Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp thcs...

Tài liệu Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp thcs

.DOC
18
116
128

Mô tả:

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS môc lôc a . më ®Çu................................................................................................ 1/ LÝ do chän ®Ò tµi ..................................................................................... 2/ Môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi ................................................................... 3/ Ph¹m vi nghiªn cøu............................................................................... 4/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu........................................................................ b . Néi dung ®Ò tµi.............................................................................. 1/ C¬ së lý luËn............................................................................................ 2/ T×nh h×nh thùc tiÔn................................................................................. 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh..................................................... 3.1 Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ............................................................... 3.2 Ph¬ng ph¸p chung.............................................................................. 3.3 ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n...................................... a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ............................................................ b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ pt chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .............. c. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ....................................................................... d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ............................................... e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh .................................................. g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc................................................................... h.Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè.................................. i. Ph¬ng ph¸p sö dông dÊu “ = ” ë B§Tkh«ng chÆt ............................. k. Mét sè PP kh¸c....................................................................................... 4/ KÕt qu¶..................................................................................................... c . kÕt luËn ........................................................................................... d - tµi liÖu tham kh¶o ................................................................... 1. LÝ do chän ®Ò tµi : Trang 2 Trang 2 Trang 2 Trang 3 Trang 3 Trang 4 Trang 4 Trang 4 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 5 Trang 8 Trang 10 Trang 13 Trang 16 Trang 18 Trang 20 Trang 21 Trang 23 Trang 24 Trang 26 Trang 27 a. më ®Çu . To¸n häc lµ m«n häc cã øng dông trong hÇu hÕt trong tÊt c¶ c¸c ngµnh khoa häc tù nhiªn còng nh trong c¸c lÜnh vùc kh¸c cña ®êi sèng x· héi. V× vËy to¸n häc cã vÞ trÝ ®Æc biÖt trong viÖc ph¸t triÓn vµ n©ng cao d©n trÝ .To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh (ngêi häc )nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n,nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt mµ cßn lµ ®iÒu kiÖn chñ yÕu rÌn luyÖn kÜ n¨ng t duy logic,mét ph¬ng ph¸p luËn khoa häc . Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp to¸n ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i chän läc hÖ thèng, sö dông ®óng ph¬ng ph¸p d¹y häc gãp phÇn h×nh thµnh vµ vµ ph¸t triÓn t duy cña häc sinh .§ång thêi th«ng qua viÖc häc to¸n häc sinh ®îc båi dìng vµ rÌn luyÖn vÒ phÈm chÊt ®¹o ®øc, c¸c thao t¸c t duy ®Ó gi¶i bµi tËp to¸n , ®Æc biÖt lµ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ . HiÖn nay ngay tõ líp 7 häc sinh ®îc hoµn thiÖn viÖc më réng tËp sè h÷u tØ Q thµnh tËp sè thùc R .Trong khi ®ã gi¸o viªn khi d¹y ph¬ng tr×nh v« tØ th× Ýt khai th¸c ph©n tÝch ®Ò bµi , më réng bµi to¸n míi, dÉn ®Õn häc sinh khi gÆp bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ lóng tóng hoÆc cha biÕt c¸ch gi¶i hoÆc gi¶i ®îc nhng cha chÆt chÏ mµ cßn m¾c nhiÒu sai lÇm vÒ t×m tËp x¸c ®Þnh, khi n©ng lªn luü thõa, ®a biÓu thøc ra ngoµi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi . V× vËy ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ cÇn thiÕt cho nªn t«i xin ®îc tr×nh bµy mét phÇn nhá ®Ó kh¾c phôc t×nh tr¹ng trªn vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng häc m«n to¸n cña häc sinh ë trêng THCS. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu cña ®Ò tµi Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS - Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh»m n©ng cao n¨ng lùc häc m«n to¸n,gióp c¸c em tiÕp thu bµi mét c¸ch chñ ®éng s¸ng t¹o vµ lµ c«ng cô gi¶i quyÕt nh÷ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh v« tØ. - G©y ®îc høng thó cho häc sinh khi lµm bµi tËp trong SGK , s¸ch tham kh¶o gióp häc sinh gi¶i ®îc mét sè bµi tËp . - Gi¶i ®¸p ®îc nh÷ng th¾c m¾c, s÷a ch÷a ®îc nh÷ng sai lÇm hay gÆp khi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong qu¸ tr×nh d¹y häc . - Gióp häc sinh n¾m v÷ng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ ¸p dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®ã ®Ó gi¶i bµi tËp . Th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gióp häc sinh thÊy râ môc ®Ých cña viÖc häc to¸n vµ häc tèt h¬n c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ .§ång thêi gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc . 3. Ph¹m vi nghiªn cøu- §èi tîng nghiªn cøu : Ph¸t triÓn n¨ng lùc, t duy cña häc sinh th«ng qua c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ®èi víi häc sinh THCS. §Ò tµi ¸p dông ®èi víi häc sinh THCS chñ yÕu lµ häc sinh khèi 9 trong c¸c giê luyÖn tËp ,«n tËp cuèi k× ,cuèi n¨m vµ cho c¸c k× thi ë trêng ,thi vµo cÊp 3. 4. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ tiÕn hµnh : 4.1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : Tham kh¶o thu thËp tµi liÖu Ph©n tÝch,tæng kÕt kinh nghiÖm . KiÓm tra kÕt qu¶ chÊt lîng häc sinh . 4.2.Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh : Th«ng qua c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i vµ kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay gÆp , c¸c d¹ng bµi tËp tù gi¶i . b- néi dung ®Ò tµi 1/ C¬ së lý luËn: Trong ®Ò tµi ®îc ®a ra mét sè ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n phï hîp víi tr×nh ®é cña häc sinh THCS. Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ¸p dông ®Ó lµm bµi tËp . Rót ra mét sè chó ý khi lµm tõngph¬ng ph¸p . Chän läc mét sè bµi tËp hay gÆp phï hîp cho tõng ph¬ng ph¸p gi¶i , c¸ch biÕn ®æi. VËn dông gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh v« tØ . T«i hi väng ®Ò tµi nµy sÏ gióp Ých cho häc sinh ë trêng THCS trong viÖc häc vµ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. Qua ®ã c¸c em cã ph¬ng ph¸p gi¶i ®óng, tr¸nh ®îc t×nh tr¹ng ®Þnh híng gi¶i bµi to¸n sai hoÆc cßn lóng tóng trong viÖc tr×nh bµy lêi gi¶i, gióp häc sinh lµm viÖc tÝch cùc h¬n ®¹t kÕt qu¶ cao trong kiÓm tra. 2/ T×nh h×nh thùc tÕ 2.1. KÕt qu¶: Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t, kiÓm tra tríc khi ¸p dông ®Ò tµi víi 40 häc sinh t«i thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh sau: §iÓm díi 5 SL % §iÓm 5 - 6 SL % §iÓm 7 - 8 SL % §iÓm 9 - 10 SL % Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS 20 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5% 2.2. Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn: §©y lµ d¹ng to¸n t¬ng ®èi míi l¹ vµ khã víi häc sinh, häc sinh cha ®îc trang bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i , nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu khi kh«ng cã lèi tho¸t dÉn ®Õn kÕt qu¶ rÊt thÊp vµ ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh c¸c em cµng khã gi¶i quyÕt. 3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh 3.1. Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ 3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n . 3.1.2. C¸c vÝ dô : a) b) c) d) x  1 1 3x  7  x 2  x  1 =3 x  x 3 x3 x  1 3 x2  1 x  1 2 3  3 x2  1 x 1 4 3. 2.Ph¬ng ph¸p chung : §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n . Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh . - BiÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· häc. - Gi¶i ph¬ng tr×nh võa t×m ®îc . - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm . 3.3. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n: a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh ): a.1. C¸c vÝ dô : * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  g ( x) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  1  x  1 (1) §KX§ : x+1 0  x -1 Víi x  -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x-1 0  x 1.Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh : x+1 = (x-1)2  x2 -3x= 0 VÝ dô 1:  x(x-3) = 0   x 0   x 3 ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =3 . VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  x  1 13  x  1 13  x (1)  x  1 0 §KX§ :   13  x 0  x 1   x 13  1  x 13 (2) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc : x  1 (13  x ) 2  x 2  27 x  170 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x1 10 vµ x 2 17 .ChØ cã VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 10 x1 10 tho· m·n (2) . * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  h( x)  g ( x) VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1  x  2  x 1 (1)  1  x 1  2  x 1  x 0 x 1 §KX§:    2  x 1 2  x 0 x  2 B×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc : 1  x 1  2 2  x  2  x Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ  x 2  x  1 0  1 5 tho· m·n (2) 2  1 5 x 2 3 x  1  3 7  x 2 (1) x VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: LËp ph¬ng tr×nh hai vÕ cña (1) ta ®îc: x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x). 2 8 (x-1) (7- x) = 0  x =-1 x =7 (®Òu tho¶ m·n (1 )). VËy x  1; x 7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .  * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x)  h( x)  Gi¶i ph¬ng tr×nh x  1 - x  7 = 12  x x  1 = 12  x + x  7 (1) g ( x) VÝ dô5:  x 10 x  1   §KX§: 12  x 0  x 12  1 x 12    x  7 0  x 7   B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc: x- 4 = 2 (12  x)( x  7) (3) Ta thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ®Òu tho· m·n (2) v× vËy b×nh ph¬ng 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = 0 Ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = 44 vµ x2 = 8 ®Òu tho¶ m·n (2) . 5 VËy x1 = 44 5 vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 4 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS * Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  1 + VÝ dô 6:  x  1 0  x  10 0  §KX§ :   x  2 0  x  5 0 f ( x)  x  10 h( x )  = x2  x  1  x  10    x  2  x  5  g (x ) + + x 5  q( x) (1) x ≥ -1 (2) B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc : x+1 + x+ 10 + 2 ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x  2)( x  5) (3)  2+ ( x  1)( x  10) = ( x  2)( x  5) Víi x  -1 th× hai vÕ cña (3) ®Òu d¬ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ cña (3) ta ®îc ( x  1)( x  10) = 1- x §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x  -1 (4) Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)  x  1   x  1  x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1). a.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ®îc sö dông vµo gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3.....) Tõ ®ã mµ chó ý ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¨n, ®iÒu kiÖn ë c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ®ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm, chñ quan khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy. Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau . a.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. x 2  4 = x- 2 2. 1  x x  4 = x+ 1 3. 1  x + 4  x =3 4. 3 x  45 - 3 x  16 =1 5. 1  x = 6  x -  (2 x  5) 6. 3 x  1 + 3 x  2 = 3 2 x  3 7. x + x  y = x  1 + x  4 b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : b.1. C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9 x 2  24 x  16  x  4 (1) 2 §KX§:  9 x2  24 x  16 0    x  4 0 Ph¬ng tr×nh (1)  3x  4  = -x + 4  (3x  4)2 0x   x 4  Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa x≤4 5 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS   3x  4   x  4   3x  4  x  4   x 2   x 0 Víi x= 2 hoÆc x = 0 ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (®Òu tho¶ m·n x  4 ). VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2  4 x 4 + x 2  8 x  16 = 5 §KX§: x  R Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : x  2 + x  4 = 5 LËp b¶ng xÐt dÊu : x 2 4 x- 2 0 + + x- 4 0 + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < 2 ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2) + Khi 2  x  4 ta cã (2)  0x + 2 =5 v« nghiÖm + Khi x > 4 ta cã (2)  2x – 6 =5  x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 ) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0,5 vµ x = 5,5 VÝ dô 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 x  13 + x  6 x  1 8 = 1 §KX§: x  1 Ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i lµ : ( x  1)  4 x  1  4 + ( x  1)  6 x  1  9 = 1  + ( x  1  3) = 1 x 1 2 + x  1  3 =1 (1)  - NÕu 1  x < 5 ta cã (1)  2- x  1 + 3 - x  1 = 1  x  1 =2  x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt - NÕu 5  x  10 th× (1)  0x = 0 Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm - NÕu x> 10 th× (1)  -5 = 1 ph¬ng trinh v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5  x  10 b.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®îc sö dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song trong thùc tÕ cÇn lu ý cho häc sinh : -¸p dông h»ng ®¼ng thøc A 2 = A ( x  1  2) 2 2 - Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn nªn gi¸o viªn cÇn lu ý ®Ó häc sinh tr¸nh sai lÇm . b.3. Bµi tËp ¸p dông : 1. x 2  6 x  9 + x 2  10 x  25 = 8 2. x 2  2 x  1 + x 2  4 x  4 = x 2  4 x  4 3. x  3  4 x  1 + x  8  6 x  1 = 5 4. x  3  3 2 x  5 + x  2  2 x  5 = 2 2 c.Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: c..1. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 + 3x + 2 x 2  3x  9 =33 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 6 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS §KX§ :  x  R Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2  3x  9 - 42= 0 (1) §Æt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chó ý r»ng häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta ®îc ph¬ng tr×nh míi : y2 + y – 42 = 0  y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0 Tõ ®ã ta cã 2 x 2  3x  9 =6  2x2 + 3x -27 = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - 9 2 C¶ hai nghiÖm nµy chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 4 x = 12 §KX§ : x  o 2 4 §Æt x = y  0  x = y ta cã ph¬ng tr×nh míi y2 + y -12 = 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i)  4 x = 3  x = 81 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  1 + 3  x - ( x  1)(3  x ) = 2 (1) §KX§ : §Æt   x  1 0   3  x 0 x 1 ( x  1)(3  x ) + = 3 x 2 t  4 2   x  1   x 3  -1 ≤ x ≤ 3 = t  0  t2 = 4 + 2 ( x  1)(3  x ) (2) .thay vµo (2) ta ®îc t  0 t2 – 2t = 0  t(t-2) = 0  t  2 + Víi t = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. +Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã : ( x  1)(3  x) = 0  x1 = -1; x2 = 3 (tho¶ m·n) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x1 = -1vµ x2 = 3 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 x 3  1 = 2( x2 + 2) Ta cã x 3  1 = x  1 x 2  x  1 §Æt x  1 = a  0 ; x 2  x  1 = b  0 vµ a2 + b2 = x2 + 2 Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt lµ 5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) = 0  2a  b  0   a  2b 0 + Trêng hîp: 2a = b  2 x 1 = x2  x 1  4x + 4 = x2 – x +1  x2 – 5x -3 = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 5 37 2 ; x2 = + Trêng hîp: a = 2b  x 1 = 2 x2  x 1  x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0 5  37 2 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 7 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS  4x2 -5x + 3 = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x= 5  37 2 vµ x= 5 37 2 VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  1 + 2 (x+1) = x- 1 + 1  x + 3 §Æt x  1 = u  0 vµ 1  x = t  0 §KX§: -1  x  1 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh. u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0  (u-t)(2u – t +1 ) = 0  u t   2u  1 t    x  1  1  x   2 x  1  1  1  x  1 x2 (1)  x 0  24  x    25 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1  x  1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. x 3 VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 x 1 + x2 x 1 = 2 §KX§ : x 1 §Æt x  1 = t  0  x = t2 + 1 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh (t  1) 2  + t 1 (t  1) 2 + t  1  t 2  4t  4 0    t 2 0 = = t2  4 2 2 t 4 2 (t  1)   t 2   t 0  x 5   x 1   §kX§: x≥ 1 VËy phu¬ng ®· cho cã nghiÖm x= 1vµ x= 5 c.2. NhËn xÐt : Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn nh»m lµm cho ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u tØ .Song ®Ó vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ph¶i cã nh÷ng nhËn xÐt,®¸nh gi¸ t×m tßi híng gi¶i quyÕt c¸ch ®Æt Èn nh thÕ nµo cho phï hîp nh : §Æt Èn phô ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh míi chøa Èn phô (Vd 3-1,3-2,3-3) §Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ mét biÓu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – 5 + x 2  6 = 7 2/ x 3/ 4/ 3 1 x x2 3 - 2x -3 x 8 3 x = 20 =20 = 2x2 – 6x +4 3 x 5/ x  6 x  9 + x  6 x  9 = x  23 6 d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch : d.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  10 x  21 = 3 x 3 +2 x7 - 6 (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 8 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS §KX§ : x  -3 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng : -3 x 3 ( ( x  3)( x  7)  (  x7  +6 = 0 x  7  3) -2( x  7  3) ) =3 3) ( x  3  2 ) =0 x 3 +2  x  7  3 0    x  3  2 0 x7  x  7 9   x  3 4   x 2   x 1  §KX§. VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1; x = 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 1  x + x  2 =1 §KX§ : x  -2 §Æt x  2 = t  0 Khi dã 3 1  x = 3 3  t 2 Ph¬ng tr×nh (1)  3 3  t 2 + t = 1  3 3  t 2 = 1- t  3- t3 = (1-t) 3  t3 - 4t2 + 3t + 2 =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = 0 Tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x=2 ; x= 1 + 2 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (4x-1) x 2  1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) §Æt x 2  1 =y ; y  0 (1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1  2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0  ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0  (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x = 0 ; x = 4 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô4: 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( 1  x  1 )( 1  x  1 ) = 2x §KX§: -1  x  1 (1) ®Æt 1  x = u (0  u  2 ) suy ra x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : (u -1 ) ( 2  u 2  1) = 2 ( u2 -1)  (u -1 ){ ( 2  u 2  1) - 2 (u+1)} = 0  (u-1) ( 2  u 2  2u  1) = 0 u  1  0    2  u  2u  1  0 u-1 = 0  u =1 ( tho¶ m·n u  0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1) 2  u 2  2u  1 = 0  2  u 2 = 2u + 1 2 (+) (+)   2u  1 0  2  2  u (2u  1) (tho¶ m·n v× u  0 )  5u2 + 4u - 1 = 0 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 9 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS   u1  1  0(loai)   1  u2  5 nªn cã x = u22 -1 = ( 1 )2 – 1 = 5  24 25 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 0 vµ x =  24 . 25 d.2.NhËn xÐt : Khi sö dông ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau . + T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh . + Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè , ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) g(x) ….= 0 (gäi lµ ph¬ng tr×nh tÝch) . Tõ ®ã ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; ….. lµ nh÷ng ph ¬ng tr×nh quen thuéc. + NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0 g( x) = 0 ;….. thuéc tËp x¸c ®Þnh . + BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm c¸c sè h¹ng,t¸ch c¸c sè h¹ng hoÆc ®Æt Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn ®a vÒ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i . d.3.Bµi tËp ¸p dông: 1. x 3  7 x  6 = 0 2. x 2  x  2 - 2 x 2  x  2 = x  1 3. x(x+5) = 2 3 x 2  5 x  2  2 4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3  3x 2  3x  2 e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 25  x 2 - 15  x 2 =2 §KX§: 0  x2  15 §Æt: 25  x 2 = a (a 0) (* ) 15  x 2 = b ( b  0) ( ** ) Tõ ph¬ng tr×nh ®· cho chuyÓn vÒ hÖ ph¬ng tr×nh :  a  b 2   (a  b)(a  b) 2(a  b)  a  b 0    a  b 2   a  b 5 Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 = 49 4   x2 = 51 2 (5  x) 5  x  ( x  3) x  3  §kX§ ) . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 x   7  a  2  b 3  2  x 3 51  4 x=  51 2 ( . =2 (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 10 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS §KX§ : 3  x  5 §Æt  5  x u(u 0)   x  3 t (t 0) Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh :  u 2  t 2 2 2  u  ut  t 2 2  ut = 0  VÝ dô3:   u 0   t 0  x 3  (thâa m·n ®iÒu kiÖn )  x 5 VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5. 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x + x 1 = 1 §KX§: x  1 §Æt  3 2  x u   x  1 t (t 0) Khi ®ã ta cã u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nªn u3 + t3 = 1 Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc ®a vÒ hÖ:  u  t 1(1) 3 3  u  t 1(2) Tõ ph¬ng tr×nh (1)  u = 1 – t .Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã : ( 1 – t )3 + t2 = 1  t( t2 - 4t + 3 = 0   t 0 2  t  4t  3 0   t 0   t 1   t 3  Tõ ®ã ta ®îc x= 3; x =2 ; x = 10 (§KX§ x  1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho . 3 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  1) 2 + 3 ( x  1) 2 + 3 x 2  1 = 1 §Æt: 3 x  1 = a ; 3 x  1 = b nªn ta cã: Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 11 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS ab = 3 a2 = 3 ( x  1) 2 b2 = 3 ( x  1) 2 2 2 x 2  1 . Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a + b + ab = 1 ( 1)  a3  x  1 3  b  x  1 Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a3 – b3 = 2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :  a 2  b2  ab 1 3 3  a  b 2 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2  b = a – 2 Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc : (a -1 )2 = 0  a =1 Tõ ®ã ta ®îc x = 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 0 e.2.NhËn xÐt : Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm s¸ng t¹o vµ ®Æc thï riªng, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy h¬n do ®ã ph¬ng ph¸p nµy ®îc ¸p dông cho häc sinh kh¸ , giái .Ta cÇn chó ýmét sè ®iÓm sau: + T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung . + §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh quen thuéc . Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô , ph¬ng ph¸p sö dông h»ng ®¼ng thøc. e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1. 1 x + 1 2  x2 =2 2. 2 3 2 x  1 = x3+ 1 3. 3 1  x + 3 1  x =1 4. 3 x  1 + 3 x  21 = 3 2 x  3 5. 4  4  x = x g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc : g.1. Ph¬ng ph¸p chøng tá tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ lµ rêi nhau , khi ®ã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  1 - 5 x  1 = 3 x  2 (1) Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 12 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS §KX§:  x  1 0   5 x  1 0  3x  2 0    x 1  1  x  5  2   x  3  Víi x  1 th× x < 5x do ®ã x  1 < 5 x  1 Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m . VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm . VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2  6 x  11 + x 2  6 x  13 + 4 x 2  4 x  5 = 3 + 2  ( x  3)  2 + ( x  3)  4 + 4 ( x  2) 2  1 = 3 + 2 (*) Mµ ( x  3)  2 + ( x  3)  4 + 4 ( x  2) 2  1  2 + 4 + 1 = 3 + 2  VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh ®· cho lín h¬n vÕ tr¸i . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm . g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: 1. x  1 - x  1 = 2 2. x 2  6 = x - 2 x 2  1 3. 6  x + x  2 = x2 - 6x +13 g.2. Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ : g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 2  6 x  7 + 5 x 2  10 x  14 = 4 – 2x – x2 (1) Ta cã vÕ tr¸i cña (1) 3 x 2  6 x  7 + 5 x 2  10 x  14 = 3( x  1)  4 + 5( x  1)  9  4 + 9 = 5 VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2  5 VËy hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 .Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = -1 VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  4 + 6  x = x2 -10x + 27 (1) §KX§: 4  x  6 XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2  2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) 2 2 2 2 2 2 )2  ( ( x  1 )  ( 2 V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ : ( x 4 2 6 x 6  4)2 =1 hay x 4 + 6 x 2  x 2  10 x  27 2(*)   x  4  6  x 2(**) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**) VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) g.2.2. Bµi tËp ¸p dông : 1. 3x 2  12 x  16 + y  4 y  13 = 5 2. 3x 2  6 x  12 + 5 x 2  10 x  9 = 3-4x -2x2 3. x 2  3x  3,5 = ( x  2 x  2)( x  4 x  4) h. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè : 2 2 2 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 13 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS h.1.C¸c vÝ dô : 3 VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  2 + x  1 = 3 (1) §KX§: x  1 Ta thÊy x =3 lµ nghiÖm ®óng víi ph¬ng tr×nh (1) Víi x > 3 th× 3 x  2 > 1 , x  1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3. Víi x< 3 vµ x  -1  -1  x  3 th× 3 x  2 < 1, x  1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n 3. VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 x 2  28 + 2 3 x 2  23 + x  1 + x = 2 + 9 (1)  x  1 0 §KX§:   x 1  x 0 Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ,thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng .Råi t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c . h.3.Bµi tËp ¸p dông : 1. 3 x 2  26 + 3 x + x  3 = 8 2. 2 x 2  1 + x 2  3x  2 = 2 x 2  2 x  3 + x 2  x  1 i. Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu “ =” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 y  1995 + (x+y+z) x 2 + z  1996 = 2 §KX§ : x  2; y  -1995; z  1996 Ph¬ng tr×nh (1)  x+y+z = 2 x  2 + 2 y  1995 + 2 z  1996  ( x  2  1) 2 + ( y  1995  1) + ( z  1996  1) 2 = 0 2  x  2 1  x 3     y  1995 1   y   1994 ( tho· m·n §KX§ ).   z 1997  z  1996 1  Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) 2 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x  6 x  7 + 5 x  10 x  14 = 4 – 2x – x  3( x  1)  4 + 5( x  1)  9 = 5 – (x+1)2 (*) VÕ tr¸i cña (*) 3( x  1)  4 + 5( x  1)  9  2 + 3 = 5 VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2  5 V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5  x+ 1 = 0  x = -1 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =-1 2 2 2 2 2 2 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 14 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS VÝ dô3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4x  1 + 4x  1 x =2 (1) §KX§: x> 1 4 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc a  b  2 víi a,b > 0 b a x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= 4 x  1  x2 - 4x +1 = 0 (do x> 1 4 ) Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x= 2  3 (tho¶ m·n §KX§). VËy x= 2  3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. i.2. NhËn xÐt : Khi sö dông ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c bíc sau : + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x)  a , g(x)  a (a lµ h»ng sè ) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi f(x) =a vµ g(x) = a + BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè ) mµ ta lu«n cã h(x)  m hoÆc h (x)  m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra. + ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc : C«si, Bunhiacopxki i.3. Bµi tËp ¸p dông: 1. 2 x 2  8 x  12 = 3 - 4 3x 2  12 x  13 2. x  2 + 10  x = x2 -12x + 40 3. 19 x  1 + 5 x  1 + 95 x  3 x 2 = 3 4 2 4. x 2  6 x  15 = x  6 x  11 2 6 2 x 2  6 x  18 k. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c : k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ : VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = x  1 + x  1  5  x  18  y, = + x 1 3 x 9 x 1  5 x  18  3 x 9 (1) trªn tËp x¸c ®Þnh 1;5 ta cã: 1 1 1 3    2 x  1 2 x  1 2 5  x 2 18  3x > 0 víi mäi x  1;5 Do hµm sè y liªn tôc vµ ®ång biÕn trªn 1;5 nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ  y(1); y(5) hay  2  2  15;2  6  3` . Suy ra y min = 2  2  15 vµ ymax = 2 + 6  3 víi mäi x  1;5 §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min 9  ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× y min = 2  2 15 < 9 vµ ymax = 2 + 6  3 < 9 Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x  1;5 ®Ó y(xi) = 9 k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè: Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 15 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Ta cã: (1) x3 +1 = 2 3 2x  1 x3 1 3  2x  1 2  §Æt y = hµm sè cã ®¹o hµm y, = nªn ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc trong R. x 3 (1) 1 2 3x 2 2 0 víi mäi x 3 y =  x  1 cã hµm ngîc y = 2 x= x 3 2x  1 (v× y = x 3 1 2 2x  1 ) 3 Do ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tr×nh 3 1 2 =x x3 1 3  2x  1 2  x3 -2x + 1 = 0 còng lµ nghiÖm cña ph¬ng  x = 1 hoÆc x =  1 5 .  2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x =   1  2 5 . k.3. NhËn xÐt: Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m c¸ch ®a vÒ nh÷ng ph¬ng ph¸p quen thuéc ®Ó d¹y häc sinh THCS . Ch¼ng h¹n nh vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau: x3 + 1 = 2 3 2x  1 §Æt t = 2 x  1  2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t 2x -1 = t3  x3 – t3 + 2 (x-t) = 0  x1 =1 ; x2,3 = . 3  4/ KÕt qu¶.  1 5 2 Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 16 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS 4.1/ NhËn xÐt: Trªn ®©y t«i giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ, kÕt qu¶ thu ®îc râ rµng ®· cã thÓ vËn trong nhiÒu d¹ng to¸n, vµ øng dông cña c¸c bµi to¸n nµy kh«ng ph¶i lµ Ýt. NÕu nh rÌn luyÖn cho häc sinh d¹ng to¸n nµy th× chóng ta ®· trang bÞ cho c¸c em lîng kiÕn thøc kh«ng ph¶i lµ nhá. Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cña chóng ta cßn rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p n÷a. Trªn ®©y t«i chØ tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dông trong ch¬ng tr×nh trung häc c¬ së. Tuy nhiªn víi d¹ng to¸n nµy th× kh«ng ph¶i ®èi tîng nµo còng tiÕp thu mét c¸ch dÔ dµng, v× vËy gi¸o viªn ph¶i khÐo lÐo lång vµo c¸c tiÕt d¹y nh»m thu hót vµ ph¸t huy sù s¸ng t¹o cho häc sinh. §©y lµ mét vÊn ®Ò hoµn toµn míi mÎ vµ hÕt søc khã kh¨n cho häc sinh ë møc trung b×nh, gi¸o viªn nªn cho c¸c em lµm quen dÇn. D¹ng to¸n nµy cã t¸c dông t¬ng hç, cao dÇn tõ nh÷ng kiÕn thøc rÊt c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa, gióp häc sinh kh¾c s©u kiÕn thøc biÕt t duy s¸ng t¹o, biÕt t×m c¸ch gi¶i d¹ng to¸n míi, tËp trung “S¸ng t¹o” ra c¸c vÊn ®Ò míi. 4.2. KÕt qu¶ sau khi ¸p dông ®Ò tµi Sau khi ¸p dông ®Ò tµi t«i thÊy r»ng chÊt lîng qua kiÓm tra ®· ®îc n©ng lªn ®¸ng kÓ, ®Æc biÖt lµ ®èi tîng HS trung b×nh chÊt lîng ®îc n©ng lªn râ rÖt. §iÓm díi 5 §iÓm 5 - 6 §iÓm 7 - 8 §iÓm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 5 12,5% 20 50% 10 25% 5 12,5% Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 17 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS c- kÕt luËn : Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ mµ t«i ®· ¸p dông gi¶ng d¹y trªn thùc tÕ hiÖn nay ë trêng THCS cho häc sinh ®¹i trµ còng nh trong qu¸ tr×nh «n luyÖn , båi dìng häc sinh giái .T«i cïng c¸c ®ång nghiÖp ®· thu ®îc kÕt qu¶ sau : + Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dÔ hiÓu h¬n, høng thó tÝch cùc trong häc tËp vµ yªu thÝch bé m«n to¸n . + Häc sinh tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt c¬ b¶n, vµ cã kÜ n¨ng vËn dông thµnh th¹o còng nh ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc cña häc sinh . Tuy nhiªn ®Ó ®¹t ®îc kÕt qu¶ nh mong muèn , ®ßi hái ngêi gi¸o viªn cÇn hÖ thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò ®Õn kiÕn thøc míi tõ cô thÓ ®Õn tæng qu¸t, tõ dÔ ®Õn khã vµ phøc t¹p ,phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh . Ngêi thÇy cÇn ph¸t huy chó träng tÝnh chñ ®éng tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cña häc sinh tõ ®ã c¸c em cã nh×n nhËn bao qu¸t, toµn diÖn vµ ®Þnh híng gi¶i to¸n ®óng ®¾n. Lµm ®îc nh vËy lµ chóng ta ®· gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc trong nhµ trêng. Trong ®Ò tµi nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ nhÊt ®Þnh .VËy t«i rÊt mong ®îc sù gióp ®ì còng nh nh÷ng gãp ý cña c¸c thÇy ,c« gi¸o cho t«i ®Ó t«i rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nh÷ng n¨m häc sau. §Ó hoµn thµnh ®Ò tµi nµy ngoµi viÖc tù nghiªn cøu tµi liÖu, qua thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i cßn nhËn ®îc sù gióp ®ì cña c¸c ®ång nghiÖp ,c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ to¸n trêng §HSP Hµ Néi I ,®Æc biÖt lµ sù gióp ®ì tËn t×nh cña thÇy gi¸o Lª Anh Dòng trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Ngêi thùc hiÖn: D. tµi liÖu tham kh¶o - Ph¹m §×nh S¬n SGK To¸n 7-Nhµ xuÊt b¶n GD 2003 SGK §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD 2001 To¸n båi dìng §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002 To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò §¹i sè 9- Nhµ xuÊt b¶n GD 1995 §Ó häc tèt §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 1999 Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002. 23 chuyªn ®Ò bµi to¸n s¬ cÊp - Nhµ xuÊt b¶n trÎ 2000. Nh÷ng ®Ò thi vµ nh÷ng tµi liÖu kh¸c cã liªn quan . Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa 18
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng