Tài liệu Skkn một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học.

MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu: .......................................................................................................................... 2 2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học .......... 2 3. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến ................................................................................... 2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến ................................................................... 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.................................................................................... 2 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2019 .............................. 2 7. Mô tả bản chất sáng kiến: ........................................................................................................ 2 - Về nội dung của sáng kiến: ................................................................................................... 2 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ..................................................................................................... 4 B. NỘI DUNG ............................................................................................................................ 6 Dạng 1. Điểm và đường thẳng ............................................................................................. 6 Dạng 2. Điểm và đường tròn ................................................................................................ 9 Dạng 3. Điểm và elip.......................................................................................................... 13 Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn.................................................................................. 15 Bài tập tổng hợp ................................................................................................................... 20 - Về khả năng áp dụng của sáng kiến: . ................................................................................. 29 8. Những thông tin cần được bảo mật: ...................................................................................... 29 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12. ........................................... 29 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được .................................................... 29 11. Dang sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử ............................................................. 29 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: Trong chương trình toán THPT, số phức được đưa vào giảng dạy ở gần cuối chương trình lớp 12. Đây là một nội dung mới đối với học sinh 12 và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế: sách giáo khoa hay sách bài tập thì các bài tập về số phức đưa ra chủ yếu là các bài toán đơn giản như cộng hay trừ số phức, tìm phần thực- phần ảo của số phức, tìm mô-đun của số phức, giải phương trình bậc hai …. Bên cạnh đó, các bài toán số phức xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây ngày càng nhiều và chủ yếu ở mức độ VD-VDC, không theo một khuân mẫu nào cả đặc biệt là các bài toán về cực trị số phức. Để giải được các bài toán này đòi hỏi các em phải có một kiến thức cơ bản thật vững về số phức như: phần thực, phần ảo, biểu diễn hình học của số phức, mô-đun của số phức, số phức liên hợp,… kết hợp với các kiến thức về điểm, đường thẳng, đường tròn và đường elip thì các em sẽ giải quyết tốt các bài toán ở dạng này Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về cực trị số phức tôi đã sưu tầm các bài toán số phức trong các đề thi THPTQG qua mấy năm gần đây và có chia dạng chúng nhằm giúp các em tiếp cận các bài toán cực trị về số phức đồng thời cũng giúp các em có cái nhìn tổng quát về dạng toán này. Vì vậy tôi đã chọn đề tài: Một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học. Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân dạng có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để tài liệu này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn. 2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học 3. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2019 7. Mô tả bản chất sáng kiến: - Về nội dung của sáng kiến: Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do vậy việc trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên. Sáng kiến trình bày một số dạng toán số phức về tìm cực trị hay gặp trong các đề thi THPTQG bằng phương pháp hình học. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm: Số phức z = a + bi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy bởi điểm M ( a; b ) y Q(-a;b)→-z=-a+bi M(a;b)→z=a+bi z φ=arg(z) x O N(a;-b) →z=a-bi P(-a;-b) →-z=-a-bi • Điểm biểu diễn số phức liên hợp z là N ( a; −b ) đối xứng với M qua Ox . • Điểm biểu diễn số phức đối − z là P ( −a; −b ) đối xứng với M qua O . • Điểm biểu diễn số phức − z là P ( −a; b ) đối xứng với M qua Oy . • Mô đun của số phức z là z = OM . 2. Nếu M ; M  biểu diễn cho số phức z = a + bi , z = a + bi thì z + z  a + a b + b  ;  biểu diễn số phức 2 . 2   2 • Trung điểm MM  là I  • z − z = MM  . 2. Công thức trung tuyến: z1 + z2 + z1 − z2 2 2 ( = 2 z1 + z2 2 2 ) 3. Công thức trọng tâm tam giác: Nếu A, B, C biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 thì trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức z1 + z2 + z3 . 3 4. Môđun của số phức: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2 Tính chất ✓ z  0, z  , z =0z=0 ✓ z = a2 + b2 = zz = OM z z = ,( z '  0) z' z' ✓ z.z ' = z . z ' ✓ ✓ kz = k . z , k  ✓ z − z'  z  z'  z + z' 2 2  Chú ý: z2 = a2 − b2 + 2abi = (a2 − b2 )2 + 4a2 b2 = a2 + b2 = z = z = z.z . Lưu ý: ✓ z1 + z2  z1 + z2 dấu bằng xảy ra  z1 = kz2 ( k  0 ) ✓ z1 − z2  z1 + z2 dấu bằng xảy ra  z1 = kz2 ( k  0 ) . ✓ z1 + z2  z1 − z2 dấu bằng xảy ra  z1 = kz2 ( k  0 ) ✓ z1 − z2  z1 − z2 dấu bằng xảy ra  z1 = kz2 ( k  0 ) 2 ( 2 2 ✓ z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2 2 ✓ z =z z=z 2 2 ) z  5. Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax + by + c = 0 (1) z − a − bi = z − c − di (2) ( x − a) + ( y − b) 2 Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax + by + c = 0 (2) Đường trung trực đoạn AB với A ( a, b ) , B ( c , d ) ( ) 2 = R2 hoặc Đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R 2  R2 hoặc Hình tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi = R ( x − a) + ( y − b) 2 z − a − bi  R r 2  ( x − a ) + ( y − b )  R2 2 2 hoặc r  z − a − bi  R  y = ax 2 + bx + c (c  0)  2  x = ay + by + c ( x + a) + ( y + c ) 2 2 = 1 ( 1) hoặc b2 d2 z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = 2a Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I ( a; b ) , bán kính lần lượt là r , R Parabol (1) Elip ( 2 ) Elip nếu 2a  AB , A ( a , b ) , B ( a , b ) 1 1 2 2 ( x + a) − ( y + c ) 2 b2 Đoạn AB nếu 2a = AB Hypebol 2 d2 =1 B. NỘI DUNG Dạng 1. Điểm và đường thẳng Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + 2 − i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. z = 1 − 2i . 1 2 B. z = − + i . 5 5 Giả sử z = x + yi ( x, y  1 2 − i. 5 5  Lời giải D. z = −1 + 2i . C. z = ) , số phức z có điểm biểu diễn là điểm M ( x, y ) Ta có: z = x 2 + y 2 = MO z + 3i = z + 2 − i  x + ( y + 3) i = ( x + 2 ) + ( y − 1) i  x2 + ( y + 3 ) = ( x + 2 ) + ( y − 1) 2 2 2  6 y + 9 = 4x + 4 − 2 y + 1  4x − 8 y − 4 = 0  x − 2 y − 1 = 0 Ta thấy điểm M di chuyển trên đường thẳng  : x − 2 y − 1 = 0 nên MO nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của điểm O lên đường thẳng  . Phương trình đường thẳng đi qua O và vuông góc với  là 2 x + y = 0 . x − 2 y −1 = 0 Do đó, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình   2x + y = 0 1 2 Suy ra M  ; −  5 5 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + 3i − z + 4 + 3i = 10 và z − 3 − 4i nhỏ nhất. Mô-đun của số phức z bằng A. 6 Đặt z = a + bi ( a, b  D. 8 C. 5  Lời giải B. 7 )  z = a − bi và M ( a, b ) là điểm biểu diễn của số phức z . Gọi A ( 4; −3) , B ( −4;3) . Ta có AB = 10 . Theo giả thiết z − 4 + 3i − z + 4 + 3i = 10  MA − MB = 10 = AB Suy ra M thuộc đoạn AB kéo dài ( B nằm giữa A và M ). Lại có z − 3 − 4i = MC nên z − 3 − 4i nhỏ nhất khi và chỉ khi MC nhỏ nhất (với C ( 3; 4 ) ). M  B Ta có: MCmin   và MCmin = 5 2 M  A   M ( −4;3) hoặc M ( 4; −3) Do đó z = 5 Ví dụ 3. Xét các số phức z , w thỏa mãn z + 2 - 2i = z - 4i và w = iz + 1. Giá trị nhỏ nhất của w bằng A. 2 . 2 B. 3 2 . 2 D. 2 2. C. 2.  Lời giải Đặt z = x + yi (x , y Î ¡ ) và M (x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Từ z + 2 − 2i = z − 4i suy ra ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = x 2 + ( y − 4 )  x + y = 2 tập hợp điểm M là 2 2 2 đường thẳng D : x + y = 2. Ta có P = w = iz + 1 = i (z - i ) = z - i = MN với N ( 0;1) Dựa vào hình vẽ ta thấy Pmin = MNmin = d ( N ,  ) = 0 +1− 2 2 = 2 . 2 Ví dụ 4. Xét các số phức z thỏa mãn z + 1- i = z - 3i . Môđun lớn nhất của số phức w = 1 là z A. 2 5 . 7 B. 4 5 . 7  Đặt z = x + yi ( x, y  ) và C. 9 5 . 10 D. 7 5 . 10 Lời giải M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Từ z + 1 − i = z − 3i ta suy ra ( x + 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y − 3)  2 x + 4 y = 7 . Do đó tập hợp 2 2 2 điểm M là đường thẳng D : 2 x + 4 y = 7. Ta có w = 1 1 1 = = z z OM với O ( 0;0 ) Dựa vào hình vẽ ta thấy w max  OM min suy ra w max = 1 20 2 5 = = . d ( O,  ) 2.0 + 4.0 − 7 7 Ví dụ 5: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 - 2z + 5 = (z - 1 + 2i )(z + 3i - 1) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z - 2 + 2i bằng A. 1. B. 3 . 2 C.  5 . 2 D. 5. Lời giải Ta có z 2 - 2z + 5 = (z - 1 + 2i )(z + 3i - 1) éz = 1 - 2i Û (z - 1 + 2i )(z - 1 - 2i ) = (z - 1 + 2i )(z + 3i - 1) Û êê . ëz - 1 - 2i = z + 3i - 1 Với z = 1- 2i. Khi đó P = z - 2 + 2i = 1- 2i - 2 + 2i = 1. ✓ TH 1. ✓ TH 2. Với z - 1- 2i = z + 3i - 1 . Đặt z = x + yi ( x, y  ) và M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z. Từ z − 1 − 2i = z + 3i − 1 ta suy ra ( x − 1) + ( y − 2 ) = ( x − 1) + ( y + 3)  2 y + 1 = 0 tập hợp 2 điểm M là đường thẳng D : 2 y + 1 = 0. Ta có P = z - 2 + 2i = MA với A ( 2; −2 ) 2 2 2 Dựa vào hình vẽ ta thấy Pmin  MAmin suy ra Pmin = d ( A,  ) = 2 ( −2 ) + 1 2 = 3 . 2 So sánh hai trường hợp ta thấy Pmin = 1. Ví dụ 6: Xét các số phức z , w thỏa mãn z - 1- 3i £ z + 2i và w + 1 + 3i £ w - 2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z - w là A. 13 + 1 . 2 26 . 4 B. C.  3 . 13 D. 3 26 . 13 Lời giải ( a, b, c, d  ) . 2 2 2  ( a − 1) + ( b − 3)  a 2 + ( b + 2 )  a + 5b  3 . Suy ra tập hợp điểm M Gọi z = a + bi và w = c + di ✓ z − 1 − 3i  z + 2i biểu diễn số phức z là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên D : x + 5 y = 3 . ✓ w + 1 + 3i  w − 2i  ( c + 1) + ( d + 3)  c 2 + ( d − 2 )  c + 5d  −3 . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên D ¢: x + 5 y = - 3 . 2 2 2 Dựa vào hình vẽ ta thấy P = z − w = MN  d ( ;  ) = 3 26 . 13 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M Î D , N Î M và MN ^ D ¢ Dạng 2. Điểm và đường tròn Ví dụ 1: Xét các số phức z thỏa mãn - iz + 1 = 1 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = z . Tính S = 2020 - M + m. A. S = 2014. B. S = 2016.  C. S = 2018. D. S = 2022. Lời giải Ta có - iz + 1 = 1 Û - i . z + i = 1 Û z + i = 1 ¾ ¾® tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I (0;- 1), bán kính R = 1 . ìï P = OI - R = 1 - 1 = 0 ìï m = 0 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 2018. Khi đó ïí min ïï Pmax = OI + R = 1 + 1 = 2 î ïïî M = 2 Ví dụ 2: Xét các số phức z thỏa mãn z - 2 - 3i = 1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 1 + i lần lượt là A. 13 + 2 và 13 - 2 . B. 13 + 1 và 13 - 1 . C. 6 và 4 . D. 13 + 4 và 13 - 4 .  Lời giải Ta có z - 2 - 3i = 1 ¾ ¾® tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I ( 2;3) , bán kính R = 1. Ta có P = z + 1 + i = z + 1- i = MA với A(- 1;1). ìï P = AM = AI - R = 13 - 1 1 Vậy ïí min . ïï P = AM = AI + R = 13 + 1 2 ïî max Ví dụ 3: Xét các số phức z thỏa mãn (1 + i )z + 1- 7i = 2. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P = z . Tính S = M - m. A. S = 2. B. S = 4. Ta có (1 + i )z + 1 - 7i = 2 Û z + C. S = 10.  Lời giải 1 - 7i 2 = Û z - (3 + 4i ) = 1 ¾ ¾ ® 1+ i 1+ i diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I ( 3; 4 ) , bán kính R = 1 . D. S = 24. tập hợp các điểm M biểu ìï P = OM 1 = OI - R = 5 - 1 = 4 ìï m = 4 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 2. Khi đó ïí min ïï Pmax = OM 2 = OI + R = 5 + 1 = 6 î ïïî M = 6 Ví dụ 4: Xét các số phức z , w thỏa mãn (1 + i )z 1- i +2=1 và w = iz. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z - w bằng Từ (1 + i )z 1- i C. 3 2  Lời giải B. 2 3 A. 3 + 2 = 1Û z + 2 (1 - i ) 1+ i = D. 3 3 1- i Û z - 2i = 1 ¾ ¾ ® 1+ i tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I (0;2), bán kính R = 1. w = iz Theo giả thiết P = z - w = z - iz = z 1- i = 2 z = 2OM với O (0;0). Dựa vào hình vẽ ta thấy Pmax = 2OM 2 = 2 OI + R = 2 2 + 1 = 3 2. Ví dụ 5: Xét các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 - 1 + i = 1 và z 2 = 2iz1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 z1 - z 2 bằng A. 2 - 2. B. 2 - 2 2. C. 4 - 2 2.  D. 8 - 2. Lời giải Từ z1 - 1 + i = 1 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn có tâm I (1;- 1), bán kính R = 1. z 2 = 2 iz1 Theo giả thiết ta có P = 2 z1 - z 2 = 2 z1 - 2iz1 = 2 1 - i z1 = 2 2OM với O (0;0). Dựa vào hình vẽ ta thấy Pmin = 2 2OM 1 = 2 2 OI - R = 2 2 2 - 1 = 4 - 2 2. Ví dụ 6: Xét các số phức z thỏa mãn z - 2 - 4i = 2 2. Trong các số phức w thỏa mãn w = z (1 + i ), gọi w1 và w 2 lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Khi đó w1 + w2 bằng A. - 2 + 6i. B. 2 + 4i. D. 4 + 8i. C. - 4 + 12i.  Lời giải Từ z - 2 - 4i = 2 2 ¾ ¾® tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có tâm I (2;4 ), bán kính R = 2 2. Ta có P = w = z (1 + i ) = z . 1 + i = 2 z = 2OM với O (0;0). Dựa vào hình vẽ ta thấy  Pmin = 2OM1. Dấu '' = '' xảy ra Û M º M1 Û z = 1 + 2i ¾ ¾® w1 = (1 + 2i )(1 + i )= - 1 + 3i.  Pmax = 2OM 2 . Dấu '' = '' xảy ra Û M º M 2 Û z = 3 + 6i ¾ ¾® w2 = (3 + 6i )(1 + i )= - 3 + 9i. Vậy w1 + w2 = - 4 + 12i. Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là A. 13 + 2 . C. 6 . B. 4 .  Lời giải Gọi z = x + yi ta có z − 2 − 3i = x + yi − 2 − 3i = x − 2 + ( y − 3 ) i . D. 13 + 1 . Theo giả thiết ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường 2 2 tròn tâm I ( 2; 3 ) bán kính R = 1 . Ta có z + 1 + i = x − yi + 1 + i = x + 1 + (1 − y ) i = Gọi M ( x; y ) và H ( −1;1) thì HM = ( x + 1) + ( y − 1) ( x + 1) + ( y − 1) 2 2 2 . 2 . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.  x = 2 + 3t Phương trình HI :  , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:  y = 3 + 2t 9t 2 + 4t 2 = 1  t =    3 2  3 2  ;3+ ;3− nên M  2 + ,M2− . 13 13  13 13  13   1 Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM = 13 + 1 . Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = R  0 , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn ( ) số phức z là đường tròn I a, b , bk = R ) và 2 2 z  Max = OI + R = a + b + R  2 2  z Min = OI − R = a + b − R  Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z − a − bi = z − a + bi Dạng 3. Điểm và elip Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4 B. 5 và 4  Gọi z = x + yi , ( x, y  Lời giải ) . Theo giả thiết, ta có  ( x − 4 ) + yi + ( x + 4 ) + yi = 10  D. 5 và 3 . C. 4 và 3 . ( x − 4) 2 z − 4 + z + 4 = 10. + y2 + ( x + 4) 2 + y 2 = 10 ( ) Gọi M ( x; y ) , F1 ( − 4; 0 ) và F2 ( 4; 0 ) . Khi đó ()  MF1 + MF2 = 10 nên tập hợp các điểm M ( z ) là đường elip ( E ) . Ta có c = 4 ; 2a = 10  a = 5 và b2 = a2 − c 2 = 9 . Do đó, phương trình chính tắc của ( E ) là x2 y 2 + = 1. 25 9 Vậy max z = OA = OA ' = 5 và min z = OB = OB ' = 3 . Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M + m bằng A. 4 − 7. B. 4 + 7. C. 7.  Gọi z = x + yi với x; y  D. 4 + 5. Lời giải và M là điểm biểu diễn số phức z . Gọi F1 ( −3;0 ) , F2 ( 3;0 ) . Khi đó z − 3 + z + 3 = 8  MF1 + MF2 = 8 Suy ra điểm M thuộc vào elip ( E ) : Do đó: z max = 4; z min = 7 x2 y 2 + =1 16 7  M +m = 4+ 7 Ví dụ 3: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − 2 + z + 2 = 4 2 . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M , N là điểm biểu diễn z và z . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ONM . A. 1 . 2. B. D. 2 2 . C. 4 2 .  Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn số phức z = x + yi và N là điểm biểu diễn số phức z thì M , M ' đối xứng nhau qua Ox . Diện tích tam giác OMN là SOMN = xy . Do z − 2 + z + 2 = 4 2 nên tập hợp M biểu diễn z là Elip ( E ) : 1= x2 y 2 + = 1 . Do đó: 8 4 xy x2 y 2 x2 y 2 + 2 . =  SOMN = xy  2 2 8 4 8 4 2 2 Câu 4. Cho số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn z − 4 − 3i = 5 . Tìm z + 1 − 3i + z − 1 + i đạt giá trị lớn nhất. A. P = 10 B. P = 4  Lời giải C. P = 6 Ta có z − 4 − 3i = 5  ( a − 4 ) + ( b − 3) = 5 2 2 Suy ra điểm M di chuyển trên đường tròn tâm ( C ) có tâm I ( 4;3) . Gọi F1 ( −1;3) , F2 (1; −1) Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn D. P = 8 P = a + b khi Ví dụ 1: Xét các số phức z1 thỏa mãn z1 - 2 2 - z1 + i 2 = 1 và các số phức z 2 thỏa mãn z 2 - 4 - i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của P = z1 - z 2 bằng A. 5. B. 2 5. C.  2 5 . 5 D. 3 5 . 5 Lời giải Gọi z = x + yi . Ta có 2 2 2 2 z - 2 - z + i = 1¾ ¾ ® (x - 2) + y 2 - x 2 - (y + 1) = 1 Û 2 x + y - 1 = 0 ¾ ¾ ® tập hợp các số phức z1 là đường thẳng D : 2 x + y - 1 = 0. 2 2  z - 4 - i = 5 ¾ ¾® (x - 4)+ (y - 1)i = 5 Û (x - 4) + (y - 1) = 5 ¾ ¾® tập hợp các số phức z 2 là đường tròn (C ) có tâm I (4;1), bán kính R = 5. Khi đó biểu thức P = z1 - z 2 là khoảng cách từ một điểm thuộc D đến một điểm thuộc (C ). Từ đó suy ra Pmin = MN = d [I , D ]- R = 8 5 - 5 = 3 5 . 5 Ví dụ 2: Gọi (C1 ) là tập hợp các số phức w thỏa mãn w + 2 - 3i £ w - 3 + 2i . Gọi (C2 ) là tập hợp các số phức z thỏa mãn z - 2 + 4i £ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = w - z bằng A. 2 3 - 1 . B. 2 3 + 1 . C. 3 2 - 1 . D. 3 2 + 1 .  Lời giải Đặt z = x + yi ; w = a + bi (x , y, a, b Î ¡ ). Ta có ✓ w + 2 - 3i £ w - 3 + 2i ¾ ¾® (a + 2)2 + (y - 3)2 £ (a - 3)2 + (b + 2)2 Û a - b £ 0 ¾ ¾® tập hợp điểm M biểu diễn số phức w thuộc nửa mặt phẳng bờ D : x - y = 0 và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ). Gọi miền này là (C1 ). 2 2 ✓ z - 2 + 4i £ 1 ¾ ¾® (x - 2)+ (y + 4)i £ 1 Û (x - 2) + (y + 4) £ 1 ¾ ¾® tập hợp điểm N biểu diễn số phức z là hình tròn (C2 ) có tâm I (2;- 4), bán kính R = 1. Khi đó biểu thức P = z - w = MN là khoảng cách từ một điểm thuộc (C1 ) đến một điểm thuộc (C2 ) . Từ đó suy ra Pmin = d [I , D ]- R = 3 2 - 1. Ví dụ 3: Xét các số thức z thỏa mãn z - 2i £ z - 4i và z - 3 - 3i = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z - 2 + 1 bằng A. 5 + 2. B. 10 C. 10 + 1. D. 13 + 1.  Lời giải Gọi z = x + yi (x, y Î ¡ ) . Ta có ✓ z - 2i £ z - 4i ¾ ¾® x 2 + (y - 2)2 £ x 2 + (y - 4)2 Û y £ 3 ¾ ¾® tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc nửa mặt phẳng bờ D : y = 3 , kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này là (C1 ). 2 2 ✓ z - 3 - 3i = 1 ¾ ¾® (x - 3)+ (y - 3)i = 1 Û (x - 3) + (y - 3) = 1 ¾ ¾® tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C2 ) có tâm I (3;3), bán kính R = 1. Như vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là giao của (C1 ) và (C2 ) . Đó chính là phần cung tròn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút D (2;3), C (4;3) của cung). Khi đó P = z - 2 + 1 = MB + 1 với B (2;0) và MB là khoảng cách từ điểm B đến một điểm thuộc cung tròn CD . Từ đó suy ra Pmax = BC + 1 = 13 + 1. ìï max { z ; z - 1 - i }£ 1 . ïï w + 1 + 2i £ w - 2 - i ïî Ví dụ 4: Xét các số phức z , w thỏa mãn ïí Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z - w bằng A. 0. B. 1 . 6 C. 2 - 1. D. 2 2 - 1.  Lời giải Gọi M , N (x ; y ) lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z, w.  w + 1 + 2i £ w - 2 - i ¾ ¾® (x + 1)2 + (y + 2)2 £ (x - 2)2 + (y - 1)2 Û x + y £ 0 ¾ ¾® tập hợp điểm N biểu diễn số phức w thuộc nửa mặt phẳng bờ D : x + y = 0 và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ). ìï z - 1 - i £ 1 ìï MI £ 1, I (1;1) Þ ïí  max {z ; z - 1- i }£ 1, suy ra ïí ïï z £ 1 ïï MO £ 1, O (0;0) î î ¾¾ ® M thuộc phần chung của hai hình tròn (I ; 1) và (O; 1) (phần gạch sọc như hình vẽ). Ta có P = z - w = MN nên P nhỏ nhất khi MN ngắn nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy MN ngắn nhất khi N º O và MN min = OI - 1 = 2 - 1. Ví dụ 5: Cho z = x + yi (x , y Î ¡ ) là số phức thỏa mãn z + 2 - 3i £ z + i - 2 £ 5. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = x 2 + y 2 + 8 x + 6 y. Giá trị M + m bằng A. 156 - 2 10. 5 B. 156 + 2 10. 5 C. 60 - 20 10.  D. 60 + 20 10. Lời giải ìï z + 2 - 3i £ z + i - 2 Û 2 x + y + 2 £ 0 Ta có ïí . Suy ra tập hợp các điểm M (x ; y ) thỏa yêu cầu bài ïï z + i - 2 £ 5 Û (x - 2)2 + (y + 1)2 £ 25 ïî toán nằm trên miền (H ) tô đậm được giới hạn bởi đường thẳng d : 2 x + y = - 2 và đường tròn (C ) có tâm I (2;- 1), bán kính R = 5 (kể cả biên) như hình vẽ. Ta có P = x 2 + y 2 + 8x + 6 y = (x + 4)2 + (y + 3)2 - 25 = JM 2 - 25 với J (- 4;- 3). Gọi giao điểm của d và (C ) là A(2;- 6), B (- 2;2); C là giao điểm của đoạn IJ với (C ). Dựa vào hình vẽ ta thấy  JM ³ min {JA, JB, JC }= JC = IJ - IC = IJ - R = 2 10 - 5.  JM £ max {JA, JB, JC }= JA = 3 5. 2 ìï ïï M = 3 5 - 25 = 20 ¾¾ ® M + m = 60 - 20 10. Vậy ïí 2 ïï m = 2 10 5 25 = 40 20 10 ïïî ( ( ) ) Ví dụ 6: Xét các số phức z1 , z 2 thoả mãn z1 - 3 - 4i = 1, z 2 + 1 = z 2 - i và z1 - z 2 2- i là số thực. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 - z 2 . Tính P = M + m . A. P = 14 5. B. P = 16 5. C. P = 18 5. D. P = 20 5.  Lời giải Đặt z1 = a + bi, z 2 = c + di (a, b, c , d Î ¡ ). Gọi A(a; b ), B (c ; d ) lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 . uur uur uuur Suy ra z1 - z2 = OA - OB = BA ¾ ¾® z1 - z2 = AB. uuur z1 - z 2 = k (k Î ¡ ) ¾ ¾ ® BA = k (2;- 1). 2- i z1 - 3 - 4i = 1 ¾ ¾ ® tập hợp các điểm A là uuur Do đó từ Suy ra đường thẳng AB có VTPT nAB = (1;2).  đường tròn (C ) có tâm I (3;4), bán kính R = 1.  z2 + 1 = z2 - i ¾ ¾® (c + 1)2 + d 2 = c 2 + (d - 1)2 Û c + d = 0 ¾ ¾® tập hợp các điểm B là đường thẳng D : x + y = 0. Gọi j là góc giữa D và AB , ta có uuur uur nAB .nD 3 10 cos j = uuur uur = ¾¾ ® sin j = 10 nAB . nD 1 10 . Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm GTLN và GTNN của AB. Do d [I , D ]> R nên suy ra D không cắt (C ). Gọi H là hình chiếu của A trên D , ta có ìï d [I , D ]+ R max AH ï AB = AH ¾¾ ® sin j = = 7 5 + 10 ïï max AB = sin j sin j ï Þ P = 14 5. í ïï d [I , D ]- R min AH ïï min AB = = = 7 5 - 10 ïïî sin j sin j Bài tập tổng hợp Câu 1: Xét các số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn z − 3 − 2i = 2 . Tính a + b , biết rằng ( z + 1 − 2i + 2 z − 2 − 5i ) đạt giá trị nhỏ nhất A. 4 + 3 B. 2 + 3  C. 4 − 3 Lời giải Cách 1. Ta có z − 3 − 2i = 2  ( a − 3) + ( b − 2 ) = 4 2 2 Gọi A ( −1; 2 ) và B ( 2;3) . Khi đó z + 1 − 2i + 2 z − 2 − 5i = MA + 2MB D. 3