Tài liệu Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp thcs
- Số trang: 18 |
- Loại file: DOC |
- Lượt xem: 99 |
- Lượt tải: 0
tranvanhung
Tham gia: 20/02/2016
Mô tả:
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
môc lôc
a . më ®Çu................................................................................................
1/ LÝ do chän ®Ò tµi .....................................................................................
2/ Môc ®Ých nghiªn cøu ®Ò tµi ...................................................................
3/ Ph¹m vi nghiªn cøu...............................................................................
4/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu........................................................................
b . Néi dung ®Ò tµi..............................................................................
1/ C¬ së lý luËn............................................................................................
2/ T×nh h×nh thùc tiÔn.................................................................................
3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh.....................................................
3.1 Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ...............................................................
3.2 Ph¬ng ph¸p chung..............................................................................
3.3 ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n......................................
a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ............................................................
b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ pt chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ..............
c. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô .......................................................................
d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ...............................................
e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ..................................................
g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc...................................................................
h.Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè..................................
i. Ph¬ng ph¸p sö dông dÊu “ = ” ë B§Tkh«ng chÆt .............................
k. Mét sè PP kh¸c.......................................................................................
4/ KÕt qu¶.....................................................................................................
c . kÕt luËn ...........................................................................................
d - tµi liÖu tham kh¶o ...................................................................
1. LÝ do chän ®Ò tµi :
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 4
Trang 4
Trang 5
Trang 5
Trang 5
Trang 5
Trang 5
Trang 8
Trang 10
Trang 13
Trang 16
Trang 18
Trang 20
Trang 21
Trang 23
Trang 24
Trang 26
Trang 27
a. më ®Çu .
To¸n häc lµ m«n häc cã øng dông trong hÇu hÕt trong tÊt c¶ c¸c ngµnh
khoa häc tù nhiªn còng nh trong c¸c lÜnh vùc kh¸c cña ®êi sèng x· héi.
V× vËy to¸n häc cã vÞ trÝ ®Æc biÖt trong viÖc ph¸t triÓn vµ n©ng cao d©n
trÝ .To¸n häc kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh (ngêi häc )nh÷ng kiÕn thøc c¬
b¶n,nh÷ng kÜ n¨ng tÝnh to¸n cÇn thiÕt mµ cßn lµ ®iÒu kiÖn chñ yÕu rÌn luyÖn kÜ
n¨ng t duy logic,mét ph¬ng ph¸p luËn khoa häc .
Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi tËp
to¸n ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i chän läc hÖ thèng, sö dông ®óng ph¬ng ph¸p d¹y
häc gãp phÇn h×nh thµnh vµ vµ ph¸t triÓn t duy cña häc sinh .§ång thêi th«ng qua
viÖc häc to¸n häc sinh ®îc båi dìng vµ rÌn luyÖn vÒ phÈm chÊt ®¹o ®øc, c¸c thao
t¸c t duy ®Ó gi¶i bµi tËp to¸n , ®Æc biÖt lµ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ .
HiÖn nay ngay tõ líp 7 häc sinh ®îc hoµn thiÖn viÖc më réng tËp sè h÷u tØ
Q thµnh tËp sè thùc R .Trong khi ®ã gi¸o viªn khi d¹y ph¬ng tr×nh v« tØ th× Ýt khai
th¸c ph©n tÝch ®Ò bµi , më réng bµi to¸n míi, dÉn ®Õn häc sinh khi gÆp bµi to¸n
vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ lóng tóng hoÆc cha biÕt c¸ch gi¶i hoÆc gi¶i ®îc nhng
cha chÆt chÏ mµ cßn m¾c nhiÒu sai lÇm vÒ t×m tËp x¸c ®Þnh, khi n©ng lªn luü
thõa, ®a biÓu thøc ra ngoµi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi .
V× vËy ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy cho häc sinh th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng
tr×nh v« tØ lµ cÇn thiÕt cho nªn t«i xin ®îc tr×nh bµy mét phÇn nhá ®Ó kh¾c phôc
t×nh tr¹ng trªn vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng häc m«n
to¸n cña häc sinh ë trêng THCS.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu cña ®Ò tµi
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
1
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
- Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh»m n©ng cao
n¨ng lùc häc m«n to¸n,gióp c¸c em tiÕp thu bµi mét c¸ch chñ ®éng s¸ng t¹o vµ lµ
c«ng cô gi¶i quyÕt nh÷ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh v« tØ.
- G©y ®îc høng thó cho häc sinh khi lµm bµi tËp trong SGK , s¸ch tham kh¶o
gióp häc sinh gi¶i ®îc mét sè bµi tËp .
- Gi¶i ®¸p ®îc nh÷ng th¾c m¾c, s÷a ch÷a ®îc nh÷ng sai lÇm hay gÆp khi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ trong qu¸ tr×nh d¹y häc .
- Gióp häc sinh n¾m v÷ng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ ¸p
dông thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ®ã ®Ó gi¶i bµi tËp .
Th«ng qua viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ gióp häc sinh thÊy râ môc ®Ých cña
viÖc häc to¸n vµ häc tèt h¬n c¸c bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ .§ång thêi gãp phÇn
n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc .
3. Ph¹m vi nghiªn cøu- §èi tîng nghiªn cøu :
Ph¸t triÓn n¨ng lùc, t duy cña häc sinh th«ng qua c¸c bµi to¸n gi¶i ph¬ng
tr×nh v« tØ ®èi víi häc sinh THCS.
§Ò tµi ¸p dông ®èi víi häc sinh THCS chñ yÕu lµ häc sinh khèi 9 trong c¸c
giê luyÖn tËp ,«n tËp cuèi k× ,cuèi n¨m vµ cho c¸c k× thi ë trêng ,thi vµo cÊp 3.
4. C¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ tiÕn hµnh :
4.1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu :
Tham kh¶o thu thËp tµi liÖu
Ph©n tÝch,tæng kÕt kinh nghiÖm .
KiÓm tra kÕt qu¶ chÊt lîng häc sinh .
4.2.Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh :
Th«ng qua c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ®a ra ph¬ng ph¸p gi¶i vµ kh¾c
phôc nh÷ng sai lÇm hay gÆp , c¸c d¹ng bµi tËp tù gi¶i .
b- néi dung ®Ò tµi
1/ C¬ së lý luËn:
Trong ®Ò tµi ®îc ®a ra mét sè ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n phï hîp víi tr×nh ®é
cña häc sinh THCS.
Trang bÞ cho häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n ¸p dông
®Ó lµm bµi tËp .
Rót ra mét sè chó ý khi lµm tõngph¬ng ph¸p .
Chän läc mét sè bµi tËp hay gÆp phï hîp cho tõng ph¬ng ph¸p gi¶i , c¸ch
biÕn ®æi.
VËn dông gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh v« tØ .
T«i hi väng ®Ò tµi nµy sÏ gióp Ých cho häc sinh ë trêng THCS trong viÖc
häc vµ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. Qua ®ã c¸c em cã ph¬ng ph¸p gi¶i ®óng, tr¸nh ®îc
t×nh tr¹ng ®Þnh híng gi¶i bµi to¸n sai hoÆc cßn lóng tóng trong viÖc tr×nh bµy lêi
gi¶i, gióp häc sinh lµm viÖc tÝch cùc h¬n ®¹t kÕt qu¶ cao trong kiÓm tra.
2/ T×nh h×nh thùc tÕ
2.1. KÕt qu¶:
Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t, kiÓm tra tríc khi ¸p dông ®Ò tµi víi 40 häc sinh t«i
thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh sau:
§iÓm díi 5
SL
%
§iÓm 5 - 6
SL
%
§iÓm 7 - 8
SL
%
§iÓm 9 - 10
SL
%
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
2
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
20
50%
14
35%
5
12,5% 1
2,5%
2.2. Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn:
§©y lµ d¹ng to¸n t¬ng ®èi míi l¹ vµ khã víi häc sinh, häc sinh cha ®îc
trang bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i , nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu khi kh«ng
cã lèi tho¸t dÉn ®Õn kÕt qu¶ rÊt thÊp vµ ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh c¸c
em cµng khã gi¶i quyÕt.
3/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh
3.1. Kh¸i niÖm ph¬ng tr×nh v« tØ
3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .
3.1.2. C¸c vÝ dô :
a)
b)
c)
d)
x 1 1
3x 7
x 2 x 1 =3
x x 3
x3 x 1
3
x2 1
x 1 2
3
3
x2 1
x 1
4
3. 2.Ph¬ng ph¸p chung :
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n .
Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh .
- BiÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· häc.
- Gi¶i ph¬ng tr×nh võa t×m ®îc .
- So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm .
3.3. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n:
a. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph¬ng hoÆc lËp ph¬ng hai
vÕ ph¬ng tr×nh ):
a.1. C¸c vÝ dô :
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x) g ( x)
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 1 x 1 (1)
§KX§ : x+1 0 x -1
Víi x -1 th× vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×
x-1 0 x 1.Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh :
x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0
VÝ dô 1:
x(x-3) = 0
x 0
x 3
ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =3 .
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 1 13
x 1 13 x (1)
x 1 0
§KX§ :
13 x 0
x 1
x 13
1 x 13 (2)
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
3
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc :
x 1 (13 x ) 2
x 2 27 x 170 0
Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm x1 10 vµ x 2 17 .ChØ cã
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 10
x1 10 tho·
m·n (2) .
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x) h( x) g ( x)
VÝ dô 3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 x 2 x 1
(1)
1 x 1 2 x
1 x 0
x 1
§KX§:
2 x 1
2 x 0
x 2
B×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc :
1 x 1 2 2 x 2 x
Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
x 2 x 1 0
1 5
tho· m·n (2)
2
1 5
x
2
3
x 1 3 7 x 2 (1)
x
VÝ dô 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
LËp ph¬ng tr×nh hai vÕ cña (1) ta ®îc:
x 1 7 x 33 ( x 1)(7 x). 2 8
(x-1) (7- x) = 0
x =-1
x =7 (®Òu tho¶ m·n (1 )).
VËy x 1; x 7 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng : f ( x) h( x)
Gi¶i ph¬ng tr×nh
x 1 - x 7 = 12 x
x 1 = 12 x + x 7 (1)
g ( x)
VÝ dô5:
x 10 x 1
§KX§: 12 x 0 x 12 1 x 12
x 7 0 x 7
B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc: x- 4 = 2 (12 x)( x 7) (3)
Ta thÊy hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ®Òu tho· m·n (2) v× vËy b×nh ph¬ng 2 vÕ cña
ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc :
(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
5x2 - 84x + 352 = 0
Ph¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = 44 vµ x2 = 8 ®Òu tho¶ m·n (2) .
5
VËy x1 =
44
5
vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
4
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
* Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng :
Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 1 +
VÝ dô 6:
x 1 0
x 10 0
§KX§ :
x 2 0
x 5 0
f ( x)
x 10
h( x )
=
x2
x 1
x 10
x 2
x 5
g (x )
+
+
x 5
q( x)
(1)
x ≥ -1 (2)
B×nh ph¬ng hai vÕ cña (1) ta ®îc :
x+1 + x+ 10 + 2 ( x 1)( x 10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x 2)( x 5)
(3)
2+ ( x 1)( x 10) = ( x 2)( x 5)
Víi x -1 th× hai vÕ cña (3) ®Òu d¬ng nªn b×nh ph¬ng hai vÕ cña (3) ta ®îc
( x 1)( x 10) = 1- x
§iÒu kiÖn ë ®©y lµ x -1 (4)
Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)
x 1
x 1
x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph¬ng tr×nh (1).
a.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ®îc sö dông vµo gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng
tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü
thõa bËc ch½n
Víi hai sè d¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ngîc l¹i (n= 1,2,3.....)
Tõ ®ã mµ chó ý ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¨n, ®iÒu kiÖn ë c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh
®ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm, chñ quan khi sö dông ph¬ng
ph¸p nµy.
Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu
ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau .
a.3. Bµi tËp ¸p dông:
1. x 2 4 = x- 2
2. 1 x x 4 = x+ 1
3. 1 x + 4 x =3
4. 3 x 45 - 3 x 16 =1
5. 1 x = 6 x - (2 x 5)
6. 3 x 1 + 3 x 2 = 3 2 x 3
7. x + x y = x 1 + x 4
b. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :
b.1. C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
9 x 2 24 x 16 x 4 (1)
2
§KX§:
9 x2 24 x 16 0
x 4 0
Ph¬ng tr×nh (1)
3x 4
= -x + 4
(3x 4)2 0x
x 4
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
x≤4
5
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
3x 4 x 4
3x 4 x 4
x 2
x 0
Víi x= 2 hoÆc x = 0 ®Òu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (®Òu tho¶ m·n x 4 ).
VÝ dô 2 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x 2 4 x 4 + x 2 8 x 16 = 5
§KX§: x R
Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng : x 2 + x 4 = 5
LËp b¶ng xÐt dÊu :
x
2
4
x- 2
0
+
+
x- 4
0
+
Ta xÐt c¸c kho¶ng :
+ Khi x < 2 ta cã (2) 6-2x =5
x = 0,5(tho¶ m·n x 2)
+ Khi 2 x 4 ta cã (2) 0x + 2 =5 v« nghiÖm
+ Khi x > 4 ta cã (2) 2x – 6 =5
x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 )
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0,5 vµ x = 5,5
VÝ dô 3 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 4 x 13 +
x 6 x 1 8 = 1
§KX§: x 1
Ph¬ng tr×nh ®îc viÕt l¹i lµ :
( x 1) 4 x 1 4 +
( x 1) 6 x 1 9 = 1
+ ( x 1 3) = 1
x 1 2 +
x 1 3 =1 (1)
- NÕu 1 x < 5 ta cã (1) 2- x 1 + 3 - x 1 = 1
x 1 =2 x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt
- NÕu 5 x 10 th× (1) 0x = 0 Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
- NÕu x> 10 th× (1) -5 = 1 ph¬ng trinh v« nghiÖm
VËy ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5 x 10
b.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®îc sö
dông gi¶i mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh trªn song trong thùc tÕ cÇn
lu ý cho häc sinh :
-¸p dông h»ng ®¼ng thøc A 2 = A
( x 1 2) 2
2
- Häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña
Èn nªn gi¸o viªn cÇn lu ý ®Ó häc sinh tr¸nh sai lÇm .
b.3. Bµi tËp ¸p dông :
1. x 2 6 x 9 + x 2 10 x 25 = 8
2. x 2 2 x 1 + x 2 4 x 4 = x 2 4 x 4
3. x 3 4 x 1 + x 8 6 x 1 = 5
4. x 3 3 2 x 5 + x 2 2 x 5 = 2 2
c.Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
c..1. C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2x2 + 3x + 2 x 2 3x 9 =33
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
6
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
§KX§ : x R
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2 3x 9 - 42= 0 (1)
§Æt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chó ý r»ng häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng ®Æt
®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y)
Ta ®îc ph¬ng tr×nh míi : y2 + y – 42 = 0
y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0
Tõ ®ã ta cã 2 x 2 3x 9 =6 2x2 + 3x -27 = 0
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = - 9
2
C¶ hai nghiÖm nµy chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x + 4 x = 12
§KX§ : x o
2
4
§Æt
x = y 0 x = y ta cã ph¬ng tr×nh míi
y2 + y -12 = 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i)
4 x = 3 x = 81 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 + 3 x - ( x 1)(3 x ) = 2 (1)
§KX§ :
§Æt
x 1 0
3 x 0
x 1
( x 1)(3 x )
+
=
3 x
2
t 4
2
x 1
x 3
-1 ≤ x ≤ 3
= t 0 t2 = 4 + 2
( x 1)(3 x )
(2) .thay vµo (2) ta ®îc
t 0
t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0
t 2
+ Víi t = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã : ( x 1)(3 x) = 0 x1 = -1; x2 = 3 (tho¶
m·n)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x1 = -1vµ x2 = 3
VÝ dô 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
5 x 3 1 = 2( x2 + 2)
Ta cã x 3 1 = x 1 x 2 x 1
§Æt x 1 = a 0 ; x 2 x 1 = b 0 vµ a2 + b2 = x2 + 2
Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt lµ
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0
2a b 0
a 2b 0
+ Trêng hîp: 2a = b
2 x 1 = x2 x 1
4x + 4 = x2 – x +1
x2 – 5x -3 = 0
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 =
5
37
2
; x2 =
+ Trêng hîp: a = 2b
x 1 = 2 x2 x 1
x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
5 37
2
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
7
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
4x2 -5x + 3 = 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x=
5 37
2
vµ x=
5
37
2
VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 + 2 (x+1) = x- 1 + 1 x + 3
§Æt x 1 = u 0 vµ 1 x = t 0
§KX§: -1 x 1 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh.
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
(u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
(u-t)(2u – t +1 ) = 0
u t
2u 1 t
x 1 1 x
2 x 1 1 1 x
1 x2
(1)
x 0
24
x
25
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1 x 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
x 3
VÝ dô 6:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 x 1 +
x2 x 1 =
2
§KX§ : x 1
§Æt x 1 = t 0 x = t2 + 1 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh
(t 1) 2
+
t 1
(t 1) 2
+
t 1
t 2 4t 4 0
t 2 0
=
=
t2 4
2
2
t 4
2
(t 1)
t 2
t 0
x 5
x 1
§kX§: x≥
1
VËy phu¬ng ®· cho cã nghiÖm x= 1vµ x= 5
c.2. NhËn xÐt :
Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn nh»m lµm cho ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u
tØ .Song ®Ó vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ph¶i cã nh÷ng nhËn xÐt,®¸nh gi¸ t×m tßi híng gi¶i quyÕt c¸ch ®Æt Èn nh thÕ nµo cho phï hîp nh :
§Æt Èn phô ®Ó ®îc ph¬ng tr×nh míi chøa Èn phô (Vd 3-1,3-2,3-3)
§Æt Èn phô ®Ó ®a vÒ mét biÓu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bµi tËp ¸p dông:
1/ x2 – 5 + x 2 6 = 7
2/ x
3/
4/
3
1
x
x2
3
- 2x
-3
x 8
3
x
= 20
=20
= 2x2 – 6x +4
3
x
5/ x 6 x 9 + x 6 x 9 = x 23
6
d. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch :
d.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 10 x 21 = 3
x 3
+2
x7
- 6 (1)
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
8
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
§KX§ : x -3
Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng :
-3
x 3 (
( x 3)( x 7)
(
x7
+6 = 0
x 7 3) -2( x 7 3) ) =3
3) ( x 3 2 ) =0
x 3
+2
x 7 3 0
x 3 2 0
x7
x 7 9
x 3 4
x 2
x 1
§KX§.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1; x = 2
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 1 x + x 2 =1
§KX§ : x -2
§Æt x 2 = t 0 Khi dã 3 1 x = 3 3 t 2
Ph¬ng tr×nh (1) 3 3 t 2 + t = 1
3 3 t 2 = 1- t
3- t3 = (1-t) 3
t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
(t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x=2 ; x= 1 + 2 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(4x-1) x 2 1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)
§Æt x 2 1 =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x = 0 ; x = 4 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô4:
3
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( 1 x 1 )( 1 x 1 ) = 2x
§KX§: -1 x 1 (1)
®Æt 1 x = u (0 u 2 )
suy ra x = u2 -1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh :
(u -1 ) ( 2 u 2 1) = 2 ( u2 -1)
(u -1 ){ ( 2 u 2 1) - 2 (u+1)} = 0
(u-1) ( 2 u 2 2u 1) = 0
u 1 0
2 u 2u 1 0
u-1 = 0 u =1 ( tho¶ m·n u 0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1)
2 u 2 2u 1 = 0
2 u 2 = 2u + 1
2
(+)
(+)
2u 1 0
2
2 u (2u 1)
(tho¶ m·n v× u 0 )
5u2 + 4u - 1 = 0
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
9
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
u1 1 0(loai)
1
u2 5
nªn cã x = u22 -1 = ( 1 )2 – 1 =
5
24
25
tho· m·n ®iÒu kiÖn (1)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 24 .
25
d.2.NhËn xÐt :
Khi sö dông ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ
ta cÇn chó ý c¸c bíc sau .
+ T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh .
+ Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè , ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) g(x) ….= 0 (gäi
lµ ph¬ng tr×nh tÝch) . Tõ ®ã ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; ….. lµ nh÷ng ph ¬ng
tr×nh quen thuéc.
+ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh f(x) = 0
g( x) = 0 ;….. thuéc tËp x¸c ®Þnh .
+ BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nh nhãm
c¸c sè h¹ng,t¸ch c¸c sè h¹ng hoÆc ®Æt Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn
®a vÒ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i .
d.3.Bµi tËp ¸p dông:
1. x 3 7 x 6 = 0
2. x 2 x 2 - 2 x 2 x 2 = x 1
3. x(x+5) = 2 3 x 2 5 x 2 2
4. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3 3x 2 3x 2
e. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh :
e.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
25 x 2 - 15 x 2 =2
§KX§: 0 x2 15
§Æt: 25 x 2 = a (a 0) (* )
15 x 2 = b ( b 0) ( ** )
Tõ ph¬ng tr×nh ®· cho chuyÓn vÒ hÖ ph¬ng tr×nh :
a b 2
(a b)(a b) 2(a b)
a b 0
a b 2
a b 5
Thay vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 =
49
4
x2 =
51
2
(5 x) 5 x ( x 3) x 3
§kX§ ) . VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x =
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
5 x
7
a 2
b 3
2
x 3
51
4
x=
51
2
(
.
=2
(1)
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
10
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
§KX§ : 3 x 5
§Æt
5 x u(u 0)
x 3 t (t 0)
Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh :
u 2 t 2 2
2
u ut t 2 2
ut = 0
VÝ dô3:
u 0
t 0
x 3
(thâa m·n ®iÒu kiÖn )
x 5
VËy ph¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5.
3
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 x + x 1 = 1
§KX§: x 1
§Æt
3 2 x u
x 1 t (t 0)
Khi ®ã ta cã u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nªn u3 + t3 = 1
Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc ®a vÒ hÖ:
u t 1(1)
3 3
u t 1(2)
Tõ ph¬ng tr×nh (1) u = 1 – t .Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã :
( 1 – t )3 + t2 = 1
t( t2 - 4t + 3 = 0
t 0
2
t 4t 3 0
t 0
t 1
t 3
Tõ ®ã ta ®îc x= 3; x =2 ; x = 10 (§KX§ x 1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
®· cho .
3
VÝ dô 4:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( x 1) 2 + 3 ( x 1) 2 + 3 x 2 1 = 1
§Æt: 3 x 1 = a ; 3 x 1 = b nªn ta cã:
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
11
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
ab =
3
a2 = 3 ( x 1) 2
b2 = 3 ( x 1) 2
2
2
x 2 1 . Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a + b + ab = 1 ( 1)
a3 x 1
3
b x 1
Ta ®îc ph¬ng tr×nh : a3 – b3 = 2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh :
a 2 b2 ab 1
3 3
a b 2
Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta ®îc :
(a -1 )2 = 0 a =1
Tõ ®ã ta ®îc x = 0
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 0
e.2.NhËn xÐt :
Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm
s¸ng t¹o vµ ®Æc thï riªng, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy h¬n do ®ã ph¬ng ph¸p
nµy ®îc ¸p dông cho häc sinh kh¸ , giái .Ta cÇn chó ýmét sè ®iÓm sau:
+ T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung .
+ §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
quen thuéc .
Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c
nh ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô , ph¬ng ph¸p sö dông h»ng ®¼ng thøc.
e.3.Bµi tËp ¸p dông:
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :
1.
1
x
+
1
2 x2
=2
2. 2 3 2 x 1 = x3+ 1
3. 3 1 x + 3 1 x =1
4. 3 x 1 + 3 x 21 = 3 2 x 3
5. 4 4 x = x
g. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc :
g.1. Ph¬ng ph¸p chøng tá tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ lµ rêi nhau , khi ®ã ph¬ng
tr×nh v« nghiÖm .
g.1.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 - 5 x 1 = 3 x 2 (1)
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
12
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
§KX§:
x 1 0
5 x 1 0
3x 2 0
x 1
1
x
5
2
x 3
Víi x 1 th× x < 5x do ®ã x 1 < 5 x 1
Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m .
VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm .
VÝ dô2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 6 x 11 + x 2 6 x 13 + 4 x 2 4 x 5 = 3 + 2
( x 3) 2 + ( x 3) 4 + 4 ( x 2) 2 1 = 3 + 2 (*)
Mµ ( x 3) 2 + ( x 3) 4 + 4 ( x 2) 2 1 2 + 4 + 1 = 3 + 2
VÕ ph¶i cña ph¬ng tr×nh ®· cho lín h¬n vÕ tr¸i .
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .
g.1.2.Bµi tËp ¸p dông:
1. x 1 - x 1 = 2
2. x 2 6 = x - 2 x 2 1
3. 6 x + x 2 = x2 - 6x +13
g.2. Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ :
g.2.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 2 6 x 7 + 5 x 2 10 x 14 = 4 – 2x – x2 (1)
Ta cã vÕ tr¸i cña (1)
3 x 2 6 x 7 + 5 x 2 10 x 14 = 3( x 1) 4 + 5( x 1) 9 4 + 9 = 5
VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
VËy hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 .Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = -1
VÝ dô2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 4 + 6 x = x2 -10x + 27 (1)
§KX§: 4 x 6
XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1)
2
2
2
2
2
2
)2 ( ( x 1 ) (
2
V× vËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ :
(
x 4
2
6 x
6 4)2
=1 hay
x 4
+
6 x
2
x 2 10 x 27 2(*)
x 4 6 x 2(**)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**)
VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
g.2.2. Bµi tËp ¸p dông :
1. 3x 2 12 x 16 + y 4 y 13 = 5
2. 3x 2 6 x 12 + 5 x 2 10 x 9 = 3-4x -2x2
3. x 2 3x 3,5 = ( x 2 x 2)( x 4 x 4)
h. Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè :
2
2
2
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
13
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
h.1.C¸c vÝ dô :
3
VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
x 2 + x 1 = 3 (1)
§KX§: x 1
Ta thÊy x =3 lµ nghiÖm ®óng víi ph¬ng tr×nh (1)
Víi x > 3 th× 3 x 2 > 1 , x 1 > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3.
Víi x< 3 vµ x -1 -1 x 3 th× 3 x 2 < 1, x 1 < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1)
nhá h¬n 3.
VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh :
5
x 2 28 + 2 3 x 2 23 + x 1 + x = 2 + 9 (1)
x 1 0
§KX§:
x 1
x 0
Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1)
h2.NhËn xÐt :
Khi gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i thêng ta sö dông
ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ,thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng .Råi t×m c¸ch
chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c .
h.3.Bµi tËp ¸p dông :
1. 3 x 2 26 + 3 x + x 3 = 8
2. 2 x 2 1 + x 2 3x 2 = 2 x 2 2 x 3 + x 2 x 1
i. Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu “ =” ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt
i.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1
y 1995 +
(x+y+z)
x 2 +
z 1996 =
2
§KX§ : x 2; y -1995; z 1996
Ph¬ng tr×nh (1) x+y+z = 2 x 2 + 2 y 1995 + 2 z 1996
( x 2 1) 2 + ( y 1995 1) + ( z 1996 1) 2 = 0
2
x 2 1
x 3
y 1995 1
y 1994 ( tho· m·n §KX§ ).
z 1997
z 1996 1
Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
2
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 x 6 x 7 + 5 x 10 x 14 = 4 – 2x – x
3( x 1) 4 + 5( x 1) 9 = 5 – (x+1)2 (*)
VÕ tr¸i cña (*)
3( x 1) 4 + 5( x 1) 9 2 + 3 = 5
VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2 5
V× thÕ ph¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña
ph¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5 x+ 1 = 0 x = -1
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =-1
2
2
2
2
2
2
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
14
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
VÝ dô3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x
4x 1
+
4x 1
x
=2 (1)
§KX§: x> 1
4
¸p dông bÊt ®¼ng thøc a b 2 víi a,b > 0
b a
x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b
DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= 4 x 1 x2 - 4x +1 = 0 (do x>
1
4
)
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x= 2 3 (tho¶ m·n §KX§).
VËy x= 2 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
i.2. NhËn xÐt :
Khi sö dông ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó
ý c¸c bíc sau :
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x) a , g(x) a
(a lµ h»ng sè )
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi
f(x) =a vµ g(x) = a
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè ) mµ ta lu«n cã h(x)
m hoÆc h (x) m th× nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu
®¼ng thøc x¶y ra.
+ ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc : C«si, Bunhiacopxki
i.3. Bµi tËp ¸p dông:
1. 2 x 2 8 x 12 = 3 - 4 3x 2 12 x 13
2. x 2 + 10 x = x2 -12x + 40
3. 19 x 1 + 5 x 1 + 95 x 3 x 2 = 3
4
2
4. x 2 6 x 15 =
x 6 x 11
2
6
2
x 2 6 x 18
k. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c :
k.1.Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ :
VÝ dô1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè :
y = x 1 + x 1 5 x 18
y, =
+
x 1
3 x 9
x 1
5 x
18 3 x 9 (1)
trªn tËp x¸c ®Þnh 1;5 ta cã:
1
1
1
3
2 x 1 2 x 1 2 5 x 2 18 3x
> 0 víi mäi x
1;5
Do hµm sè y liªn tôc vµ ®ång biÕn trªn 1;5 nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ y(1); y(5)
hay 2 2 15;2 6 3` . Suy ra y min =
2 2 15
vµ
ymax = 2 +
6
3 víi mäi x 1;5
§Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min 9 ymax nhng ®iÒu nµy kh«ng
x¶y ra v×
y min = 2 2 15 < 9 vµ ymax = 2 + 6 3 < 9
Do ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x 1;5 ®Ó y(xi) = 9
k.2.Ph¬ng ph¸p hµm sè:
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
15
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
VÝ dô 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
Ta cã: (1)
x3 +1 = 2 3
2x 1
x3 1 3
2x 1
2
§Æt y =
hµm sè cã ®¹o hµm y, =
nªn ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc trong R.
x
3
(1)
1
2
3x 2
2
0 víi mäi x
3
y =
x 1 cã hµm ngîc y =
2
x=
x
3
2x 1
(v× y =
x
3
1
2
2x 1 )
3
Do ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
tr×nh
3
1
2
=x
x3 1 3
2x 1
2
x3 -2x + 1 = 0
còng lµ nghiÖm cña ph¬ng
x = 1 hoÆc x =
1 5 .
2
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x = 1
2
5 .
k.3. NhËn xÐt:
Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn
thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc
THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m
c¸ch ®a vÒ nh÷ng ph¬ng ph¸p quen thuéc ®Ó d¹y häc sinh THCS .
Ch¼ng h¹n nh vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh nh sau:
x3 + 1 = 2 3
2x 1
§Æt t = 2 x 1 2x -1 = t3
Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t
2x -1 = t3
x3 – t3 + 2 (x-t) = 0
x1 =1 ; x2,3 =
.
3
4/ KÕt qu¶.
1 5
2
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
16
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
4.1/ NhËn xÐt:
Trªn ®©y t«i giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v«
tØ, kÕt qu¶ thu ®îc râ rµng ®· cã thÓ vËn trong nhiÒu d¹ng to¸n, vµ øng dông cña
c¸c bµi to¸n nµy kh«ng ph¶i lµ Ýt. NÕu nh rÌn luyÖn cho häc sinh d¹ng to¸n nµy
th× chóng ta ®· trang bÞ cho c¸c em lîng kiÕn thøc kh«ng ph¶i lµ nhá. Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cña chóng ta cßn rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p n÷a. Trªn ®©y t«i
chØ tr×nh bµy mét sè ph¬ng ph¸p th«ng dông trong ch¬ng tr×nh trung häc c¬ së.
Tuy nhiªn víi d¹ng to¸n nµy th× kh«ng ph¶i ®èi tîng nµo còng tiÕp thu mét c¸ch
dÔ dµng, v× vËy gi¸o viªn ph¶i khÐo lÐo lång vµo c¸c tiÕt d¹y nh»m thu hót vµ
ph¸t huy sù s¸ng t¹o cho häc sinh. §©y lµ mét vÊn ®Ò hoµn toµn míi mÎ vµ hÕt
søc khã kh¨n cho häc sinh ë møc trung b×nh, gi¸o viªn nªn cho c¸c em lµm quen
dÇn. D¹ng to¸n nµy cã t¸c dông t¬ng hç, cao dÇn tõ nh÷ng kiÕn thøc rÊt c¬ b¶n
trong s¸ch gi¸o khoa, gióp häc sinh kh¾c s©u kiÕn thøc biÕt t duy s¸ng t¹o, biÕt
t×m c¸ch gi¶i d¹ng to¸n míi, tËp trung “S¸ng t¹o” ra c¸c vÊn ®Ò míi.
4.2. KÕt qu¶ sau khi ¸p dông ®Ò tµi
Sau khi ¸p dông ®Ò tµi t«i thÊy r»ng chÊt lîng qua kiÓm tra ®· ®îc n©ng lªn
®¸ng kÓ, ®Æc biÖt lµ ®èi tîng HS trung b×nh chÊt lîng ®îc n©ng lªn râ rÖt.
§iÓm díi 5
§iÓm 5 - 6
§iÓm 7 - 8
§iÓm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
12,5% 20
50%
10
25%
5
12,5%
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
17
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường phổ thông cấp THCS
c- kÕt luËn :
Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ mµ t«i ®· ¸p dông
gi¶ng d¹y trªn thùc tÕ hiÖn nay ë trêng THCS cho häc sinh ®¹i trµ còng nh trong
qu¸ tr×nh «n luyÖn , båi dìng häc sinh giái .T«i cïng c¸c ®ång nghiÖp ®· thu ®îc
kÕt qu¶ sau :
+ Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh dÔ hiÓu h¬n, høng thó tÝch cùc trong häc tËp vµ
yªu thÝch bé m«n to¸n .
+ Häc sinh tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt c¬ b¶n, vµ cã kÜ n¨ng vËn dông thµnh th¹o
còng nh ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc cña häc sinh .
Tuy nhiªn ®Ó ®¹t ®îc kÕt qu¶ nh mong muèn , ®ßi hái ngêi gi¸o viªn cÇn
hÖ thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò
®Õn kiÕn thøc míi tõ cô thÓ ®Õn tæng qu¸t, tõ dÔ ®Õn khã vµ phøc t¹p ,phï hîp víi
tr×nh ®é nhËn thøc cña häc sinh .
Ngêi thÇy cÇn ph¸t huy chó träng tÝnh chñ ®éng tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cña
häc sinh tõ ®ã c¸c em cã nh×n nhËn bao qu¸t, toµn diÖn vµ ®Þnh híng gi¶i to¸n
®óng ®¾n. Lµm ®îc nh vËy lµ chóng ta ®· gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc
trong nhµ trêng.
Trong ®Ò tµi nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ nhÊt ®Þnh
.VËy t«i rÊt mong ®îc sù gióp ®ì còng nh nh÷ng gãp ý cña c¸c thÇy ,c« gi¸o cho
t«i ®Ó t«i rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nh÷ng n¨m häc sau.
§Ó hoµn thµnh ®Ò tµi nµy ngoµi viÖc tù nghiªn cøu tµi liÖu, qua thùc tÕ
gi¶ng d¹y t«i cßn nhËn ®îc sù gióp ®ì cña c¸c ®ång nghiÖp ,c¸c thÇy c« gi¸o
trong tæ to¸n trêng §HSP Hµ Néi I ,®Æc biÖt lµ sù gióp ®ì tËn t×nh cña thÇy gi¸o
Lª Anh Dòng trùc tiÕp híng dÉn t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
Ngêi thùc hiÖn:
D. tµi liÖu tham kh¶o
-
Ph¹m §×nh S¬n
SGK To¸n 7-Nhµ xuÊt b¶n GD 2003
SGK §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD
Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn §¹i sè 9-Nhµ xuÊt b¶n GD 2001
To¸n båi dìng §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002
To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò §¹i sè 9- Nhµ xuÊt b¶n GD 1995
§Ó häc tèt §¹i sè 9 - Nhµ xuÊt b¶n GD 1999
Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc - Nhµ xuÊt b¶n GD 2002.
23 chuyªn ®Ò bµi to¸n s¬ cÊp - Nhµ xuÊt b¶n trÎ 2000.
Nh÷ng ®Ò thi vµ nh÷ng tµi liÖu kh¸c cã liªn quan .
Ph¹m §×nh S¬n - Trêng THCS ThiÖu Phó -ThiÖu Hãa
18
- Xem thêm -