Tài liệu Skkn một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm: Số phức z a  bi được biểu diễn trênn mă ̣t phẳng tọa đô ̣ Oxy bởi điểm M  a; b   Điểm biểu diễn số phức iênn hợp z à N  a;  b  đối xứng với M qua Ox .  Điểm biểu diễn số phức đối  z à P   a;  b  đối xứng với M qua O .  Điểm biểu diễn số phức  z à P   a; b  đối xứng với M qua Oy .  Mô đun cua số phức z à z OM . 2. Nếu M ; M  biểu diễn cho số phức z a  bi , z  a  bi thi  a  a b  b  z  z I ;  2  biểu diễn số phức 2 .  Trung điểm MM  à  2  z  z  MM  . 2 2. Công thức trung tuyến: 2  2 z1  z2  z1  z2 2 z1  z2 2  3. Công thức trọng tâm tam giác: Nếu A, B, C biểu diễn cac số phức z1 , z2 , z3 thi trọng tâm z1  z2  z3 G cua tam giac ABC biểu diễn số phức 3 . 4. Môđun của số phức: Số phức z a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trênn mặt phẳng Oxy. Độ dài cua véctơ  2 2 OM được gọi à môđun cua số phức z. Kí hiệu z  a  bi  a  b Tính chất   2 2 z  a  b  zz  OM  z z  ,  z ' 0   z' z' z 0, z   , z 0  z 0  z.z '  z . z '  kz  k . z , k    z  z '  z z '  z  z ' 2 2  Chú ý: z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 )2  4a 2 b 2 a 2  b 2  z  z z.z . Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz2  k 0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz2  k 0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz2  k 0   z1  z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz2  k 0  2  2   2 2 z1  z2  z1  z2 2 z1  z2 z z z z 2 .  2 z   5. Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ ax  by  c 0 (1) z  a  bi  z  c  di 2  x  a   y  b 2 R 2 x, y Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c 0 (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với A  a, b  , B  c , d    hoặc Đường tròn tâm I  a; b  hoặc Hinh tròn tâm , ban kính R z  a  bi R 2  x  a   y  b 2 R2 I  a; b  , ban kính R z  a  bi R 2 2 r 2  x  a    y  b  R2 hoặc Hinh vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn I  a; b  tâm , ban kính ần ượt à r , R Parabo r  z  a  bi R  y ax 2  bx  c  c 0   2  x ay  by  c  x  a b 2 2  y  c  d  1 2 1  1 2 hoặc z  a1  b1i  z  a2  b2 i 2 a  x  a b2 2  y  c  d2 E ip  2 2 a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  E ip nếu Đoạn AB nếu 2 a  AB Hypebo 2 1 B. NỘI DUNG Dạng 1. Điểm và đường thẳng Ví dụ 1: Trong cac số phức thỏa mãn điều kiện A. z 1  2i . Giả sử Ta có: B. z  z x  yi  x , y    1 2  i 5 5 . z  3i  z  2  i . Tim số phức có môđun nhỏ nhất? 1 2 z  i 5 5 . C.  Lời giải D. z  1  2i . M  x, y  , số phức z có điểm biểu diễn à điểm z  x 2  y 2 MO 2 2 z  3i  z  2  i  x   y  3  i   x  2    y  1 i  x 2   y  3   x  2    y  1 2  6 y  9 4 x  4  2 y  1  4 x  8 y  4 0  x  2 y  1 0 Ta thấy điểm M di chuyển trênn đường thẳng  : x  2 y  1 0 nênn MO nhỏ nhất khi và chỉ khi M à hinh chiếu cua điểm O ênn đường thẳng  . Phương trinh đường thẳng đi qua O và vuông góc với  à 2 x  y 0 .  x  2 y  1 0  Do đó, tọa độ điểm M à nghiệm cua hệ phương trinh  2 x  y 0 1 2 M  ;  Suy ra  5 5  Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn phức z bằng A. 6 B. 7 z  4  3i  z  4  3i 10 và C. 5  Lời giải z  3  4i nhỏ nhất. Mô-đun cua số D. 8 Đặt z a  bi  a, b     z a  bi M  a, b  và à điểm biểu diễn cua số phức z . Gọi A  4;  3 , B   4;3  Theo giả thiết . Ta có AB 10 . z  4  3i  z  4  3i 10  MA  MB 10  AB z  3  4i MC Suy ra M thuộc đoạn AB kéo dài ( B nằm giữa A và M ). Lại có nênn z  3  4i C  3; 4  nhỏ nhất khi và chỉ khi MC nhỏ nhất (với ).  M B MCmin    M  A và MCmin 5 2 Ta có:  M   4;3 Do đó hoặc M  4;  3 z 5 w Ví dụ 3. Xét cac số phức z, w thỏa mãn z + 2- 2i = z - 4i và w = iz +1. Gia trị nhỏ nhất cua bằng 2 . 2 A. 3 2 . B. 2 D. 2 2. C. 2.  Lời giải x, yÎ ¡ ) M x; y Đặt z = x + yi ( và ( ) à điểm biểu diễn số phức z. 2 2 2 z  2  2i  z  4i x  2    y  2   x 2   y  4   x  y 2  Từ suy ra tập hợp điểm M à đường thẳng D : x + y = 2. Ta có P = w = iz +1 = i ( z - i ) = z - i = MN Dựa vào hinh vẽ ta thấy z 2 5 . 7 thỏa mãn B. 0 1  2 2 z +1- i = z - 3i . 4 5 . 7  Lời z x  yi  x, y    N  0;1 Pmin MN min d  N ,    Ví dụ 4. Xét cac số phức A. với  2 2 . Môđun ớn nhất cua số phức C. 9 5 . 10 D. w= 1 z à 7 5 . 10 giải M  x; y  à điểm biểu diễn số phức z. 2 2 2 z  1  i  z  3i  x  1   y  1 x 2   y  3  2 x  4 y 7 . Do đó tập hợp Từ ta suy ra điểm M à đường thẳng D : 2x + 4y = 7. Đặt w= Ta có 1 1 1 = = z z OM Dựa vào hinh vẽ ta thấy và với O  0;0  w max  OM min suy ra w max  1 20 2 5   d  O,   2.0  4.0  7 7 . z2 - 2z + 5 = ( z- 1+ 2i ) ( z + 3i - 1) . Ví dụ 5: Xét cac số phức z thỏa mãn Gia trị nhỏ nhất cua biểu thức P = z - 2 + 2i A. bằng 1. B. 3 . 2 C.  Lời Ta có 5 . 2 D. 5. giải z2 - 2z + 5 = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1)  TH 1. Với éz = 1- 2i Û ( z - 1+ 2i ) ( z - 1- 2i ) = ( z - 1+ 2i ) ( z + 3i - 1) Û ê êz - 1- 2i = z + 3i - 1 . ë P = z 2 + 2 i = 1 2 i 2 + 2 i = 1. z = 1- 2i. Khi đó z - 1- 2i = z + 3i - 1.  TH 2. Với z x  yi  x, y    M  x; y  Đặt và à điểm biểu diễn số phức z. 2 2 2 2 z  1  2i  z  3i  1  x  1   y  2   x  1   y  3  2 y 1 0 tập hợp Từ ta suy ra điểm M à đường thẳng D : 2y +1= 0. Ta có P = z - 2+ 2i = MA với A  2;  2  Dựa vào hinh vẽ ta thấy Pmin  MAmin suy ra So sanh hai trường hợp ta thấy Pmin = 1. Pmin d  A,    2   2  1 2  3 2. z - 1- 3i £ z + 2i w +1+ 3i £ w- 2i . Ví dụ 6: Xét cac số phức z, w thỏa mãn và Gia trị nhỏ nhất cua biểu thức P = z - w à A. 13 +1 . 2 B. 26 . 4 C.  Lời 3 . 13 D. 3 26 . 13 giải  a , b, c , d    . Gọi z = a+ bi và w = c + di 2 2 2 z  1  3i  z  2i   a  1   b  3 a 2   b  2   a  5b 3  . Suy ra tập hợp điểm D M biểu diễn số phức z à phần tô đậm như trênn đồ thị có tính biênn : x + 5y = 3 . 2 2 2 w  1  3i  w  2i   c  1   d  3 c 2   d  2   c  5d  3  . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w à phần gạch chéo như trênn đồ thị có tính biênn D ¢: x + 5y =- 3 . P  z  w MN d  ;   3 26 13 . Dựa vào hinh vẽ ta thấy Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M Î D , N Î M và MN ^ D ¢ Dạng 2. Điểm và đường tròn Ví dụ 1: Xét cac số phức z thỏa mãn - iz +1 = 1 . Gọi m, M ần ượt à gia trị nhỏ nhất và gia trị ớn P = z. nhất cua biểu thức A. S = 2014. Tính S = 2020- M + m. B. S = 2016.  Lời giải - iz +1 = 1 Û - i . z + i = 1 Û z + i = 1¾¾ ® Ta có C. S = 2018. D. S = 2022. tập hợp cac điểm biểu diễn số phức z thuộc I 0;- 1) đường tròn có tâm ( , ban kính R = 1. Khi đó ìï m= 0 ïìï Pmin = OI - R = 1- 1 = 0 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 2018. í ïï Pmax = OI + R = 1+1= 2 ïîï M = 2 î Ví dụ 2: Xét cac số phức z thỏa mãn z - 2- 3i = 1 . Gia trị ớn nhất và gia trị nhỏ nhất cua biểu thức P = z +1+ i ần ượt à A. và 13- 2 . C. 6 và 4 . 13 + 2 B. 13 +1 và 13 - 1. D. 13 + 4 và 13- 4 .  Lời giải Ta có I  2;3 Ta có Vậy z - 2- 3i = 1 ¾¾ ® tập hợp cac điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm , ban kính R = 1. P = z +1+ i = z +1- i = MA với A ( - 1;1) . ìï P = AM = AI - R = 13 - 1 1 ï min . í ïï P = AM = AI + R = 13 +1 max 2 ïî ( 1+ i ) z +1- 7i = 2. Ví dụ 3: Xét cac số phức z thỏa mãn Gọi m, M ần ượt à gia trị nhỏ nhất và gia trị ớn nhất cua A. S = 2. P = z. Tính S = M - m. B. S = 4. C. S = 10.  Lời giải ( 1+ i ) z +1- 7i = 2 Û z + Ta có D. S = 24. 1- 7i 2 = Û z - ( 3+ 4i ) = 1¾¾ ® 1+ i 1+ i tập hợp cac điểm M biểu I  3; 4  diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm , ban kính R = 1. Khi đó ïìï Pmin = OM 1 = OI - R = 5- 1 = 4 ïì m= 4 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 2. í ïï Pmax = OM 2 = OI + R = 5+1= 6 ïïî M = 6 î ( 1+ i ) z Ví dụ 4: Xét cac số phức z, w thỏa mãn P = z- w bằng 1- i +2 =1 và w = iz. Gia trị ớn nhất cua biểu thức B. 2 3 A. 3 ( 1+ i ) z Từ 1- i + 2 = 1Û z + 2( 1- i ) 1+ i C. 3 2  Lời giải = D. 3 3 1- i Û z - 2i = 1¾¾ ® 1+ i tập hợp cac điểm M biểu diễn số I 0;2 , phức z thuộc đường tròn có tâm ( ) ban kính R = 1. w=iz Theo giả thiết P = z- w = z - iz = z 1- i = 2 z = 2OM với O( 0;0) . Dựa vào hinh vẽ ta thấy Pmax = 2OM 2 = 2 OI + R = 2 2+1 = 3 2. z - 1+ i = 1 Ví dụ 5: Xét cac số phức z1, z2 thỏa mãn 1 và z2 = 2iz1. Gia trị nhỏ nhất cua biểu thức P = 2z1 - z2 bằng A. 2- 2. B. 2- 2 2. C. 4- 2 2.  Lời D. 8- 2. giải z - 1+ i = 1 Từ 1 suy ra tập hợp cac điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn có tâm I ( 1;- 1) , ban kính R = 1. z2 =2iz1 Theo giả thiết ta có P = 2z1 - z2 = 2z1 - 2iz1 = 2 1- i z1 = 2 2OM Dựa vào hinh vẽ ta thấy với O( 0;0) . Pmin = 2 2OM 1 = 2 2 OI - R = 2 2 2 - 1 = 4- 2 2. w = z( 1+ i ) , Ví dụ 6: Xét cac số phức z thỏa mãn z - 2- 4i = 2 2. Trong cac số phức w thỏa mãn gọi w1 và w2 ần ượt à số phức có môđun nhỏ nhất và môđun ớn nhất. Khi đó w1 + w2 bằng A. - 2+ 6i. B. 2+ 4i. C. - 4 +12i. D. 4 + 8i.  Lời giải ® Từ z - 2- 4i = 2 2 ¾¾ tập hợp cac điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I ( 2;4) , ban kính R = 2 2. P = w = z( 1+ i ) = z . 1+ i = 2 z = 2OM O 0;0 . Ta có với ( ) Dựa vào hinh vẽ ta thấy Û M º M 1 Û z = 1+ 2i ¾¾ ® w1 = ( 1+ 2i ) ( 1+i ) = - 1+ 3i.  Pmin = 2OM 1. Dấu '' = '' xảy ra Û M º M 2 Û z = 3+ 6i ¾¾ ® w2 = ( 3+ 6i ) ( 1+ i ) =- 3+ 9i.  Pmax = 2OM 2. Dấu '' = '' xảy ra Vậy w1 + w2 =- 4 +12i. z 1i z  2  3i 1 Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn . Gia trị ớn nhất cua à A. 13  2 .  Lời Gọi giải z x  yi ta có z  2  3i x  yi  2  3i x  2   y  3  i . 2 2  x  2    y  3  1 nênn Theo giả thiết I  2; 3  tròn tâm ban kính R 1 . Ta có Gọi D. 13  1 . C. 6 . B. 4 . điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trênn đường z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i  M  x; y  và H   1;1 thi HM  2 2  x  1   y  1  x  1   y  1 2 . 2 . Do M chạy trênn đường tròn, H cố định nênn MH ớn nhất khi M à giao cua HI với đường tròn.  x 2  3t HI :   y 3  2t , giao cua HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: Phương trinh 9t2  4t 2 1     3 2  M2 ;3  ,M 2 13 13  13 nênn   3 1 13 ;3 2   13  . Tính độ dài MH ta ấy kết quả HM  13  1 . z  a  bi R  0 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn I  a , b  , bk R số phức z là đường tròn ) và 2 2 z  Max OI  R  a  b  R  2 2  z Min  OI  R  a  b  R  Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi Dạng 3. Điểm và e ip z  4  z  4 10. z Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn Gia trị ớn nhất và gia trị nhỏ nhất cua ần ượt à A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 . D. 5 và 3 .  Lời giải Gọi z x  yi ,  x , y    . Theo giả thiết, ta có   x  4   yi   x  4   yi 10  Gọi M  x; y  F1   4; 0  F  4; 0  , và 2 .  x  4 2 z  4  z  4 10.  y2   x  4 2  y 2 10   Khi đó    MF  MF 1 2 10 nênn tập hợp cac điểm M  z à đường e ip  E . 2 2 2 Ta có c 4 ; 2 a 10  a 5 và b a  c 9 . Do đó, phương trinh chính tắc cua Vậy max z OA OA ' 5 và  E x2 y 2  1 à 25 9 . min z OB OB ' 3 . z  3  z  3 8 Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z. Khi đó M  m bằng A. 4  7. C. 7. B. 4  7.  Lời Gọi Gọi D. 4  5. giải z x  yi với x; y   và M là điểm biểu diễn số phức z . z  3  z  3 8  MF1  MF2 8 F1   3;0  , F2  3;0  . Khi đó Suy ra điểm M thuộc vào e ip Do đó:  E : x2 y 2  1 16 7 z max 4; z min  7  M  m 4  7 z  2  z  2 4 2 Ví dụ 3: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M , N à điểm biểu diễn z và z . Tính gia trị ớn nhất cua diện tích tam giac ONM . A. 1 . B. 2. C. 4 2 .  Lời giải D. 2 2 . Gọi M à điểm biểu diễn số phức z  x  yi và N à điểm biểu diễn số phức z thi M , M ' S  xy đối xứng nhau qua Ox . Diện tích tam giac OMN à OMN . Do 1 z  2  z  2 4 2 nênn tập hợp M biểu diễn z à E ip  E : x2 y2  1 8 4 . Do đó: xy x2 y 2 x2 y 2  2 .   SOMN  xy 2 2 8 4 8 4 2 2 z a  bi  a, b    z  4  3i  5 Câu 4. Cho số phức thỏa mãn . Tim z  1  3i  z  1  i đạt gia trị ớn nhất. A. P 10 B. P 4 C. P 6 D. P 8  Lời giải 2 Ta có P a  b khi 2 z  4  3i  5   a  4    b  3  5  C  có tâm I  4;3 . Suy ra điểm M di chuyển trênn đường tròn tâm Gọi F1   1;3 F2  1;  1 , Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn 2 2 Ví dụ 1: Xét cac số phức z1 thỏa mãn z1 - 2 - z1 + i = 1 và cac số phức z2 thỏa mãn z2 - 4- i = 5 . Gia trị nhỏ nhất cua A. 5. P = z1 - z2 bằng B. 2 5. C.  Lời giải 2 5 . 5 D. 3 5 . 5 Gọi z  x  yi . Ta có 2 2 2 2 z - 2 - z + i = 1¾¾ ® ( x - 2) + y2 - x2 - ( y +1) = 1Û 2x + y- 1= 0 ¾¾ ® tập hợp cac số phức z1 à đường thẳng D : 2x + y - 1= 0. 2 2 z - 4- i = 5 ¾¾ ® ( x - 4) +( y- 1) i = 5 Û ( x - 4) +( y- 1) = 5 ¾¾ ®  tập hợp cac số phức z2 C I 4;1 , à đường tròn ( ) có tâm ( ) ban kính R = 5. C Khi đó biểu thức P = z1 - z2 à khoảng cach từ một điểm thuộc D đến một điểm thuộc ( ) . Từ đó suy ra Pmin = MN = d[ I , D ] - R = 8 5 - C Ví dụ 2: Gọi ( 1 ) à tập hợp cac số phức số phức z thỏa mãn A. 2 3 - 1. Đặt 5= w 3 5 . 5 C thỏa mãn w+ 2- 3i £ w- 3+ 2i . Gọi ( 2 ) à tập hợp cac z - 2+ 4i £ 1. Gia trị nhỏ nhất cua biểu thức 2 3 + 1 B. . C. 3 2 - 1.  Lời giải P = w- z D. bằng 3 2 +1 . z = x + yi ; w = a+ bi ( x, y, a, b Î ¡ ) . Ta có 2 2 2 ® ( a + 2) +( y - 3) £ ( a- 3) +( b+ 2) Û a- b £ 0 ¾¾ ®  w + 2- 3i £ w- 3+ 2i ¾¾ tập hợp điểm M biểu diễn số phức w thuộc nửa mặt phẳng bờ D : x - y = 0 và kể cả bờ (miền tô đậm như C . hinh vẽ). Gọi miền này à ( 1 ) 2 2  2 z - 2+ 4i £ 1¾¾ ® ( x - 2) +( y+ 4) i £ 1Û ( x - 2) +( y + 4) £ 1¾¾ ® C I 2;- 4) , số phức z à hinh tròn ( 2 ) có tâm ( ban kính R = 1. tập hợp điểm N biểu diễn Khi đó biểu thức ( C2 ) . Từ đó suy ra P = z - w = MN C à khoảng cach từ một điểm thuộc ( 1) đến một điểm thuộc Pmin = d[ I , D ] - R = 3 2 - 1. z - 2i £ z - 4i z - 3- 3i = 1. Ví dụ 3: Xét cac số thức z thỏa mãn và Gia trị ớn nhất cua biểu thức P = z - 2 +1 A. Gọi bằng 5 + 2. B. 10 C. 10 +1.  Lời giải D. 13 +1. z = x + yi ( x, y Î ¡ ) . Ta có 2 2 ® x2 +( y - 2) £ x2 +( y- 4) Û y £ 3 ¾¾ ®  z - 2i £ z - 4i ¾¾ tập hợp điểm biểu diễn số phức z C . thuộc nửa mặt phẳng bờ D : y = 3 , kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này à ( 1) 2  2 z - 3- 3i = 1¾¾ ® ( x - 3) +( y- 3) i = 1Û ( x - 3) +( y- 3) = 1¾¾ ® tập hợp điểm biểu diễn số C I 3;3 , phức z à đường tròn ( 2 ) có tâm ( ) ban kính R = 1. C C Như vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z à giao cua ( 1 ) và ( 2 ) . Đó chính à phần D 2;3 , C 4;3 cung tròn nét iền như trênn hinh vẽ (có tính 2 điểm đầu mút ( ) ( ) cua cung). P = z - 2 +1= MB +1 Khi đó thuộc cung tròn CD . với B( 2;0) và MB à khoảng cach từ điểm B đến một điểm Từ đó suy ra Pmax = BC +1= 13 +1. Ví dụ 4: Xét cac số phức z, w thỏa mãn P = z- w A. 0. ìï max{ z ; z - 1- i } £ 1 ï . í ïï w +1+ 2i £ w- 2- i ïî Gia trị nhỏ nhất cua biểu thức bằng B. 1 . 6 C. 2 - 1.  Lời giải Gọi M , N ( x; y) ần ượt à điểm biểu diễn cua hai số phức z, w. D. 2 2 - 1. 2 2 2 2 ® ( x +1) +( y + 2) £ ( x - 2) +( y- 1) Û x + y £ 0 ¾¾ ®  w +1+ 2i £ w- 2- i ¾¾ tập hợp điểm D : x + y = 0 N biểu diễn số phức w thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như hinh vẽ). ïìï z - 1- i £ 1 ïìï MI £ 1, I ( 1;1) Þ í í ïï z £ 1 ïï MO £ 1, O( 0;0) max { z ; z - 1- i } £ 1, î  suy ra î ¾¾ ® M thuộc phần chung cua hai hinh tròn ( I ; 1) và ( O; 1) (phần gạch sọc như hinh vẽ). Ta có P = z - w = MN nênn P nhỏ nhất khi MN ngắn nhất. Dựa vào hinh vẽ ta thấy MN ngắn nhất khi N º O và MN min = OI - 1= 2 - 1. x, y Î ¡ ) z + 2- 3i £ z + i - 2 £ 5. Ví dụ 5: Cho z = x + yi ( à số phức thỏa mãn Gọi M , m ần ượt à 2 2 gia trị ớn nhất và nhỏ nhất cua P = x + y + 8x + 6y. Gia trị M + m bằng A. Ta có 156 - 2 10. 5 B. 156 + 2 10. 5 C. 60- 20 10.  Lời giải ìï z + 2- 3i £ z + i - 2 Û 2x + y + 2 £ 0 ï . í ïï z +i - 2 £ 5 Û ( x - 2) 2 +( y +1) 2 £ 25 ïî Suy ra tập hợp cac điểm D. 60+ 20 10. M ( x; y) thỏa yênu cầu bài H toan nằm trênn miền ( ) tô đậm được giới hạn bởi đường thẳng d : 2x + y = - 2 và đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;- 1) , ban kính R = 5 (kể cả biênn) như hinh vẽ. 2 2 P = x2 + y2 + 8x + 6y = ( x + 4) +( y + 3) - 25 = J M 2 - 25 Ta có J - 4;- 3) . với ( C C . Gọi giao điểm cua d và ( ) à A ( 2;- 6) , B( - 2;2) ; C à giao điểm cua đoạn IJ với ( ) Dựa vào hinh vẽ ta thấy  J M ³ min { J A, J B, J C } = J C = IJ - IC = IJ - R = 2 10 - 5.  J M £ max{ J A, J B, J C } = J A = 3 5. 2 ìï ïï M = 3 5 - 25 = 20 ïí ¾¾ ® M + m= 60- 20 10. 2 ïï ïïî m= 2 10 - 5 - 25 = 40- 20 10 Vậy ( ( ) ) Ví dụ 6: Xét cac số phức z1, z2 thoả mãn z1 - 3- 4i = 1, z2 +1 = z2 - i z - z2 . M, m ần ượt à gia trị ớn nhất và gia trị nhỏ nhất cua 1 A. P = 14 5. B. P = 16 5. C. P = 18 5.  Lời giải Đặt Gọi và z1 - z2 2- i à số thực. Gọi Tính P = M + m. D. P = 20 5. z1 = a + bi, z2 = c + di ( a, b, c, d Î ¡ ) . A ( a;b) , B( c;d) ần ượt à hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2. uur uur uuu r z1 - z2 = OA - OB = BA ¾¾ ® z1 - z2 = AB. Suy ra Do đó từ uuu r z1 - z2 = k ( k Î ¡ ) ¾¾ ® BA = k( 2;- 1) . 2- i z1 - 3- 4i = 1¾¾ ® uuu r nAB = ( 1;2) . AB Suy ra đường thẳng có VTPT I ( 3;4) , ( C) R = 1. tập hợp cac điểm A à đường tròn có tâm ban kính 2 2 2 2 ® ( c +1) + d = c +( d - 1) Û c + d = 0 ¾¾ ®  z2 +1 = z2 - i ¾¾ tập hợp cac điểm B à đường D : x + y = 0. thẳng  uuu r uur nAB .nD 3 10 1 cosj = uuu ¾¾ ® sinj = . r uur = 10 10 nAB . nD Gọi j à góc giữa D và AB , ta có Theo yênu cầu bài toan ta cần tim GTLN và GTNN cua AB. d I ,D > R C . Do [ ] nênn suy ra D không cắt ( ) Gọi H à hinh chiếu cua A trênn D , ta có ìï max AH d[ I , D ] + R ï = = 7 5 + 10 ïï max AB = sinj sinj AH ï AB = ¾¾ ®í Þ P = 14 5. ïï sinj min AH d[ I , D ] - R ïï min AB = = = 7 5 - 10 sinj sinj ïîï Bài tập tổng hợp Câu 1: Xét cac số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn z  3  2i 2 . Tính a  b , biết rằng  z 1  2i  2 z  2  5i  đạt gia trị nhỏ nhất A. 4  3 B. 2  3  Lời 2 Cach 1. Ta có Gọi A   1; 2  C. 4  giải 2 z  3  2i 2   a  3   b  2  4 và B  2;3 . Khi đó z  1  2i  2 z  2  5i MA  2 MB 3 D. 3 Lấy điểm J  2; 2  2 suy ra IA.IJ IM IA IM  IM IJ  MA IM  2 IJ Vi IJM , IMA đồng dạng với nhau nênn MJ . Do đó MA  2 MB 2  MJ  MB  4 JB Dấu “=” xảy ra   M E 2; 2  3  z  3i  5 2 iz  1  2i 4 Câu 2: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1 và 2 . Tim gia trị ớn nhất cua T  2iz1  3z2 biểu thức A. 313  16 B. 313 C.  Lời 313  8 D. 313  2 5 giải Từ giả thiết, ta có z1  3i  5 2  2iz1  6  10i 4  Điểm M 1 biểu diễn số phức z1 thuộc vào đường tròn tâm I1   6;  10  , ban kính R1 4  1 iz2  1  2i 4  3 z2  6  3i 12  Điểm M 2 biểu diễn số phức z2 thuộc vào đường tròn tâm I 2  6;3 , ban kính R2 12 Từ  1 và  2  suy ra  2 T  2iz1  3z 2 I1I 2  R1  R2  12 2  132  16  313  16 Câu 3. Xét cac số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn z 2 z  4  2 z  1  4i . Tính P a  b khi đạt gia trị nhỏ nhất. Giả sử A. P 4 5 B. P 2 z a  bi  a, b    có điểm biểu diễn à Gọi A  4;0  , B   1;  4  Gọi H  1;0  . . Khi đó, ta có D. P 2 5 C. P  2  Lời giải P M  a; b   a  4 2 .  b2  2  a  1 2 2   b  4  MA  2MB . 2 Ta có OH .OA OM 4 MA OA  2  OMA OHM nênn có MH OM P 2 MH  2MB 2  MH  MB  Suy ra MA 2 MH . Vậy Pmin   MH  MB  min  M , H , B thẳng hàng  M  0;  2   P  2 Câu 4. Cho cac số phức z , z1 , z2 thỏa mãn P  z  z  z1  z  z2 biểu thức A. P 6 2  2 2 z1  2 z2  z1  z2 6 2 B. P 3 2  3  Lời giải . Tim gia trị nhỏ nhất cua C. P 6 2  3 D. P 9 2 3 2 Chọn A, B, M ần ượt à cac điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z . Dựa vào điều kiện, ta có tam giac OAB vuông cân tại O có độ dài OA OB 6 , AB 6 2 .