Tài liệu Skkn ôn tập hình học thông qua việc khai thác một bài toán ở thpt

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN” I. Đặt vấn đề: Trong việc dạy học Toán ở trường THPT: Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THPT có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy rằng sách giáo khoa được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã đủ với tất cả học sinh. Tuy nhiên chúng ta có thể hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn đa dạng hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được khả năng tư duy cho học sinh. Đứng trước một bất cứ hệ thống kiến thức toán học nào, nếu người giáo viên biết khéo léo khai thác thì đều có thể rèn luyện tư duy cho học sinh một cách có hiệu quả. Tuy nhiên do thời gian hạn chế nên trong phạm vi SKKN này tôi chỉ đi sâu vào nghiên cứu việc: “ÔN TẬP HÌNH HỌC THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN QUEN THUỘC”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại theo các câu hỏi theo từng dạng chủ điểm của hình học không gian lớp 11 và lớp 12 với mục đích ôn tập. II. Giải quyết vấn đề: Đề bài: Cho hình chóp S SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. SA  I K (ABCD), SA= a 3 . Gọi H, I, H K lần lượt là hình chiếu vuông Q J góc của A trên SB, SC, SD và A J là hình chiếu của B trên SC. M Gọi M, N, P, Q lần lượt là O trung điểm của AB, AD, BC, SC. D N B P C ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABC vuông ở A ta có : Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2 sin B  AB. AC = BC. AH b c b c , cosB  , tan B  ,cot B  a a c b 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 A b c BC = 2AM B M H BA2  BH .BC ; CA2  CH .CB a b = a. sinB = a.cosC c = a. sinC = a.cosB a= b b  sin B cos C b = c. tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường * Định lý hàm số Côsin: a2  b2  c2  2bc.cosA * Định lý hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C 3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam b/ Diện tích hình vuông : giác: cạnh S 1 1 a.b.c a.ha = a.b sin C  2 2 4R  p.r  p p.( p  a )( p  b)( p  c) với abc 2 S = cạnh x c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = x chéo ngắn) 1 (chéo dài 2 C Đặc biệt : e/ Diện tích hình thang : 1 2 * ABC vuông ở A : S  AB. AC , a2 3  ABC * đều cạnh a: S  4 S 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 f/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao * Các câu hỏi liên quan: Bài 1. Tính độ dài các cạnh: 1) SB, SC, SD, SO. 2) SH, SI, SK 3) AK, AH, AI, BJ, DJ. 4) AQ, OM, OQ, OJ. Giải 1) SD  SB  SA2  AB 2  2a SC  SA2  AC 2  a 5 SO  SA2  AO 2  a 14 2 3a 2 3  a 2) SH .SB  SA � SH  SK  2a 2 2 SI .SC  SA2 � SI  3a 2 3 5  a 5 a 5 3) 1 1 1 a 3  2 � AH  AK  2 2 AH SA AB 2 1 1 1 a 30  2 � AI  2 2 AI SA AC 5 1 1 1 2a 5   � DJ  BJ  2 2 2 BJ SB BC 5 AQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAC nên AQ  4) OM  ON  OP  SC a 5  2 2 a 2 OQ là đường trung bình tam giác SAC nên OQ  SA a 3  2 2 Tam giác BJD cân tại J (SBC=SDC), JO là đường trung tuyến nên JOBD. JO  JB 2  OB 2  a 30 10 Bài 2. Tính diện tích: 1) Các  SAD,  SAB,  SBC,  SCD,  BJD. 2) Hình vuông ABCD 3) Hình chữ nhật ABPN 4) Hình thang AMOD, BDNM 5) Hình tròn ngoại tiếp và hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD Giải 1) S SAD  S SAB 1 a2 3  SA. AB  2 2 SB 2  BC 2  5a 2  SC 2  SBC vuông tại B. Chứng minh tương tự ta được SCD vuông tại D S SBC  S SCD  1 SB.BC  a 2 2 1 a 2 15 S BJD  OJ .BD  2 10 2) S ABCD  a 2 3) S ABPN  S AMOD  a2 2 1 3  AD  OM  AM  a 2 2 4 S BMND  S ABD  S AMN a 2 a 2 3a 2    2 8 8  a2 4) Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông: S1   R  2 2 Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông: S2   r 2   a2 4 ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt a phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm (P) a / /( P ) � a �( P)  � nào chung. 2.Các định lý: ĐL1:Nếu đường d thẳng d không nằm a trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì (P) d �( P ) � � d / / a � d / /( P ) � � a �( P ) � đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường (Q) thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) a d a / /( P) � � a �(Q) � d / /a � � ( P ) �(Q)  d � (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một ( P ) �(Q)  d � � ( P) / / a � d / /a � � (Q) / / a � d a P Q đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. * Các câu hỏi liên quan: Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN//AB//CD 2)MO//AD//BC 3) QP // SB 4) MN//BD 5) KH//BD 6)OJ//AI. Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) PN//(SAB), PN//(SCD) 2) MO// (SAD), BC // (OQM)//AD, MO // (SBC) 3) CD// (QPN), CD//(SNP) 4) MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD// (AKH). Bài 5. Tìm giao tuyến của: 1) (SAB) và (SCD) 2) (SAD) và (SBC) Giải Bài 3. Chứng minh các đường thẳng song song: 1) PN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên PN//AB//CD 2) MO là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MO//AD//BC 3) QP là đường trung bình của SBC nên QP // SB 4) MN là đường trung bình của ABD nên MN//BD SH SK SA2  5) ( SH  SK  2 , SB=SD) suy ra HK//BD SB SD SB 6) OJ//AI (cùng vuông góc với SC, OJ vuông góc với SC bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) hoặc sử dụng kiến thức ở phần ôn tập 3) Bài 4. Chứng minh các đường thẳng song song với mặt phẳng: 1) �PN �( SCD ) � � PN P(SCD ) �PN PCD � CD �( SCD ) � Chứng minh tương tự ta được PN//(SAB) (PN//AB), 2) MO// (SAD), MO // (SBC) BC // (OQM)//AD (vì MO//AD), 3) CD// (QPN) (CD//PN), CD//(SNP) (CD//PN), 4) Vì MN//BD//HK nên MN, KH//(SBD), MN, KH//(JBD), BD// (MNKH), (QMN), KH //(ABCD), BD//(AKH) Bài 5. Giao tuyến: (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC) �S � SAB  � SCD  �  SAB  � SCD   Sx P AB PCD �AB PCD 1) � �S � SAD  � SBC  �  SAD  � SBC   Sy P AD P BC �AD PBC 2) � §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau ( P) P(Q) � ( P ) �(Q)  � P nếu chúng không có Q điểm nào chung. 2.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) �a, b �( P) � � ( P ) P(Q) chứa hai đường thẳng �a �b  I � a P(Q ), b P(Q ) � a, b cắt nhau và cùng P song song với mặt a b I Q phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt ( P ) P(Q) � � a P(Q) � a �( P) � a P Q phẳng kia. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của R P Q a b chúng song song. ( P ) P(Q) � � ( R ) �( P )  a � a Pb � � ( R ) �(Q)  b � * Các câu hỏi liên quan: Bài 6. Chứng minh hai mặt phẳng song song: 1) (OQM)//(SAD) 2) (QNP) // (SAB) Giải 1) (OQM)//(SAD) OQ, OM �(OQM ) � � OQ �OM  O � (OQM ) P( SAD ) � � OQ P( SAD ), OM P( SAD ) � 2) (QNP) // (SAB) OQ, NP �(QNP ) � � OQ �NP  O � (QNP ) P(SAB ) � � OQ P( SAB), NP P( SAB ) � 3)(AKH) // (JBD) 3)(AKH) // (JBD) Ta chứng minh HI// BJ và DJ//IK bằng định lý Talet (tính độ dài các đoạn thẳng tỷ lệ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông) �HI , IK �( AKH ) � � ( AKH ) P( JBD) �HI �IK  I �HI P( BJD ), IK P( BJD ) � (ta có thể chứng minh 2 mặt phẳng này song song do cùng vuông góc với SC ở phần ôn tập 3) Bài tập tổng hợp Bài 7. Tìm thiết diện của () và hình chóp, thiết diện là hình gì? Với () lần lượt là các mặt phẳng 1) (NPQ) 2) Mặt phẳng qua MN và song song với SA. Bài 8. a) T là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua QT và song song với BC. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp. b) Xác định vị trí điểm T để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi T di động trên cạnh SA. Bài 9.Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm T di động trên đoạn OC. a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P). b) Tính diện tích thiết diện theo a và x = CT. Giải Bài 7. 1) () là (NPQ) S R Q J A D N M O B C P OQ//SA (đường trung bình) Từ N kẻ NR//SA (R thuộc SD) suy ra R là trung điểm SD QR//CD//NP. Thiết diện là hình thang NPQR 2 S U R Q J T A D N M X O B P C Kẻ MT// SA (TSB) Kẻ NR// SA (RSD) MNAC=X, kẻ XU // SA (USC) Thiết diện là ngũ giác MNRUT Bài 8. a) Dựng QR//BC (RSB) Dựng TV//AD (VSD) Thiết diện là hình thang QRTV b) Hình thang QRTV là hình bình hành  QR=TV � TV QR 1    T là trung điểm AD BC 2 SA �AB PCD � c) �S � SAB � SCD �  SAB  � SCD   Sx P AB PCD    �  � U �RT � SAB  � U  RT �QV � � � U � SAB  � SCD  � U �Sx U �QV � SCD  � T �A � U  AR �DQ  E T �S � U  SR �SQ  S T là trung điểm SA thì RT//QV Vậy tập hợp điểm U là đường thẳng Sx//AB//CD bỏ đi đoạn SE. S R U R Q J T V A D N M O B C P Bài 9. S R A D V O T B U C a) Q ua T dựng UV//BD (UBC, RCD) Dựng UR//SB (RSC). Nối RV. Thiết diện là tam giác RUV cân tại R. ( RU RV  , SB  SD ) SB SD UV TC 2 x   � UV  2 x BD CO BD RT TC 2 x a 14   � RT  2 x. x 7 SO CO BD 2a 2 1 1 S RUV  UV .RT  .2 x.x 7  x 2 7 2 2 B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1.Định nghĩa: Một đường thẳng được a gọi là vuông góc với P c một mặt phẳng nếu nó a  mp( P) � a  c, c �( P) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. 2. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai �d  a , d  b � đường thẳng cắt nhau a �a , b �mp ( P ) � d  mp ( P) � a , b cat�nhau � d và b cùng nằm trong P b a mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình a  mp ( P ), b �mp ( P ) b  a � b  a' a P a' b chiếu a’ của a trên (P). * Các câu hỏi liên quan: Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1) BC  (SAB) 2) CD  (SAD) 3) AH  (SBC) 4) AK  (SCD) 5) SC  (AHK) 6) BD  (SAC) 7) SC  (AIK) 8) HK  (SAC) 9) OM  (SAB) 10) ON  (SAD) 11) BC  (OPQ) 12) AB  (OMQ) 13) AD  (ONQ) 14) SC  (JBD) Bài 11. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1) BC  SB 2) CD  SD 3) BD  SO 4) BD  SC 5) AH  SC 6) AK  SC 7) AI  HK 8) DJ  SC Giải Bài 10. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1) BC  AB (g/t hình vuông), BC  SA (SA  (ABCD),BC  (ABCD))  BC  (SAB) 2) CD  AD (g/t hình vuông), CD  SA (SA  (ABCD),CD  (ABCD))  CD  (SAD) 3) AH  SB (gt), AH  BC (BC  (SAB) (câu 1))  AH  (SBC) 4) AK  SD (gt), AK  CD (CD  (SAD) (câu 2))  AK  (SCD) 5) AH  (SBC) (do câu 1)  AH  SC,AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC SC  (AHK) 6) BD  AC (g/t hình vuông), BD  SA (SA  (ABCD),BD  (ABCD))  BD  (SAC) 7) AK  (SCD) (do câu 2)  AK  SC, AI  SC (GT)  SC  (AIK) 8)  SAB =  SAD (c.g.c)  SB = SD và � ASB  � ASD , AH  SB và AK  SD (cmt)  có  SAH =  SAK (cạnh huyền, góc nhọn)  SH = SK  SH SK   HK // BD.Mặt SB SD khác ta lại có BD  (SAC) (câu 6) nên HK  (SAC) 9) OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC, BC  (SAB) (cmt) OM(SAB). 10) ON là đng trung bình của tam giác ABD nên ON// AB //CD, CD  (SAD) (cmt) ON(SAD). 11) OP là đng trung bình của tam giác BDC  OP // CD,BC  CD (gt hình vuông)  BC  OP OQ là đng trung bình của  SAC  OQ // SA,SA  (ABCD)  OQ  (ABCD)  BC  OQ BC  (OPQ) Hoặc có thể chứng minh: