Mô tả:
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o hµ néi
Tr-êng ThPt nguyÔn gia thiÒu
-----------------------------------------------------------------------------
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh
chøa c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp
Gi¸o viªn : NguyÔn quèc hoµn
Tæ
: To¸n
Hµ Néi, 5 / 2010
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
më ®Çu
Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh lµ bµi to¸n khã víi nhiÒu häc sinh kÓ c¶ häc sinh
®-îc cho lµ kh¸ giái; trong ®ã cã bÊt ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai ®-îc
coi lµ khã h¬n c¶. Nªn t«i chän ®Ò tµi: “ Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh chøa
c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp ” ®Ó lµm s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Víi môc ®Ých
mong muèn ®Ò tµi nµy sÏ gãp phÇn gióp häc sinh hiÓu râ h¬n vÒ m¶ng bÊt
ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai nãi riªng vµ bÊt ph-¬ng tr×nh nãi chung,
®ång thêi còng mong muèn ®©y lµ tµi liÖu tham kh¶o cho nh÷ng ai quan t©m
®Õn m«n to¸n.
KiÕn thøc thÓ hiÖn trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy hoµn toµn trong
ch-¬ng tr×nh To¸n §¹i sè líp 10 ban C¬ b¶n, ban Khoa häc tù nhiªn, ban
Khoa häc x· héi vµ nh©n v¨n. Néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy cã thÓ sö
dông ®Ó chuyÓn sang phÇn ph-¬ng tr×nh còng ®-îc; xong khi chuyÓn sang
ph-¬ng tr×nh cã nh÷ng phÇn sÏ ®-îc më réng ®Ó cã bµi to¸n hay h¬n. Do ®ã
ng-êi nghiªn cøu cã thÓ sö dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo nhiÒu môc
®Ých gi¸o dôc kh¸c nhau còng ®-îc.
Néi dung s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy gåm cã 9 d¹ng to¸n kh¸c nhau.
H1
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n sau ®· cã trong s¸ch gi¸o khoa ®-a ra sau
®©y mµ kh«ng nªu néi dung:
1. «n tËp hµm sè bËc hai vµ ®å thÞ cña nã.
2. «n tËp ®Þnh lý vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt.
3. «n tËp ®Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
“ Mét sè d¹ng bÊt ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai th-êng gÆp ”
D¹ng 1
f(x) 0
f(x) < g(x)
f(x) < g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
g(x) 0
f(x) > g(x)
f(x) > g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x2 3x 2 2x 2 5x 2
(1)
2)
2x 2 10x 8 x 2 5x 36
(2)
3)
x 3 8 2x 2 5x 14
(3)
Gi¶i:
x 2
x
2
x 8
(1) x 2 3x 2 0
x 1
x 1
0 x 1
1) 2
2
x 3x 2 2x 5x 2 2
x 0
x 8x 0 x 8 x 2
H2
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S ( ; 8 0 ; 1 2 ; ) .
x 9
x 2 5 x 36 0
2) 2
x 4
2
2
x
10
x
8
x
5
x
36
x 2 15 x 44 0
( 2)
x 9
x 4
x 4
x 11
x 11
x 9
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S ; 11 9 ; .
3
x 8 0
3) 3
2
x 8 2x 5x 14
(3)
x 2
2
(x 1)(x x 6) 0
x 2
2 x 3
3
x 8
3
2
x 2x 5x 6 0
x 2
2
x x 6 0
2x3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = 2 ; 3 .
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 3x 4
2x2 x 5
2)
2 x 2 9 x 13
3)
2 x2 9 x 4
4)
2 x 2 12 x 16 x 2 3x 28
5)
x3 2 x 2 1
6)
x3 x 2
x 2 3x 2
x 2 3x 4
x2 x 2
x2 x 2 .
H3
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 2
f (x) 0
f(x) g(x) g(x) 0
f (x) g 2 (x)
f(x) 0
f(x) g(x) g(x) 0
f(x) g 2 (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 8x 7 + 3x 1
(1)
2) 2 9 8x x 2 + 1 < 9x
3)
1
(2)
1
<2
x
(3)
Gi¶i:
(1)
1) x2 8x 7 1 3x
1
x
3
2
x 8x 7 9x 2 6x 1
x7
x 1
x2 8x 7 0
1 3 x 0
2
2
x 8 x 7 1 3 x
1
x
3
2
8x 2x 6 0
1
x
3
3
x
4
x 1
x 1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = ; 1 .
9 8 x x 2 0
9 x 1 0
4(9 8 x x 2 ) (9 x 1) 2
(2)
2) 2 9 8x x2 < 9x 1
H4
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
1 x 9
1
x
9
2
2
4x 32x 36 81x 18x 1
1
x9
9
85x 2 50x 35 0
1
9 x 9
x 1
7
x
17
1 x 9
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = (1 ; 9].
x 0
(3)
1
3) 1 0
x
1
1 x 4
x 0
x 1
0
x
3x 1
x 0
x 0
1
x 1
x
x 0
3
x 1
x 1
3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
1
S = ; 1 ; .
3
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 2x 8 + 2 x
2)
2x 2 5x 2 + x 2
3)
3x 2 8x 3 + 1 2x
4) 3 (x 6)(x 2) 7 + 3 < 5x
5) 3 (x 6)(x 2) 7 + 2x < 6
6)
2x 4 5x 2 3 + 1 < x2.
H5
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 3
g(x) 0
f(x) 0
f(x) > g(x)
g(x) 0
2
f(x) g (x)
g(x) 0
f(x) 0
f(x) g(x)
g(x) 0
2
f(x) g (x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
3x 2 10x 3 x 1
(1)
2)
(x 1)(3 x) 3 4 3x
(2)
3)
2x 2 8x 1 x 2 1
(3)
Gi¶i:
x 1
1 x 3
3
x 1
3x 2 10x 3 x 2 2x 1
x 1 0
2
(1)
3x 10x 3 0
1)
x 1 0
3x 2 10x 3 x 12
x 1
2
4x 8x 4 0
x 1
2
4(x 1) 0
x 1
x 1
x 1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = 1 .
(2)
2) 4x x2 3x 4
3x 4 0
2
4x x 0
3x 4 0
4x x 2 (3x 4)2
H6
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
4
x 3
0 x 4
x 4
3
4x x 2 9x 2 24x 16
4
0 x 3
4
x
3
2
10x 28x 16 0
4
0
x
3
4
x
3
4 x 2
5
4
0
x
3
4 x 2
3
0x2
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = 0 ; 2 .
(3)
3) 2x2 8x 1 (x2 1)2
2x2 8x 1 x 4 2x2 1
x4 8x 0
x(x3 8) 0
x(x 2)(x2 2x 4) 0
x(x 2) 0
2 x 0
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = 2 ; 0 .
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x 3)(5 x) 15 4 2x
2)
x 2 5x 4 2 3x
3)
x 2 4x 5 x 11
4)
x 4 x2 1 x 1
5)
x 4 x 2 1 1 2x
6)
2x 4 5x 2 2 2x 2 1.
H7
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 4
f (x) g(x) p(x) q(x)
hoÆc:
f (x) g(x) p(x) q(x)
(Trong ®ã: f(x) + g(x) = p(x) + q(x)).
Ph-¬ng ph¸p:
f (x) 0
g(x) 0
§iÒu kiÖn:
p(x) 0
q(x) 0
B×nh ph-¬ng hai vÕ cña bÊt ph-¬ng tr×nh, sau ®ã ®-a vÒ d¹ng 1.
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 2 5 2x 2x 7 3x
(1)
2)
x 3 2x 5 3 3x 5 2x
(2)
3)
3 2x 4 3x 2x 2 x 3
(3)
Gi¶i:
1) §iÒu kiÖn: 0 x
(1)
7
3
x 2 5 2x
2
2x 7 3x
2
x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x
2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x)
2x 2 x 10 6x 2 14x
2x 2 x 10 6x 2 14 x
4x 2 13x 10 0
5
x 2 ; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn.
4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
5
S = ; 2.
4
2) §iÒu kiÖn:
5
x 1
2
H8
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
(2)
x 3 5 2x 3 3x 2x 5
x 3 5 2x
2
3 3x 2x 5
2
x 3 5 2x 2 3 x. 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x. 2x 5
2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5)
2x 2 x 15 6x 2 9x 15
2x2 x 15 6x2 9x 15
4x2 8x 0
x 0
x 2
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
5
S = ; 2 0 ; 1.
2
3) §iÒu kiÖn: –1 x
4
3
(3)
3 2x x 3 4 3x 2x 2
3 2x x 3
2
4 3x 2x 2
2
3 2x x 3 2 3 2x. x 3 4 3x 2x 2 2 4 3x. 2x 2
2 (3 2x)(x 3) 2 (4 3x)(2x 2)
2x2 3x 9 6x2 2x 8
2x2 3x 9 6x2 2x 8
4x2 5x 1 0
1
x 1; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
1
S = ; 1 .
4
Bµi tËp t-¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1
H9
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
2)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1
3)
2x 1 2x 2 x 1 3x 2
4)
x 1 3x 2 2x 1 2x 2
5)
5x 1 5x 7 2x 3 2x 5
6)
2x 3 x 2 4x 3 3x 4.
D¹ng 5
Cã nh÷ng bµi to¸n gÇn gièng d¹ng 2 vµ d¹ng 3, nh-ng g(x) ë ®©y lµ tam
thøc bËc hai, khi b×nh ph-¬ng hai vÕ sÏ dÉn ®Õn bÊt ph-¬ng tr×nh bËc bèn rÊt
khã gi¶i. Do ®ã ta cã c¸ch gi¶i kh¸c lµ ®Æt Èn phô, d-íi ®©y lµ mét sè bµi to¸n
minh ho¹.
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
(x 1)(x 2) x2 x 8
(1)
2)
6x 2 18x 12 10 3x x 2
(2)
3) 2 x2 2x 10 5 x(x 2)
(3)
Gi¶i:
1)
§Æt: t =
(x 1)(x 2) ;
t 0
t 2 x2 x 2 x2 x t 2 2
(1)
t 2
t t2 2 8 0 t2 t 6 0
t 3 (lo¹i)
VËy:
x 3
(x 1)(x 2) 2 x 2 x 2 4 x 2 x 6 0
x 2
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = ; 2 3 ; .
H 10
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
§Æt: t = 6x2 18x 12 ;
2)
t 0
12 t 2
3x x
6
t 6x 18x 12
2
2
12 t 2
t 10
6
(2)
VËy:
2
6t 60 12 t 2
t 2 6t 72 0
12 t 6
6x2 18x 12 6 x2 3x 2 6
x 2 3x 2 0
2
x 3x 2 6
x 2
x 1
2
x 3x 4 0
x 2
x 1
1 x 4
1 x 1
2 x 4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ
S = 1 ; 1 2 ; 4 .
§Æt: t = x2 2x 10 ;
3)
t 3
t 2 x2 2x 10
x(x 2) t 2 10
(3)
2t 5 t 2 10 t 2 2t 15 0 3 t 5
VËy:
x2 2x 10 5 x2 2x 10 25
x2 2x 15 0 5 x 3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ
S = ( 5 ; 3).
Bµi to¸n 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
x 2 2x (x 3)(1 x) 5 m
(*)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (*) víi m = 2.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm.
c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng x 4 ; 2.
Gi¶i:
(x 3)(1 x) 5 x2 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1)2
§Æt : t (x 3)(1 x) 5;
t 2 x2 2x 8
0t 3
x2 2x 8 t 2
H 11
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
(*)
8 t2 t m
t 2 t 8 m (**)
(**)
a) m = 2, t 2 t 8 2 t 2 t 6 0 2 t 3
VËy:
x2 2x 8 3 9 (x 1)2 3; nghiÖm ®óng x [–4 ; 2].
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (*) lµ
S = [–4 ; 2].
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm t tho¶
m·n: 0 t 3
Gäi f(t) = t 2 t 8;
0t 3
B¶ng biÕn thiªn:
t
0
1
2
+
33
4
f(t)
8
2 f(t)
33
;
4
2
t 0 ; 3
Do ®ã (**) cã nghiÖm t 0 ; 3
KÕt luËn: m
3
33
33
m m
4
4
33
, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm.
4
c) BÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng x 4 ; 2 bÊt ph-¬ng tr×nh (**)
nghiÖm ®óng t [0 ; 3].
Theo kÕt qu¶ phÇn trªn, cã: 2 m m 2.
KÕt luËn: m 2, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng x 4 ; 2 .
Bµi to¸n 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
2 (x 1)(x 7) 25 6x x2 m
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (1) víi m = 3.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.
H 12
(1)
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
Gi¶i:
(x 1)(x 7) 25 x2 6x 18 (x 3)2 9
§Æt : t (x 1)(x 7) 25 ;
t 3.
t 2 x 2 6x 18
x 2 6x t 2 18
(1)
2t t 2 18 m t 2 2t 18 m
(2)
(2)
a) m = 3, t 2 2t 18 3 t 2 2t 15 0 3 t 5
VËy:
x2 6x 18 5 x2 6x 18 25 x2 6x 7 0 1 x 7
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh lµ
S = 1 ; 7 .
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm t tho¶
m·n: t 3
Gäi f(t) = t 2 2t 18;
t 3
B¶ng biÕn thiªn:
t
-
1
3
+
f(t)
+
–15
f(t) 15 ;
t 3.
Do bÊt ph-¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm 15 m m 15
KÕt luËn: m 15, bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.
Bµi tËp t-¬ng tù.
Bµi 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1) x 2 12x 8 (x 2)(x 14) < 16
2) (x 1)(x 9) 4 10 x 2 10x 11
H 13
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
3) (x 2)
x 1
(x 1)(x 2) 6
x2
4)
(x 1)(x 2) 4 x x 2
5)
(1 x)(4 x) 2 x(x 5)
6)
(x 2)(4 x) 6x x 2 10 .
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x 1)(x 3) m 6 (x 1)(x 5)
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x 5 ; 1 .
Bµi 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh:
(x 1)(x 3) x 2 2x 10 m
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 7.
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm.
H 14
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
D¹ng 6
f (x) +
g(x) >
hoặc:
h(x)
f (x) +
g(x) ≥
h(x)
Phương pháp:
f (x) 0
Điều kiện: g(x) 0
h(x) 0
Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
một số bài toán mà sau khi bình phương hai vế sẽ đưa về dạng 2 hoặc dạng 3
hoặc dạng 5.
Bài toán. Giải các bất phương trình sau :
1)
5x ≥
2x 2 −
2)
1 x <
6x −
3)
x 1 +
2x <
4)
x 2 3x 2 +
x 1
(1)
x2
(2)
2x 2 x 1
(3)
x 2 4x 3 ≥
x 2 5x 4
(4)
Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5
(1)
5x +
2x 2
x 1 ≥
5 x x 1
2
2x 2
2
5 – x + x – 1 + 2 5 x . x 1 ≥ 2x + 2
2 (5 x)(x 1) ≥ 2x + 2 – 4
x 2 6x 5 ≥ x – 1
–x 2 + 6x – 5 ≥ (x – 1)2 (Hai vế không âm, do: 1 ≤ x ≤ 5)
–x 2 + 6x – 5 ≥ x2 – 2x + 1
2x2 – 8x + 6 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 3; thoả mãn điều kiện.
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là
S = [1 ; 3].
2) Điều kiện: x ≥ 2
(2)
1 x +
x2 <
x6
H 15
1 x x 2
2
6x
2
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
x + 1 + x − 2 + 2 1 x . x 2 < 6 + x
2 (x 1)(x 2) < x + 6 − 2x + 1
2 x2 x 2 < 7 − x
7 x 0
x 2
4(x 2 x 2) (7 x) 2
x 7
x 2
4x 2 4x 8 x 2 14x 49
2 x 7
2
3x 10x 57 0
2 x 7
19
3 x 3
2≤x<3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1
(3)
x 1 2x
2
<
2x 2 x 1
2
x − 1 + 2x + 2 x 1 . 2x < 2x 2 + x − 1
2 2x(x 1) < 2x 2 + x − 1 − 3x + 1
2 2x 2 2x < 2x 2 − 2x
− 2 2x 2x > 0
2x 2x 2x 2x 2 > 0
2x 2 2x
2
2
2
2
2x 2 2x 2
2
2x 2x 0
2x2 2x > 2
2x 2 − 2x > 4
x2 − x − 2 > 0
x 2
x 1
Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (3) là
S = (2 ; + ).
H 16
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
x 2
x 1
x 3
x 1
x 4
x 1
x 2 3x 2 0
4) Điều kiện: x 2 4x 3 0
x 2 5x 4 0
(4)
(x 1)(x 2) +
(x 1)(x 3) ≥
x 4
x 1
(x 1)(x 4)
+) Trường hợp 1: x ≥ 4
(4)
x2 +
x 3 ≥
x 4 ; nghiệm đúng x ≥ 4.
+) Trường hợp 2: x = 1, thay vào bất phương trình thoả mãn.
+) Trường hợp 3: x < 1
(4)
(1 x)(2 x) +
2x +
(1 x)(3 x) ≥
3 x ≥
2 x 3 x
(1 x)(4 x)
4x
≥
2
2 − x + 3 − x + 2 2x
4x
2
3 x ≥ 4 − x
2 2 x . 3 x ≥ 4 − x + 2x − 5
2 2 x . 3 x ≥ x − 1; nghiệm đúng x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (− ; 1] [4 ; + ).
Bài tập tương tự. Giải các bất phương trình sau:
1)
3x 3 +
5x < 2 x
2)
2x ≥
7x −
3)
x2 ≤
x 2 8x 2 −
4)
x 3 ≥
x 2 20 −
5)
x 1 ≤
x 2 4x 1 −
6)
x2 +
3 x < 11 x x 2
x 1
H 17
x 8
x 5
x 3
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
7)
2x +
x 3 > 11 x x 2
8)
x2 1 +
x 2 3x 2 ≤
9)
x 2 3x 2 >
10)
x2 1 +
x 2 8x 7
x 2 4x 3 +
x 2 5x 4
x2 x 2 .
x 2 2x 1 >
D¹ng 7
a
f(x) g(x) b f(x).g(x) m
(Trong ®ã: f(x) + g(x) = c; c = const)
Ph-¬ng ph¸p:
f (x) 0
§iÒu kiÖn:
g(x) 0
§Æt: t =
f (x) g(x) ;
t×m ®iÒu kiÖn cho t
(t 2 c)
2
Sau ®ã thay vµo bÊt ph-¬ng tr×nh vµ gi¶i tiÕp
f (x).g(x)
Chó ý: D¹ng nµy nÕu lµ ph-¬ng tr×nh, ta cßn cã c¸ch gi¶i kh¸c lµ ®-a vÒ hÖ
ph-¬ng tr×nh ®Ó gi¶i.
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
1)
x 1 4 x 1 2 4 3x x 2
(1)
2)
2x 1 9 16x 4x 2 9 2x 5
(2)
3) x + 10 x 2 x. 10 x 2 7
(3)
4) x
(4)
5 x 2 x. 5 x 2 1
Gi¶i:
1) §iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 4
§Æt: t = 1 x 4 x;
H 18
5 t 10
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
t2
1 x 4 x
2
t 2 1 x 4 x 2 1 x. 4 x
2 4 3x x 2 t 2 5
(1)
t 3
t 1 t2 5 t2 t 6 0
t 2; lo¹i
VËy:
1 x 4 x 3
1 x 4 x 2 4 3x x 2 9
2 4 3x x 2 4 4 3x x 2 4
x 2 3x 0
0 x 3; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ
S = (0 ; 3).
2) §iÒu kiÖn:
1
9
x
2
2
§Æt: t =
2x 1 9 2x;
10 t 10
t 2 2x 1 9 2x 2 2x 1. 9 2x
t 2 10 2 9 16x 4x 2
10 t 2
9 16x 4x
2
2
t 0
10 t 2
t
5 2t 10 t 2 10 t 2 2t 0
2
t 2
(2)
2x 1 9 2x 0
VËy:
2x 1 9 2x 2
+) Gi¶i (I):
(I)
(II)
2x 1 9 2x 2x 1 9 2x 4x 8 x 2
1
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: x 2
2
2x 1 9 2x
+) Gi¶i (II):
2x 1 9 2x
2
4
H 19
2x 1 9 2x
2
10 2 9 16x 4x 4
- Xem thêm -