Lêi nãi ®Çu
ViÖc d¹y ®óng chuÈn mùc kiÕn thøc cña ch¬ng tr×nh lµ mét nhiÖm vô
quan träng cña mçi ngêi gi¸o viªn ®øng líp. Tuy nhiªn, viÖc båi dìng cho
häc sinh kh¸, giái còng lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt ph¶i ®îc tiÕn hµnh thêng
xuyªn ë trong c¸c nhµ trêng phæ th«ng trung häc c¬ së. ViÖc båi dìng gióp
cho häc sinh kh¸ kh«ng chØ n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc, kü n¨ng c¬ b¶n mµ
cßn cã thãi quen suy nghÜ, t×m hiÓu kü vÊn ®Ò ®Ó råi suy luËn mét c¸ch hîp
logÝc t×m ra ®îc lèi gi¶i nh÷ng bµi tËp khã, gióp c¸c em rÌn trÝ th«ng minh
s¸ng t¹o, cã høng thó trong khi häc m«n to¸n.
§èi víi m«n to¸n líp 9, phÇn '' Ph¬ng tr×nh bËc hai'', ''Ph¬ng tr×nh quy
vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' lµ phÇn kiÕn thøc träng t©m, lµ phÇn kiÕn thøc thêng
xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c ®Ò thi tèt nghiÖp, thi häc sinh giái vµ thi vµo trung
häc phæ th«ng. Do ®ã, theo t«i häc sinh cÇn n¾m thËt ch¾c ch¾n m¶ng kiÕn
thøc nµy, ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸ giái cÇn cã c¸i nh×n thËt ®Çy ®ñ vÒ " Ph¬ng
tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai". Sau khi nghiªn cøu kh¸ nhiÒu tµi liÖu tham
kh¶o viÕt vÒ vÊn ®Ò nµy t«i thÊy, c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra c¸c bµi to¸n rÊt ®a d¹ng
vµ phong phó, tuy nhiªn c¸c d¹ng bµi cßn t¶n m¹n, n»m trong nhiÒu tµi liÖu
kh¸c nhau, do ®ã g©y kh«ng Ýt khã kh¨n cho viÖc d¹y cña gi¸o viªn vµ cña
häc sinh.
Tríc t×nh h×nh ®ã, sau khi nghiªn cøu kü c¸c tµi liÖu, t«i m¹nh d¹n ®a
ra mét hÖ thèng kiÕn thøc nãi vÒ ''Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' víi
mét mong íc lµ lµm tµi liÖu «n tËp, nhµm t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi h¬n cho ngêi
d¹y vµ ngêi häc trong viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái.
''Mét sè ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai'' lµ mét hÖ thèng kiÕn
thøc cã ®Æc thï riªng, ®îc tÝch hîp tõ nhiÒu tµi liÖu kh¸c nhau. Nãi vÒ c¸ch
gi¶i cña mét sè lo¹i ph¬ng tr×nh ®a ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai nh: Ph¬ng tr×nh
chøa Èn ë mÉu; ph¬ng tr×nh bËc ba; ph¬ng tr×nh bËc bèn; ph¬ng tr×nh v« tû…
Víi mçi lo¹i ph¬ng tr×nh sau khi tr×nh bµy c¸ch gi¶i ®Òu cã kÌm theo c¸c vÝ
dô minh ho¹, cuèi mçi d¹ng cßn cã c¸c nhËn xÐt vµ nh÷ng lu ý nh»m gióp ngêi ®äc dÔ dµng tiÕp cËn víi vÊn ®Ò cÇn nghiªn cøu.
T«i mong r»ng th«ng qua c¸c vÊn ®Ò mµ t«i ®· tr×nh bµy ë ®Ò tµi nµy
phÇn nµo gióp c¸c em häc sinh trang bÞ c¸c kiÕn thøc còng nh c¸c ph¬ng ph¸p
gi¶i ph¬ng tr×nh ë bËc THCS, chuÈn bÞ tèt cho k× thi vµo trung häc phæ th«ng.
PhÇn I: Nh÷ng vÊn ®Ò chung
1
A. Môc tiªu nhiÖm vô cña ®Ò tµi
§Ò tµi cã nhiÖm vô nghiªn cøu vµ chän ra mét hÖ thèng kiÕn thøc c¬
b¶n nhÊt, chung nhÊt vÒ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai nh»m:
+ Gióp cho gi¸o viªn cã tµi liÖu ®Ó båi dìng häc sinh giái
+ Gióp cho häc sinh cã mét c¸i nh×n thËt ®Çy ®ñ vÒ ph¬ng tr×nh ®a ®îc
vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai, tõ ®ã cã nh÷ng thao t¸c t duy nhanh nh¹y, s¸ng t¹o, cã
kü n¨ng nhuÇn nhuyÔn trong viÖc gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh nµy.
+ Gióp häc sinh tù tin trong khi gi¶i to¸n hoÆc trong thi cö.
B. c¬ së thùc tiÔn cña viÖc nghiªn cøu ®Ò tµi
To¸n häc lµ mét m«n khoa häc tr×u tîng, ®ãng vai trß quan träng trong
®êi sèng con ngêi, trong viÖc nghiªn cøu khoa häc. Khi häc to¸n c¸c em sÏ
n¾m b¾t ®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p suy luËn, chøng minh, nhiÒu kü n¨ng tÝnh
to¸n, ph©n tÝch tæng hîp, gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu bµi to¸n thùc trong cuéc sèng.
ViÖc båi dìng häc sinh giái lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong c¸c nhµ
trêng THCS. §Ó lµ häc sinh giái, c¸c em cÇn ®îc rÌn luyÖn, ph¸t triÓn t duy
s¸ng t¹o, më réng, ®µo s©u kiÕn thøc.
Sù ph©n ho¸ ®èi tîng trong häc sinh hiÖn nay vÒ n¨ng lùc næi lªn rÊt râ.
sè häc sinh c¸c líp chuyªn, chän chiÕm mét tû lÖ t¬ng ®èi lín, do ®ã nhu cÇu
®îc n©ng cao, më réng kiÕn thøc cña c¸c em häc sinh lµ rÊt lín.
C¨n cø vµo thùc tÕ d¹y häc ta thÊy, phÇn kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh vµ
ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai ë ch¬ng tr×nh THCS cha ®îc ®Ò cËp ®Õn
nhiÒu. §éi ngò gi¸o viªn cha ®îc chuÈn bÞ chu ®¸o ®Ó b¾t tay vµo d¹ båi dìng
cho häc sinh kh¸ giái, do ®ã ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i tù biªn so¹n, su tÇm,
lùa chän tµi liÖu cho riªng m×nh. chÝnh v× thÕ néi dung båi dìng phÇn kiÕn
thøc nµy cha cã sù thèng nhÊt, g©y kh«ng Ýt khã kh¨n cho ngêi häc vµ ngêi
d¹y .
Nghiªn cøu s¸ch gi¸o khoa vµ ch¬ng tr×nh hiÖn hµnh ta thÊy: SGK ®¹i
sè 9 ®· ®a ra cho häc sinh mét sè lo¹i ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai
nh: ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, ph¬ng tr×nh v« tû, ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng, ®a
vµo Èn míi song nh×n chung møc ®é yªu cÇu vÒ lo¹i nµy chØ dõng l¹i ë møc
®é nhËn d¹ng, chØ phï hîp víi häc sinh ®¹i trµ, cßn víi c¸c em häc sinh ë c¸c
líp chuyªn, líp chän nÕu dõng l¹i ë yªu cÇu trªn th× cha ®ñ, v× vËy còng cÇn
2
hÖ thèng, ph©n lo¹i vµ giíi thiÖu víi c¸c em vÒ m¶ng kiÕn thøc ''Ph¬ng tr×nh
quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai''.
C. §èi tîng nghiªn cøu
Nghiªn cøu vÒ c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh, c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh nãi
chung vµ ph¬ng tr×nh bËc hai nãi riªng.
Nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n ë trêng THCS.
Nghiªn cøu néi dung s¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 9, c¸c tµi liÖu tham kh¶o vµ
c¸c chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái to¸n.
Nghiªn cøu qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, qua häc hái ®ång nghiÖp.
3
PhÇn II: Néi dung
A. Mét sè kiÕn thøc vµ kü n¨ng cÇn thiÕt khi häc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh:
Khi häc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh häc sinh cÇn n¾m ®îc mét sè kiÕn thøc vµ
kü n¨ng sau:
+ C¸c quy t¾c tÝnh to¸n víi c¸c biÓu thøc ®¹i sè (c¸c phÐp tÝnh céng,
trõ, nh©n, chia…)
+ C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
+ Kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
+ KiÕn thøc vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè, mét biÓu thøc ®¹i sè
+ §iÒu kiÖn ®Ó cho mét biÓu thøc cã nghÜa (biÕt t×m tËp x¸c ®Þnh cña
ph¬ng tr×nh, tËp x¸c ®Þnh cña mét biÓu thøc
+ Kü n¨ng biÕn ®æi c¸c biÓu thøc.
+ Kü n¨ng gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn, ph¬ng tr×nh
chøa Èn ë mÉu (d¹ng c¬ b¶n)
B- Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai
I. Nh¾c l¹i vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè
1. §Þnh nghÜa:
+ Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn sè lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t:
ax2+bx+c=0 (trong ®ã x lµ Èn; a,b,c lµ c¸c hÖ sè thuéc tËp R; a 0)
+ NghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh bËc hai lµ nh÷ng gi¸ trÞ cña Èn sè mµ
khi thay vµo vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh ta ®îc gi¸ trÞ cña hai vÕ b»ng 0.
2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh bËc hai
* Khi nghiªn cøu vÒ nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c=0 (a
0) ta cÇn quan t©m tíi biÖt sè cña ph¬ng tr×nh:
=b2 - 4ac
+ NÕu < 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai v« nghiÖm.
+ NÕu = 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm kÐp:
x1= x2= b
2a
+ NÕu > 0: Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x1,2= b
2a
Khi b ch½n, hay b=2b'(b' ) khi ®ã ta cã:
' =b'2- ac
4
+ NÕu '< 0: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ NÕu ' = 0: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
+ NÕu ' >0: ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Chó ý: NÕu a vµ c tr¸i dÊu (tøc a.c < 0) th× ph¬ng tr×nh bËc hai cã d¹ng ph©n
biÖt vµ tr¸i dÊu nhau (v× >0).
* §èi víi mét sè ph¬ng tr×nh bËc hai ®¬n gi¶n (víi hÖ sè nguyªn) trong
trêng hîp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 0) ta cã thÓ dïng ®Þnh lý Viet ®Ó
nhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
§Þnh lý Vi-et
NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx+c = 0 (a 0) cã nghiÖm sè x1;x2 ( 0)
th×:
x1+ x2= b
a
x1.x2=
c
a
Trêng hîp ®Æc biÖt:
+ NÕu a+b+c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x1=1; x2= c
a
+ NÕu a- b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x1=-1; x2=- c
a
*Nhê ®Þnh lý Viet ta cã thÓ kh¶o s¸t vÒ tÝnh chÊt c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
bËc hai
+ Ph¬ng tr×nh bËc hai cã cïng dÊu khi:
hay
b2- 4ac 0
0
c
x1.x2>0
0
a
+ Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm d¬ng khi
hay
b2- 4ac 0
0
c
0
a
b
0
a
x1.x2>0
x1+x2>0
+ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m khi:
hay
b2- 4ac 0
0
c
0
a
b
0
a
x1.x2>0
x1+x2<0
+ Ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi:
5
c
0
a
+ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau khi:
c
x1.x2<0
0
x1+x2=0
a
b
0
a
hay
+ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu nhng nghiÖm sè d¬ng cã trÞ tuyÖt
®èi lín h¬n khi:
c
0
a
b
0
a
+ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu nhng nghiÖm sè ©m cã trÞ tuyÖt
®èi lín h¬n khi:
c
0
a
b
0
a
* Nhê ®Þnh lý Viet, ta cã thÓ tÝnh ®îc tæng (hoÆc hiÖu) c¸c luü thõa bËc
n hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x 1n x 2n (Víi n Z )
VÝ dô:
Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c = 0 cã hai nghiÖm x1;x2 th×:
2
x 12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ( b ) 2 2. c b 22ac
a
a
a
x 14 x24 ( x12 x22 )2 2( x1 x2 )2 ( b 22ac )2 2( c )2
a
a
2
II. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai:
Trong ch¬ng tr×nh To¸n ë trêng phæ th«ng ta thêng gÆp mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai sau:
A. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh cã Èn sè n»m ë mÉu
thøc cña ph¬ng tr×nh.
a) C¸ch gi¶i:
+ T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh
+ Quy ®ång, khö mÉu
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh, ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ax2+bx+c=0
+ Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng ax2+bx+c=0
+ NhËn ®Þnh kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi (lo¹i bá nh÷ng gi¸ trÞ cña Èn võa t×m ®îc
kh«ng thuéc tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh).
b) VÝ dô :
6
VÝ dô 1:
Gi¶i vµ biÖn luËn theo a vµ b ph¬ng tr×nh:
a
b
2
x b x a
§iÒu kiÖn ®Ó (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x �a, x �b :
Gi¶i
§iÒu kiÖn:
Ta cã: (1) 2( x a)( x b) a( x a) b( x
(1)
b)
2 x 2 3(a b) x a 2 b 2 2ab 0
2 x 2 3(a b) x (a b) 2 0
( a b ) 2
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ:
x1 a b
a b
x2
2
*
x1 a b 0
x1 b a 0
* x2 �a; x 2 b a b
VËy víi a �b; a �0, b �0 th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4
3
2
2 x 3x 8 x 12
1
4
1
0 (2)
2
x 4 2x 7 x 6 2x 3
2
Ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö ta cã:
(2)
TX§:
4
1
4
1
0
( x 2)( x 2)(2 x 3) ( x 2)( x 2) ( x 2)(2 x 3) 2 x 3
x-2 0
x+2 0
x 2
3
x
2
2x+3 0
MÉu thøc chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khö mÉu ta cã: 4 - (2x+3)- 4(x-2) +(x-2)(x+2)
4 2 x 3 4 x 8 x 2 4 0
x 2 6 x 5 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2-6x+5=0 ta ®îc 2 nghiÖm: x1=1, x2=5
§èi chiÕu víi TX§ ta thÊy x1 = 1 vµ x2 = 5 lµ hai nghiÖm cña pt (2)
c. NhËn xÐt:
+ Lo¹i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu lµ lo¹i thêng gÆp ë trêng phæ th«ng.
7
+ Khi gi¶i lo¹i nµy cÇn lu ý: CÇn so s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®îc cña Èn víi
TX§ tríc khi kÕt luËn vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
B. Ph¬ng tr×nh bËc ba
Ph¬ng tr×nh bËc ba (mét Èn sè) lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t:
ax3+ bx2 + cx+d = 0 Trong ®ã x lµ Èn sè; a, b, c, d lµ c¸c hÖ sè: a 0
a) C¸ch gi¶i
§Ó gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc ba ( ®èi víi häc sinh THCS) ta thêng ph¶i
biÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch, ë ®ã vÕ tr¸i lµ tÝch cña mét nh©n tö bËc nhÊt
víi mét nh©n tö bËc hai, cßn vÕ ph¶i b»ng 0. Muèn vËy HS cÇn cã kü n¨ng
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
b) VÝ dô:
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh
2x3+7x2+7x+2 = 0 (*)
Gi¶i
(*)
(2x3+2) +(7x2+7x)=0
2(x3+1)+7x(x+1) =0
2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=0
(x+1)(2x2+5x+2) =0
x+1=0
(1)
2x2+5x+2 = 0
(2)
Ph¬ng tr×nh (1) cho nghiÖm x=-1
Ph¬ng tr×nh (2) cho nghiÖm x=-2 vµ x=- 1
2
VËy ph¬ng tr×nh (*) cã tËp hîp nghiÖm lµ: S = -
1; 2;
1
2
VÝ dô 2:
Cho ph¬ng tr×nh x3- (2a+1)x2+(a2+2a-b) x-(a2- b)=0
(1)
Gi¶i vµ biÖn luËn theo a, b sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh (1) Cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 nªn cã nghiÖm x 1=1. Do ®ã (1) cã
thÓ viÕt: (x-1)(x2- 2ax + a2- b) =0.
XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai:
x2-2ax+a2- b=0
(2)
'= b
* NÕu b < 0 (2) v« nghiÖm
(1) cã nghiÖm duy nhÊt x =1
8
* NÕu b = 0
* NÕu b > 0
(2) cã nghiÖm kÐp: x = a
(1) cã hai nghiÖm: x =1; x = a
(2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
(1) Cã ba nghiÖm ph©n biÖt: x=1; x= a+ b ; x= a- b ;
c) NhËn xÐt:
Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba ë THCS ta chñ yÕu dïng phÐp ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö ®Ó ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch. Khi ®ã, ta cã
mét hÖ thèng hai ph¬ng tr×nh bao gåm mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai.
+ Ta cÇn chó ý tíi hai tÝnh chÊt cña ph¬ng tr×nh bËc ba:
ax3+ bx2+ cx + d = 0
* NÕu a + b +c + d = 0 th× trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban
®Çu sÏ cã nghiÖm lµ x =1.
* NÕu a-b+c- d = 0 th× trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu sÏ
cã mét nghiÖm lµ:x = - 1.
Khi biÕt tríc mét nghiÖm, ta chia vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh cho ®a thøc
(x-1) hoÆc (x+1) ®Ó ph©n tÝch vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh thµnh nh©n tö.
+ Víi ph¬ng tr×nh bËc ba cã c¸c hÖ sè nguyªn, nÕu cã nghiÖm nguyªn
th× nghiÖm nguyªn ®ã ph¶i lµ íc sè cña h¹ng tö tù do d (Theo ®Þnh lý vÒ sù
tån t¹i nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh víi hÖ sè nguyªn).
C. Nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc cao quy ®îc vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai
1- Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng
Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4+ bx2+ c = 0. Trong
®ã: x lµ Èn sè, a;b;c lµ c¸c hÖ sè; a 0
a) C¸ch gi¶i:
Víi lo¹i ph¬ng tr×nh nµy khi gi¶i ta thêng dïng phÐp ®Æt Èn phô x2=t
0. Tõ ®ã ta cã mét ph¬ng tr×nh bËc hai trung gian: at 2 + bt +c = 0, gi¶i ph¬ng
tr×nh bËc hai trung gian nµy råi sau ®ã tr¶ biÕn x 2= t (NÕu nh÷ng gi¸ trÞ cña t
t×m ®îc tho¶ m·n t 0), ta sÏ t×m ®îc nghiÖm sè cña ph¬ng
tr×nh ban ®Çu.
b) VÝ dô:
VÝ dô 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – x2 – 6 = 0 (1)
Gi¶i:
9
§Æt x2 =t 0 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh:
t2 – t – 6 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh t2-t-6=0 ta ®îc t1=-2;t2=3
+ Víi t = - 2 (lo¹i v× t < 0 )
+ Víi t =3 x 3
VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ : S = - 3; 3
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x4-2(m-1)x2- (m-3 ) = 0
(2)
Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× ph¬ng tr×nh trªn
a) Cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
b) Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
c) Cã hai nghiÖm
d) v« nghiÖm.
Gi¶i:
§Æt x2=t 0 khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) ®îc quy vÒ mét ph¬ng tr×nh bËc hai:
t2- 2(m-1)t- (m-3) = 0
(2')
'=(m-1)2+(m-3) = m2- m- 2
a) §Ó (2) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2') ph¶i cã 2 nghiÖm d¬ng
ph©n biÖt t¬ng ®¬ng víi:
m2- m- 2 > 0
'>0
x1+x2 > 0
hay m-1> 0
x1x2 > 0
m-3 <0
(m+1)(m-2)>0
m>1
m<3
m-2>0
m>1
m<3
(do m>1)
m>2
do ®ã 2< m <3
m>1
m<3
Khi 2
0
2(m-1) < 0
Nhê b¶ng xÐt dÊu ta thÊy bÊt ph¬ng tr×nh m2- m- 2 0 cho nghiÖm m �1
hoÆc m �2
B¶ng xÐt dÊu:
m
m+1
m-2
(m+1)(m-2)
-
-1
+
0
1
0
+
11
2
1
0
0
+
+
+
VËy hÖ trªn t¬ng ®¬ng víi:
m 1
hoÆc m 2
m<3
m<1
KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn nµy ta ®îc: m -1
VËy ph¬ng tr×nh (2') cã hai nghiÖm cïng ©m khi m -1
Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm khi -1
- Xem thêm -
.DOC 
30 
101 
56 
