SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán
quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….
Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên
quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương
trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng
toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi.
Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy,
véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài
toán quen thuộc.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn,với sự tích
lũy qua một số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo
cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận
dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh
tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy trong hội
đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong tổ Toán –
Tin học trường THPT Trần Phú. Tôi đã mạnh dạn cải tiến và bổ sung chuyên
đề “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA
ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi.
- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập nhiều
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo,
tự học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên
đề.
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý
kiến cuả đồng nghiệp.
2. Khó khăn.
- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 1/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian,
không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong
không gian.
- Đa số học sinh yếu môn hình học.
3. Số liệu thống kê
Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến Cực trị trong hình
học số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:
Không
Nhận biết,
nhận
nhưng không
biết biết vận dụng
được
Số lượng
Tỉ lệ ( %)
60
66,7
20
22,2
Nhận biết và
biết vận
dụng ,chưa giải
được hoàn
chỉnh
9
9,9
Nhận biết và
biết vận dụng
, giải được
bài hoàn
chỉnh
1
1.1
III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận.
Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có
được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay
kiến thức nâng cao).
Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian
để giải các bài toán được đặt ra.
2. Nội dung.
2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
M lên (α).
Viết phương trình đường thẳng
MH(qua M và vuông góc với (α))
Tìm giao điểm H của MH và (α).
Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với
M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình
chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung
điểm suy ra tọa độ M’.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 2/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên
đường thẳng d:
Viết phương trình tham số của d
Gọi H �d có tọa độ theo tham số t
H là hình chiếu vuông góc của điểm M
r uuuu
r
lên d khi ud MH 0
Tìm t, suy ra tọa độ của H.
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện
cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn =
k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d
uuur
uuuur
uuuur
hay mặt phẳng (α) sao cho k1 MA1 k2 MA2 ... kn MAn có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
uur
uuur
uuur
r
Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
Biến đổi
uuuu
r
uuuuu
r
uuuuur
uuu
r
uuu
r
k1 MA1 + k 2 MA 2 +...+ k n MA n = (k1 + k 2 +...+ k n )MI = k MI
uuu
r
Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d :
x- 4
y+1 z
=
= và hai điểm A 0;1;5 ,
1
1
1
B 0;3;3 . Tìm điểm M trên d sao cho
uuuu
r uuur
MA
+ MB có giá trị nhỏ nhất.
1)
uuuu
r uuur
2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
uur uu
r r
1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4)
uuuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uu
r
uuu
r
Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB 2 MI có giá trị nhỏ nhất
uuu
r
MI
<=>
nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d.
x=4+t
�
r
�
y = -1 + t
Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: �
�
z=t
�
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 3/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
uuu
r
Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) khi M là hình chiếu vuông góc
uuu
rr
của I lên đường thẳng d thì IM.u 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
Vậy M( 5; 0; 1).
uur
uur
r
2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0
Ta có: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
=>x = 0; y =
uuuu
r
13
7
13 7
, z = , vậy J(0; ; )
5
3
5 3
uuur
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r
uuu
r
Khi đó MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB ) 3MJ 3 MJ có giá trị nhỏ nhất
khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.
uuu
r
18
17
;t) khi M là hình chiếu
5
5
uuu
rr
vuông góc của J lên đường thẳng d thì JM.u 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1
uuuu
r uuur
Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.
Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t -
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1 ,
B -2;1;2 , C 1;-7;0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
uuur
1) MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
uuur
2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
uuur
uuu
r uuur
r
1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC
và G(0;-2;1)
uuuu
r uuur uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r
Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = 3 MG có giá trị
nhỏ nhất khi
r M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương
x = 2t
�
�
y = -2-2t
Phương trình tham số MG �
�
z = 1+3t
�
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0 � 17t 17 0 � t 1
uuuu
r uuur uuur
Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
uur uu
r uur r
2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB 3IC 0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 4/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
� x = 4; y = uuuu
r
23
3
23 3
; z = - , vậy I(4; ; )
2
2
2
2
uuur
uuur
uuu
r uur
uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r
Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC ) = 2MI có giá trị
nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)
�
�
x = 4+2t
�
23
�
Phương trình tham số MI: �y = -2t
2
�
3
�
z = +3t
�
�
2
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
73
73
23
3
2(4 2t) 2( 2t) 3( 3t) 10 0 � 17t
0� t
2
2
2
34
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
5 245 135
;
) thì MA -2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy với M( ;
17
34
17
Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+
….+ kn = k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho
tổng T = k1MA12 k2 MA22 ... kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn
nhất
Lời giải:
uur
uuur
uuur r
- Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k 2 IA 2 +...+ k n IA n 0
- Biến đổi : T = k1MA12 k 2MA 22 ... k nMA 2n =
uuu
r uur
uuur
= (k1 +...+ k n )MI 2 + k1IA12 k 2IA 22 .. k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IA n )
= kMI2 + k1IA12 k 2IA 22 ... k n IA 2n
Do k1IA12 k 2IA 22 ... k n IA 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất
khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay
đường thẳng.
Chú ý:
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI
nhỏ nhất
- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi
MI nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),
B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long
Khánh 2
1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 +
MB có giá trị nhỏTrang
nhất.5/33
2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA 2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn
nhất.
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Giải:
uur uu
r r
3 3
1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(2; ; )
2 2
uuu
r uur 2 uuu
r uu
r 2
2
2
Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB)
uuu
r uur uu
r
IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI2
Do IA 2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc củarI lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
�
�
x = 2+t
�
� 3
Phương trình tham số MI: �y = + 2t
� 2
3
�
z = +2t
�
�
2
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3
3
2 t 2( 2t) 2( 2t) 7 0 � 9t 9 0 � t 1
2
2
1 7
� M (1; ; )
2 2
1 7
Vậy với M (1; ; ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Nhận xét:
AB 2
Với I là trung điểm AB thì MA 2 + MB2 = 2MI2 +
, do AB2 không
2
2
2
2
đổi nên MA + MB nhỏ nhất khi MI có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình
chiếu vuông góc của I lên (α).
uur uur uur
r
2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0
Hay (1 x; 2 y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0;0;0)
�3 x 0
�
��
3 y 0 � J(3; 3;0)
�z 0
�
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r uur
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2 (MJ + JC) 2
uuu
r uur
uur uur
J A JB JC MJ + 2MJ(JA JB JC)
2
JA JB2 JC 2 MJ 2
2
2
2
2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 6/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Do JA 2 JB2 JC 2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ
nhất hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).
r
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2)
x = 3+t
�
�
Phương trình tham số MJ: �y = -3+ 2t
�
z = 2t
�
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
3 t 2(3 2t) 2.2t 7 0 � 9t 4 0 � t
4
9
23 35 8
; ; )
9
9 9
23 35 8
Vậy với M ( ; ; ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
9
9
9
� M(
x-1 y-2
z-3
=
=
và các điểm
1
2
1
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình:
A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
uur
uu
r
r
1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 0
Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y; 2 z) (0;0;0)
�4 x 0
�
��
3 y 0 � I(4; 3;6)
�
- 6+z 0
�
uuu
r uur
uuu
r uu
r
Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA) 2 2(MI + IB) 2
uuu
r uur
uu
r
IA 2 2IB2 MI 2 + 2MI(IA 2 IB) IA 2 2IB2 MI 2
Do IA 2 - 2 IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
x = 1+t
�
r
�
Đường thẳng d có vtcp u (1;2;1) , phương trình tham số d: �y = 2+ 2t
�
z = 3+ t
�
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 7/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
uuu
r
M �d � M(1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu
uuu
rr
vuông
góc
của
I
lên
đường
thẳng
d
thì
IM.u 0
2
1 2 7
� 6t 4 0 � t � M ( ; ; )
3
3 3 3
1 2 7
Vậy với M ( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
3 3 3
Nhận xét:
Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M
Với M �d � M(1 t; 2 2t; 3 t)
Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2
= - 6t2 – 8t +5
Xét hàm số f (t ) 6t 2 – 8t 5, t �R
Có đạo hàm f '(t ) 12t – 8t , f '(t ) 0 � t
2
3
Bảng biến thiên
t
�
2
3
�
f’(t)
f(t)
+
0
23
3
�
�
Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi t
1 2 7
3 3r 3uuur
uuur uuu
2
3
Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi M ( ; ; )
r
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm
tam giác ABC và G(2; 1; 1). uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) 2 + (MG + GB) 2 +(MG + GC) 2
uuuu
r uuur
uuur uuur
= GA 2 GB2 GC 2 +3MG 2 + 2MG(GA GB GC)
= GA 2 GB 2 GC 2 +3MG 2
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 8/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Do GA 2 GB2 GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG
nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông
góc
uuuu
r của G lên đường thẳng d.
M �d � M(1 t; 2 2t; 3 t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)
uuuu
rr
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì GM.u 0
1
1 5
� 6t 3 0 � t � M( ;1; )
2
2 2
1 5
Vậy với M ( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
2 2
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai
điểm A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá
trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía
với (α). Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm
của (α) và AB.
2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một
phía với (α). Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA +
MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là
giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương
trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điểm M trên
mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía
của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
uuurM là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0) làm vecto chỉ phương
�x 2 t
�
Phương trình tham số của AB: �y t
�z 2
�
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 9/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
� 3t 2 0 � t
2
3
4 2
3 3
Hay M( ; ;2) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1;
2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
2) MA - MC có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một
phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi
M là giao điểm của A’B với (α).
uur
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n (1; 1;2)
làm vecto chỉ phương
�x 1 t
�
Phương trình tham số AA’: �y 2 t
�z 1 2t
�
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1
3 3
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 � 6t – 3 = 0 hay t = � H( ; ; 0)
2
2 2
x A ' = 2x H x A 2
�
�
Do H là trung điểm AA’ nên �y A ' =2y H y A 1 � A '(2; 1; 1)
�
z A ' = 2z H z A 1
�
uuur
A’B có vtcp A'B (1;0; 3)
x 2t
�
�
Phương trình tham số A’B: �y 1
�
z 1 3t
�
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 � 5t 3 0 � t
13
4
3
hay M ( ;1; )
5
5
5
13
4
;1; ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
5
5
Vậy với M (
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 10/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai
phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC MA' - MC �A'C .
Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn
A’C, tức M là giao điểm của
và (α).
uuuA’C
u
r
Đường thẳng A’C có vtcp A'C (1; 3; 3)
x 2t
�
�
Phương trình tham số A’C: �y 1 3t
�
z 1 3t
�
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 � 4t 3 0 � t
5
4
5
4
5 5 5
3
hay M ( ; ; )
4
4 4 4
5
4
Vậy với M ( ; ; ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất.
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d.
Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1. Nếu d và AB vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
- Tìm giao điểm M của AB và (α)
- Kết luận M là điểm cần tìm.
2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau
Ta làm như sau:
- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham
số t
- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
- Tính tọa độ của M và kết luận.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d :
x-1 y + 2
z-3
=
=
và hai điểm C(-4; 1; 1),
2
2
1
D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 11/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
�x 1 2t
�
Đường thẳng d có phương trình tham số �y 2 2t
�z 3 t
� uuur
r
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u (2; 2;1) và CD (7;5; 4)
r uuur
Ta có u . CD = 14 -10 – 4 = 0 � d CD
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông
r góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d
và mp(P).
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 � 9t + 18 0 � t 2
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 2 17
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điểm M trên trục Ox
sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
r
uuur
Ox có vtcp i (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB (1;1; 2) và
r uuur
Ox và AB không vuông góc.
i.AB r1uu
�
ur0u�
uur
Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.
�x t
�
Phương trình tham số của Ox: �y 0
�z 0
�
M �Ox � M (t;0;0)
S = MA + MB = (t -3)2 0 4 (t -2)2 1 0 = (t -3)2 4 (t -2)2 1
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) �Ox và hai điểm
At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At
qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và A t'Bt � 3t - 7 = 0
7
3
7
3
hay t . Vậy M ( ;0;0) là điểm cần tìm.
Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 12/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Từ biểu thức S = (t -3)2 4 (t -2)2 1
Ta xét hàm số f t (t -3)2 4 (t -2)2 1 ( t ��)
t 3
t2
�
f
t
Có đạo hàm
t 3 2 4 t 2 2 1
f�
t 0 �
t 3
t 3
(t 3)
�
t 3 2 4
2
4
t2
t 2
(t 2)
t 2 2 1
2
1
0
(*)
với điều kiện 2 ≤ t ≤ 3 ta có:
2
2
2
2
(*) � t 3 [ t 2 1] t 2 [ t 3 4]
t 1 �[2;3]
�
t 3 2(t 2)
�
� t 3 4 t 2 � �
�� 7
�
t
3
2(
t
2)
t
�
� 3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
2
2
7
3
�
t
f’(t)
-
�
0
+
f(t)
�
�
38 10
3
�7 � 38 10
Từ bảng biến thiên suy ra min f t f � �=
�3 �
3
7
38 10
, đạt được tại t , tức là
3
3
Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng
7
3
M( ; 0; 0)
-1
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần x-2
Phú - Thịy-2
xã Longz Khánh
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d :
2
=
2
=
1
và hai điểm A(-1;Trang
1; 1),13/33
B(1;
4; 0). Hãy tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ
nhất
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Giải:
�x 1 2t
�
Đường thẳng d có phương trình tham số �y 2 2t
�z 1 t
�uuur
r
qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u (2;2;1) và AB (2;3; 1)
r uuur
Tar có
. ur = 4 + 6 – 1 = 9 ≠ 0 � d không vuông góc với AB và
u
uuur uuCD
[u, AB ]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6 � d và AB chéo nhau
- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p
đạt giá trị nhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét điểm M �d � M (1 2t; 2+2t ;1 t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị
nhỏ nhất
Xét f t MA + MB = (2t 2) 2 (2t 1) 2 t 2 (2t ) 2 (2t 2) 2 (t 1) 2
f t = 9t 2 12t 5 9t 2 6t 5 = (3t 2)2 1 (3t 1) 2 4
3t 2
3t 1
Có đạo hàm f '(t )
2
(3t 2) 1
(3t 1) 2 4
f '(t ) 0 �
�
3t 2
(3t 2) 1
3t 2
2
(3t 2) 1
2
3t 1
(3t 1) 4
(3t 1)
2
(3t 1) 4
2
0
2
3
1
3
với �t �
� (3t 2) 2 [(3t 1) 2 4] (3t 1) 2 [(3t 2) 2 1]
� 5
t
�
2(3t 2) 3t 1
�
1
3
2
2
� 4(3t 2) (3t 1) � �
��
�t
2(3t 2) 3t 1 � 1
3
�
t
�
� 3
Bảng biến thiên của hàm số f(t) :
t
�
1
3
�
f’(t)
0
+
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 14/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
�
f(t)
�
3 2
Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t =
1
3
2 4 1
Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2
3 3 3
Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số
thì việc tìm t sẽ đơn giản hơn.
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm M d1,
N d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
- Viết phương trình hai đường thẳng
dạng tham số
- Lấy M �d1 và N �d 2 ( tọa độ theo
tham số).
uuuu
rr
- Giải hệ phương trình MN.u1 0 và
r r
uuuu
rr
MN.u 2 0 ( u1 , u 2 là các véctơ chỉ
phương của d1 và d2 ).
- Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng
d1 :
x-5 y+1 z -11
x+ 4
y-3 z - 4
=
=
=
=
, d2 :
1
2
-1
7
2
3
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau
2) Tìm điểm M�d1 và N�d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
uu
r
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1; 2; 1)
uur
d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u 2 (7;2;3)
uu
r uur uuuuuur
Ta có [ u1 , u 2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 �0
Hay d1 và d2 chéo nhau.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 15/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
2). M �d1 và N �d 2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ
dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng
x 5t
x 4 7 t
�
�
�
�
d1: �y 1 2t , d2: �y 3 2t
�
�
z 11 t
z 4 3t
�
�
M �d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N �d 2 nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
uuuu
r
MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
uuuu
rr
�
MN
6t ' 6t 6 0
t2
�
�
� .u1 0
��
��
Ta có �
uuuu
rr
62t ' 6t 50 0
t ' 1
MN.u 2 0
�
�
�
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .
x 2t
�
�
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: �y 4 t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm
�
z 2
�
điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông
góc của M lên AB
- Tam giác MAB có diện tích S =
1
AB.MH đạt
2
giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là
đoạn vuông góc chung của AB và d.r
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0)
uu
r
uuu
r
AB qua A(1; 2; 3) và AB (0; -2;-2) = 2u1
uu
r
với u1 (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB
x 1
�
�
Phương trình tham số AB �y 2 t '
�
z 3t'
�
uuuu
r
M(2 + t; 4+ t; -2) �d ,H(1; 2+ t’;3+t’) �AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5)
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 16/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
uuuu
rr
�
MH
t ' 2t 3
t ' 3
�
�
� .u 0
�
�
Ta có �
uuuu
r uu
r
�
�
2t ' t 3
t 3
MH.u1 0
�
�
�
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH = 2 3 , AB = 2 2
1
Diện tích S MAB AB.MH 6
2
x0
�
�
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: �y t . Trong các mặt cầu tiếp xúc
�
z 2t
�
với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)
có bán kính nhỏ nhất.
Giải:
- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với
Ox tại N
- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất
là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc
chung của d và Ox.
r
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1)
r
Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0)
r r uuuu
r
[ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 �0 nên d và Ox chéo nhau.
uuuu
r
Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và MN ( t’; -t; t – 2)
uuuu
rr
�
MN.u 0
t t 2 0
t 1
�
�
�
��
��
Ta có �
uuuu
rr
t' 0
t' 0
MN.i 0
�
�
�
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
1 1
2 2
MN
2
1
1
Phương trình mặt cầu (S): x 2 ( y ) 2 ( z )2
2
2
Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R =
2
2
1
2
2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt
phẳng.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 17/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B
một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt
phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và
khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α))
lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách
điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D
và vuông ugóc
ur với DI.
(α) nhận DI (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0
� 2x + y – 5z + 15 = 0
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A.
Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt
cầu (S) có bán kính lớn nhất.
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc
với
uuu
r AB
BA (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α)
Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 � x + 2y + 2z – 1 = 0
1 1 6 1
3
R = d(A; (α)) 2
2
2
1 2 2
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương
trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A
lên ∆
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 18/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, khi đó (α) là mặt
phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆,
A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương
trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn
nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α)
đi
uuurqua hai điểm uA,
uur B và vuông góc với mp(ABC).
AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2)
r uuur uuur
(ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB, AC ] (1;4; 5)
uur r uuu
r
(α) có véctơ pháp tuyến n [n, AB] (9 6; 3) 3(3; 2;1)
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
� 3x + 2y + z – 11 = 0
Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 :
x 2 y 1 z 1
x
y 3 z 1
, d2 :
1
2
2
2
4
4
1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau.
2) Trong các mặt phẳng chứa d 1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α)
sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất.
uu
r
1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 (1; 2; 2)
uur
d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u 2 (2; 4;4)
uur
uu
r
Ta thấy u 2 2u1 và M1 �d 2 nên hai đường thẳng
song song với nhau.
2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có
véctơ
pháp
r
u
u
r uuutuyến
uuur
uur
n1 [u1 , M1M 2 ] (8;2;6) 2(4;1;3) 2n 2
Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải
vuông góc với (α1u).u
r uur
Do đó (α) nhận [u1 , n 2 ] (8; 11; 7) là véctơ pháp
tuyến, qua M1(2; 1; -1).
Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0
hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
Trang 19/33
SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α).
Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn
nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai
điểm A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3).
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm
B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất .
2) Lớn nhất.
uur
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1)
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
x 2 2t
�
�
Phương trình BH: �y 3 2t
�
z 5t
�
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 � t 2 hay H(-2; 7;u3)
uur
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy AH (1;4;6) là
véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:
x+3 y-3 z +3
1
4
6
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và
vuông góc với AB.
uur uuur uur
∆ có véctơ chỉ phương u [AB, n ] (16;11; 10)
Phương trình của ∆:
x+3 y-3 z +3
16
11 10
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(2; -1; 3), Trang
vuông
góc
20/33
Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh
với đường thẳng d:
lớn nhất.
x-3 y+2 z +5
và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng
1
2
3
- Xem thêm -