S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
I/§Æt vÊn ®Ò
Trong ch¬ng tr×nh THPT BÊt ®¼ng thøc lµ mét phÇn kiÕn thøc kh¸ quan
träng. BÊt ®¼ng thøc cã nhiÒu øng dông trong c¸c phÇn kiÕn thøc cña m«n To¸n
nh: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt, gi¶i ph¬ng tr×nh,
gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh…
BÊt ®¼ng thøc Cauchy ®îc giíi thiÖu trong s¸ch gi¸o khoa §¹i sè líp 10 ë
tÊt c¶ c¸c ban vµ lµ bÊt ®¼ng thøc ®îc vËn dông chñ yÕu trong toµn bé ch¬ng
tr×nh THPT. Nãi ®Õn bÊt ®¼ng thøc Cauchy th× nh÷ng ai ®· tõng häc To¸n THPT
còng biÕt, còng nhí nhng ®Ó vËn dông ®îc mét c¸ch cã hiÖu qu¶ th× l¹i lµ c¶ mét
vÊn ®Ò.
Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ ®Æc biÖt lµ båi dìng häc sinh kh¸ giái th× t«i
thÊy häc sinh trong qu¸ tr×nh vËn dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy thêng gÆp nh÷ng
sai lÇm trong ®ã nghiªm träng cã thÓ lµm sai ®i b¶n chÊt cña vÊn ®Ò.
V× vËy t«i viÕt s¸ng kiÕn nµy cïng trao ®æi thªm vÒ c¸ch d¹y, c¸ch häc bÊt
®¼ng thøc Cauchy sao cho cã hiÖu qu¶ nhÊt nh»m kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay
m¾c ph¶i còng nh ®Þnh híng ®Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n theo bÊt ®¼ng thøc
Cauchy.
Néi dung bµi viÕt gåm:
I/ §Æt vÊn ®Ò
II/Néi dung
III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn.
IV/KÕt qu¶
V/KÕt luËn
Tuy b¶n th©n ®· hÕt søc cè g¾ng song kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. T¸c
gi¶ mong ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña ®äc gi¶!
Th¹ch Thµnh, ngµy 20/04/2008
Gi¸o viªn
§ç Duy Thµnh.
II/Néi dung
Bµi 1: Cho a �3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña bÊt biÓu thøc: S = a +
1
a
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp: S = a +
1
1
�2 a. 2 � MinS 2 .
a
a
1
a
Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 � a 1 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt a �3 .
§ç duy thµnh
1
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
Ph©n tÝch vµ t×m lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn cña a,
1
vµ S ®Ó dù ®o¸n
a
Min S
a
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12
S
1
3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1
11
11
1
12
12
30
1
30
30
1
30
Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a t¨ng th× S cµng lín vµ tõ ®ã dÉn ®Õn
dù ®o¸n khi a = 3 th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt. §Ó dÔ hiÓu vµ t¹o sù Ên tîng ta sÏ
nãi r»ng
Min S =
10
®¹t t¹i “§iÓm r¬i: a = 3”
3
Do bÊt ®¼ng thøc Cauchy x¶y ra dÊu b»ng t¹i ®iÒu kiÖn c¸c sè tham gia
ph¶i b»ng nhau, nªn t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” ta kh«ng thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc
Cauchy trùc tiÕp cho 2 sè a vµ
1
1
v× 3 � . Lóc nµy ta sÏ gi¶ ®Þnh sö dông bÊt
a
3
a 1�
a 1
®¼ng thøc Cauchy cho cÆp sè �
tøc
� , �sao cho t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” th×
a
� a �
lµ ta cã lîc ®å “ §iÓm r¬i” sau ®©y
S¬ ®å: a 3
�a 3
�
�
�1 3 �
��
3
�1 1
�a 3
9
Tõ ®ã ta biÕn ®æi S theo s¬ ®å “§iÓm r¬i” ®îc nªu ë trªn.
Lêi gi¶i ®óng: S = a +
Víi a = 3 th× Min S =
§ç duy thµnh
1
a 1 � 8a
a 1 8.3 10
=�
�
�2 .
�
a
9 a 9
3
�9 a � 9
10
3
2
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
Bµi 2: Cho a �2. T×m gi¸ trÞ há nhÊt cña biÓu thøc: S = a +
1
a2
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
S¬ ®å ®iÓm r¬i : a 2
�a 2
�
�
�1 2 �
��
4
�1 1
2
�a
4
8
Sai lÇm thêng gÆp:
S=a+
2
7.2 2 7 9
1 �a 1 � 7 a
8 1 7a
2
7a
�
.
=
�
.
2 �
4 4 4
8.2 8
a2 �
a a2 8
8a 8
�8 a � 8
Víi a = 2 th× Min S =
9
4
Nguyªn nh©n sai lÇm:
MÆc dï ta ®· biÕn ®æi S theo ®iÓm r¬i a = 2 vµ Min S =
9
lµ ®¸p ¸n ®óng nh4
ng c¸ch gi¶i trªn ®· m¾c sai lÇm trong viÖc ®¸nh gi¸ mÉu sè:
“NÕu a �2 th×
2
2
2
� lµ ®¸nh gi¸ sai”
8a 8.2 4
§Ó ®iÒu chØnh lêi gi¶i sai thµnh lêi gi¶i ®óng ta cÇn ph¶i biÕn ®æi S sao cho
khi sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy sÏ khö hÕt biÕn sè a ë mÉu sè.
Lêi gi¶i ®óng: S = a +
Víi a = 2 th× Min S =
1 �8 8 1 � 6a
a a 1 6.2 9
� 2 �
�3. 3 .
a �a a a � 8
8 8. a 2
8
4
9
4
Bµi 3: Cho a �6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = a 2
18
a
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
S¬ ®å ®iÓm r¬i:
a6
�a 2 36
�
18 36
�
��
�
�
18
18
6
�
�
6
�a
2 6
Lêi gi¶i ®óng:
§ç duy thµnh
3
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
S = a2
M«n: To¸n
18 �a 2
18 � � 1 � 2
a 2 18 � 1 � 2
= � � �
1
a
�
2
.
�
1
a
�
�
a �
2 6
a�� 2 6�
2 6 a � 2 6�
1 �2
6 6
=6 a a �
1
a �6
�
�
6 � 2 6�
6
� 1 �2 =36 + 3
�
1
6
6
�
� 2 6�
Víi a = 6 th× Min S = 36 + 3 6
1
2
Bµi 4: Cho 0 a � . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = 2a +
1
a2
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp: S = 2a +
1
1
1
3
2 = a + a +
2 �3 a.a. 2 3 � MinS = 3
a
a
a
Nguyªn nh©n sai lÇm:
Min S = 3 � a a
1
1
1 m©u thuÉn víi giat thiÕt 0 a �
2
a
2
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn ®Ó dù ®o¸n Min S.
1
10
1
5
1
9
2
9
1
8
1
4
1
7
2
7
1
6
1
3
1
5
2
5
1
4
1
2
1
3
2
3
1
a2
100
81
64
49
36
25
16
9
S
100
a
2.a
1
5
81
2
9
64
1
4
49
2
7
36
1
3
25
2
5
16
1
2
9
1
2
1
4
2
3
5
Nh×n b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a cµng t¨ng th× S cµng nhá tõ ®ã dÉn ®Õn dù
®o¸n khi a
1
th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt.
2
S¬ ®å ®iÓm r¬i 1:
C¸ch 1: 2a +
§ç duy thµnh
1
a
2
� 1
a
�
1 4
� 2
��
� �
2
�1 4
2
�
a
8
1
3 7.4
1 � 7
8
7
=�
5.
a a 2 � 2 �3 3 a.a. 2 2 �
�
2
a
2 8
8a � 8a
a
8a
�
4
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Víi a =
M«n: To¸n
1
th× Min S = 5.
2
S¬ ®å ®iÓm r¬i 2:
a
�
a
�
1 4
�
2
��
� �
2
�1 4
2
�a
1
2
1
1
=�
8a 8a 2
�
2
a
a
�
C¸ch 2: S = 2a +
1
2
= 12 14a �12 14. 5 . Víi a =
8
1
�
14a �3 3 8a.8a. 2 14a
�
a
�
1
th× Min S = 5.
2
a, b 0
�
1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = ab +
a b �1
ab
�
Bµi 5: Cho �
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp: S = ab +
1
1
�2. ab.
2 � Min S = 2.
ab
ab
Nguyªn nh©n sai lÇm:
1
ab
Min S = 2 �ab��
�
1 1
ab
ab
2
1
2
1
1
: V« lý
2
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:
BiÓu thøc cña S chøa biÕn sè a, b nhng nÕu ®Æt t = ab hoÆc t =
1
1
th× S = t + lµ
ab
t
biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sè ta cÇn ph¶i t×m miÒn x¸c ®Þnh cho biÕn
sè míi, cô thÓ lµ:
1
1
�
4
1
1
1 �
2
2
§Æt t =
� ab vµ t =
�a b � �1 �
ab
t
ab
�
� ��
� 2 � �2 �
Bµi to¸n trë thµnh: Cho t �4 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = t +
§ç duy thµnh
5
THPT Th¹ch Thµnh III
1
t
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
�t 4
�
�
�1 4 �
��
1 1
4
�
�t 4
t4
S¬ ®å ®iÓm r¬i:
M«n: To¸n
16
Lêi gi¶i tæng hîp:
1
t 1 � 15t
t 1 15t 2 15t 2 15.4 17
S = t + =�
.
�
�2.
.
�
�
t �
16 t � 16
16 t 16 4 16 4 16
4
Víi t = 4 hay a = b =
1
17
th× Min S = .
2
4
Lêi gi¶i thu gän: Do t = 4 � a b
1
nªn biÕn ®æi trùc tiÕp S nh sau:
2
1 �
1 � 15
1
�
ab
�2. ab.
�
S = ab + ab � 16ab � 16ab
16ab
Víi a = b =
15
17
�
�a b � 4 .
16 �
�
�2 �
2
1
17
th× Min S = .
2
4
�a, b, c 0
1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓi thøc S = abc +
abc
�a b c �1
Bµi 6: Cho �
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp: S = abc +
1
1
�2 abc
2 � Min S = 2
abc
abc
Nguyªn nh©n sai lÇm:
1
abc
Min S = 2 ��
�
abc
� � 1 1
3
abc
abc
3
1
3
1
1
3
V« lÝ.
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:
BiÓu thøc cña S chøa 3 biÕn s« a, b, c nhng nÕu ®Æt t = abc hoÆc t =
S=t+
1
th×
abc
1
lµ biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sã ta cÇn ph¶i t×m miÒn x¸c
t
®Þnh cho biÕn sè míi, cô thÓ lµ:
§ç duy thµnh
6
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
1
1
� 3 27
1
1
1 �
3
§Æt t =
� abc vµ t =
�a b c � �1 �
abc
t
abc �
� ��
� 3
� �3 �
Bµi to¸n trë thµnh: Cho t �27. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = t +
1
t
S¬ ®å ®iÓm r¬i:
�t 27
�
1 27
�
t 27 � �
�
�
1 1
27
�
�t 27
1 � �27 2 1 �
t 1 (27 2 1).t
1 �t
� 2 � � 2 �
.t �2
.
27 2 t
t �27 t � � 27 �
Lêi gi¶i tæng hîp: S = t +
27 2
27 2 1 t
27 2 1 .27 27 2 1 730
2
�
27
27 2
27 2
27 2
27
Víi t = 27 hay a = b = c =
1
730
th× Min S =
.
3
27
Lêi gi¶i thu gän: Do t = 27 � a = b = c =
1
nªn biÕn ®æi trùc tiÕp S nh
3
sau:
S = abc +
1
1 � 27 2 1
1
27 2 1
=�
abc 2
�2 abc. 2
�
�
abc
27 .abc � 27 2 abc
27 .abc 27 2 abc
�
27 2 1 .27
27 2 1 .27 27 2 1 730
2
�
27
27 2
27 2
27
27
Víi a = b = c =
1
730
th× Min S =
.
3
27
Bµi 7: Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c¶u biÓu thøc: S = a b ab
ab
ab
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp: S =
§ç duy thµnh
ab
ab
a b ab
�2.
2 � Min S = 2
ab a b
ab a b
7
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
ab
ab
Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 �
=1
ab
�ab
� a b 2 ab
ab
1 2 .V« lÝ
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b nªn
dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b >0
2a 2
�a b
�
1 2
ab a
�
��
� �
2
� ab a 1
�
�a b 2a 2
S¬ ®å ®iÓm r¬i: a b
4
Lêi gi¶i ®óng:
�a b
ab � 3. a b
ab
ab 3. a b
S = a b ab = �
�
2.
.
�
�
�
ab
1
ab
�4 ab
a b � 4. ab
4. ab a b
4. ab
3 5
5
. Víi a = b>0 th× Min S =
2 2
2
a , b, c 0
�
1 1 1
�
Bµi 8: Cho �
3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a+b+c+
abc �
a b c
�
�
2
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp:
1
a
1
b
1
c
S = a+b+c+ �6. 6 a.b.c. 1 . 1 . 1 6 � Min S = 6.
a b c
1
a
1
b
1
c
Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 6 � a b c =1
3
� a b c 3 � tr¸i víi gi¶ thiÕt.
2
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:
Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n
Min S ®¹t t¹i a = b = c =
§ç duy thµnh
1
2
8
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
S¬ ®å ®iÓm r¬i 1:
abc
1
a
1
b
C¸ch 1: S = a+b+c+
abc
=�
�
�
M«n: To¸n
1
2
1
�
abc
�
1 2
�
2
��
� �
2
�1 1 1 2
�
a b c
4
1
=
c
1
1
1 � 3 �1 1 1 �
1 1 1 3� 3 1 1 1 �
� � ��6 6 a.b.c. . . �
3. .
�
�
4a 4b 4c � 4 �a b c �
4a 4b 4c 4 �
� a bc�
9
1
27
1
27 1 15
9 1 �3
3 .
�3
=3+ . 3
4 abc
4 abc
4 6 2
4 abc
3
3
Víi a=b=c=
1
15
th× Min S =
2
2
S¬ ®å ®iÓm r¬i 2:
abc
1
a
1
b
C¸ch 2: S = a+b+c+
1
1
1
2
�
a b c
�
�
2
��
� 2�
2
�1 1 1 2
�a b c
4
1
=
c
1
�
111
4a 4b 4c � 3 a b c �6 6 4a.4b.4c.
3 a b c �12 3
=�
�
a b c�
2 2
�
abc
Víi a=b=c=
3
15
1
15
th× Min S =
2
2
a , b, c 0
�
1 1 1
�
Bµi 9: Cho �
3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a2 + b2 + c2 +
abc �
a b c
�
�
2
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp:
S = a 2 + b2 + c2 +
Min S =
§ç duy thµnh
9
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
+
�9 9 a 2b 2 c 2
. . . . . =3 �
4
2a 2b 2c 2a 2b 2c
2a 2b 2c 2a 2b 2c
9
4
3
9
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S =
9
1
1
1
1
2
2
2
�
a
b
c
3
2a 2b 2c 3 4
4
1
2
� abc
� abc
M«n: To¸n
3
3
3
tr¸i víi gi¶ thiÕt.
2 2
3
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c
nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =
S¬ ®å ®iÓm r¬i: a b c
1
2
1
�2
a b2 c2
�
1 2
�
4
��
� � 8
4
�1 1 1 2
�
a b c
1
2
1
a
1
b
1
c
Lêi gi¶i ®óng: S = a2 + b2 + c2 + =
a 2 + b2 + c2 +
=�
�
�
�9 9 a 2b 2 c 2
1
1 1 1
1 1 � 3 �1 1 1 �
+ + � � + �
8a 8b 8c 8a 8b 8c � 4 �a b c �
1 1 1 1 1 1 3 �3 1 1 1 �
. . . . . �
3
�
�
8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 �
� abc�
9 9 1
9 9
1
9 9
27
.3
� .
� .2
= 4 4 abc 4 4 a b c 4 4
4
3
Víi a = b = c =
1
27
th× Min S =
2
4
a , b, c 0
�
�
Bµi 10: Cho �
3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
abc �
�
�
2
S = a 2 12 b 2 12 c 2 12
b
c
a
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp:
§ç duy thµnh
10
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
S �3 3 a 2 12 b2 12 c 2 12 3 6 (a 2 12 )(b2 12 )(c 2 12 )
b
c
� 2 1
�3. 6 �
2 a 2
�
b
�
a
�
� 2 1
2 b 2
�
�
�
�
c
�
�
b
�
� 2 1
2 c 2
�
�
�
�
a
�
�
c
a
� 6
� Min S = 3 2
=
�
� 3 8 3 2
�
Nguyªn nh©n sai lÇm:
Min S = 3 2 � a = b = c =
1 1 1
3
1 � a b c �3 tr¸i víi gi¶ thiÕt.
a b c
2
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c
nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =
S¬ ®å ®iÓm r¬i: a b c
1
2
1
�2
a b2 c2
�
1 4
�
4
��
� �
4
�1 1 1 4
2
2
2
�
a b c
1
2
16
Lêi gi¶i 1:
S=
a2
1
1
1
1
1
1
...
b2
...
c2
...
2
2
2
2
2
16b
16b
16c
16c
16a
16a 2
16 s�
16 s�
16 s�
a2
b2
c2
17
17
� 17.
17.
17.
1616 b32
1616 c 32
1616 a 32
17
�
a
b
c
� 17 �
3. 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16
16 b
16 c
16 a
�
�
3 17
= 2.17 (2a.2b.2c )
5
=
� a
b
c �
17
17
17
17 �
�
8 16
168 c16
168 a16 �
� 16 b
�
1
� 3. 17.17 8 5 5 5
16 a b c
�
�
3 17
�
2
�2a 2b 2c �
217 �
�
3
�
�
�
Víi a = b = c =
3 17
15
1
th× Min S = 3 17
2
2
Phèi hîp víi ®iÓm r¬i trong bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwarzi:
§ç duy thµnh
11
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
XÐt d¹ng ®Æc biÖt níi n = 2:
�
M«n: To¸n
a
2
1
a22 b12 b22 �a1b1 a2b2 . DÊu b»ng x¶y ra
a1 a2
�0
b1 b2
ý nghÜa: ChuyÓn ®æi mét biÓu thøc to¸n häc ë trong c¨n bËc hai thµnh mét
biÓu thøc kh¸c ë ngoµi c¨n ®Ó nhËn ®îc mét biÓu thøc linh ®éng h¬n.
XÐt ®¸nh gi¸ gi¶ ®Þnh víi c¸c sè ,
2
�
�2 �1 �
� 2
1
1
�
�
� a2 1
.
a
2 �
.�
a � (1)
�
�
�
�
2
�
b
b�
2 2 � �b ��
2 2 �
�
2
�
�2 �1 �
�
� 2 1
1
1
�
�
�b 2
. �
b � �� 2 2 �
.�
b � (2)
2
2
2
2
c
c�
�
�
� �c ��
�
2
� 2 1
�2 �1 �
� 2
1
1
�
�
c
.
c
2 �
.�
c � (3)
�
�
�
�
�
2
a
a�
2 2 � �a ��
2 2 �
�
�
S
�
.�
a b c
2 2 �
1
�1
�
�a
1
b
�
1�
�
� S0
c�
�
Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n S = S0 t¹i ®iÓm r¬i
a=b=c=
1
, khi ®ã tÊt c¶ c¸c bÊt ®¼ng thøc (1), (2), (3) ®ång thêi x¶y ra
2
dÊu b»ng tøc lµ ta cã s¬ ®å ®iÓm r¬i sau:
S¬ ®å: a b c
1
2
�a 1/ b
�
�
�b 1/ c
a b c 1
��
� �
1 1 1 4
�
b c a
�c 1/ a
�
�
1
�
�
� 4
KÕt hîp víi biÕn ®æi theo “§iÓm r¬i” trong Cauchy ta cã lêi gi¶i sau:
§ç duy thµnh
12
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
� 2 1
1
1 � 4�
�2 1 � 2
. �
a 2 �1 42 �
.�
a � (1)
�a 2
b
b
b�
17
17
�
�
�
�
�
�
1�
1 � 4�
Lêi gi¶i 2: � b2 12 1 . �
b 2 2 �12 42 �
.�
b �(2)
�
c
17 � c �
17 � c �
�
�
1�
1 � 4�
� c2 1 1 . �
c 2 2 �12 42 �
.�
c � (3)
2
�
�
a
17 � a �
17 � a �
�
S
�
1 �
.�
a b c
17 �
4
a
4
b
4�
�
c�
1 �
.�
a b c
17 �
1
4a
1
4b
1 15 �1
�
4c 4 �a
1
b
�
1�
�
�
c�
�
� 1 � 45 1 �
1 �6
1 1 1 15 �3 1 1 1 �
.�
6. abc. . . �
3
3 . 3
�
�
�
�
4a 4b 4c 4 �
a
b
c
4 abc �
17 �
17
�
�
�
�
�
�
�
� 1 � 45 � 3 17
1 � 45
1
�
.�
3 .
3 .2 �
=
��
�
17 � 4 a b c � 17 � 4 � 2
3
�
�
Víi a = b = c =
1
th× Min S = 3 17
2
2
Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
T = sinA + sinB + sinC +
1
1
1
sin A sin B sin C
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp:
sinA + sinB + sinC +
1
1
1
sin A.sin B.sin C
�6 6
6 � Min T = 6
sin A sin B sin C
sin A.sin B.sin C
Nguyªn nh©n sai lÇm:
Min T = 6 � sin A sin B sin C
1
1
1
1� A B C
sin A sin B sin C
2
M©u thuÉn víi A + B + C =
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:
Bæ ®Ò: sinA + sinB + sinC �3 3
2
§ç duy thµnh
13
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
¸p dông: Dù ®o¸n ®iÓm r¬i cña Min T lµ sinA + sinB + sinC 3
2
S¬ ®å ®iÓm r¬i:
sin A sin B sin C
�
3
2
�
�� 1
�
1
1
2 �
2
3
�sin A sin B sin C 3
�
3
sin A sin B sin C
2
4
3
Lêi gi¶i ®óng:
4
4
4
1
1
1 �1
T= �
� sin A sin B sin C
� sin A sin B sin C
�3
3
3
sin A
sin B
sin C � 3
4
1
1 �1
�
�4
�
�4
�
�1
T �6. 6 �
.
.
� sin A �
� sin B �
� sin C �
�
� sin A sin B sin C
3
3
3
sin A sin B sin C
3
�
=
�
�
�
�
�
�
�
12 1
12 1 3 3 21 3 7 3
sin A sin B sin C � .
3 3
6
2
3 3 2
Víi sin A sin B sin C 3 hay A = B = C = th× Min T = 7 3
3
2
Bµi 12: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
2
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
� a
bcd
�2
�
a
�b c d
� b
cd a
�2
�
b
�c d a
�
d ab
� c
�2
�d a b
c
�
abc
� d
�2
�a b c
d
�
�S
8
a
bcd
.
2
b cd
a
b
cd a
.
2
cd a
b
c
d a b
.
2
d ab
c
d
abc
.
2
a b c
d
Min S = 8.
Sai lÇm thêng gÆp 2: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy trùc tiÕp cho 8 sè:
S �8 8
a
b
c
d
= 8 � Min S = 8.
.
.
.
bcd cd a d ab abc
§ç duy thµnh
14
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
Nguyªn nh©n sai lÇm:
a bcd
�
�
b cd a
� a b c d 3 a b c d � 1 3 V« lý.
Min S = 8 � �
�
c
d
a
b
�
�
d abc
�
Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:
§Ó t×m Min S ta cÇn lu ý S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d do ®ã Min
S (hoÆc Max S) nÕu cã thêng ®¹t t¹i “§iÓm r¬i tù do” : a = b = c = d > 0.
VËy ta cho tríc a = b= c= d > 0 vµ dù ®o¸n Min S =
4
1
12 13
3
3
Tõ ®ã suy ra c¸c ®¸nh gi¸ cña bÊt ®¼ng thøc bé phËn ph¶i cã ®iÒu kiÖn dÊu
b»ng x¶y ra lµ tËp con cña ®iÒu kiÖn dù ®o¸n: a = b = c = d > 0
S¬ ®å ®iÓm r¬i: Cho a = b = c = d > 0 ta cã:
b
d
1
� a
�
1 3
�b c d c d a a b c 3
� � 9
�
3
�b c d c d a d a b a b c 3
� a
b
c
d
C¸ch 1: BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
� a
��
�b c d
S
a ,b ,c , d
�8 8
bcd �
8 bcd
�
� � .
9a � a ,b ,c , d 9
9a
a
b
c
d
b c d c d a d a b a b c
.
.
.
.
.
.
.
bca c d a d a b a bc
9a
9b
9c
9d
8 b c d c d a d a b a b c�
+ �
� �
9 �a
a
a
b
b
b
c
c
c
d
d
8 8
�b c d c d a d a b a b c
� .1212 � . . . . . . . . . . .
3 9
�a a a b b b c c c d d d
Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13
bcd
;
a
C¸ch 2: §Æt S1 �
S1
d�
8 32 40
1
� 8 8
13
� .12
3 3
3
3
� 3 9
1
3
a
S2 �
� S S1 S 2
bcd
b c d c d a d a b a b c
a a a b b b c c c d d d
§ç duy thµnh
15
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
b c d c d a d a b a b c
� . . . . . . . . . . . 12
a a a b b b c c c d d d
1
1
1
� a
�
S 2 4 ��
1 � a b c d �
� b c d .�
�
bcd 3
bcd
�b c d �
4
1
16
� . 4 b c d c d a d a b a b c .4 4
3
b c d c d a d a b a b c 3
16
4
�
S 2 �
4
3
3
S
S1 S 2 12
4
1
13
3
3
1
3
Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13
Bµi 13: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
� 2a �
� 2b �
� 2c �
� 2d �
S �
1
1 �
1
1
�
�
�
�
�
�
� 3b �
� 3c �
� 3d �
� 3a �
B×nh luËn vµ lêi gi¶i
Sai lÇm thêng gÆp:
� 2a �
� 2b �
� 2c �
� 2d �
2a
2b
2c
2d
64
64
S �
1 �
1 �
1
1
.2
.2
.2
.
� MinS
�
�
�
�
��2
� 3b �
� 3c �
� 3d �
� 3a �
3b
3c
3d
3a
9
9
Nguyªn nh©n sai lÇm:
Min S =
64
2a 2b 2c 2d 2 a b c d 2
�1
� V« lý
9
3b 3c 3d 3a 3 a b c d 3
Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i
4
2 � 625
§iÓm r¬i tù do: a = b = c = d > 0, khi ®ã S �
1 �
�
� 3�
81
C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
§ç duy thµnh
16
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
2
3
2
�
5
2
a
1
1
a
a
1
a
5
a
�
�
�
�
�
�
�
1
�5 5 � �. � � � �
� 3b 3 3 3b 3b
�3 � �3b � 3 �b �
�
2
3
2
� 2b 1 1 b b
5
1
b
5
b
�
�
�
�
�
�
�
1
�5 5 � �. � � � �
�3 � �3c � 3 �c �
� 3c 3 3 3c 3c
�
2
3
2
� 2c 1 1 c
5
c
1
c
5
c
� �� �
��
1
�5 5 � �. � � � �
�
�3 � �3d � 3 �d �
� 3d 3 3 3d 3d
�
2
3
2
5
� 2d 1 1 d
d
1
d
5
d
�
�
�
�
�
�
1
�5 5 � �. � � � �
�
3
a
3
3
3
a
3
a
�3 � �3a � 3 �a �
�
2
5
2a �
625
� 2b �
� 2c �
� 2d � 625 �a b c d �
� S �
1 �
1 �
1 �
1
�
�
�
�
�� . � . . . �
� 3b �
� 3c �
� 3d �
� 3a � 81 �b c d a � 81
Víi a = b= c= d > 0 th× Min S =
625
81
C¸ch 2:
� 2a 3b 2a b b b a a 5 5 b3a 2
1
�
�
3b
3b
3b
� 3b
5
� 2b 3c 2b c c c b b 5 c 3b 2
�
1
�
� 3c
3c
3c
3c
x�
� 2c 3d 2c d d d c c 5 5 d 3c 2
1
�
�
3d
3d
3d
3d
�
� 2d 3a 2d a a a d d 5 5 a 3d 2
1
�
�
3a
3a
3a
� 3a
5 5 5 5 5
2a �
625
� 2b �
� 2c �
� 2d � 625 5 a b c d
� S �
1
1
1
1
�
.
�
�
�
�
�
�
�
�
abcd
81
� 3b �
� 3c �
� 3d �
� 3a � 81
Víi a = b= c= d > 0 th× Min S =
625
81
�a, b, c 0
1 1 1
2
2
2
Chøng minh r»ng: S = 2 2 2 �81
a b c
ab bc ca
�a b c �1
Bµi 14: Cho �
Gi¶i
BiÕn ®æi vµ sö dông 2 lÇn bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 9 sè ta cã:
a 2 b2 c2 1
1 1
1
9
S = �9 9 2 2 2
9
2
2
2
b
c a ab bc ca
a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca
a b c ab.ab.bc.bc.ca.ca
§ç duy thµnh
17
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
9
81
� 2
�81
2 2
a b c ab ab bc bc ca ca (a b c) 2
9
2
2
2
�a, b, c 0
Chøng minh r»ng: S = a b c 1 1 1 �28
b
c a ab bc ca
�a b c �1
Bµi 15: Cho �
Gi¶i
1
3
Dù ®o¸n S = 1 t¹i ®iÓm r¬i: a = b =c =
BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
2
2
2
S = a b c 27 1 27 1 27 1 �
b
c
a
27ab
27
27bc
27ca
27
27
a 2 b2 c 2 � 1 � � 1 � � 1 �
84
�84
�
��
��
� �84 81 53 53 53
b c a �27 ab � �27bc � �27ca �
27 a b c
84
�
84
84
�53 a b c �
2781 �
�
� 53.3
�
53.3
�
84
3.53
�1 �
84 2781
��
�3 �
84
84
2728
28
III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn
-Trao ®æi th«ng qua sinh ho¹t 15 phót.
-D¹y trong c¸c tiÕt bµi tËp.
-Th«ng qua b¸o b¶ng víi chuyªn môc “Sai lÇm ë ®©u?”
-Ngo¹i khãa.
-D¹y vµo tiÕt tù chän.
IV/kÕt qu¶
Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· lµm phÐp ®èi chøng ë 2 líp 10C3 vµ
10C4. §èi víi líp 10C4 t«i ®· cho häc sinh ®äc mét sè c¸ch gi¶i sai mµ häc sinh
hay m¾c ph¶i vµ t×m chç sai vµ c¸ch kh¾c phôc nh thÕ nµo. Kªt qu¶ 90% häc sinh
líp 10C4 cã thÓ ®Þnh híng vµ vËn dông thµnh th¹o bÊt ®¼ng thøc Cauchy mét
c¸ch cã hiÖu qu¶. Trong khi ®ã ë líp ®èi chøng 10C3 tØ lÖ nµy chØ ®¹t 45%
§ç duy thµnh
18
THPT Th¹ch Thµnh III
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
M«n: To¸n
V/KÕt luËn
Th«ng qua bµi viÕt c¸c b¹n cã thÓ phÇn nµo thÊy ®îc nh÷ng sai lÇm thêng
gÆp trong viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy tõ ®ã rót ra ®îc cho b¶n th©n c¸ch
d¹y, c¸ch häc nh thÕ nµo cho hiÖu qu¶ nhÊt.
Trong bµi viÕt cã sö dông mét sè tµi liÖu
1/500 BÊt ®¼ng thøc-GS: Phan Huy Kh¶i.
2/TuyÓn tËp ®Ò thi tõ 1990-2005- TS: TrÇn Ph¬ng.
3/§¹i sè 10.
§ç duy thµnh
19
THPT Th¹ch Thµnh III
- Xem thêm -
.DOC 
19 
92 
114 
