Tài liệu Skkn một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai trong chương trình toán lớp 9

I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI: Với chủ đề năm học tiếp tục đổi mới quản lí và nâng cao chất lượng giáo dục. Mỗi giáo viên nói chung và giáo viên dạy bộ môn toán nói riêng luôn tự học hỏi, nghiên cứu, tìm tòi nhằm nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng chuyên môn. Do đó phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. Bộ môn Toán đòi hỏi học sinh phải tích cực, tự giác, sáng tạo trong học tập, tư duy. Xuất phát từ những suy nghĩ trên. Trong quá trình giảng dạy tôi đã luôn tìm tòi, nghiên cứu “Một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai trong chương trình toán lớp 9”. Nghiên cứu trên được tiến hành trên hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 20 học sinh ngẫu nhiên, một nhóm đối chứng và một nhóm thực nghiệm. Kết quả cho thấy nhóm thực nghiệm cho kết quả học tập cao hơn nhóm đối chứng. Điều đó chứng tỏ những “giải pháp” đó phần nào giúp các em hạn chế được sai sót khi giải toán về căn bậc hai đồng thời sẽ giúp các em nắm kiến thức chắc chắn hơn và có kết quả cao hơn trong quá trình học tập. II. GIỚI THIỆU: 1. Hiện trạng: Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán 9 nói chung và Đại số 9 nói riêng tôi nhận thấy rằng ngay trong chương I “Căn bậc hai. Căn bậc ba” Đại số 9 khi kết thúc bài 1 giảng của mình mặc dù học sinh đã hiểu bài và cơ bản hầu hết các em đã làm được bài. Tuy nhiên việc nắm kiến thưc của một số không nhỏ các em còn mang tính chất hời hợt, chưa sâu theo kiểu “học trước quên sau” thậm chí các em còn mắc nhiều sai sót khi vận dụng kiến thức vào giải một số dạng toán về căn bậc hai. Nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy cũng như để giúp các em hạn chế được những sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai trong đề tài này tôi đưa ra “một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai”. 2. Giải pháp thay thế: Nhằm đảm bảo được kiến thức cơ bản từ đó nâng cao được năng lực học Toán của học sinh. Giáo viên giúp học sinh thấy được những lỗi sai mà các em thường hay mắc phải khi giải một số dạng toán về căn bậc hai. Giúp các em tìm ra được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và có giải pháp để khắc phục. Trước hết trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú ý và thu thập và nghiên cứu những sai sót mà học sinh hay mắc phải qua việc so sánh quá trình giải toán giữa các lớp, giữa các em học sinh từ đó tôi ghi lại những sai sót đó để khắc phục cho học sinh thậm chí cả học sinh những năm tiếp theo. Giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức đã học. Thu thập, thống kê lại một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải từ đó khi đưa ra các bài toán giáo viên lường trước các sai lầm mà học sinh hay mắc. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành từng nhóm và lồng vào trong quá trình giảng dạy hay luyện tập đến dạng toán đó. 2 Khi học sinh mắc sai lầm thì giáo viên sẽ phân tích cho học sinh hiểu và nhận ra các sai lầm đó. Từ đó giáo viên định hướng và đưa ra các giải pháp để học sinh có thể tránh các sai lầm đó. 3. Vấn đề nghiên cứu Hạn chế được sai sót của học sinh và nâng cao chất lượng của học sinh khi giải Toán về căn bậc hai. 4. Giả thuyết nghiên cứu Giúp học sinh nâng cao kĩ năng phân tích bài toán và tìm được hướng giải đúng trong mỗi dạng Toán. Nhằm nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh. Phát huy sự đam mê yêu thích học môn Toán của học sinh. III. PHƯƠNG PHÁP 1. Khách thể nghiên cứu Tôi tiến hành nghiên cứu với đối tượng học sinh lớp 9 trường THCSTT Cát Bà. Tôi chọn hai nhóm học sinh tham gia nghiên cứu, mỗi nhóm là 20 học sinh ở hai lớp khác nhau. Các nhóm đều có điểm tương đương nhau về giới tính, dân tộc, và ý thức rèn luyện đạo đức. Học sinh tham gia nghiên cứu đa số các em đều ngoan, có ý thức tốt trong học tập và rèn luyện, đều được các bậc phụ huynh quan tâm đến quá trình học tập của con em mình. Giáo viên chủ nhiệm và giáo viên bộ môn quan tâm và sát sao đến tình hình học tập của các em. Bảng 1: Giới tính, thành phần dân tộc, thành tích học tập và đạo đức của học sinh lớp 9A2 và học sinh lớp 9A5 Trường THCS TT Cát Bà năm học 2012 - 2013. 3 Học lực Nhóm Số HS Dân tộc HS nữ G K Hạnh Tb kiểm I – Nhóm đối chứng 20 Kinh 10 5 10 5 Tốt II – Nhóm thực nghiệm 20 Kinh 10 5 10 5 Tốt 2. Thiết kế Với nhóm I là nhóm đối chứng, nhóm II là nhóm thực nghiệm. Tôi lấy kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm làm kết quả kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T.Tesh để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước khi tác động. Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương TBC Đối chứng Thực nghiệm 6,25 6,0 p= 0,3869 p = 0,3869 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa hai nhóm được coi là tương đương. 3. Quy trình nghiên cứu: a. Chuẩn bị bài của giáo viên Nhóm I – nhóm đối chứng: Thiết kế bài học không sử dụng các bài tập mà các em dễ mắc sai sót trong quá trình giải. 4 Nhóm II – nhóm thực nghiệm: Học sinh được nghiên cứu và giải một số dạng bài tập về căn bậc hai mà một số em dễ mắc sai sót trong quá trình giải trong mục củng cố kiến thức ở một số tiết học. Nghiên cứu, sưu tầm, lựa chọn những bài toán cơ bản, đặc trưng trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao, trên các website baigiangdientubachkim.com, nhungbaitoanhay.com.vn … b. Tiến hành thực nghiệm Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khoá biểu để đảm bảo tính khách quan. 4. Đo lường: a. Sử dụng công cụ đo, thang đo: Bài kiểm tra 45 phút của học sinh Sử dụng bài kiểm tra trước tác động: Bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm. Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi giáo viên đã áp dụng phương pháp và kĩ thuật mới trong dạy học (bài kiểm tra chương I - Đại số 9). * Tiến hành kiểm tra và chấm bài: Sau khi thực hiện dạy xong các bài học nêu trên, chúng tôi tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra thời gian 1 tiết. Sau đó chấm bài theo đáp án đã xây dựng. b. Kiểm chứng độ giá trị nội dung: Kiểm chứng độ giá trị nội dung của các bài kiểm tra bằng cách giáo viên trực tiếp giảng dạy sẽ chấm bài nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Nhận xét của giáo viên để kiểm chứng độ giá trị nội dung của dữ liệu: 5 Về nội dung đề bài: Đảm bảo chuẩn kiến thức, kĩ năng, phù hợp với trình độ của học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Đề bài phân hoá được đối tượng học sinh. Cấu trúc đề phù hợp: 8 câu trắc nghiệm (2 điểm), 4 câu tự luận (8 điểm) Đáp án, biểu điểm: rõ ràng, phù hợp. IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 1. Phân tích dữ liệu Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm Điểm trung bình 7,3 7,8 Độ lệch chuẩn 0,90 0,66 Giá trị P của T- test 0,00078 Chênh lệch giá trị TB chuẩn 0,778 (SMD) Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung phần nào được nâng lên. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P =0,000778 cho thấy: sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =(7,8 - 7,1): 0,90 = 0,778. Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có sử dụng Flash và video clip đến TBC học tập của nhóm thực nghiệm là rất lớn. 6 2. Bàn luận Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC = 7,8 kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 7,1. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 0,7; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp đối chứng. Phép kiểm chứng T- Test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.000778 < 0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động, nghiêng về nhóm thực nghiệm. * Hạn chế: Để giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải toán về căn bậc hai đòi hỏi giáo viên phải không ngừng nghiên cứu, sưu tầm các dạng toán. Học sinh phải tích cực tự học, tự nghiên cứu để giải nhiều dạng toán hơn. Bản thân các em phải thực sự cố gằng, có ý thức tự học tự rèn luyện, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập. V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận: Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9 khá rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính logíc, tính thực tiễn cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều; số tiết dành cho phần luyện tập ít. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I - Đại số 9 thì giáo viên cần phải nắm được những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này. 7 Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chương I - Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh. 2. Khuyến nghị: Với đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai” tô i đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường hay mắc phải một cách tổng quát nhất cùng với hướng khắc phục để giáo viên dễ dàng phát hiện ra những sai lầm của học sinh từ đó định hướng cho học sinh trong quá trình giảng dạy. Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn nên tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh: * Về phía giáo viên : - Giáo viên cần nghiên cứu kĩ chuẩn kiến thức kĩ năng, soạn giáo án cụ thể và chi tiết theo chuẩn kiến thức kĩ năng, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia. - Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên. - Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc. - Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học. 8 - Giáo viên phải dành thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh. * Về phía học sinh : - Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp. - Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý. - Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán. - Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi. Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau. Tôi xin chân thành cám ơn ! Cát Bà, ngày 25 tháng 12 năm 2012. Người viết Hoàng Thị Thu Hương 9 VI. PHỤ LỤC 1. PHỤ LỤC 1: ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG MA TRẬN KIỂM TRA ĐỊNH KÌ MÔN: ĐẠI SỐ 9- TIẾT 18 Mức độ nhận thức Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Phân tích, Tổng tổng hợp TNKQ TL TNKQ TL TNKQ Chuẩn hiểu TL TNKQ Chủ đề 1 Chuẩn biết Khái niệm -Biết căn bậc hai niệm căn bậc tính căn bậc hai -Vận dụng hằng khái -Hiểu được hai, căn bậc - Hiểu hằng hai số học -Biết TL Chuẩn vận Chuẩn phân dụng tích đẳng thức đẳng thức điều kiện để xđ căn thức bậc hai Số câu 1 Điểm 1 0,25 2 0,25 0,5 Chủ đề 2 Chuẩn biết Chuẩn hiểu Các phép - Biết các - Hiểu các phép dụng tích tính và các phép tính và tính và các - Vận dụng các - Tổng hợp các phép biến các phép biến phép biến đổi phép tính và các phép tính và đổi đơn giản đổi đơn giản về căn bậc Chuẩn vận Chuẩn phân đơn giản về căn phép biến đổi về căn bậc hai bậc hai hai các phép biến đơn giản về căn đổi đơn giản về bậc hai để làm căn bậc hai bài tập Số câu Điểm 1 1 0,25 3 0,25 3 0,75 10 1 7 9 1 9,25 Chủ đề 3 Chuẩn biết Chuẩn hiểu Chuẩn vận Chuẩn phân Căn bậc ba - Biết thế nào - Hiểu khái dụng tích là căn bậc ba niệm căn bậc - Tính được căn hba của một số bậc ba của một thực số được biểu diễn thành lập phương của một số khác Số câu 1 Điểm Tổng câu Tổng điểm 1 0,25 3 0,25 2 0,75 3 0,5 3 0,75 11 1 7 12 1 10 MÔN : ĐẠI SỐ 9 – TIẾT 18 Thời gian: 45 phút (không kể thời gian giao đề) I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN( 2 điểm) * Hãy chọn đáp án đúng: Câu 1: Căn bậc hai số học của 16 là: A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 C.  12 D. 12 C.- 0,2 D. 0,2 Câu 2: Căn bậc hai của 144 là: A. 12 B. - 12 Câu 3: Căn bậc ba của 0,008 là : A. 0,022 B. - 0,02 Câu 4: Giá trị của biểu thức: 63  37  60  4  A. 18 B. 10 C. 8 D. Một kết quả khác C. 9 D. 13 C. 25 D. Một kết quả khác Câu 5: Kết qủa của phép tính: 4 . 9  A. 4 B. 6 Câu 6: Kết qủa của phép tính: A. 5 75  3 B. - 5 Câu 7: Kết quả của phép khai căn A. 5 - x ( x  5) 2 là : B. x - 5 C. x 5 D. Một kết quả khác Câu 8: 1  2 x có nghĩa khi: A. x  1 2 B. x  1 C. x  1 2 2 D. x  1 2 II. TỰ LUẬN ( 8 điểm) Câu 9 (3đ): Rút gọn các biểu thức sau: a. 4 3 + 27 - 45 + 3 b. 12 3 5a  20a  4 45a  a với a ≥ 0 Câu 10 (2đ): Giải phương trình: 9 x  27  4 x  12 20 Câu 11 (2đ): Rút gọn biểu thức: A  x  3 x  x  4 x  4 x3 x 2 Câu 12* (1đ): Chứng minh đẳng thức: a) b) 1 1 2 1 1  2 1 1 2  2 3 1  3 2 2 3 1 3 4   ...  1 4 3 3 4 1 n 1 n  ...   n1 1 25 24  24 25 13  4 5 (với x ≥ 0, x ≠ 9) ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM KIỂM TRA ĐỊNH KÌ MÔN: ĐẠI SỐ 9- TIẾT 18 I.Trắc nghiệm (2 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án A D D A B A C D Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 II. Tự luận (8 điểm) Câu 9 (3 điểm)- mỗi phần được 1,5 điểm a) 4 3 + 27 - 45 + 3 = 4 3 + 9.3 - 9.5 + 3 = 4 3 +3 3 - 3 5 + 3 =8 3 -3 5 b) 3 5a  20a  4 3 5a  0,5đ 0,5đ 0,5đ 45a  với a ≥ 0 a 4.5a  4 9.5a  3 5a  2 5a  12 5a  13 5a  a a a 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 10 (2 điểm) 9 x  27  4 x  12 20  9( x  3)  ĐK x  3 0,25đ 0,25đ 4( x  3) 20 3 x  3  2 x  3 20 0,25đ 5 x  3 20 0,25đ  x  3 4 x  3 16 x 19 0,25đ (TMĐK) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy PT có nghiệm x = 19 0,25đ Câu 11 (2 điểm) 14 A  x 3 x x3 x x 3   x  4 x  4 với x ≥ 0, x ≠ 9  x 2 ( x  2) 2 x3  x  ( x  2) = x- x 2 0,75đ x -2 0,5đ =-2 0,5đ 0,25đ Câu 12* (1 điểm) Mỗi phần đúng được 0,5 điểm 1 2 a)VT   1 2 2 3 3 4   ...  1 2 1 2 n  1  n 1 n   n1 1 2 1 Vậy đẳng thức được chứng minh b)VT  1 1 1 1 1 1      ...   1 2 2 3 3 24 1 1 4 1   VP 5 5 25 Vậy đẳng thức được chứng minh (* Ghi chú: HS làm theo cách khác và đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa) 15 2. PHỤ LỤC 2: BẢNG ĐIỂM NHÓM ĐỐI CHỨNG Điểm kiểm tra Trước tác động Sau tác động 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 3 7 7 3 2 7 6 4 NHÓM THỰC NGHIỆM Điểm kiểm tra Trước tác động Sau tác động 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 3 8 6 3 1 6 7 6 3. PHỤ LỤC 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1, Học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và "căn bậc hai số học”. Ví dụ 1: Chọn đáp án đúng : 1, Căn bậc hai của 25 là A. 5 B. -5 C. 5 và -5 D. 25 Có thể một số em sẽ chọn đáp án A. Đáp án đúng: C. 2, Tính A. 5 25 B. -5 C. 5 D. Đáp án khác Có thể một số em sẽ chọn đáp án C. Đáp án đúng: A. Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm chắc được khái niệm về căn bậc hai và căn bậc hai số học đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau. 16 Khắc phục : Giáo viên củng cố lại cho học sinh kiến thức về căn bậc hai số học của a ( a ) và căn bậc hai của số a không âm. 2) Học sinh hiểu chưa sâu dẫn đến vận dụng sai công thức: Ví dụ 2: Tính 13 2  12 2 Học sinh có thể sẽ vận dụng sai công thức và có thể sẽ giải sai như sau: 13 2  12 2  13 2 - 12 2 =13 – 12 = 1 Đến đây giáo viên phải chỉ ra cho học sinh công thức trên là sai. Lời giải đúng: 13 2  12 2  (13  12)(13  12) = 25 =5 Nguyên nhân: Do học sinh hiểu sai đẳng thức A B  A  B Khắc phục: GV khắc sâu HS sinh đẳng thức A B  A  B không đúng trong mọi trường hợp; 3) So sánh các căn bậc hai số học: Với hai số a và b không âm, ta có a < b  Ví dụ 3: So sánh 4 và a b 15 Học sinh có thể sẽ đưa ra lời giải sai như sau: 4 < 15 Lời giải đúng : Vì 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 Nguyên nhân: Có thể học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó có thể học sinh sẽ đưa ra đáp án sai (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. Khắc phục: ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! 17 4) Sai trong khi vận dụng chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học: Với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = Ví dụ 4: Tìm số x, không âm biết : a . x =5 Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và giải sai như sau: Nếu x = x =- a a thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a và học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau: Do x ≥ 0 nên x2 = 52 hay x = 25 và x = -25. Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =25 và x2 =-25 Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học. Ta có x = 52. Vậy x =25. 5) Sai trong thuật ngữ khai phương : Ví dụ 5: Tính - 16 Có thể học sinh sẽ giải như sau: Lời giải đúng là : - 16 16 = 4 và - 4 = -4 Nguyên nhân: Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 16 là một căn bậc hai âm của số dương 16. Khắc phục: Giáo viên khắc sâu lại kiến thức cho học sinh. 6) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức Hằng đẳng thức : A2 A2 = | A| = | A| Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương. Ví dụ 6: Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được. Học sinh có lời giải sau (lời giải sai): (-8)2 = 64, nên khai phương số 64 lại bằng 8 và - 8 Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và 64 = 8. Nguyên nhân: Học sinh còn nhầm lẫn, chưa chắc chắn khi khai phương. 18 Khắc phục: GV củng cố cho học sinh mối liên hệ a2 = |a| cho thấy “Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”. Với a2 = A thì A chưa chắc đã bằng a Cụ thể ta có (-8)2 = 64 nhưng 64 = 8; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được kết quả như ở trên. 7) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai : Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + * Lời giải sai: A= x + x = (x+ x 1 4 + 1 4 )- =( x x 1 1 + 2 )2 ≥ - 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = - 4 . * Lời giải đúng : Để tồn tại x thì x ≥0. Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0 Nguyên nhân: 1 1 Học sinh chứng minh được f(x) ≥ - 4 do đó giá trị nhỏ nhất của A = - 4 . Giải pháp: Giáo viên chú ý cho học sinh khi giải xong phải luôn kết hợp với điều kiện bài toán (x≥ 0) để đưa ra kết quả cuối cùng. Ví dụ 8: Tìm x, biết : 4(1  x ) 2 -6=0  2 (1  x ) 2 6  2(1-x) = 6  1- x = 3  x = - 2. * Lời giải sai : 4(1  x ) 2 -6=0 * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là : A2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); A2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. * Lời giải đúng: 19 4(1  x ) 2 -6=0  2 (1  x ) 2 6  | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3  x = -2 2) 1- x = -3  x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4. Ví dụ 9: B= Tìm x sao cho B có giá trị là 16. - 16 x  16 9x  9 + 4x  4 + x 1 với x ≥ -1 * Lời giải sai : B=4 x  1 -3 B=4 x 1 16 = 4 x 1 x 1 +  4= 2 x 1+ x 1 x 1  42 = ( x  1 )2 hay 16 = ( x  1) 2  16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1  x = 15 2) 16 = -(x+1)  x = - 17. * Phân tích sai lầm: Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! * Lời giải đúng: B=4 x  1 -3 B=4 x 1 16 = 4 x 1 x 1 +  4= 2 x 1+ x 1 x 1 (do x ≥ -1)  16 = x + 1. Suy ra x = 15. 8) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi : Trong quá trình học sinh thực hiện phép tính đôi khi các em bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 10: Tìm x, biết : 20