SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
2
phÇn I : §Æt vÊn ®Ò
1) LÝ do chän ®Ò tµi:
Trong c¸c m«n häc ë trêng phæ th«ng cïng víi m«n V¨n – TiÕng ViÖt,
m«n to¸n cã vÞ trÝ rÊt quan träng. To¸n häc, víi t c¸ch lµ m«n khoa häc nghiªn
cøu mét sè mÆt cña thÕ giíi thùc, to¸n häc cã hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ ph¬ng ph¸p nhËn thøc cÇn thiÕt cho ®êi sèng sinh ho¹t vµ lao ®éng. Nã còng lµ
c«ng cô cÇn thiÕt cho c¸c m«n khoa häc kh¸c vµ ®Ó tiÕp tôc nhËn thøc thÕ giíi
xung quanh, ®ång thêi gióp chóng ta ho¹t ®éng cã hiÖu qu¶ trong thùc tiÔn ®êi
sèng. To¸n häc cã nhiÒu t¸c dông trong viÖc ph¸t triÓn trÝ th«ng minh, t duy ®éc
lËp, linh ho¹t, s¸ng t¹o …trong mäi lÜnh vùc ho¹t ®éng cña con ngêi. To¸n cßn
gãp phÇn gi¸o dôc ý chÝ vµ ®øc tÝnh tèt nh : CÇn cï, nhÉn n¹i, ý thøc vît khã
kh¨n….
Ph¬ng tr×nh bËc hai vµ øng dung cña nã lµ mét m¶ng rÊt quan träng trong
ch¬ng tr×nh to¸n THCS., Ph¬ng tr×nh bËc hai cã øng dông rÊt réng trong khi
gi¶i to¸n ®èi víi häc sinh líp 9. Kh«ng nh÷ng thÕ ph¬ng tr×nh bËc hai cßn ®îc
øng dông nhiÒu cho häc sinh tiÕp tôc häc lªn líp trªn.
Qua thùc tÕ mét sè n¨m gi¶ng d¹y to¸n 9 t«i nhËn thÊy viÖc Gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc hai , hay x¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm cña ph¬ng r×nh bËc hai kh«ng
ph¶i lµ vÊn ®Ò khã ®èi víi häc sinh , song víi c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan nh t×m
hÖ thøc gi· c¸c nghiÖm hoÆc t×m m ®Ó tho¶ m·n diÒu kiÖn cho tríc cña nghiÖm
hay gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ... c¸c em thêng lóng tóng
hay nhÇm lÉn (phÇn c¸c d¹ng to¸n rÊt ®a d¹ng , phÇn v× trong SGK kh«ng trang
bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ) ®Æc biÖt m¾c nhiÒu sai sãt trong khi gi¶i, rÊt Ýt
häc sinh cã lêi gi¶i ®Çy ®ñ vµ chÆt chÏ. Tuy nhiªn c¸c d¹ng toÊn nµy l¹i cã vai
trß v« cïng quan träng trong viÖc båi dìng vµ n©ng cao n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc
sinh. §Æc biÖt nã thêng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi cuèi k× , cuèi n¨m, thi
tuyÓn sinh vµo 10, ®Ò thi ph¸t hiÖn häc sinh giái.
C¸c bµi tËp ph¬ng tr×nh bËc hai rÊt ®a d¹ng phong phó, nã ®ßi hái häc
sinh ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ cã kü n¨ng tæng hîp nhÊt ®Þnh. Cho
nªn ngay tõ ®Çu gi¸o viªn «n tËp ngay cho häc sinh c¸c bµi tËp tæng hîp th×
nhiÒu em khã cã kh¶ n¨ng tiÕp thu bµi häc, dÉn ®Õn kÕt qu¶ bµi lµm thÊp.
VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ngêi thÇy ph¶i gi¶ng d¹y c¸c bµi tËp cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh bËc hai nh thÕ nµo ®Ó tõng ®èi tîng häc sinh cã kh¶ n¨ng tiÕp thu ®îc,
gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng cho häc sinh kh¸ giái vµ häc sinh ®¹i trµ cã kiÕn
thøc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®ñ ®Ó thi vµo THPT.
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
3
N©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc trong nhµ trêng ®èi víi tÊt c¶ c¸c khèi líp lµ
nhiÖm vô c¬ b¶n cña mçi gi¸o viªn, ®Æc biÖt lµ vÊn ®Ò chÊt lîng ®èi víi häc sinh
líp 9. Lµ mét gi¸o viªn tham gia gi¶ng d¹y bé m«n to¸n 9, trong nh÷ng n¨m
qua t«i lu«n tr¨n trë lµ lµm thÕ nµo ®Ó n©ng cao chÊt lîng bé m«n. T«i cho r»ng
ngêi thÇy ph¶i n©ng cao chÊt lîng tõng giê lªn líp, chó träng ®æi míi ph¬ng
ph¸p d¹y häc, tÝch cùc kiÓm tra vµ theo dâi s¸t sao viÖc häc tËp cña häc sinh. Tõ
®ã ngêi thÇy uèn n¾n gi¶i ®¸p víng m¾c cho c¸c em vµ ®iÒu chØnh ph¬ng ph¸p
d¹y häc sao cho phï hîp nhÊt. §ång thêi ngêi thµy ph¶i thêng xuyªn «n tËp hÖ
thèng kiÕn thøc, ph©n lo¹i bµi tËp, h×nh thµnh ph¬ng ph¸p vµ kü n¨ng gi¶i to¸n
cho häc sinh.
ChÝnh v× thÕ t«i chän vÊn ®Ò “ Ph©n lo¹i d¹ng to¸n cã liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh líp 9” .
2) Môc ®Ých cña ®Ò tµi:
1. Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n liªn quan ®Õn ph¬ng
tr×nh bËc hai phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh Giái-kh¸ -trung b×nh
- yÕu.
2. Gióp c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch cã hÖ thèng, chñ ®éng, s¸ng t¹o,
rÌn kh¶ n¨ng tù häc, tù ®äc.
3. Th¸o gì nh÷ng víng m¾c, khã kh¨n, tr¸nh ®îc mét sè sai lÇm khi gi¶i
to¸n liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn ®Ó cã lêi gi¶i ®¶m b¶o chÆt chÏ,
LogÝc
4. Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn vµ c¸c
bµi to¸n cã liªn quan häc sinh thÊy râ h¬n môc ®Ých cña viÖc häc tËp to¸n,
®ång thêi gãp phÇn n©ng cao n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc sinh, n©ng cao chÊt lîng
gi¸o dôc ®¹i chµ vµ båi dìng häc sinh giái.
3) §èi tîng nghiªn cøu vµ ph¹m vi øng dông :
§Ò tµi ®îc nghiªn cøu trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 9 vµ ¸p dông «n thi vµo 10,
«n tËp vµ båi dìng häc sinh giái.
4) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
1. Tham kh¶o , thu thËp tµi liÖu
2. Ph©n tÝch , tæng kÕt kinh nghiªm.
3. KiÓm tra kÕt qu¶ : qua dù giê , kiÓm tra chÊt lîng häc sinh , nghiªn cøu
hå s¬ gi¶ng d¹y , ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc .
5) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
4
Trong giê häc chÝnh kho¸ t«i lång ghÐp c¸c bµi tËp theo tõng ph¬ng ph¸p,
tõng d¹ng , c¬ së gi¶i cïng lêi gi¶i mÉu, ®Ó häc sinh h×nh thµnh kü n¨ng gi¶i
tõng lo¹i to¸n nµy . Cho häc sinh thùc hµnh bµi tËp t¬ng tù ngay t¹i líp .
§Æc biÖt , trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp ch¬ng gi¸o viªn tiÕp tôc cho häc sinh
gi¶i c¸c bµi tËp tæng hîp , bµi tËp n©ng cao , lµm thö c¸c ®Ò thi ttèt nghiÖp , ®Ó
thi tuyÓn sinh vµo 10 . Qua ®ã häc sinh thÊy ®îc tÇm quan träng cña lo¹i to¸n
nµy , tù rÌn luyÖn t¹o kü n¨ng cho m×nh . B»ng rÌn luyÖn thùc hµnh gi¶i c¸c
d¹ng bµi tËp , häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp tæng hîp phøc t¹p h¬n . C¸c em ®îc
n©ng cao kiÕn thøc , h×nh thµnh kü n¨ng ph¶n x¹ khi gÆp c¸c bµi to¸n t¬ng tù .
Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè néi dung mµ t«i ®· thùc hiÖn, ¸p dông vµ ®¹t
hiÖu qu¶ nhÊt ®Þnh trong gi¶ng d¹y.
PhÇn II : Néi dung
A - KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai
§Ó häc sinh lµm ®îc c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai, tríc tiªn gi¸o viªn ph¶i
gióp häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n sau .
I - §Þnh nghÜa vµ c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè
1 -§Þnh nghÜa
Lµ ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = 0
x : Èn ;
a, b, c, lµ c¸c sè ®· cho vµ a 0
2- Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Æc biÖt
2.1. D¹ng khuyÕt a x2 = 0 (b = c = 0 ; a 0)
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = 0
2.2 . D¹ng khuyÕt b : ax2 + c = 0
Ta cã : ax2 + c = 0
+ NÕu
c
a
c
a
x2 =
c
a
> 0 ( a , c tr¸i dÊu ) , ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau
x1 =
+ NÕu
(b = 0 ; a, c 0)
-
c
a
; x2 = -
-
c
a
< 0 (a , c cïng dÊu ) ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
2.3. D¹ng khuyÕt c : ax2 + bx = 0 ( c = 0 ; a , b 0)
Ta cã : ax2 + bx = 0 x ( ax + b ) = 0
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
x1= 0 ; x2=
3- Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ :
b
a
5
=> Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ax2 + bx + c = 0
C¸ch gi¶i : Sö dông c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t
LËp biÖt thøc
= b2 – 4ac
* < 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
b
2a
x1 = x2 = -
* > 0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
x1 =
b
2a
;
x2 = =
b
2a
Trêng hîp §Æc biÖt khi b = 2b ‘
LËp biÖt thøc
= b ‘ 2 – ac
* ’ < 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = ’
b'
a
* ’ > 0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
x1 =
3 - Chó ý quan träng
b ' '
a
;
x2 =
b'
a
'
3.1.
NÕu a vµ c tr¸i dÊu ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
3.3
NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 kh«ng cã nghiÖm thùc th× tam thøc
ƒ (x) = ax2 + bx + c lu«n lu«n ®ång dÊu víi hÖ sè a
hay
< 0 ƒ (x) = ax2 + bx + c ®ång dÊu víi hÖ sè a x R
3.2. NÕu ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 th× : ax2 + bx + c = a (x-x1)( x-x2 )
II - §Þnh lý Vi-Ðt .
1 - §Þnh lý thuËn
a - NÕu x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
th×
S = x1+ x2 = -
P = x1.x2 =
b
a
c
a
b – øng dông
+ NÕu a + b +c = 0 th× x1 = 1 ; x2 = c
a
Ngîc l¹i nÕu x1 = 1 th× a + b + c = 0
+ NÕu a - b +c = 0 th× x1 = - 1 ; x2 =Ngîc l¹i nÕu x1 = -1 th× a - b +c = 0
c
a
2 - §Þnh lý ®¶o
S = x1+x2
(S2 4 P )
P = x1.x2
Th× x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – SX + P = 0
NÕu
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
6
III - §iÒu kiÖn vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai
Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c =0 (a 0)
3.1 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
< 0 ( hoÆc ’ < 0 )
3.2 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
= 0 ( hoÆc ’ = 0 )
3.3 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
> 0 ( hoÆc ’ > 0 )
3.4 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
0 ( hoÆc ’ 0 )
P=
3.5 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
c
a
<0
3.6 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu
0
P>0
3.7 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ®èi nhau
S=0
P<0
3.8 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng
0
P>0
S>0
0
P>0
S<0
=0
3.10 VÕ tr¸i lµ ph¬ng tr×nh cña mét nhÞ thøc a > 0
3.9 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ©m
3.11 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n x1 = g(x2)
(¸p dông ViÐt ®Ó gi¶i)
B - c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n
I - Ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng chøa tham sè .
Yªu cÇu
- Häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt, ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ
- Häc sinh thuéc c«ng thøc nghiÖm, c«ng thøc nghiÖm thu gän, hÖ thøc ViÐt vµ óng
dông cña nã
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a. 5x2 – 20 = 0
b. 0,4x2 + 1 = 0
c. 2x2 + 2 x = 0
Híng dÉn kÕt qu¶
a. x2 = 4 => x1 = 2 ; x2 = -2
b. x2 = -2,5 < 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .
c.
2 x ( 2 x + 1) = 0 => x1 = 0 ; x2 = -1/ 2
VÝ dô 2 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a. 3x2 – 2 3 x – 3
b. x2 – x(1 + 2 ) +
2
=0
=0
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
c. x2 – x - 6
=0
Híng dÉn kÕt qu¶
a. ’ = ( 3 )2 – (- 3) .3 = 12
x1 =
; x2 = -
3
7
' 12 2 3
3
3
b.
a + b + c = 0 x1 =1 ; x2 = 2
c. x2 – x - 6 = 0 (1)
NÕu x 0 (1)
x2 – x - 6 = 0 x1 =3 ;
x2 = -2 (lo¹i)
2
NÕu x 0 (1)
x + x - 6 = 0 x3 =2 (lo¹i) ; x4 = -3
KÕt luËn ph¬ng tr×nh
x2 – x - 6 = 0 cã 2 nghiÖm x1 =3 ; x4 = -3
VÝ dô 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a. x2 – 11x – 30
=0
2
b. 5x – 17x + 12
=0
c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0
Híng dÉn kÕt qu¶
a.
P = 30
S = 11
x1 =5 ; x2 = 6
b. 5x2 – 17x + 12 = 0
12
Ta cã 5 + (-7) + 12 = 0 x1 =1; x2 = 5
c. x2 – (1 + 2 ).x + 2 = 0
Ta cã 1 +
– (1 + 2 ). + 2 = 0 x1 =1 ; x2 =
2
VÝ dô 4: Cho ph¬ng tr×nh 5x2 + 3 x - 5 = 0 (1)
Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 .
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau
a.
c.
Híng dÉn :
1
1
x2 x2
b. x12 +x22
1
1
2
2
x2
x2
d.
x13 +x2
Ph¬ng tr×nh (1) ch¾c ch¾n cã 2 nghiÖm (a . c <0 )
Theo Vi Ðt ta cã
x1 + x2 = - 3
x1 . x2 = - 5
a. .
1
1
x2 x2
=
x1 x2
=
x1.x2
15
5
b. x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = 3+2
c.
d.
2
1
1
1
x x2
2 =
2
2
2
x2
x2
x1 .x2
2
=
5
3 2. 5
5
x13 +x23 = (x1 + x2 ).( x12 +x22 - x1 . x2 )
= -3.( 3 + 5 )
II – Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph ¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè
VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh (1- m)x2 – 2mx + m - 2 = 0 (1)
a.
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai
b.
Gi¶i (1) khi m = 0,5
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
8
Híng dÉn :
1- m 0 m 1
Gi¶i (1) khi m = 0,5
Víi m = 0,5 th× (1) x2 – 2x – 3 = 0
x1 = - 1 ; x 2 = 3
a.
b.
VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sau theo tham sè m
(m-1)x2 – 2(m+1)x +(m-2) = 0 (2)
Híng dÉn :
m-1 = 0 m = 1 Th× (2) trë thµnh 4x-1 = 0 cã nghiÖm x =
-
1
4
m – 1 �0
XÐt ’ = 5m - 1
1
5
1
+ NÕu 5m - 1 = 0 m =
5
+ NÕu 5m - 1 < 0 m <
Th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm
Th× ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =
+ NÕu 5m - 1 > 0
m>
m +1
m- 1
1
5
Th× ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
x1,2 = m +1 � 5m - 1
m- 1
III - D¹ng to¸n cã liªn quan tíi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai
III .1 – DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai
Ph¬ng ph¸p
Sö dông c¸c ®iÒu kiÖn ë môc III phÇn A. lu ý ®iÒu kiÖn a 0
VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (Èn x)
(m+1) x2 – 2(m-1)x +m-3 = 0 (1)
a.
T×m m ®Ó ph¬ng (1) tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
c.
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : Cïng dÊu, tr¸i
dÊu , hai nghiÖm d¬ng, hai nghiÖm ©m , hai nghiÖm ®èi nhau .
Híng dÉn :
a. §Ó (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai th× m+1 0 m 1 (*)
‘ = 4 > 0 . VËy víi m 1 th× (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
b.
+ §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu th×
c
< 0 m 3 0 -1 < m < 3 vµ m 1
a
m 1
+ §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm cïng dÊu th×
c
> 0 m 3 0 m > 3 ; m < -1
a
m 1
+ §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d¬ng th×
S>0
P>0
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
2(m 1)
0
m 1
m 3
0
m 1
9
m>3
m <-1
Chó ý : cÇn lu«n lu ý HS ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*)
VÝ dô 2 : Cho ph¬ng tr×nh
x2 – 2(k-1)x + 2k -5 = 0
a, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi k
b. T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÑm cïng dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ?
Híng dÉn :
a. Ph¬ng tr×nh ®· cho cã bËc hai
XÐt ‘ = …= k2 – 4k + 6 = (k -2)2 + 2 > 0 víi mäi k
VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi k
c
b. §· cã ‘ > 0 ®Ó pt cã hai nghiÖm cïng dÊu th× P = a > 0 2k-5 > 0 k >
L¹i cã S = -
5
2
b
5
= 2(k-1) . Víi k > th× 2(k-1) > 0 nªn S > 0
a
2
VËy hai nghiÖm cïng dÊu ®ã lµ hai nghiÖm d¬ng
VÝ dô 3 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh
x2 – 2(m + 5)x + m2 - 4m + 47 = 0
Cã hai nghiÖm lín h¬n 3
(1)
Híng dÉn :
§Æt x = t + 3 (t > 0) thay vµo (1) ta ®îc ph¬ng tr×nh
t2 – 2(m + 2)t + m2 - 10m + 26 = 0 (2)
Bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt
Nh vËy ph¶i cã
0
14m -22 > 0
P>0
S>0
m2 - 10m + 26 > 0
m+2>0
11
7
m�
III .2. T×m hÖ thøc ®éc lËp ( víi tham sè m ) gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh
Ph¬ng ph¸p
B1 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
B2 : ¸p dông Viet lËp S , P (phô thuéc vµo m)
B3 : Khö m ®Ó lËp mét hÖ thøc gi÷a S vµ P
B4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 th× ®îc hÖ thøc ph¶i t×m
NÕu S hay P lµ h»ng sè th× ®ã chÝnh lµ hÖ thøc cÇn t×m , kh«kh«ng cÇn
lµm hai bíc tiÕp theo
VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0
T×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm x1 , x2 cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m
Híng dÉn :
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
10
Cã ‘ = …= 2m – 2
Pt ®· cho cã nghiÖm khi ‘ > 0 m > 1
Khi ®ã S = x1 + x2 = 2m + 2
(1)
2
P = x 1 . x2 = m + 3
(2)
Tõ (`1) suy ra m =
1
(S - 2) thÕ vµo (2) ®îc 4P = S2 – 4S + 16
2
HÖ thøc ph¶i t×m lµ (x1 + x2 )2 -– 4(x1 + x2 ) -– 4 x1 . x2 + 16 = 0
VÝ dô 2
Cho ph¬ng tr×nh x2 + mx + n = 0 , biÕt r»ng n � m-1
CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 ;
CMR x12 +x22 � 1 víi mäi m, n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ã .
Híng dÉn :
+ Víi n � m-1 ta cã = m2 – 4n � m2 – 4(m-1) = (m – 2)2
�0
=> ph¬ng tr×nh x + mx + n = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2
+ theo vi et cã x1 + x2 = - m ; x1 . x2 = n
x12 +x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1.x2 = m2 – 2n
V× n � m-1 x12 +x22 = m2 – 2n � m2 – 2(m-1) = (m – 1)2 + 1 � 1
2
III .3. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n hÖ thøc ®èi
xøng gi÷a c¸c nghiÖm .
Ph¬ng ph¸p
HÖ thøc ®èi xøng g÷a c¸c nghiÖm d¹ng
1
1
x2 x2
; x12 +x22 ;
1
1
2 ; x13 +x23
2
x2
x2
Khi gÆp c¸c hÖ thøc nµy cÇn nhí c¸c kÕt qu¶ ¸p dông hÖ thøc viÐt
x12 +x22 = S2 – 2P
1
1
x2 x2
x13 +x23 = S (S2 – 3P)
1
1
S 2 - 2P
=
2
2
x2
x2
P2
=
S
P
VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh mx2 – ( m – 4) x + 2m = 0
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n :
2(x12 +x22 ) - 5 x1 . x2 = 0
Híng dÉn :
§Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cÇn cã
( m – 4)2 – 8m2 � 0
m
�0
Khi ®ã 2(x12 +x22 ) - 5 x1 . x2 = 0 2(x1 +x2 )2 - 9 x1 . x2 = 0
� 4�
�
– 18 = 0 => m = -2 ; m = 1
�
�
�
�m �
mHay 2S2 – 9P = 0 hay 2 �
�
Tho¶ m·n (*)
VÝ dô 2
Gi¶ sö x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 – 2m x + 4 = 0
X¸c ®Þnh m ®Ó x14 +x24 � 32
Híng dÉn :
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
(*)
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
11
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ ‘ = m2 – 4 � 0
Ta cã x +x2 = [(x1 +x2 ) - 2 x1 . x2 ] – 2(x1 . x2 )
4
1
4
2
2
m �2
(1)
2
¸p dông hÖ thøc viÐt ta cã
x14 +x24 � 32 ( 4 m2 – 8)2 – 32 � 32 ... m �2
Tõ (1) vµ (2) suy ra
(2)
m = 2 � m = �2
VÝ dô3 : Cho c¸c ph¬ng tr×nh ax2 + bx +c = 0
(1) (a > 0 )
cx2 +bx +a = 0
(2) (c > 0 )
Gi¶ sö x1 ; x2 ;x3 ; x4 lÇn lît lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) vµ (2)
Chøng minh r»ng x1. x2 +x3 . x4 0
Híng dÉn
¸p dông ®Þnh lý Vi-et
x1.x2 = c 0
x1. x2 +x3 . x4 =
a
a
x3.x4 = 0
c
a c
a c
2
. 2
c a
c a
III .4. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n hÖ thøc
kh«ng ®èi xøng gi÷a c¸c nghiÖm .
Ph¬ng ph¸p
B1 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
B2 : ¸p dông viÐt lËp S , P (phô thuéc vµo m)
B3: Rót tõ ®iÒu kiÖn kh«ng ®èi xøng cña ®Ò bµi ra x1 (hoÆc x2 ) thay vµo
S , P ®Ó lËp ph¬ng tr×nh theo m
B4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh , ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*) ®Ó chän nghiÖm
VÝ dô 1
Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( m – 1) x + 5m - 6 = 0
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n :
4 x1 +3 x2 = 1
Gi¶i :
§Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cÇn cã = m2 – 22m + 25 � 0
(*)
Khi ®ã tõ 4 x1 +3 x2 = 1 => x1 = 1 - 3x 2
4
=> x1 + x2 = 1 - 3x2 + x2 => 1 + x 2 = m-1 (theo viÐt)
4
4
=> x2 = 4m -5 vµ x1 = 1 - 3(4m - 5) .
4
1 - 3(4m - 5)
Nh vËy x1 . x2 =
.(4m - 5) = 5m – 6 (theo viÐt)
4
Gi¶I ra ta ®îc m =1 vµ m = 7 c¸c gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n
6
(*)
VÝ dô 2 : T×m p R sao cho ph¬ng tr×nh x2 +px +12 = 0 cã 2 nghiÖm thùc mµ hiÖu
cña chóng b»ng1 . H·y t×m c¸c nghiÖm ®ã
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
12
Híng dÉn:
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ : > 0
= p2 – 48 >0 p2 > 0 p < -4. 3 hoÆc p > 4.
Theo ®Þnh lý Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã
x1 + x2 = -p
x1. x2 = 12
x1 - x2 = 1
1 p
1 p
;
x
2 =
2
2
1 p 1 p
.
= 12
2
2
3
(*)
Tõ (1) vµ (3) x1 =
Thay vµo (2) ta cã
p = 7 ( tho¶ m·n (*) )
Víi p = 7 x1 = - 4 ; x2 = - 3
p = -7 x1 = - 3 ; x2 = - 4
VÝ dô 3 : Víi a R nµo th× ph¬ng tr×nh x2 – (3a+2).x +a2 = 0 cã 2 nghiÖm thùc
mµ tØ sè cña chóng b»ng 9.
Híng dÉn
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ : > 0
5a2 + 12a + 4 > 0 hay (a + 2). (a + 2) > 0
2
a>-5
hoÆc a < -2
()
Theo Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã
x1 + x2 = 3a + 2 (1)
x 1 . x 2 = a2
(2)
x2 = 9x1
(3)
9(3a 2)
3a 2
;
x
2 =
10
10
3a 2 9(3a 2)
.
= a2
10
10
Tõ (1) vµ (3) x1 =
Thay vµo (2) ta cã
19a2 – 108a –36 = 0 (4)
¬
(4) cã 2 nghiÖm a1 = 6 ; a2 = - Víi a = 6
- Víi a = -
6
19
x1 = 2 ;
6
19
x1 =
2
19
( tho¶ m·n ())
x2 = 18
; x2 =
VÝ dô 4 : H·y x¸c ®Þnh a ®Ó ph¬ng tr×nh 4x2 – 15.x +4a = 0 cã 2 nghiÖm thùc mµ
nghiÖm nµy b»ng b×nh ph¬ng nghiÖm kia
Híng dÉn
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt lµ :
255
= 255- 64a > 0 a < 64
(*)
¸p dông ®Þnh lý Vi Ðt vµ gi¶ thiÕt ta cã
x1 + x2 = 15
(1)
4
x1 . x2 = a
(2)
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
Thay x2 = x12 vµo (1) cã : x12 + x1 =
4x12 + 4x1 – 15 = 0
x1 =
Víi x1 =
Víi x1 =
3
2
3
th×
2
5
2
; x1=
x2 =
(3)
(4)
5
2
9
4
th× x2 =
15
4
13
. Tõ (2)
25
4
VËy gi¸ trÞ cña a lµ : a1 =
27
8
tho¶ m·n (*)
Tø (2) a = - 125 tho¶ m·n (*)
.
27
8
a = x 1 . x2 =
8
: a2 =
- 125
8
III.5 - LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt c¸c nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho
tríc
Yªu cÇu
Sö dông thµnh th¹o ®Þnh lý Vi Ðt thuËn ; ®¶o
VÝ dô 1 :
T×m a vµ b biÕt
a+b = 5
a.b = 6
Híng dÉn : V× 52 > 4.6
Theo Vi Ðt a, b lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 -5X + 6 = 0
X 1 = 2 ; X2 = 3
a=2
;b=3
hoÆc
a=3
;b=2
VÝ dô 2 : Cho ph¬ng tr×nh x2 +bx + c = 0 (1) cã 2 ngiÖm lµ x1 ; x2 , h·y lËp ph¬ng
tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n
x 1 + y1 = 0
x2+ y2 = 0
Híng dÉn
- ¸p dông Vi Ðt ta cã
x1 + x2 = -b
x1.x2 = c
- Tõ gi¶ thiÕt x1 + y1 = 0 y1 = -x1
x2+ y2 = 0 y2 = -x2
Do ®ã y1 + y2 = - ( x1 + x2 ) = b
y1 . y2 = x1.. x2 = c
VËy y1 ; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh y2 – by +c = 0
III.6 - Mét sè bµi to¸n tæng hîp
VÝ dô 1 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – (m+1 )x +m – 4 = 0 (2)
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) khi m = 1
b. CMR ph¬ng tr×nh (2) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm phan biÖt víi mäi
m
Híng dÉn
c. Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña (2) chøng minh
A = x1(1-x2) + x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m
a. Víi m = 1 (2) x2 - 4x + 3 = 0
x1 = 2 + 7 ; x2 = 2 -
7
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
14
b. ’ = (m +1)2 –(m- 4) = m2 + m +5
= (m+
1
2
)2 +
19
4
>0
( m)
ph¬ng tr×nh (2) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m
c. A = x1(1-x2) + x2(1-x1) = x1-x2x1 + x2 - x1x2
= x1+ x2 – 2 x1 x2
¸p dông ®Þnh lý Vi Ðt x1+ x2= 2(m+1)
x1. x2 = m- 4
VËy A = 2(m+1) – 2(m- 4)
= 2m +2 –2m +8 = 10
§iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 2 : Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh
mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0
a.
Cã 1 nghiÖm b»ng 0 ? t×m nghiÖm kia
b.
Cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
Híng dÉn
1
1
1
x1 x2
a.
mx2 + 2(m+1)x + m-1 = 0 (3)
Thay x = 0 vµo (3) ta cã :
m-1 = 0 m = 1
NghiÖm cßn l¹i b»ng x2 = -
2(m 1)
m
=-4
KÕt luËn m =1 ; x2 = - 4
b.
§Ó ( (3) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× m 0 ; > 0
= ( m+ 1) 2 –m(m-1) = 3m + 1
> 0 3m + 1 > 0 m > VËy m > c.
Ta cã
1
3
1
3
; m 0 th× (3) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
1
1
1
x1 x2
x1 x2
x x 2 1
b
1
c
2(m 1)
3m 1
1
0
m 1
10
m 1
3
m 1
VËy 1 m 1 ; m 0 lµ ®iÒu kiÖn cÇn t×m
3
IV - ¸p dông kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n
kh¸c
IV.1 : D¹ng T×m cùc trÞ
VÝ dô : CÆp sè (x,y) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh :
x2y + 2xy –4x + y = 0 (1)
t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y
Híng dÉn
(1) x2y + 2(y- 2 )x + y = 0 ()
NÕu y = 0 tõ ( ) - 4x = 0 x= 0
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
15
NÕu y 0 Th× tõ () cã nghiÖm theo x khi :
’ = (y-2)2 –y2 0 4 - 4y 0 y 1
VËy y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 1 khi () cã ngiÖm kÐp
2 y
2 1
x1= x2 = y 1 1
KÕt luËn gi¸ trÞ lín nhÊt cña y lµ 1 khi x = 1
IV .2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VÝ dô
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 2 - 3x + 2 = x - 2
Gi¶i
NÕu x2 - 3x + 2 0 (1) , ta cã
x2 - 3x + 2 = x -2 x2 - 4x + 4 = 0
(x- 2)2 = 0 x =2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1)
NÕu x2 - 3x + 2 < 0 (2) , ta cã
- x2 + 3x - 2 = x -2 x2 - 2x = 0
=> x1= 0 ; x2 = 2 .C¶ hai gi¸ trÞ nµy ®Òu kh«ng tho¶ m·n ®.kiÖn (2)
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2
IV.3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao
Thêng ®îc gi¶i b»ng c¸ch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch hoÆc dïng Èn phô .
Quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai cÇn chó ý c¸c d¹ng sau:
* Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 +c = 0 ( a �0)
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô X = x2 ( X 0 )
* Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng ( x + a)4 + ( x +b )4 = c
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô y = x +
a +b
2
* Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng ax4 +bx3 +cx2 +bx +a =0 (a 0) -ph¬ng tr×nh ®èi
xøng . C¸ch gi¶i : V× x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta chia c¶ hai
vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 råi ®Æt:
y x
1
x
( y 2)
* Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) = e víi a + d = b + c
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô t = x2 + (a+d) x +
2
�
ad - bc �
�
Ph¬ng tr×nh trë thµnh t2 - �
=e
�
�
�
�
� 2
�
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ( b»ng c¸ch quy vÒ bËc hai )
a. 2x4 – 7x2 - 4 = 0 (1)
b. 2x4 + 8x2 +15 = 0 (2)
c. x4 – 13x2 +36 = 0 (3)
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
1
(ad+bc)
2
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
Híng dÉn
16
a. 2x4 – 7x2 - 4
= 0 (1)
§Æt x 2 = X ( X 0 )
(1) 2X2 – 7X - 4 = 0
X1 = 4 ; X 2 = -
1
2
(lo¹i)
Víi x 2 = 4 x = 2
VËy Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 =2 ; x2 = -2
b. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng X2 + 8X +15 = 0 (2’)
Ph¬ng tr×nh (2’) cã 2 nghiÖm ©m X1 = -5 ; X2 = - 3
Do ®ã ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm
2
c. Ph¬ng tr×nh X – 13X +36 = 0 cã 2 nghiÖm d¬ng X1 = 4 ; X2 = 9
Do ®ã ph¬ng tr×nh (3) cã 4 nghiÖm :
x1 =2; x2 = -2 ; x3 =3; x4 = -3
VÝ dô 2 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh 12x4 – 8 x3 – 31x2 – 8x +12 = 0 (1)
Híng dÉn
V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm ; chia 2 vÕ cho x vµ biÕn ®æi vÒ d¹ng:
12( x 2
§Æt
1
x y
x
1
1
) 8( x ) 31 0 (2)
2
x
x
1
x2
x2
= y2 – 2
(2) 12y2 – 8y – 55 = 0 y1 =
- Víi y =
5
2
- Víi y = -
5
2
x1 = 2 ; x2 =
11
6
; y2 = -
11
6
1
2
Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn R
KÕt luËn Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 2 ; x2 =
1
2
IV.4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ
Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ cã chøa dÊu c¨n bËc hai, ta thêng khö dÊu c¨n bËc hai b»ng
c¸ch b×nh ph¬ng hai vÕ hoÆc ®Æt Èn phô
VÝ dô 1 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh x - 5 = x- 7
Híng dÉn
C¸ch 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa x 5 (1)
Víi x 7 (2) b×nh ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ta ®îc x – 5 = (x – 7)2
Gi¶i ra ta ®îc x1 = 6 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2)
X2 = 9 Tho¶ m·n c¶ hai ®iÒu kiÖn (1) , (2)
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 9
C¸ch 2. (®Æt Èn phô )
BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng x - 5 = x- 5 – 2
§Æt y = x - 5 0 ta cã y = y2 – 2 y2 – y – 2 = 0
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
17
Gi¶i ra ta ®îc y1 = -1 (lo¹i ) , y2 = 2
Víi y2 = 2 ta cã x - 5 = 2 x = 9
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 9
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 +
Híng dÉn
x 2 2003 2003
BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng :
x4 + x2 + 0, 25 = x2 + 2003 -
( x2 + 0,25)2 = (
x2 + 0,25 =
x 2 2003 0,25
x 2 2003 0,5) 2
x 2 2003 0,5
x2 + 1 = x 2 2003
x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2003
x4 + x2 – 2002 = 0
x1 2 =
1 8009
2
; x22 =
1
8009
2
( lo¹i )
8009 1
2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x =
IV.5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
VÝ dô :
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x2 - x
x2 - x + 2
=1
x2 - x - 1 x2 - x - 2
Híng dÉn
§Æt x2 – x = y ta cã
y
y +2
= 1 ®iÒu kiÖn y �-1, y � 2
y +1 y - 2
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc y1 = - 4 , y2 = 0 (Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn )
Víi y1 = - 4 th× x2 – x = - 4 v« nghiÖm
Víi y2 = 0 th× x2 – x = 0 <= > x1 = 0 ; x2 = 1
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0 ; x2 = 1
IV.6 . Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
§èi víi c¸c hÖ ®èi xøng hai Èn ( lµ hÖ mµ khi ta thay ®æi vÞ trÝ cña x vµ y th×
hÖ kh«ng thay ®æi ) . Trong trêng hîp nµy c¸ch th«ng thêng lµ ®¹t S = x+y ; P = xy
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau
2(x+y)2 –3(x+y ) – 5 = 0 (2)
x–y–5= 0
(3)
Híng dÉn
§Æt x + y = Z
(2) 2 Z2 – 3Z – 5 =0 Z1 = -1 ; Z2 =
Tõ ®ã ta cã x + y= -1 hoÆc x + y =
- Gi¶i hÖ bËc nhÊt
x+y =
5
2
5
2
5
2
x=
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
15
4
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
x–y =5
18
y=
5
4
x+y = 5
x=2
2
x–y =5
y=3
15
VËy hÖ ®· cho cã 2 cÆp nghiÖm (x =
y = 5 );( x = 2; y = 3)
- Gi¶i hÖ bËc nhÊt
4
4
IV. 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
VÝ dô : Cho tam thøc
Híng dÉn
a.
b.
c.
(x) = x2 - 8x + 15
g(x) = 2x2 – 6x +5
k (x) = x2 - 8x +16
a. Tam thøc (x) cã 2 nghiÖm lµ 3 vµ 5 (x) = (x- 3) (x – 5)
b. ’ < 0 g(x) v« nghiÖm trªn R
g(x) kh«ng ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña 2 nhÞ thøc bËc nhÊt
c.’ = 0 x1 = x2 =4 k (x) = (x- 4) 2
c - c¸c d¹ng bµi tËp øng dông
(Giíi thiÖu mét sè bµi thi vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai )
Bµi1 : XÐt 2 ph¬ng tr×nh x2 + 2x –2k – 8 = 0 (1)
x2 +kx + 2 = 0
(2)
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi k = -4 ; k = -1
T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm kÐp ? T×m nghiÖm kÐp ®ã ?
c. CMR k th× Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 1996 – 1997)
Bµi 2 : Cho ph¬ng tr×nh 2x2 -3x +m = 0
a. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mmét nghiÖm b»ng 3 .T×m
nghiÖm kia
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -5
c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ; x2 Tho¶ m·n
x1 =2 x2
(§Ò thi thö tèt nghiÖp : 1998 – 1999)
Bµi 3 : Cho ph¬ng tr×nh x2 –(m-1) x + m2 – 5 = 0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =-1
b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 1999 – 1999)
Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh x2 –2m x + 2m – 1 = 0
a. CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
19
b. T×m gi¸ tri cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 ;x2
Tho¶ m·n x1 – x2 = 2
(§Ò thi thö tèt nghiÖp : 1999 – 2000)
Bµi 5 :
a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
2(x+y)2 – 5(x+y) – 7 = 0
x–y=5
b.Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh mx2 +2(m+1) x + 4 = 0
( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 2000 – 2001)
Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh
x2 +3 x + – m2 = 0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1
b. CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi m 0
c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b»ng 1 . Tim
nghiÖm cßn l¹i
( Tèt nghiÖp 2000-2001 )
Bµi 7 : Cho ph¬ng tr×nh 2 x2 +(2m- 1) x +m – 1
=0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =1 ; m= 2
b. CMR ph¬ng tr×nh kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm d¬ng víi mäi m
( §Ò thi vµo 10 - Th¸i B×nh 2001 – 2002)
Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh 2 x2 +2mx +m – 3
=0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =5
b. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm b»ng nhau
( §Ò thi tèt nghiÖp - 2001 – 2002)
Bµi 9 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m+ 2)x + m + 1 = 0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =
2
3
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
c. Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó
+ x2(1-2x1) = m2
x1(1-2x2)
( §Ò thi vµo 10 - Hµ Néi 1995 – 1996)
Bµi 10 : Cho ph¬ng tr×nh x2 -2mx +2m - 1 = 0
1.Chøng tá ph¬ng tr×nh cã 2 ngiÖm x1 ; x2 m
2. §Æt A = 2( x12 + x22) – 5x1x2
a. Chøng minh A = 8m2 – 18 m + 9
b. T×m m sao cho A = 27
3. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 2 nghiÖm kia
( §Ò thi vµo 10 - TP HCM : 1995 – 1996)
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
20
Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x2 +mx +n - 3 = 0
1. Cho n = 0
a. Chøng tá ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m
b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b¨ng1 .T×m nghiÖm cßn l¹i
2. T×m m ; n ®Ó 2 nghiÖm x1 ; x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n hÖ thøc
x1 - x2 = 1
x12 –x22 = 7
( §Ò thi TN tØnh L©m §ång 1995 – 1996 )
Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(k – 2)x - 2k - 5 = 0
a.
Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k
b.
Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho
x12 + x22 =18
( Thi vµo 10 NghÖ An 1995- 1996 )
Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh ( 2m –1) x2 – 4mx + 4 = 0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m bÊt kú
c. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng m
( VÜnh Phó / 1995 -1996 )
Bµi 14: Cho ph¬ng tr×nh x2 + (2m - 5 )x - n = 0
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =1 ; n = 4
b. T×m m ; n ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ 2 vµ 3
c. Cho m = 5 .T×m n nguyªn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn d¬ng
(Hµ Nam 1999 - 2000)
d - Mét sè ®Ò luyÖn häc sinh giái
Bµi 1 : Cho ph¬ng tr×nh x2 - (2m +1 )x +2m + 10 = 0
Gäi x1 ; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m m ®Ó biÓu thøc
A = 10x1x2 + x12 + x22 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 2: T×m a sao cho ph¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiªm ph©n biÖt
(x – 1 ) (x2 + 2x + 3 +a) = 0
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 + px + p = 0 Cã 2 nghiÖm x1 ; x2 h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ
a. 3x1 vµ 3 x2
b.
1
2
x1
vµ
1
2
x2
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
SKKN: Ph©n lo¹i d¹ng to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai
c.
x1
x2
Vµ
21
x2
x1
Bµi 4: T×m sè cã 2 ch÷ sè tho¶ m·n xy – 1 = (x + 2)2 + y2
Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh
x2 (
2x 2
) 5
x2
Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
x
x y
y 30
x
y y
x 30
Bµi 7 :Gi¶ sö ph¬ng tr×nh : a.x4 + bx2+ c = 0 cã 4 nghiÖm x1;x2;x3;x4
a. CMR
x1+x2+x3+x4 = 0
x1x2x3x4
= c
a
b. Trêng hîp nµo ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm
Bµi 8 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a. 2 x 1 x 1
b.
x 2 x 10
c.
x 1 8x 1 2 x 3
d. x x x 10 10 x
2
2
Bµi 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh
x
1
1
x 2
2
4
Bµi 10: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh
x 2 x 12 x 1 36
Bµi 11: Cho c¸c ph¬ng tr×nh
x2 + ax +3 = 0
x2 + bx +7 = 0
x2 + cx +2005 = 0
(Èn x ; a , b , c Z )
H·y gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi biÕt chóng cã nghiÖm duy nhÊt
Bµi 12: T×m (x; y ) Z .BiÕt
y2
2y
2 x 4 0
PhÇn III : KÕt luËn
Trªn ®©y lµ ®Ò tµi t«i ®· ¸p dông trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y hoc sinh «n thi
vµo THPT còng nh vµo häc sinh giái líp 9. HÖ thèng ph©n d¹ng bµi tËp ®a ®Õn
cho häc sinh tõng lo¹i bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã, gióp häc sinh h×nh thµnh tèt kü
n¨ng ë tõng d¹ng bµi tËp
1.KÕt qu¶ thùc hiÖn:
1. §¸nh gi¸ qua tiÕp xóc, trao ®æi víi häc sinh
Gi¸o viªn : D¬ng ThÞ Ngäc – Trêng THCS Dòng tiÕn
- Xem thêm -
.DOC 
23 
114 
139 
