Tài liệu Skkn một số ứng dụng của định lí vi ét trong chương trình toán 9

MỤC LỤC Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU..........................................................................................................1 I. Đặt vấn đề...............................................................................................................................1 II. Mục đích nghiên cứu:...........................................................................................................1 Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.....................................................................................2 I. Cơ sở lí luận của vấn đề...............................................................................2 II. Thực trạng vấn đề:....................................................................................3 III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:............................................4 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai...........................................4 Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.............................................................................................6 Ứng dụng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó.......................................................................................................7 Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số........11 Ứng dụng 5: Lập phương trình bậc hai:...........................................................12 Ứng dụng 6: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai..................................14 Ứng dụng 7: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a  0) với Parabol (P):y = mx2 (m  0):...................................................................................................16 IV. Tính mới của giải pháp:...........................................................................17 V. Hiệu quả SKKN:......................................................................................17 Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị...........................................................................................18 I. Kết luận:.................................................................................................18 II. Kiến nghị:..............................................................................................19 1 Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Trong trường THCS môn toán được xem là môn công cụ có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy, đặt nền móng và có sự hỗ trợ rất nhiều cho các môn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Vì vậy trong việc dạy toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức đồng thời sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư duy của học sinh. Cùng với việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải toán. Tôi nhận thấy trong chương trình toán 9 ở chương 4 phần đại số thì khiến thức về hệ thức Vi-ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, kiểm tra học kỳ, các đề thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài toán về phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi - ét trong sách giáo khoa có nội dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong quá trình dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 - 2017, 2017 - 2018 tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán còn rập khuôn chưa được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi-ét vào được vào nhiều loại toán. Đứng trước thực trạng này, tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí Vi-ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả năng tư duy phát triển các năng lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú học tập của học sinh. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình toán 9” II. Mục đích nghiên cứu: Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét sẽ giúp học sinh vận dụng thành thạo những ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong giải phương trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao. Trang bị cho học sinh một số kiến thức về ứng dụng của định lí Vi-ét nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và sử dụng các kiến thức đã học để là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan. Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: + Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp. + Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. 1 + Rèn luyện kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. + Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. + Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy. + Đặt ra các tình huống có vấn đề nhằm giúp các em biết cách tìm tòi kiến thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và nhận dạng, hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị quyết số 29-NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao ở các lớp học dưới và phân hóa dần ở các lớp học trên; giảm số môn học bắt buộc; tăng môn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị quyết thì Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành nghề và có ý thức hướng nghiệp để tiếp tục học lên THPT học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động. Nội dung của hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét : Hệ thức Vi-ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì: b � x1 + x2 = � � a � �x .x = c �1 2 a Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt) + Nhẩm nghiệm: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = c a Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1, x2 = �S = u + v �P = u.v + Nếu có hai số u và v thoã mãn: � c a thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0. 2 Nội dung của hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét nằm ở chương IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: + Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. + Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. II. Thực trạng vấn đề: Theo chương trình học như trên, thì học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Qua việc dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp tôi nhận thấy các em học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc hai có chứa tham số. Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi-ét rất đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi vào một số trường THPT... Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số bài toán dạng: Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, ... thì với học sinh đại trà, đa số các em thường tỏ ra lúng túng, không biết cách giải. Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi game, bi da, đánh bài ... Một số gia đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt. Kết quả bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong năm học 2016 - 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên đề: Lớp Sĩ số học sinh Điểm TL giỏi % Điểm khá TL % Điểm TB TL % Điểm dưới TB TL % 9A5 40 02 5 07 17.5 11 27.5 19 47.5 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9 3 9A7 36 04 11.1 05 13.9 07 19.4 20 55.6 Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi-ét trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. Rèn luyện các kỹ năng nhận dạng, phân dạng toán có sử dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử dụng hệ thức Vi-ét từ đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó. Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn đưa nội dung chuyên đề cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo. Kết quả nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp. Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. Rèn kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy. Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ thức trong giải toán về phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) (*) Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình bậc hai có các hệ số có quan hệ đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu a + b + c = 0  phương trình (*) có nghiệm x1 = 1 và x2 = c a -c b) Nếu a - b + c = 0  phương trình (*) có nghiệm x1 = -1 và x2 = a Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2): Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 35x2 - 37x + 2 = 0 ; c) x2 - 49 x - 50 = 0 Giải: a) Phương trình: 35x2 - 37x + 2 = 0. 4 Ta có a + b + c = 35 + (- 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1 = 1, x2 = c 2 = a 35 c) Phương trình: x2 - 49 x - 50 = 0 Ta có a - b + c = 1 - 49 - 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = - c = 50 a Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các hệ số a - b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2): Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 2 b) 3 x 2 - 1 - 3 x - 1 = 0 ; d) ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m �1) Giải: 2 b) Phương trình: 3x - ( 1 - 3 ) x - 1 = 0 ( ) ( ) Ta có a - b + c = 3 + 1 - 3 - 1 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: x1= -1; x2 = - c 1 3 = = a 3 3 2 d) Phương trình: ( m - 1) x - ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m �1) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m �0). Ta có a + b + c = m - 1 - ( 2m + 3) + m + 4 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: c a x1= 1; x2 = = m+4 m -1 Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau: Phương pháp: b c và x1.x2 = a a - Bước 1: Tính x1 + x2 = - - Bước 2: Nếu - �Z và b a c �Z thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt. a Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) Nhẩm nghiệm của phương trình sau: a) x2 - 7x + 12 = 0 ; b) x2 + 7x + 12 = 0 Giải: a) Ta có: 3 + 4 = -b c = 7 và 3.4 = = 12 . a a Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. b) Tương tự như câu a) ta có -3 + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12. Ta nhẩm được hai nghiệm là x1 = -3; x2 = -4 Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 5 1. 7 x 2 + 500 x - 507 = 0 2. 1,5 x 2 - 1, 6 x + 0,1 = 0 2 3. ( 2 - 3 ) x + 2 3x - ( 2 + 3 ) = 0 Ứng dụng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại. Phương pháp: + Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại. + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số. Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2) Dùng hệ thức Vi – ét để tìm nghiệm x 2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7 b) Phương trình x2 - 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5 Giải: a) Phương trình x2 + mx - 35 = 0 (1) Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được m = -2 . Theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 = -35 . Mà x1= 7 nên x2 = -5 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có : x1.x2 = -35 Mà x1 = 7 nên x2 = -5 . Mặt khác x1 + x2 = -m � m = -2 b) Đáp số : x2 = 0,5 , m = 6, 25 Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên với ví dụ 2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp. Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2) c) Phương trình 4 x 2 + 3x - m 2 + 3m = 0 , biết nghiệm x1 = -2 2 d) Phương trình 3 x - 2 ( m - 3) x + 5 = 0 , biết nghiệm x1 = 1 3 Hướng dẫn: -3 5 � x2 = 4 4 2 2 - m + 3m 5 -m + 3m � m 2 - 3m - 10 = 0 . Mà x1 x2 = hay -2. = 4 4 4 Suy ra m1 = -2; m2 = 5 c) Theo hệ thức Vi-ét: -2 + x2 = e) Đáp số : x2 = 5 , m = 11 Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 6 Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có nghiệm x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Toán 9_tập 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 5x + 3 ; b) 3x2 + 8x + 2 Giải: 3 a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 2 � 3� � 2 x 2 – 5 x + 3 = 2 ( x - 1) �x - �= ( x - 1) ( 2 x - 3) � 2� b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 = -4 + 10 -4 - 10 , x2 = 3 3 � 4 - 10 � � 4 + 10 � � 3x 2 + 8 x + 2 = 3 � x + � � � � � �x + � 3 3 � � � � Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 6x + 9 ; b) 2x2 + 5x + 3 Ứng dụng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. 4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm. Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học toán 9_tập 2,Nhà xuất bản GD) Cho phương trình x2 - 5x + 3 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau: 1 1 a) A = x + x 1 2 ; b) B = x12 + x22 ; c) C = x13 + x23 Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 1 x +x S �x1 + x2 = 5 � �x1.x2 = 3 5 1 2 a) A = x + x = x x = P = 3 1 2 1 2 b) B = x12 +x2 2 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = 52 – 2.3 = 19 2 c) C = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = 53 - 3.5.3 = 80 3 - Mở rộng bài toán: d) D = x14 + x2 4 ; 1 1 e) E = x 2 + x 2 1 2 ; f) F = x1 - x2 2 52 - 2.3� d) D = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) - 2 x12 x22 = (S 2 - 2P )2 - 2P2 = � � �- 2.3 = 343 2 e) E= 2 1 1 x12 + x22 S 2 - 2 P 52 - 2.3 19 + = 2 2 = = = x12 x22 x1 x2 P2 32 9 7 f) F = x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 = 52 - 4.3 = 13 4.2. Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức: Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm (hoặc nếu nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó) +Sử dụng một số hệ thức thường gặp: 2 2 �S = x1 + x2 � �P = x1.x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = S 2 - 2 P 2 ( ) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 - 3PS 3 ; 1 1 x + x2 S + = 1 = x1 x2 x1 x2 P 2 x14 + x24 = x12 + x22 - 2 x12 x22 = ( S 2 - 2 P) 2 - 2 P 2 ; 1 1 x12 + x22 S 2 - 2 P + = 2 2 = x12 x22 x1 x2 P2 ; x1 - x2 = ( x1 - x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 = S 2 - 4P + Sử dụng các hệ thức trên biến đổi hệ thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta được phương trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham số. + Đối chiếu giá trị tìm được của tham số với điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho rồi kết luận. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x 2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : Giải: 1 1 2 2 b) x + x = 3 ; c) x1 + x2 - 5 x1 x2 = 9 1 2 Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có a) x12 + x22 = 8 ; D ' = 1- m Để phương trình (1) có nghiệm thì D' �0  1 - m �0  m �1 �x1 + x2 = -2 �x1 x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có: � a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 4 - 2m Để x12 + x22 = 8 � 4 - 2m = 8 � m = -2 (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8 � m = -2 b) Ta có Để 1 1 x + x2 -2 + = 1 = x1 x2 x1 x2 m 1 1 -2 -2 + =3� =3� m= (thoả mãn điều kiện) x1 x2 m 3 1 1 -2 Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x + x = 3 � m = 3 1 2 8 c) Ta có: x12 + x22 - 5 x1 x2 = 9 � ( x1 + x2 ) - 7 x1 x2 = 9 � 4 ( -2 ) - 7 m = 9 2 2 � 7 m = 7 � m = 1 (t/m) Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 - 5 x1 x2 = 9 � m = 1 Nhận xét: Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình. Đối với loại hệ thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx 1 �nx2 = p) hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng xm - xn = p ) thì ta thường kết hợp với một trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của tham số. Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : a) 3x1 + 2x2 = 1 ; b) x12 - x22 = 6 Giải: Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có D ' = 1- m Để phương trình có nghiệm thì D' �0  1 - m �0  m �1 �x1 + x2 = -2 �x1 x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có: � �x1 + x2 = -2 (1) � a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: �3x1 + 2 x2 = 1 (2) �x x = m (3) �1 2 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) �x12 - x22 = 6 (1) � b) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ: �x1 + x2 = -2 (2) Giải hệ (1), (2) ta �x x = m (3) �1 2 được x1= - 5 1 5 ; x2 = . Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện) 2 2 4 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 ( m là tham số) (1) Tìm giá trị m để: a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 = 2x2 c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài tập 2: Cho phương trình 2 x 2 - 4mx + 2m 2 - 1 = 0 (2) ( m là tham số) 9 Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x 1; x2 thoã mãn: 2 x + 4mx2 + 2m 2 - 1 > 0 . 4.3. Tìm điều kiện của tham số để biểu thức chứa hai nghiệm của phương trình đạt các giá trị cực trị: Phương pháp: +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm). Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 (m là tham số). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức: 2 2 a) A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 2 1 2 2 b) B = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Giải: 2 � 3 � 15 Ta có D ' = ( m - 1) - ( m - 5 ) = m - 3m + 6 = �m - �+ > 0 , nên phương � 2� 4 2 2 trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5 a) Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) 2 5 � 31 � 2 = 4m - 10m +14 = �2m - �+ 2� 4 � 2 5 2 5 � 31 31 � (2 m ) � 0 " m Vì , nên �2m - �+ � 2 2� 4 4 � 5 2 5 4 Dấu “=” xảy ra khi 2m - = 0 � m = (t/m) Vậy Amin = 5 31 khi m = 4 4 b) Ta có: B = x1 x2 - x12 - x22 = 3x1 x2 - ( x1 + x2 ) 2 � B = 3 ( m - 5 ) - 4 ( m - 1) = -4 m 2 + 11m - 19 = -4( m 2 11 2 183 ) 8 16 11 2 11 183 183 �) �0"m , nên -4(m - ) 2 8 16 16 8 11 11 Dấu “=” xảy ra khi m - = 0 � m = (t/m) 8 8 -183 11 �m= Vậy BMa x = 16 8 Vì -4(m - Bài tập áp dụng: 10 Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 2: Cho phương trình: x 2 - ( 2m + 1) x + m 2 + 1 =0 2 (1) 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 sao cho biểu thức M = ( x1 - 1).( x2 - 1) đạt giá trị nhỏ nhất? Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Phương pháp: + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ thức Vi-ét ta có hai hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai hệ thức ta biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ thức cần tìm. + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức. (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình). Các ví dụ: Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m = 0 (1).Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải: Ta có 2 � 1� 3 D' = ( m + 1) - 1 = m + m + 1 = �m + �+ � 2� 4 2 2 2 2 � 1� � 1� 3 Vì �m + ��0"m � �m + �+ > 0"m hay D' > 0 "m � 2� � 2� 4 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. �x1 + x2 = 2(m + 1) (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có � (2) �x1 x2 = m Từ (1) và (2) ta được x1 + x2 = 2 ( x1 x2 + 1) là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Ví dụ 2: Cho phương trình mx 2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ). Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải : Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó m �0 Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 2(m - 3) 6 � x1 + x2 = = 2(1) � � m m � �x x = m + 1 = 1 + 1 (2) �1 2 m m Ta có (2)  6x1x2 = 6 + 6 (3). m Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8. 11 Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8. 2 2 Bài tập áp dụng : Cho phương trình x - 2 ( m + 2 ) x + m + 4m + 3 = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Ứng dụng 6: Lập phương trình bậc hai: �S = u + v �P = u.v Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: � thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (1). Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0. 6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2: Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu. - Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6. Giải: �S = u + v = 5 . Vậy u; v là nghiệm của phương �P = uv = 6 Theo hệ thức Vi-ét, ta có : � trình có dạng: x 2 – Sx + P = 0 hay x 2 – 5 x + 6 = 0 . Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3 Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên. a) – 3 và 7 b) 2 và 1 3 c) 1 - 3 và 2 + 3 Giải: �S = -3 + 7 = 4 � (– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng: �P = -3.7 = -21 a) Ta có : � x 2 – Sx + P = 0 � x 2 – 4 x - 21 = 0 . 7 2 2 b) Đán số: x - x + = 0 3 3 �S = 1 - 3 + 2 + 3 = 3 � P = 1- 3 . 2 + 3 = � � c) Ta có : � ( )( ) ( ) 3 +1 � 1 - 3 và 2 + 3 là nghiệm của phương trình: x - 3x + ( 3 + 1) = 0 Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: 2 a) -5 và 8 ; b) a và 3a ; c) 3 - 2 và 1 3- 2 6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước. Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD) 12 Cho phương trình 2 x 2 - x - 15 = 0 có nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau: 1 1 a) và ; b) 1 + x1 và 1 + x2 x1 x2 Giải: Phương trình 2 x 2 - x - 15 = 0 có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 15 và x1 x2 = 2 2 1 1 x1 + x2 -1 1 1 1 -2 a) Ta có: x + x = x x = 15 ; x . x = x x = 15 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 + x2 = 1 1 1 2 Vậy x , x là hai nghiệm của phương trình: x 2 + x - = 0 hay 15 x 2 + x - 2 = 0 15 15 1 2 1 2 5 2 1 -1 43 ( 1 + x1 ) . ( 1 + x2 ) = 1 + ( x1 + x2 ) + x1.x2 = 1 + + = 2 15 30 b) Ta có: ( 1 + x1 ) + ( 1 + x2 ) = 2 + ( x1 + x2 ) = 2 + = 5 2 2 Vậy 1 + x1 và 1 + x2 là hai nghiệm của phương trình: x - x + 43 =0 30 1 1 và x2 + x1 x2 6.3. Giải hệ phương trình: Ứng dụng (1) thường được sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai Bài tập áp dụng: x1 + �f ( x, y ) = 0 �f ( y , x ) = 0 �� �g ( x, y ) = 0 �g ( y , x ) = 0 ẩn có dạng: � Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau: - Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy - Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P. - Giải hệ mới để tìm S và P. - Các số cần tìm là nghiệm của phương trình t 2 - St + P = 0. Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: �x + y = 3 2 �x + y = 5 �x- y =2 2 �x + y = 34 a) � 2 b) �2 Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy , ta có hệ phương trình: � S =3  �2 �S - 2 P = 5 �S = 3 � �P = 2 �x + y = 3 �xy = 2 . Do đó ta có: � Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 . 13 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : ( x1 ; y1 ) = ( 1; 2 ) , ( x2 ; y2 ) = ( 2;1) b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ phương trình: � S =2 �S = 2 �� �2 �S + 2 P = 34 �P = 15 �x - y = 2 �xy = 15 Do đó ta có: � Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và (-y) là nghiệm của phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ra ta được X1 = 3; X2 = -5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : ( x1 ; y1 ) = ( 3;5 ) , ( x2 ; y2 ) = ( 5;3) . Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: �x 2 + xy + y 2 = 4 a) � �x + xy + y = 2 �xy ( x + 1)( y - 2) = -2 2 �x + x + y - 2 y = 1 b) � 2 Giải: �S 2 - P = 4 a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ phương trình : � �S + P = 2 � S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5 �x + y = 2 �x + y = -3 Do đó ta có: � hoặc � �xy = 0 �xy = 5 Suy ra x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 (1) hoặc X2 + 3X + 5 = 0 (2) Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2. Giải (2): D = 32 - 4.1.5 = -11 < 0 � phương trình (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là : ( x1 ; y1 ) = ( 0; 2 ) , ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 ) b) �SP = -2 �S + P = 1 Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau: � Suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0. Giải ra ta được X1= -1; X2 S = -1 S = 2 = 2. Vậy  hoặc  P = 2 P = -1 �x 2 + x = -1 Từ đó ta có (I) � 2 �y - 2 y = 2 � x2 + x = 2 hoặc (II) � 2 �y - 2 y = -1 Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là: ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) , ( x2 ; y2 ) = ( -2;1) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) , ( x2 ; y2 ) = ( -2;1) Bài tập áp dụng ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011) �xy - x + y = 7 Giải hệ phương trình : � 2 2 �x + y + 2 x - 2 y = 11 (I) Hướng dẫn: 2 �( x +1)( y -1) =6 � u + v ) = 25 � ( � Hệ phương trình (I) � � 2 Đặt u = x+1; v = y-1. Ta có � uv = 6 � � (�x+1) +( y -1) 2 =13 Có hai trường hợp : 14 u+v =5 u =3 � u=2 � � �x = 2 �x = 1 �� �� �� �� uv = 6 v=2 � v=3 � � �y = 3 �y = 4 u + v = -5 � u = -3 � u = -2 � �x = -4 �x = -3 �� �� �� �� + Trường hợp 2: � uv = 6 v = -2 � v = -3 � � �y = -1 �y = -2 +Trường hợp 1: � Ứng dụng 7: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Dựa vào quan hệ về dấu của tổng và tích hai số với dấu của hai số đó, kết hợp với hệ thức Vi-ét thì ta sẽ xét được dấu của hai nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. D Dấu nghiệm x1 x2 S P Điều kiện chung m � Trái dấu P<0 m � D �0 ; P > 0 Cùng dấu P > 0 D �0 D �0 ; P > 0 ; S > 0 Cùng dương + + S > 0 P > 0 D �0 Cùng âm S < 0 P > 0 D �0 D �0 , P > 0 và S < 0 Chú ý: Trước khi xét dấu nghiệm, cần chú ý xét xem phương trình có nghiệm hay không. Ví dụ 1 : Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của các phương trình sau: a) x2 - 2x + 5 = 0 b) x2 - 2x - 5 = 0 c) x2 - 5x +1 = 0 d) x2 + 5x +1 = 0 Giải: a) Ta có D' = -4 < 0 nên phương trình vô nghiệm b) Ta có P = -5 < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. �D ' = 2 > 0 � c) Ta có �S = 5 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt �P = 1 > 0 � D' = 2 > 0 � � d) Ta có �S = -5 < 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt �P = 1 > 0 � Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 (m tham số) (1) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có: a) Hai nghiệm trái dấu. b) Hai nghiệm phân biệt đều âm. c) Hai nghiệm phân biệt đều dương. d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau. Giải: 2 2 Ta có: D = ( 2m - 1) - 4. ( m - 1) = 4m 2 - 4m + 1 - 4m + 4 = 4m 2 - 8m + 5 = 4 ( m - 1) + 1 Vì 4 ( m - 1) �0"m � 4 ( m - 1) + 1 > 0"m với mọi m). � D > 0"m a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 2 2 15 D>0 "m � � � 1 m> � � � 1 - 2m < 0 � � 2 � m > 1 �S < 0 � � � � � m >1 P>0 m -1 > 0 � � � c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi �D > 0 � "m � 1 m< � � � 1 - 2m > 0 � � 2 � không �S > 0 � � �P > 0 �m - 1 > 0 � m >1 � � � có giá trị nào của m thoả mãn d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau tức là phương trình có hai nghiệm đối nhau . �D �0 1  1 - 2m = 0  m = 2 �S = 0 Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi � 1 2 Ứng dụng 8: Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b(a  0) với Parabol (P):y = mx2 (m  0): 8.1. Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a  0) đi qua 2 điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m  0). Cơ sở lý luận : Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điển là nghiêm của phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = 0. Vậy m = a  x + x = A B  m Theo hệ thức Vi-et, ta có:  x .x = - b  A B m (*) Từ (*) tìm a và b  Phương trình (d) Ví dụ 1: Cho Parabol (P) có phương trình (P): y = x2. Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B. Giải: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b (a  0) Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) : x2 = ax + b  x2 - ax – b =0 (*). Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*). Theo hệ thức Vi- et, ta có: xA + xB = a  xA xB = -b  a = 1  b = 2 Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2. 8.2. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M(xM; yM) Cơ sở lý luận : Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình: 16 mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Vi-et, ta có: x1 + x2 = a   -b x x =  1 2 m Ví dụ 2: Cho (P): y=  a và b  phương trình tiếp tuyến. x2 4 ; A  (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Giải : Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d) : y = ax + b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : x2 4 = ax + b  x2 - 4ax - 4b = 0 (*) Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*): x1 = x2 = 2 x1 + x2 = 4a a = 1 Theo Viet ta có:   x1x2 = -4b b = -1 Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1 IV. Tính mới của giải pháp: Qua 3 năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tôi thấy khả năng vận dụng các kiến thức về ứng dụng hệ thức Vi-ét của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường. Các ứng dụng của hệ thức được sắp xếp khoa học, có tính logic, từ dạng cơ bản đến mở rộng nâng cao phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Hầu hết các dạng bài đều xuất phát từ các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách mô hình trường học mới, sau đó phát triển dần lên nhằm kích thích tính tư duy sáng tạo của học sinh. Việc phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu giúp hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề, phát hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa học nhất. Sáng kiến kinh nghiệm được viết theo chuyên đề nên mang tính tổng quan, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Các ví dụ và bài tập đưa ra bám sát theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, chú trọng hình thành và rèn luyện các kĩ năng cho các em. Qua việc nghiên chuyên đề thì người giáo viên giảng dạy toán có một cái nhìn tổng quát về các ứng dụng của định lý Vi-ét trong chương trình toán 9, cập nhật thường xuyên những dạng toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. 17 V. Hiệu quả SKKN: Trên đây là là một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán 9 mà tôi đã áp dụng giảng dạy thực tế tại trường THCS Buôn trấp, tôi nhận thấy hiệu quả học tập của học sinh đã được nâng lên đáng kể đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt. Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả như sau: + Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán cơ bản đạt hiệu quả cao đối với học sinh trung bình. Đối tượng học sinh khá giỏi đã biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về ứng dụng định lý Vi-ét để giải các bài toán khó, mới trong các đề thi. + Đã cải thiện rất lớn về năng lực giải phương trình bậc hai và bậc ba của học sinh. Học sinh phần nào đã biết cách phân dạng, sử dụng khá linh hoạt các phương pháp biến đổi để giải toán, đặc biệt các em đã chú ý hơn việc tìm điều kiện xác định và đã có ý thức kiểm tra lại kết quả có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không. + Học sinh tiếp thu bài nhanh hơn dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn toán hơn. + Học sinh tránh được những sai sót cơ bản hay gặp phải trong quá trình giải toán liên quan đến ứng dụng hệ thức Vi-ét. + Trong thời gian năm học 2017 - 2018 áp dụng SKKN này vào giảng dạy tôi đã thu được kết quả bài kiểm tra liên quan đến việc ứng dụng hệ thức Vi-ét như sau: Lớp Sĩ số học sinh Điểm TL giỏi % Điểm khá TL % Điểm TB 9A3 39 10 25.6 11 28.2 13 33.3 05 12.8 9A5 40 11 27.5 14 35 15 09 22.5 9A7 36 13 36.1 10 27.7 7 19.4 06 16.6 6 TL % Điểm dưới TB TL % + Qua nghiên cứu SKKN này người giáo viên đã hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, xây dựng kiến thức từ cũ đến mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. + Giáo viên có tài liệu tham khảo khi giảng dạy các tiết tăng tiết tại trường cũng như ôn luyện học sinh giỏi. Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 18 I. Kết luận: “Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình toán 9” là tài liệu và kinh nghiệm giảng dạy có ý nghĩa quan trọng trong chương trình đại số 9. Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai và phương trình bậc cao hơn. Qua quá trình dạy còn giúp học sinh từng bước hình thành và phát triển tư duy toán học để vận dụng hiệu quả vào các môn học khác, vào thực tiễn cuộc sống. Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét giải là một tài liệu dạy học đem lại hiệu quả cao trong quá trình dạy nội dung chương 4 đại số 9. Nhưng để đạt hiệu quả tốt nhất thì người giáo viên trước khi giải một bài toán thì cần cho học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ dễ đến khó để tìm ra phương pháp phù hợp để giải. Sau đó cho học sinh sẽ giải các bài tập tương tự cùng dạng và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phương pháp giải. Đối với mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán. Sau đó ra bài tổng hợp để học sinh phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu như bài tập đó có phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác. Để có thể gặt hái được những thành công thì đòi hỏi các em học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn, một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình. Chính vì vậy sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo nhà trường, gia đình và những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, khi mà đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em. Trong quá trình dạy học giáo viên phải khéo léo lồng ghép các tình huống “có vấn đề” nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Những ứng dụng của hệ thức là vấn đề tương đối mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình nên giáo viên cần cho các em làm quen dần. Vì các dạng toán trong SKKN này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư duy sáng tạo tìm cách giải dạng toán mới. Do kinh nghiệm còn hạn chế nên quá trình viết khó tránh khỏi những đơn điệu và hạn chế, nhưng tôi hi vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về một số ứng dụng của hệ thức Vi–ét trong chương trình toán 9. Tôi thực sự mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để đề tài này thực sự hấp dẫn và có hiệu quả khi đến với các em học sinh. 19