Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ...

Tài liệu Skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

.DOC
11
123
144

Mô tả:

Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” phÇn I: më ®Çu I/®Æt vÊn ®Ò. Trong ®Ò thi tèt nghiÖp THPT , §¹i häc , Cao ®¼ng, THCN cña c¸c n¨m bµi to¸n tÝch ph©n hÇu nh kh«ng thÓ thiÕu nhng ®èi víi häc sinh THPT bµi to¸n tÝch ph©n lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n khã v× nã cÇn ®Õn sù ¸p dông linh ho¹t cña ®Þnh nghÜa, c¸c tÝnh chÊt , c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh cña tÝch ph©n. Trong thùc tÕ ®a sè häc sinh tÝnh tÝch ph©n mét c¸ch hÕt søc m¸y mãc ®ã lµ: t×m mét nguyªn hµm cña hµm sè cÇn tÝnh tÝch ph©n råi dïng ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n hoÆc ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ rÊt Ýt häc sinh ®Ó ý ®Õn nguyªn hµm cña hµm sè t×m ®îc cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña hµm sè ®ã trªn ®o¹n lÊy tÝch ph©n hay kh«ng? phÐp ®Æt biÕn míi trong ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè cã nghÜa kh«ng? PhÐp biÕn ®æi hµm sè cã t¬ng ®¬ng kh«ng? v× thÕ trong qu¸ tr×nh tÝnh tÝch ph©n häc sinh thêng m¾c ph¶i nh÷ng sai lÇm dÉn ®Õn lêi gi¶i sai qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy rÊt râ yÕu ®iÓm nµy cña häc sinh v× vËy t«i m¹nh d¹n ®Ò xuÊt s¸ng kiÕn : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” Nh»m gióp häc sinh kh¾c phôc ®îc nh÷ng yÕu ®iÓm nªu trªn tõ ®ã ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n nãi riªng vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp nãi chung. II/LÝ do chän ®Ò tµi : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” trong to¸n §¹i Sè Gi¶i TÝch 12 . Nã cho phÐp chóng ta tiÕp cËn nhanh nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p, cô thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña tõng d¹ng tÝch ph©n vµ cã thÓ nh×n thÊy nh÷ng sai lÖch , mµ ta sö dông kh«ng ®óng ph¬ng ph¸p …vv . ChÝnh v× vËy t«i chän ®Ò tµi : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” Nã thËt sù cã Ých trong khi t«i d¹y cho c¸c em 12 ®Ó bíc vµo mét bËc häc cao h¬n .Víi hÖ thèng bµi tËp Ýt nh thÕ nµy,nhng t«i tin tëng r»ng nã lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu cho c¸c em häc sinh vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o .Mong b¹n ®äc, c¸c ®ång nghiÖp cã nhiÒu ®ãng gãp quý b¸u . Xin c¶m ¬n !. III/lÞch sö vÊn ®Ò : Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n víi c¸c ph¬ng ph¸p t¬ng øng ®· cã tõ l©u , nhng : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” hÇu nh Ýt ®Ó ý ®Õn. GV : §Æng Ngäc Liªn 1 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Víi quan s¸t nh vËy , t«i m¹nh d¹n ®a ra ®Ò tµi nh thÕ nµy trong kho¶ng thêi gian suy nghÜ tõ 2 ®Õn 3 n¨m . Tuy lµ míi , nhng t«i kh«ng ngõng tham kh¶o ý kiÕn cña c¸c em vµ ®ång nghiÖp ®Ó hoµn chØnh nã . IV/giíi h¹n cña ®Ò tµi : VÒ kiÕn thøc : Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n chØ giíi h¹n mét phÇn kiÕn thøc trong häc kú II cña s¸ch ®¹i sè gi¶i tÝch 12 . VÒ thêi gian : kh«ng nhiÒu trong nghiªn cøu vµ nh×n nhËn viÖc d¹y , theo dâi viÖc häc cña c¸c em . Nhng víi tinh thÇn gi¸o dôc , nªn mäi khã kh¨n chóng t«i còng ®Òu vîc qua . V/ ph¬ng ph¸p : + Lùa chän c¸c vÝ dô c¸c bµi tËp cô thÓ ph©n tÝch tØ mØ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh vËn dông ho¹t ®éng n¨ng lùc t duy vµ kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc cña häc sinh ®Ó tõ ®ã ®a ra lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n. +Thùc nghiÖm s ph¹m . PhÇn II: néi dung I/ c¬ së khoa häc : Dùa trªn nguyªn t¾c qu¸ tr×nh nhËn thøc cña con ngêi ®i tõ: “ c¸i sai ®Õn c¸i gÇn ®óng råi míi ®Õn kh¸i niÖm ®óng”, c¸c nguyªn t¾c d¹y häc vµ ®Æc ®iÓm qu¸ tr×nh nhËn thøc cña häc sinh II/ néi dung cô thÓ. Mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n Bµi tËp minh ho¹: Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n: I = 2 dx (x  1) 2 2 GV : §Æng Ngäc Liªn 2 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” * Sai lÇm thêng gÆp: I = 2 dx  2  2 (x  1) = 2 d ( x  1) 1 ( x  1) =- x  1 2  2 2 2 =- 1 -1 = - 4 3 3 * Nguyªn nh©n sai lÇm : 1 ( x  1) 2 Hµm sè y = kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    2;2 suy ra hµm sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 nªn kh«ng sö dông ®îc c«ng thøc Newt¬n – leibnitz nh c¸ch gi¶i trªn. * Lêi gi¶i ®óng 1 ( x  1) 2 Hµm sè y = kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    2;2 suy ra hµm sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 do ®ã tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i. * Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh b  f ( x)dx cÇn chó ý xem hµm sè y=f(x) cã liªn tôc trªn  a; b kh«ng? a nÕu cã th× ¸p dông ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ó tÝnh tÝch ph©n ®· cho cßn nÕu kh«ng th× kÕt luËn ngay tÝch ph©n nµy kh«ng tån t¹i. * Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1/ 5 dx 4) 4 (x  . 3 1 0 2/ x( x 2  1) 2 dx . 2 3/  2 1 cos 0 4 x dx 1  x 3 .e x  x 2 dx x3 1 4/  Bµi 2 :TÝnh tÝch ph©n: I =  dx 1  sin x 0 * Sai lÇm thêng gÆp: §Æt t = tg  x 2 th× dx = 2dt ; 1 2 1  t 1  sin x 2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1) d(t+1) = GV : §Æng Ngäc Liªn 2 2 2 t 1 = 1 t2 (1  t ) 2 +c 3 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”  dx  1  sin x 0  I= =  2 x tg  1 2  0 =  2 2 - tg 0  1  tg  1 2 do tg  kh«ng x¸c ®Þnh nªn tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i 2 *Nguyªn nh©n sai lÇm: §Æt t = tg x 2 x   0;   t¹i x =  th× tg x 2 kh«ng cã nghÜa. * Lêi gi¶i ®óng:   dx   0 1  cos x   2  dx 1  sin x =  I= 0 x  d   x  2 4  tg    x  2 4 0 cos 2    2 4  = tg  0      tg   2 . 4  4  * Chó ý ®èi víi häc sinh: §èi víi ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè khi ®Æt t = u(x) th× u(x) ph¶i lµ mét hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn  a; b . *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:  1/ dx sin x 0  dx 0 1  cos x 2/  Bµi 3: TÝnh I = 4  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lÇm thêng gÆp: I= 4  x 2  6x  9 dx 0 4 4 =   x  3 2 dx  x  3 d  x  3  0 0  x  3 2 2 4 0 1 9    4 2 2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: PhÐp biÕn ®æi  x  3 * Lêi gi¶i ®óng: I= 4  x 2  6x  9 2 x  3 víi x   0;4 lµ kh«ng t¬ng ®¬ng. dx 0 GV : §Æng Ngäc Liªn 4 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 4 4 3 4 0 0 0 3 =   x  3 2 dx x  3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3 2 = -  x  3 3 0 2   x  3 2 2 4 3 9 1   5 2 2 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n  f  x   2n  n 1, n  N   f  x b b I =   f  x   2n   f  x  dx ta 2n a ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn  a; b råi dïng tÝnh a chÊt tÝch ph©n t¸ch I thµnh tæng c¸c ph©n kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 1/ I =   1 sin 2 x dx ; 0 2/ I = 3  x 3  2x 2  x dx 1   2 2 x  dx 0 2 3/ I = 4/ I =    x 2  2 x  cot g 2 x  2 dx 1 2  3  tg  6 Bµi 4: TÝnh I = 0 x 1 2 dx  2x  2 * Sai lÇm thêng gÆp: I= 0 d  x  1  x  1 1 2 1 arctg  x  1 0 1  arctg1  arctg 0  4 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Häc sinh kh«ng häc kh¸i niÖm arctgx trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi * Lêi gi¶i ®óng: §Æt x+1 = tgt  dx 1  tg 2 t dt víi x=-1 th× t = 0 víi x = 0 th× t =  4 GV : §Æng Ngäc Liªn 5 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”  4 Khi ®ã I =  4 1  tg t dt  2  tg t  1 0 dt t 0  4 0   4 * Chó ý ®èi víi häc sinh: C¸c kh¸i niÖm arcsinx , arctgx kh«ng tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi; Häc sinh cã thÓ ®äc thÊy mét sè bµi tËp ¸p dông kh¸i niÖm nµy trong mét s¸ch tham kh¶o, v× c¸c s¸ch nµy viÕt theo s¸ch gi¸o khoa cò (tríc n¨m 2000). Tõ n¨m 2000 ®Õn nay do c¸c kh¸i niÖm nµy kh«ng cã trong s¸ch gi¸o khoa nªn häc sinh kh«ng ®îc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy n÷a. V× vËy khi gÆp tÝch ph©n d¹ng b 1 1  x ta dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®Æt t = tgx hoÆc t = cotgx ; dx 2 a b 1  1 x2 a dx th× ®Æt x = sint hoÆc x = cost *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 8 1/ I =  4 x 2  16 dx x 1 2x 3  2x  3 dx  x2 1 0 2/ I = 1 3/ I = 3 x 3 dx  1 0 x8 Bµi 5: TÝnh :I = 1 4 x3  1 0 x2 dx *Suy luËn sai lÇm: §Æt x= sint , dx = costdt x3  1 x2 sin 3 t dx  dt cos t §æi cËn: víi x = 0 th× t = 0 víi x= 1 4 th× t = ? * Nguyªn nh©n sai lÇm: GV : §Æng Ngäc Liªn 6 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1  x 2 th× thêng ®Æt x = sint nhng ®èi víi tÝch ph©n nµy sÏ gÆp khã kh¨n khi ®æi cËn cô thÓ víi x = 1 4 kh«ng t×m ®îc chÝnh x¸c t = ? * Lêi gi¶i ®óng: §Æt t =  dt = 1 x2 x dx  tdt  xdx 1 x2 §æi cËn: víi x = 0 th× t = 1; víi x = I= 1 4 x3  1 0 15 4 x 2 15 4 1 th× t = 15 4 = dx  1  t tdt  t  1  t dt  t  2 1 4 2  1 t3 3  415  15 15 15  2 33 15 2   1   4  192   3  192  3    * Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1  x 2 th× thêng ®Æt x = sint hoÆc gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1+x 2 th× ®Æt x = tgt nhng cÇn chó ý ®Õn cËn cña tÝch ph©n ®ã nÕu cËn lµ gi¸ trÞ lîng gi¸c cña gãc ®Æc biÖt th× míi lµm ®îc theo ph¬ng ph¸p nµy cßn nÕu kh«ng th× ph¶i nghÜ ®Õnph¬ng ph¸p kh¸c. *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 7 1/ tÝnh I = x3  1 x 0 2/tÝnh I = 2 x 1 Bµi 6: tÝnh I = 2 dx dx x2 1 1 x2  1  4 dx  11  x 1   1 1  2  1 2 x   x  dx   2 1 2 1   1  1 x x    2 x2 x  1 * Sai lÇm thêng m¾c: I = GV : §Æng Ngäc Liªn 1 7 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 1 x 1   dx x2  §Æt t = x+  dt 1   §æi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2; 2 dt  2  2t I=2 = ln 2 = ( 2 2 2 2 2 1 t 2  ln 1  t  2 2  2 2 2 2 ln 2 )dt =(ln t 2 2 2 2 1  2 -ln t  2 ) 2 2 ln t 2 t 2 2 2 1 x2 x 1  lµ sai v× trong   1;1 chøa x = 0 nªn 1 1 x4 2 x x2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: kh«ng thÓ chia c¶ tö c¶ mÉu cho x = 0 ®îc * Lêi gi¶i ®óng: xÐt hµm sè F(x) = F’(x) = Do ®ã I = 1 2 2 ln 1 2 2 x2  x 2 1 x2  x 2 1 (ln x2  x 2 1 x2  x 2 1 )  x2  1 x4 1 1 x2  1 1 x2  x 2 1 = dx ln  4 2 2 x2  x 2 1  11  x 1 1  1 2 ln 2  2 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh tÝch ph©n cÇn chia c¶ tö c¶ mÉu cña hµm sè cho x cÇn ®Ó ý r»ng trong ®o¹n lÊy tÝch ph©n ph¶i kh«ng chøa ®iÓm x = 0 . III/HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: GV : §Æng Ngäc Liªn 8 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 1/KÕt qu¶ tõ thùc tiÔn: Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc gi¶i nh÷ng d¹ng tÝch ph©n nh ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch mét bµi to¸n tÝch ph©n tõ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n,cËn cña tÝch ph©n ®Ó lùa chän ph¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh thêng m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c bíc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã híng c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng. Sau khi híng dÉn häc sinh nh trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tríc th× c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®îc mét lîng lín bµi tËp ®ã. 2/KÕt qu¶ thùc nghiÖm: S¸ng kiÕn ®îc ¸p dông trong n¨m häc 2007-2008. Bµi kiÓm tra trªn hai ®èi tîng líp 12A1(28 häc sinh) kh«ng ¸p dông s¸ng kiÕn vµ 12C4(37 häc sinh) ¸p dông s¸ng kiÕn nh sau: xÕp lo¹i giái kh¸ tb yÕu ®èi tîng 12C1 50% 40% 10% 0% 12C4 0% 0% 40% 60% Sau khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n chÊt cña vÊn ®Ò chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh tríc, ®ã lµ viÖc thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh. phÇn III:kÕt luËn – kiÕn nghÞ I/ kÕt luËn: Nghiªn cøu, ph©n tÝch mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa rÊt lín trong qu¸ tr×nh d¹y häc v× khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy sÏ gióp häc sinh nh×n thÊy ®îc nh÷ng ®iÓm yÕu vµ nh÷ng hiÓu biÕt cha thËt thÊu ®¸o cña m×nh vÒ vÊn ®Ò nµy tõ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t duy ®éc lËp, n¨ng lùc suy nghÜ tÝch cùc chñ ®éng cñng cè trau råi thªm kiÕn thøc vÒ tÝnh tÝch ph©n tõ ®ã lµm chñ GV : §Æng Ngäc Liªn 9 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” ®îc kiÕn thøc, ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng ®¹i häc, cao ®¼ng , THCN II/ KiÕn nghÞ: HiÖn nay nhµ trêng ®· cã mét sè s¸ch tham kh¶o tuy nhiªn cha cã mét s¸ch tham kh¶o nµo viÕt vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n. V× vËy nhµ trêng cÇn quan t©m h¬n n÷a vÒ viÖc trang bÞ thªm s¸ch tham kh¶o lo¹i nµy ®Ó häc sinh ®îc t×m tßi vÒ nh÷ng sai lÇm thêng m¾c khi gi¶i to¸n ®Ó c¸c em cã thÓ tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm ®ã trong khi lµm bµi tËp . tµi liÖu tham kh¶o 1. KiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i tÝch 12 ( Phan V¨n §øc- §ç Quang Minh – NguyÔn Thanh S¬n – Lª V¨n Trêng – NXB §H Quèc gia thµnh phè HCM - 2002). 2. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n vµ Gi¶i tÝch tæ hîp ( NguyÔn Cam – NXB TrÎ ). 3. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n (TrÇn §øc Huyªn – TrÇn ChÝ Trung – NXB Gi¸o Dôc). 4. S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (Ng« Thóc Lanh Chñ biªn – NXB GD – 2000) 5. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n ( Lª Hång §øc – Lª BÝch Ngäc – NXB Hµ Néi – 2005). 6. Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n ( TrÇn Ph¬ng vµ NguyÔn §øc TÊn – NXB Hµ Néi – 2004). GV : §Æng Ngäc Liªn 10 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” môc lôc trang 1 1 2 2 2 2 3 3 3 10 11 phÇn I : më ®Çu I. §Æt vÊn ®Ò II.LÝ do chän ®Ò tµi III.LÞch sö vÊn ®Ò : IV.Giíi h¹n cña ®Ò tµi : V. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu phÇn II : Néi dung I. C¬ së khoa häc II. Néi dung cô thÓ III. HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn phÇn III: KÕt luËn - kiÕn nghÞ HÕt .! GV : §Æng Ngäc Liªn 11
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan