Mô tả:
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
phÇn I: më ®Çu
I/®Æt vÊn ®Ò.
Trong ®Ò thi tèt nghiÖp THPT , §¹i häc , Cao ®¼ng, THCN cña c¸c n¨m bµi
to¸n tÝch ph©n hÇu nh kh«ng thÓ thiÕu nhng ®èi víi häc sinh THPT bµi to¸n tÝch
ph©n lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n khã v× nã cÇn ®Õn sù ¸p dông linh ho¹t cña
®Þnh nghÜa, c¸c tÝnh chÊt , c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh cña tÝch ph©n. Trong thùc tÕ ®a sè
häc sinh tÝnh tÝch ph©n mét c¸ch hÕt søc m¸y mãc ®ã lµ: t×m mét nguyªn hµm
cña hµm sè cÇn tÝnh tÝch ph©n råi dïng ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n hoÆc ph¬ng
ph¸p ®æi biÕn sè, ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ rÊt Ýt häc sinh ®Ó ý ®Õn
nguyªn hµm cña hµm sè t×m ®îc cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña hµm sè ®ã trªn ®o¹n
lÊy tÝch ph©n hay kh«ng? phÐp ®Æt biÕn míi trong ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè cã
nghÜa kh«ng? PhÐp biÕn ®æi hµm sè cã t¬ng ®¬ng kh«ng? v× thÕ trong qu¸ tr×nh
tÝnh tÝch ph©n häc sinh thêng m¾c ph¶i nh÷ng sai lÇm dÉn ®Õn lêi gi¶i sai qua
thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy rÊt râ yÕu ®iÓm nµy cña häc sinh v×
vËy t«i m¹nh d¹n ®Ò xuÊt s¸ng kiÕn : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi
tÝnh tÝch ph©n”
Nh»m gióp häc sinh kh¾c phôc ®îc nh÷ng yÕu ®iÓm nªu trªn tõ ®ã ®¹t ®îc
kÕt qu¶ cao khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n nãi riªng vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong qu¸
tr×nh häc tËp nãi chung.
II/LÝ do chän ®Ò tµi :
“ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n”
trong to¸n §¹i Sè Gi¶i TÝch 12 . Nã cho phÐp chóng ta tiÕp cËn nhanh nh÷ng bµi
to¸n phøc t¹p, cô thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña tõng d¹ng tÝch ph©n vµ cã thÓ nh×n thÊy
nh÷ng sai lÖch , mµ ta sö dông kh«ng ®óng ph¬ng ph¸p …vv . ChÝnh v× vËy t«i
chän ®Ò tµi : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n”
Nã thËt sù cã Ých trong khi t«i d¹y cho c¸c em 12 ®Ó bíc vµo mét bËc häc cao
h¬n .Víi hÖ thèng bµi tËp Ýt nh thÕ nµy,nhng t«i tin tëng r»ng nã lµ phÇn kh«ng
thÓ thiÕu cho c¸c em häc sinh vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o .Mong b¹n ®äc,
c¸c ®ång nghiÖp cã nhiÒu ®ãng gãp quý b¸u . Xin c¶m ¬n !.
III/lÞch sö vÊn ®Ò :
Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n víi c¸c ph¬ng ph¸p t¬ng øng ®· cã tõ l©u , nhng :
“ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” hÇu nh Ýt ®Ó ý ®Õn.
GV : §Æng Ngäc Liªn
1
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
Víi quan s¸t nh vËy , t«i m¹nh d¹n ®a ra ®Ò tµi nh thÕ nµy trong kho¶ng thêi gian
suy nghÜ tõ 2 ®Õn 3 n¨m . Tuy lµ míi , nhng t«i kh«ng ngõng tham kh¶o ý kiÕn
cña c¸c em vµ ®ång nghiÖp ®Ó hoµn chØnh nã .
IV/giíi h¹n cña ®Ò tµi :
VÒ kiÕn thøc : Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n chØ giíi h¹n mét phÇn kiÕn thøc trong
häc kú II cña s¸ch ®¹i sè gi¶i tÝch 12 .
VÒ thêi gian : kh«ng nhiÒu trong nghiªn cøu vµ nh×n nhËn viÖc d¹y , theo dâi viÖc
häc cña c¸c em . Nhng víi tinh thÇn gi¸o dôc , nªn mäi khã kh¨n chóng t«i còng
®Òu vîc qua .
V/ ph¬ng ph¸p :
+ Lùa chän c¸c vÝ dô c¸c bµi tËp cô thÓ ph©n tÝch tØ mØ nh÷ng sai lÇm cña häc
sinh vËn dông ho¹t ®éng n¨ng lùc t duy vµ kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc cña häc
sinh ®Ó tõ ®ã ®a ra lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n.
+Thùc nghiÖm s ph¹m .
PhÇn II: néi dung
I/ c¬ së khoa häc :
Dùa trªn nguyªn t¾c qu¸ tr×nh nhËn thøc cña con ngêi ®i tõ: “ c¸i sai ®Õn
c¸i gÇn ®óng råi míi ®Õn kh¸i niÖm ®óng”, c¸c nguyªn t¾c d¹y häc vµ ®Æc ®iÓm
qu¸ tr×nh nhËn thøc cña häc sinh
II/ néi dung cô thÓ.
Mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n
Bµi tËp minh ho¹:
Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n: I =
2
dx
(x 1)
2
2
GV : §Æng Ngäc Liªn
2
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
* Sai lÇm thêng gÆp: I =
2
dx
2
2 (x 1)
=
2
d ( x 1)
1
( x 1) =- x 1
2
2
2
2
=- 1 -1 = - 4
3
3
* Nguyªn nh©n sai lÇm :
1
( x 1) 2
Hµm sè y =
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1
2;2
suy ra hµm sè kh«ng liªn
tôc trªn 2;2 nªn kh«ng sö dông ®îc c«ng thøc Newt¬n – leibnitz nh c¸ch
gi¶i trªn.
* Lêi gi¶i ®óng
1
( x 1) 2
Hµm sè y =
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1
2;2
suy ra hµm sè kh«ng liªn
tôc trªn 2;2 do ®ã tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i.
* Chó ý ®èi víi häc sinh:
Khi tÝnh
b
f ( x)dx cÇn chó ý xem hµm sè y=f(x) cã liªn tôc trªn a; b kh«ng?
a
nÕu cã th× ¸p dông ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ó tÝnh tÝch ph©n ®· cho cßn nÕu kh«ng th×
kÕt luËn ngay tÝch ph©n nµy kh«ng tån t¹i.
* Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1/
5
dx
4) 4
(x
.
3
1
0
2/ x( x 2 1) 2 dx .
2
3/
2
1
cos
0
4
x
dx
1
x 3 .e x x 2
dx
x3
1
4/
Bµi 2 :TÝnh tÝch ph©n: I =
dx
1 sin x
0
* Sai lÇm thêng gÆp: §Æt t = tg
x
2
th× dx =
2dt
; 1
2
1 t 1 sin x
2dt
dx
1 sin x = (1 t ) = 2(t 1) d(t+1) =
GV : §Æng Ngäc Liªn
2
2
2
t 1
=
1 t2
(1 t ) 2
+c
3
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
dx
1 sin x
0
I=
=
2
x
tg 1
2
0
=
2
2
- tg 0 1
tg 1
2
do tg kh«ng x¸c ®Þnh nªn tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i
2
*Nguyªn nh©n sai lÇm:
§Æt t = tg
x
2
x 0; t¹i x = th× tg
x
2
kh«ng cã nghÜa.
* Lêi gi¶i ®óng:
dx
0
1 cos x
2
dx
1 sin x =
I=
0
x
d
x
2 4
tg
x
2 4
0
cos 2
2 4
= tg
0
tg
2 .
4
4
* Chó ý ®èi víi häc sinh:
§èi víi ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè khi ®Æt t = u(x) th× u(x) ph¶i lµ mét hµm sè liªn
tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn a; b .
*Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1/
dx
sin x
0
dx
0 1 cos x
2/
Bµi 3: TÝnh I =
4
x 2 6x 9 dx
0
* Sai lÇm thêng gÆp:
I=
4
x 2 6x 9 dx
0
4
4
= x 3 2 dx x 3 d x 3
0
0
x 3 2
2
4
0
1 9
4
2 2
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
PhÐp biÕn ®æi x 3
* Lêi gi¶i ®óng:
I=
4
x 2 6x 9
2
x 3
víi x 0;4 lµ kh«ng t¬ng ®¬ng.
dx
0
GV : §Æng Ngäc Liªn
4
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
4
4
3
4
0
0
0
3
= x 3 2 dx x 3 d x 3 x 3 d x 3 x 3 d x 3
2
= - x 3
3
0
2
x 3 2
2
4
3
9 1
5
2 2
* Chó ý ®èi víi häc sinh:
2n
f x 2n
n 1, n N
f x
b
b
I = f x 2n
f x dx ta
2n
a
ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn a; b råi dïng tÝnh
a
chÊt tÝch ph©n t¸ch I thµnh tæng c¸c ph©n kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
1/ I =
1
sin 2 x dx
;
0
2/ I =
3
x 3 2x 2 x
dx
1
2
2
x
dx
0
2
3/ I =
4/ I =
x
2
2
x cot g 2 x 2 dx
1
2
3
tg
6
Bµi 4: TÝnh I =
0
x
1
2
dx
2x 2
* Sai lÇm thêng gÆp:
I=
0
d x 1
x 1
1
2
1
arctg x 1
0
1
arctg1 arctg 0
4
* Nguyªn nh©n sai lÇm :
Häc sinh kh«ng häc kh¸i niÖm arctgx trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi
* Lêi gi¶i ®óng:
§Æt x+1 = tgt dx 1 tg 2 t dt
víi x=-1 th× t = 0
víi x = 0 th× t =
4
GV : §Æng Ngäc Liªn
5
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
4
Khi ®ã I =
4
1 tg t dt
2
tg t 1
0
dt t
0
4
0
4
* Chó ý ®èi víi häc sinh:
C¸c kh¸i niÖm arcsinx , arctgx kh«ng tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi;
Häc sinh cã thÓ ®äc thÊy mét sè bµi tËp ¸p dông kh¸i niÖm nµy trong mét s¸ch
tham kh¶o, v× c¸c s¸ch nµy viÕt theo s¸ch gi¸o khoa cò (tríc n¨m 2000). Tõ n¨m
2000 ®Õn nay do c¸c kh¸i niÖm nµy kh«ng cã trong s¸ch gi¸o khoa nªn häc sinh
kh«ng ®îc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy n÷a. V× vËy khi gÆp tÝch ph©n d¹ng
b
1
1 x
ta dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®Æt t = tgx hoÆc t = cotgx ;
dx
2
a
b
1
1
x2
a
dx
th× ®Æt x = sint hoÆc x = cost
*Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
8
1/ I =
4
x 2 16
dx
x
1
2x 3 2x 3
dx
x2 1
0
2/ I =
1
3/ I =
3
x 3 dx
1
0
x8
Bµi 5:
TÝnh :I =
1
4
x3
1
0
x2
dx
*Suy luËn sai lÇm: §Æt x= sint , dx = costdt
x3
1
x2
sin 3 t
dx
dt
cos t
§æi cËn: víi x = 0 th× t = 0
víi x=
1
4
th× t = ?
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
GV : §Æng Ngäc Liªn
6
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1 x 2 th× thêng ®Æt x = sint nhng ®èi víi
tÝch ph©n nµy sÏ gÆp khã kh¨n khi ®æi cËn cô thÓ víi x =
1
4
kh«ng t×m ®îc chÝnh
x¸c t = ?
* Lêi gi¶i ®óng:
§Æt t =
dt =
1 x2
x
dx tdt xdx
1 x2
§æi cËn: víi x = 0 th× t = 1; víi x =
I=
1
4
x3
1
0
15
4
x
2
15
4
1
th× t =
15
4
=
dx
1 t tdt
t 1 t dt t
2
1
4
2
1
t3
3
415 15 15 15 2 33 15 2
1
4 192 3 192 3
* Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1 x 2 th× thêng
®Æt x = sint hoÆc gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1+x 2 th× ®Æt x = tgt nhng cÇn
chó ý ®Õn cËn cña tÝch ph©n ®ã nÕu cËn lµ gi¸ trÞ lîng gi¸c cña gãc ®Æc biÖt th×
míi lµm ®îc theo ph¬ng ph¸p nµy cßn nÕu kh«ng th× ph¶i nghÜ ®Õnph¬ng ph¸p
kh¸c.
*Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
7
1/ tÝnh I =
x3
1 x
0
2/tÝnh I =
2
x
1
Bµi 6: tÝnh I =
2
dx
dx
x2 1
1
x2 1
4 dx
11 x
1
1
1 2
1
2
x
x
dx
2
1
2
1
1
1
x
x 2
x2
x
1
* Sai lÇm thêng m¾c: I =
GV : §Æng Ngäc Liªn
1
7
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
1
x
1
dx
x2
§Æt t = x+ dt 1
§æi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2;
2
dt
2
2t
I=2
= ln
2
= (
2
2
2
2
2
1
t 2
ln
1
t
2
2
2
2
2
2 ln
2
)dt =(ln t
2
2
2
2
1
2
-ln t
2
)
2
2
ln
t
2
t
2
2
2
1
x2
x 1
lµ sai v× trong 1;1 chøa x = 0 nªn
1
1 x4
2
x
x2
* Nguyªn nh©n sai lÇm:
kh«ng thÓ chia c¶ tö c¶ mÉu cho x = 0 ®îc
* Lêi gi¶i ®óng:
xÐt hµm sè F(x) =
F’(x) =
Do ®ã I =
1
2 2
ln
1
2 2
x2 x 2 1
x2 x 2 1
(ln
x2 x 2 1
x2 x 2 1
)
x2 1
x4 1
1
x2 1
1
x2 x 2 1
=
dx
ln
4
2 2
x2 x 2 1
11 x
1
1
1
2
ln 2
2
2
2
*Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh tÝch ph©n cÇn chia c¶ tö c¶ mÉu cña hµm sè cho
x cÇn ®Ó ý r»ng trong ®o¹n lÊy tÝch ph©n ph¶i kh«ng chøa ®iÓm x = 0 .
III/HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
GV : §Æng Ngäc Liªn
8
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
1/KÕt qu¶ tõ thùc tiÔn:
Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc gi¶i nh÷ng d¹ng tÝch
ph©n nh ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch
mét bµi to¸n tÝch ph©n tõ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n,cËn cña tÝch ph©n ®Ó lùa chän
ph¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh thêng
m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c bíc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã híng
c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng.
Sau khi híng dÉn häc sinh nh trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp
tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi
tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tríc th×
c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®îc mét lîng
lín bµi tËp ®ã.
2/KÕt qu¶ thùc nghiÖm:
S¸ng kiÕn ®îc ¸p dông trong n¨m häc 2007-2008.
Bµi kiÓm tra trªn hai ®èi tîng líp 12A1(28 häc sinh) kh«ng ¸p dông s¸ng kiÕn vµ
12C4(37 häc sinh) ¸p dông s¸ng kiÕn nh sau:
xÕp lo¹i giái
kh¸
tb
yÕu
®èi tîng
12C1
50%
40%
10%
0%
12C4
0%
0%
40%
60%
Sau khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc
biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n
chÊt cña vÊn ®Ò chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh tríc, ®ã lµ viÖc
thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh.
phÇn III:kÕt luËn – kiÕn nghÞ
I/ kÕt luËn:
Nghiªn cøu, ph©n tÝch mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n cã ý
nghÜa rÊt lín trong qu¸ tr×nh d¹y häc v× khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy sÏ gióp häc
sinh nh×n thÊy ®îc nh÷ng ®iÓm yÕu vµ nh÷ng hiÓu biÕt cha thËt thÊu ®¸o cña
m×nh vÒ vÊn ®Ò nµy tõ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t duy ®éc lËp, n¨ng lùc suy nghÜ
tÝch cùc chñ ®éng cñng cè trau råi thªm kiÕn thøc vÒ tÝnh tÝch ph©n tõ ®ã lµm chñ
GV : §Æng Ngäc Liªn
9
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
®îc kiÕn thøc, ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ c¸c kú thi tuyÓn
sinh vµo c¸c trêng ®¹i häc, cao ®¼ng , THCN
II/ KiÕn nghÞ:
HiÖn nay nhµ trêng ®· cã mét sè s¸ch tham kh¶o tuy nhiªn cha cã mét
s¸ch tham kh¶o nµo viÕt vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n. V× vËy nhµ trêng
cÇn quan t©m h¬n n÷a vÒ viÖc trang bÞ thªm s¸ch tham kh¶o lo¹i nµy ®Ó häc sinh
®îc t×m tßi vÒ nh÷ng sai lÇm thêng m¾c khi gi¶i to¸n ®Ó c¸c em cã thÓ tr¸nh ®îc
nh÷ng sai lÇm ®ã trong khi lµm bµi tËp .
tµi liÖu tham kh¶o
1. KiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i tÝch 12 ( Phan V¨n §øc- §ç Quang Minh – NguyÔn
Thanh S¬n – Lª V¨n Trêng – NXB §H Quèc gia thµnh phè HCM - 2002).
2. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n vµ Gi¶i tÝch tæ hîp ( NguyÔn Cam – NXB
TrÎ ).
3. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n (TrÇn §øc Huyªn – TrÇn ChÝ Trung –
NXB Gi¸o Dôc).
4. S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (Ng« Thóc Lanh Chñ biªn – NXB GD – 2000)
5. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n ( Lª Hång §øc – Lª BÝch Ngäc – NXB
Hµ Néi – 2005).
6. Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n ( TrÇn Ph¬ng vµ NguyÔn
§øc TÊn – NXB Hµ Néi – 2004).
GV : §Æng Ngäc Liªn
10
Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
môc lôc
trang
1
1
2
2
2
2
3
3
3
10
11
phÇn I : më ®Çu
I. §Æt vÊn ®Ò
II.LÝ do chän ®Ò tµi
III.LÞch sö vÊn ®Ò :
IV.Giíi h¹n cña ®Ò tµi :
V. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
phÇn II : Néi dung
I. C¬ së khoa häc
II. Néi dung cô thÓ
III. HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn
phÇn III: KÕt luËn - kiÕn nghÞ
HÕt .!
GV : §Æng Ngäc Liªn
11
- Xem thêm -