A’N  AM . Nên TuMN Ta có AM  BN  A’N  NB  A’B Cách dựng: uuur  A  . Nối A’, B có A�  TuMN B �b  N . - Dựng A� - Từ N hạ đường thẳng d  a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu. 0 ; BA   600. 2) Thực hiện phép Q B ;600  : I a J ; A a A� . Ta có  BI ; BJ   60 ;  BA�  BI ; BA    BI ; BA�   600   BJ ; BA�  A� A J I � BIA  BJA� � AI  A� J , I , J , C thẳng � IA  IB  IC  JA�  IJ  IC ngắn nhất khi A� C hàng và J ở giữa A’ và 0 0 � � I, I ở giữa J và C. Thì � BIC  120 ; � AIB  BJA  120 . 0 Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 120 . Cách dựng: - Dựng ảnh A’ của A qua Q B ;600 . B   - Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều. Nên I chính là điểm cần dựng. Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB. � � Mặt khác CBA  600 và � ABA�  600 nên I phải nằm trong ABC . , I , J , C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và Nên A� IA  IB  IC  JA�  IJ  IC ngắn nhất. Bài 2: Cho hai dây cung không cắt nhau AC, BD của một đường tròn (O) và điểm P trên dây CD. Hãy xác định điểm S trên (O) sao cho � ASB chắn trên dây CD một đoạn MN nhận P làm trung điểm. Hướng dẫn giải ; ĐP  A   A� ; ĐP  B   B� . Thực hiện phép đối xứng tâm ĐP  M   N , ĐP  S   S � , ASA� S� , BSB� S �có cùng tâm đối � S �là đỉnh thứ tư của các hình bình hành MSNS � xứng P. � A� , N , S �thẳng hàng và B’ B� , M , S �thẳng hàng. A’ S C M S’ A Trần Thị Phước Vinh N D 13 B P O Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Mặt khác, góc nội tiếp � ASB   (không đổi) �� AMB� � A� NB     : hoàn toàn xác định M, N. � �(� Chẳng hạn M  CD    ) dựng trên đoạn B’A. Suy ra S  AM � O  . Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng một đường thẳng cùng phương với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước. Hướng dẫn giải N1 N M O2 O1 r v r l N� M� O� O Giả sử đã dựng được cát tuyến  / /d cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là MN và M’N’ sao cho MN  M�� N  l cho trước. uuuuu r r Kéo dài MN về phía N lấy điểm M1 sao cho MM1  l đặt MM1  l . uuuu r r Thực hiện Trl :  O  a  O1  với OO1  l . r uuuur uuuuu r  a  O2  với v  M� N  N� M1 . Thực hiện Tvr :  O� �  � O2  , MM1  l  M1N  MN  M�� N  MN Gọi N1 là giao điểm thứ 2 của  và  O1  � O� O2  d ( d là trung trực của đoạn OO1 ). Vậy cát tuyến  phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn  O1  và  O2  , song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc l R  R�� �R  R� ). 2 a C không nằm trên hai Bài 4: Cho hai đườnga’thẳng song song a và b. Với một điểm , B �b sao cho ABC là tam giác đều. đường thẳng đó, hãy tìm các điểm A �aA Hướng dẫn giải H H’ A’ b C B 14 Trần Thị Phước Vinh B’ Trường THPT Thanh Khê Q Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học N A P M Giả sử đã dựng được ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán. B C H Với phép quay Q C ;600 điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua   B nên suy ra cách dựng như sau: Cách dựng:  Q C ;600  a  bằng cách kẻ CH  a tại H, tìm ảnh H � - Dựng đường thẳng a�   của H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng a�qua H �và a�  CH � . - Gọi B  a� �b , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có A �a . Rõ ràng ABC là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm A� B� C cần dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH. Bài 5: Cho ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ. a) Chứng minh : NC  BQ ; BQ = NC b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH  QN. Hướng dẫn giải a) Ta có: Q A;900  N   B; Q A;900  C   Q � Q A;900  NC   BQ .   Vậy : NC  BQ; NC  BQ .     Q N A P M B C H b) ĐA  B    B1  ; Q A;900   C ; B1   Q; N  . Do đó : CB1  QN . Mà AH là đường trung bình của  CBB1 Nên AH // CB . Vậy : AM  QN. Bài 6: Qua tâm G của ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600. Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân. Hướng dẫn giải Ta có : a  CB = {M} ; b  BA = {Q} Trần Thị Phước Vinh 15 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Mà : Q G ;120   a   b (1) 0 Q G ;1200  C   B; Q G ;1200  B   A     A  Q G ;120   CB   BA (2) 0 Từ (1), (2)  Q G ;120   M   Q  GM = GQ  GMQ cân Tương tự: GNP cân  MQ // NP và NQ = MP. Vậy MPNQ là hình thang cân. 0 P N G Q B M C Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3. Hướng dẫn giải M2 B M1 O C A M D M3 Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định; ĐD  M   M 3 . Do đó quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D. Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn. Hướng dẫn giải Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D. Trần Thị Phước Vinh 16 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học A D O H C M B � =900 nên DC//AH, AD//CH Ta có BCD uuur uuur uuuu r � ADCH là hình bình hành � AH  DC  2OM . uuuu r uuuu r Vì OM không đổi � T2 OM (A) =H. Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là uuuur ảnh của (O) qua phép T2OM . Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục A D O H C B I H' Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC và đtròn (O). �  HCB � ; BAH �  BCH � ' . Do đó HCH ’ cân tại C � H và H’ đxứng qua BC. Ta có: BAH Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di động trên (O) thì trực tâm ABC di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép ĐBC . Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm Trần Thị Phước Vinh 17 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học A D O H C I B M Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần lượt tại M và D. uuur uuur uur Theo chứng minh ở cách 1, ta có AH  DC  2OI . Trong AHM có OI//AH và OI = 1 AH 2 � OI là đường trung bình của tam giác AHM � I là trung điểm của HM � H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố định. Vậy khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên (O) thì trực tâm ABC di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép ĐI . Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C di động trên đường thẳng cố định  . Biết rằng trực tâm H của tam giác là một điểm cố định và đường tròn ngoại tiếp của tam giác luôn đi qua điểm cố định P �H . Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ tích O. Hướng dẫn giải �  H   , và theo giả thiết thì H � � O  - đường tròn ngoại tiếp tam Gọi HĐ giác ABC. A P  H O B � H� Vì Đ  H   H � , mà H ,  cố định cố định. C Rõ ràng do P, H �cùng nằm trên đường tròn  O  , suy ra tâm O nằm trên đường H� trung trực của PH � . �  H   . Vậy quỹ tích O là đường trung trực của đoạn PH � , với HĐ Trần Thị Phước Vinh 18 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Bài 4: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho AC BD  . Tìm AD AB quỹ tích đỉnh C của hình bình hành. Hướng dẫn giải Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A �O , tia Ox trùng với tia AD và chọn D  1;0  . Giả sử B  x , y  , thì C  x  1; y  . y B  x; y C  x  1; y  I x AO D Từ giả thiết: AC. AB  AD. BD  x  1  y 2 . x 2  y 2   1  x   y 2 2 2 2 � x 2  x  1  x 2 y 2   x  1 y 2  y 4   x  1  y 2 2 2 �  x  1  x 2  y 2   y 2  x 2  y 2    x  1  y 2 � 2  �x �x �x   x  y  2 x  1  x  2 x  1  y   x  y  2x   1  2x  1  x  y  2 x   x  y  1  2 x  1  x  y  2 x  1  0 � x 2  y2 2  y2 2  y2 2  y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 và x 2  y2  1  0 2 � x 2  y 2  2 x  1  0 �  x  1  y 2  2 (1) 2 Từ (1) suy ra quỹ tích của B là đường tròn tâm tại điểm I  1;0  bán kính I  ĐA  D . uur  B   C . Rõ ràng TuAD  2 , với  Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn C; AD 2 . ; R�  tiếp Bài 5: Trên đường tròn  O; R  cho hai điểm cố định A, B. Đường tròn  O� ; R�  xúc ngoài với  O; R  tại A. Một điểm M di động trên  O; R  sao cho MA cắt  O� tại điểm thức hai A1 . Qua A1 kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B1 . Tìm quỹ tích B1 . Hướng dẫn giải ; R�   A2 . Giả sử B1 A1 � O� Trần Thị Phước Vinh 19 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học ; R�  tại A. Vẽ tiếp tuyến chung xx�của hai đường tròn  O; R  và  O� A2 A1 B1 x’ O� � O� A B O Theo tính chất tiếp tuyến, ta có x � � ; AA � A  x�� ABM  xAM AA1 2 1 M � (đối đỉnh) � � � A � AA � B A �B B Do x�� AA  xAM ABM  AA 1 2 1 2 1 2 1 � AA2 B1 B là hình thang cân. Gọi  là đường trung trực của AB. Nên Đ  A2   B1 . ; R� . Rõ ràng khi M chạy trên  O; R  thì A2 chạy khắp trên  O� � ; R� ; R�  ảnh của  O�  qua Đ , Vậy quỹ tích điểm B1 là đường tròn  O� � ; R�  O�  tiếp xúc ngoài với  O; R  tại B. */. Một số bài tập tham khảo: r Bài 1: 1) Cho các đường thẳng d : 2 x  3 y  3  0 ,  : 2 x  3 y  5  0 . Tìm vectơ v sao cho ảnh của d qua phép tịnh Tvr là  . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình của parabol  P ' là ảnh của  P  : y   x 2  2 x qua: a/ phép đối xứng trục Đ với đường thẳng  : x  y  3  0 ; b/ phép đối xứng tâm ĐI với I  1;3 ; c/ phép quay Q O ;300 .   � , điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một đường Bài 2: Cho góc nhọn xOy thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN. Bài 3: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước. Từ M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy. Bài 4: Cho hai đường tròn (Q), (Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông ABCD có A, C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B, D nằm trên d? Bài 5: Cho ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng  cân đỉnh P có đáy song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ABC. Bài 6: Cho 2 đường thẳng cắt nhau x, y và 2 điểm A, B không nằm trên x, y. Xác định 2 điểm C, D lần lượt nằm trên 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân có AB là cạnh đáy. Trần Thị Phước Vinh 20 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R > r ). Hãy xác định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O; r), cắt đường tròn (O; r) tại B, cắt (O;R) tại C, D sao cho : CD = 3AB Bài 8: Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R). Xác định hình vuông ABCD sao cho A(O); C  b ; B, D  a. Bài 9 : Cho ABC. Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN // BC và AM = CN. Bài 10: Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C không nằm trên 2 đường thẳng đó . Tìm trên a,b lần lượt 2 điểm A,B sao cho ABC đều. C - KẾT LUẬN: Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số phép dời hình cơ bản.Đồng thời đưa ra một số dạng toán giải bằng cách sử dụng các phép dời hình nhằm củng cố kỹ năng vận dụng thực hành. Qua mỗi phần một số ít bài toán giúp học sinh hệ thống kiến thức, hình thành phương pháp giải, rèn luyện việc sử dụng phép biến hình rong giải toán hình học cho đối tượng học sinh trường THPT Thanh Khê. Về nguyên tắc, bất kì bài toán nào cũng có thể giải được bằng phương pháp tọa độ. Tuy nhiên nhiều bài giải tổng hợp thông thường lại đi đến kết quả nhanh hơn. Cũng vậy nhiều bài toán hình học có thể giải nhanh và gọn nếu biết sử dụng phương pháp véctơ. Để giải bài toán bằng phép biến hình trước hết phải nhận ra dấu hiệu của lớp các bài toán có khả năng giải được bằng phương pháp này. Thường thì trong dữ kiện bài toán hoặc trong tính chất của hình đòi hỏi thiết lập (chứng minh) hay đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụ thể nào đó. Chẳng hạn có dữ kiện Trần Thị Phước Vinh 21 Trường THPT Thanh Khê Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học - đoạn thẳng có độ dài và phương chiều cố định, hình bình hành nghĩ đến phép tịnh tiến; - trung điểm của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng tâm; - đường trung trực của một đoạn nghĩ đến phép đối xứng trục; - các góc có số đo không đổi nghĩ đến phép quay. Cuối cùng hy vọng đề tài có tính ứng dụng, giúp học sinh và giáo viên nhẹ nhàng tiếp thu và truyền đạt kiến thức chương phép biến hình và dời hình trong mặt phẳng của chương trình hình học 11. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa hình học lớp 11. - Sách giáo viên hình học lớp 11. - Để học tốt hình học lớp 11 . - Phương pháp dạy học môn toán. - Một số vấn đề phát triển hình học 11. - Toán nâng cao hình học cho học sinh THPT – Tập 1 – Phan Huy Khải. - Tuyển tập 200 bài thi vô đich toán – Tập 4 – Đào Tam, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Lưu Xuân Tình. - Các bài toán về hình học phẳng – Tập 1 – V.V Praxolop, Bản dịch tiếng Việt của Hoàng Đức Chính và Nguyễn Đễ. - Tạp chí toán học tuổi trẻ. - Thư viện trực tuyến Violet. Trần Thị Phước Vinh 22 Trường THPT Thanh Khê