Teân saùng kieán: KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH TRONG GIẢI
TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7
A- ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài:
a. Cơ sở lý luận:
Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng.
Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát
triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những
hiểu biết của mình vào trong thực tế cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp
các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em phát triển một cách
toàn diện.
Việc tìm kiến thức lời giải cho một bài toán rèn luyện phương pháp khoa
học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong giải quyết các vấn đề,... và qua đó rèn
luyện trí thông minh sáng tạo, phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ.
Việc tìm ra lời giải của một bài toán khó, phương pháp mới, độc đáo của
một bài toán gây nên sự hoà hứng, phấn chấn, khoái trá,... điều đó có ý nghĩa to
lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang
trong lĩnh vực nghiên cứu, khám phá, phát minh những vấn đề mới.
b. Cơ sở thực tiễn:
Hieän nay moân toaùn ôû baäc THCS ñaõ ñöôïc Boä GD–ÑT thay ñoåi noäi dung
SGK laãn phöông phaùp daïy hoïc töø lôùp 6 ñeán lôùp 9, nhaèm muïc tieâu phaùt trieån
trí tueä cuûa hoïc sinh, giuùp caùc em phaùt trieån oùc quan saùt, phaùt huy tính ñoäc laäp
saùng taïo cuûa baûn thaân, giaûm ñi tính tröøu töôïng, ñeå töø ñoù caùc em haêng say
thích thuù, tìm toøi hoïc hoûi boä moân toaùn.
Söï phaùt trieån cuûa xaõ hoäi, söï phaùt triển cuûa khoa hoïc coâng ngheä cuûa caùc
nöôùc treân theá giôùi ñoøi hoûi chuùng ta caàn phaûi ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc ôû
baäc THCS.
Ñaëc tröng cuûa boä moân hình hoïc ôû THCS laø moân hoïc ñoøi hoûi hoïc sinh
ngoaøi vieäc tính toaùn chính xaùc ra coøn caàn phaûi coù tính tröøu töôïng cao, coù oùc
quan saùt tinh teá. Beân caïnh ñoù hoïc sinh coøn phaûi coù khaû naêng suy luaän, lí giaûi
toát. Cho neân hình hoïc ñöôïc xem laø moân hoïc khoù ñoái vôùi caùc em hoïc sinh nhaát
laø trong vieäc chöùng minh moät vaán ñeà: ña soá caùc em khoâng bieát baét ñaàu töø ñaâu
? caàn phaûi laøm gì ñeå chöùng minh vaán ñeà ñoù ? - ñaây laø ñieàu thöôøng baét gaëp
ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 7. Lí do hoïc sinh khi hoïc ñeán lôùp 7 môùi laàn ñaàu tieân ñöôïc
laøm quen vôùi vieäc chöùng minh moät soá vaán ñeà hình hoïc cô baûn. Chính vì leõ ñoù
maø caùc em gaëp nhieàu luùng tuùng trong chöùng minh.
Trang 1
Trong phaàn naøy toâi seõ toång keát laïi caùc gợi ý chöùng minh thöôøng ñöôïc
söû duïng khi giaûi toaùn hình hoïc trong chöông trình lôùp 7. Thöïc chaát ñaây laø
nhöõng kinh nghieäm giaûi toaùn giuùp cho vieäc saép xeáp caùc suy nghó ngay töø khi
baét ñaàu chöùng minh.
2. Sơ lược lịch sử vấn đề :
- Trong chương trình toán THCS, qua kết quả thực tế trong các kì thi nói
chung và các bài kiểm tra thường xuyên và định kì cho thấy khi học sinh giải bài
tập hình học với dạng chứng minh các em không biết bắt đầu từ đâu ? dựa vào
dữ kiện gì ? rồi lập luận như thế nào để đi đến kết luận đúng theo yêu cầu của
một bài toán chứng minh; Và không ít giáo viên cũng đã gặp lúng túng khi
hướng dẫn học sinh mình làm một bài tập chứng minh ( do chưa xác định được
dạng của bài tập chứng minh, rồi cách nối từ điều đề bài đã cho (Giả thiết) để đi
đến điều cần được suy ra (Kết luận); cách trình bày phân tích đi lên khi chứng
minh; cũng như là lật ngược vấn đề (chứng minh theo phương pháp phản
chứng).
- Với vai trò là giáo viên dạy bộ môn Toán trong thời gian qua tôi đã
chứng kiến thực tế những khó khăn của học sinh khối 7 khi giải bài toán chứng
minh hình học vì các em vừa mới tập tành trong việc làm quen với dạng toán
chứng minh và đây cũng là nền tảng kiến thức hình học cơ bản - điều hết sức
quan trọng định hướng cho việc khám phá kiến thức hình học không gian. Chính
vì lẽ đó tôi đã qpa1 dụng cũng như là quyết định chọn đề tài “kinh nghiệm giúp
học sinh trong giải toán chứng minh hình học ở lớp 7” – thông qua nội dung này
dẫn dắt học sinh những bước làm quen ban đầu đối với việc chứng minh một bài
toán hình học: phân tích đề ( tìm hiểu nội dung của giả thiết và kết luận -> nối từ
giả thiết đến kết luận ); trình bày chứng minh theo phương pháp tổng hợp và
phương pháp phản chứng và một số cách chứng minh thường gặp trong chương
trình toán 7. Điều này giúp học sinh có cái nhìn toång hôïp caùc kieán thöùc cô baûn
khi giaûi toaùn nhaèm giuùp hoïc sinh coù ñònh höôùng ngay töø ñaàu khi giaûi quyeát
vaán ñeà chöùng minh yeáu toá hình hoïc; Traùnh söï luùng tuùng khoâng bieát baét ñaàu töø
ñaâu khi gặp bài toán chứng minh.
3) Phaïm vi ñeà taøi:
Laø chöông trình SGK toaùn 7 (phaàn hình hoïc) và một số mãng kiến thức toán 8
maø troïng taâm ñoù laø moät soá caùch chöùng minh thöôøng gaëp trong hình hoïc 7.
B- NỘI DUNG:
1. Thực trạng:
a. Nghiên cứu tình hình:
Do hoïc sinh lôùp 7 laàn ñaàu tieân ñöôïc laøm quen vôùi vieäc chöùng minh hình
hoïc cho neân caùc em coøn bôõ ngôõ vaø gaëp khoâng ít khoù khaên khi giaûi toaøn baøi
toaùn chöùng minh. Do vaäy maø coøn moät boä phaän khoâng nhoû hoïc sinh chöa theå
laøm hoaøn chænh moät baøi toaùn chöùng minh hình hoïc; chính ñieàu naøy ñaõ laøm
Trang 2
haïn cheá söï ham thích khi hoïc boä moân daãn ñeán keát quaû hoïc sinh coù ñieåm yeáu
keùm trong caùc laàn kieåm tra hình hoïc chieám tæ leä khaù cao.
Nguyeân nhaân cô baûn: Hoïc sinh chöa coù söï ñònh höôùng trong chöùng
minh; chưa phân tích đề bài; chưa biết lập luận sao cho phù hợp. Vaø nhö ñaõ noùi:
caùc em chöa bieát phaûi laøm gì vaø baét ñaàu töø ñaâu ñeå chöùng minh cuõng nhö khai
thaùc moät vaán ñeà hình hoïc.
b. Thực trạng
Thực tế cho thấy trong quaù trình giaûng daïy toâi nhận thấy có khoâng ít caùc
hoïc sinh – nhaát laø hoïc sinh lôùp 7 raát e ngaïi khi giaûi moät baøi toaùn hình hoïc
nhaát laø dạng toán chöùng minh moät vaán ñeà naøo ñoù. Bôûi leõ caùc em chöa bieát
neân baét ñaàu töø ñaâu khi chöùng minh moät yeáu toá hình hoïc. Ñaëc bieät laø söï phoái
hôïp, lieân thoâng giöõa caùc kieán thöùc cô baûn trong hình hoïc ñeå töø ñoù töï xaây döïng
moät neàn taûng cô baûn laøm haønh trang kieán thöùc caàn thieát cho baûn thaân.
2. GIẢI PHÁP:
2.1) Gợi ý về chứng minh hình học 7:
2.1.1) Bài toán chứng minh hình học là gì ?
Chứng minh một bài toán hình học là dựa vào điều đã biết ( gồm giả thiết
của bài toán, các định nghĩa, tiên đề, định lí đã học ) và bằng cách suy luận đúng
đắn để chứng tỏ rằng kết luận của bài toán là đúng.
Dạng chung của bài toán chứng minh là: A => B, trong đó A là giả thiết
của bài toán, B là kết luận của bài toán.
2.1.2) Gợi ý tìm tòi chứng minh một bài toán hình học 7:
a) Nghiên cứu đề toán:
Đọc kỉ đề toán để hiểu rõ: Đề bài cho những gì ? Đề bài yêu cầu
chứng minh điều gì ? Từ đó tóm tắt đề bài dưới dạng giả thiết và kết luận.
b) Tìm hiều nội dung giả thiết:
Dựa vào các kiến thức đã học, tìm xem: từ nội dung của giả thiết, ta
có thể suy ra các tính chất gì, các quan hệ gì ?
a
E 1
2 3
Chẳng hạn đề bài cho a //b ( hình bên ) ta suy ra:
E1 F1 ; E2 F1 ; E 3 F 1 1800
b
1
F
c) Tìm hiểu nội dung của kết luận:
Tìm xem: Để đi đến kết luận, ta cần phải chứng minh điều gì ? trong các
điều ấy, điều nào đã biết, điều nào còn phải chứng minh.
Chẳng hạn: Đề bài yêu cầu chứng minh
AMB DMC ( hình bên ) đã cho MB = MC, MD = MA.
Vậy thì ta còn phải chứng minh góc AMB bằng góc CMD.
Trang 3
A
/
B
//
M
C
//
/
D
d) Nối từ giả thiết đến kết luận:
Trong quá trình tìm tòi lời giải, ta dùng phương pháp phân tích đi lên:
Để chứng minh B ( là kết luận), ta tìm cách chứng minh C.
Để chứng minh C, ta tìm cách chứng minh D,...cuối cùng ta tìm cách
chứng minh H.
Nếu từ giả thiết mà ta chứng minh được H thì ta đã tìm được cách giải bài
toán bằng cách nối từ giả thiết đến kết luận.
A => H => ... => D => C => B.
A
Ví dụ: Cho hình bên.
\
Hãy chứng minh OBC là tam giác cân.
/
D
E
O
\\
//
GT
ABC , AD=AE
KL
BD = CE
OBC là tam giác cân
B
1
1
2
2
C
Phân tích đi lên:
- Đề chứng tỏ OBC là tam giác cân, ta phải chứng minh B 2 C 2 .
- Ta đã biết B C nên để chứng minh B 2 C 2 , ta cần chứng minh B1 C 1 ,
muốn vậy ta chứng minh AEB ADC .
- Mà AEB ADC ( cạnh – góc – cạnh )
2.1.3) Gợi ý trình bày bài toán chứng minh hình học:
Sau khi vẽ hình, ghi kí hiệu, ghi giả thiết và kết luận, ta trình bày chứng minh
theo trình tự ngược lại của bước phân tích đi lên tức là ta trình bày lời giải theo
phương pháp tổng hợp.
Chẳng hạn trình bày lời giải theo ví dụ ở trên như sau:
AEB và ADC có:
AD=AE ( Giả thiết )
BD = CE ( tổng của hai đoạn thẳng bằng nhau )
Trang 4
A là góc chung.
Do đó
ABC
AEB ADC ( c – g – c ) suy ra
B1 C 1
có AB = AC nên là tam giác cân. Suy ra: B C . Do đó:
B B1 C C1
B 2 C 2
OBC có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân.
.
2.1.4) Gợi ý trình bày bài toán chứng minh hình học theo
phương pháp phản chứng:
Một số bài toán hình học được chứng minh bằng phương pháp phản
chứng.
Chứng minh phản chứng gồm 03 bước:
- Bước 1 ( phủ định kết luận ): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.
- Bước 2 ( đưa đến mâu thuẫn ): Từ điều giả sử trên, từ giả thiết của bài toán
và các kiến thức đã học, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay kiến thức đã
học.
- Bước 3 ( Khẳng định kết luận): Vậy kết luận của bài toán là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng từ tiên đề Ơ-clit, ta suy ra: Nếu hai đường thẳng phân
biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
GT
KL
a // c
b // c
a // b
- Bước 1: Giả sử a không song song với b.
- Bước 2: Thế thì a và b cắt nhau tại một điểm, gọi giao điểm đó là O. Qua O
ta có hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với đường thẳng c,
điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ-clit.
- Bước 3: Vậy a phải song song với b.
2.2) GÔÏI YÙ THÖÔØNG ÑÖÔÏC SÖÛ DUÏNG TRONG GIAÛI TOAÙN
CHÖÙNG MINH HÌNH HOÏC 7
2.2.1. Chứng minh góc:
2.2.1.a) Chứng minh hai góc là đối đỉnh :
Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng
một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là
tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức là hai cạnh của một góc là tia đối của hai
cạnh của góc kia ( định nghĩa ).
2. Chứng minh rằng xOy = x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai
tia Oy và tia Oy' nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx'
(hệ quả của định nghĩa ).
2.2.1.b) Chöùng minh hai goùc baèng nhau:
Trang 5
Ñeå chöùng minh hai goùc baèng nhau ta coù theå thöïc hieän moät trong caùc caùch
sau:
1. Chứng minh hai góc có cùng số đo.
2. Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba, chứng minh hai góc
cùng phụ với một góc, chứng minh hai góc cùng bù với một góc .
3. Chứng minh hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tương ứng bằng
nhau.
4. Chứng minh hai góc đó đối đỉnh.
5. Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song
song hoặc vuông góc.
6. Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng
nhau.
7. Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân.
8. Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều.
9. Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc.
10. Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng
vị, so le, ...)
2.2.2. Chứng minh đoạn thẳng:
2.2.2.a) Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng :
Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể
dùng một trong những phương pháp sau đây:
1. Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa ).
2. Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ
quả của định nghĩa ).
3. Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả
của định nghĩa ).
4. Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
2.2.2.b) Chöùng minh hai ñoaïn thaúng baèng nhau:
Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong
những phương pháp sau đây :
1 .Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
3. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, ... của hai đoạn thẳng
bằng nhau đôi một.
4. Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác
bằng nhau.
5. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam
giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v...
6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm
của đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến của tam giác,định nghĩa trung trực
của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc .
7. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền.
Trang 6
8. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba
đường phân giác trong tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực
trong tam giác.
9. Chứng minh dựa vào định lí Pitago.
2.2.3. Chứng minh song song, vuông góc:
2.2.3.a) Chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn
thẳng:
Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng
AB ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng a vuông góc với AB tại trung điểm I của AB ( định
nghĩa )
2. Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB.
2.2.3.b) Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :
Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau
đây :
1. Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau :
a
4A 3
ˆ Bˆ
A
hoặc Aˆ 2 Bˆ 2 ( dấu hiệu song song )
1 2
1
1
2. Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau :
ˆ B
ˆ
A
hoặc Aˆ 2 Bˆ 4 hoặc Aˆ3 Bˆ1 hoặc Aˆ 4 Bˆ 2
b 2 1
1
3
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
3 B4
3. Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau :
Aˆ1 Bˆ 2 180 0 hoặc Aˆ 2 Bˆ 4 180 0
c
( Dẫn tới dấu hiệu song song ).
4. Chứng minh hai góc sole ngoài bằng nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
5. Chứng minh hai góc ngoài cùng phía bù nhau
(Dẫn tới dấu hiệu song song ).
c
6. Chứng minh a và b cùng vuông góc
a
với một đường thẳng c nào đó.
7. Chứng minh a và b cùng song song
với một đường thẳng c nào đó.
b
8. Để chứng minh a//b . Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều
vô lý ( chứng minh bằng phản chứng )
2.2.3.c) Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể dùng một
trong những phương pháp sau đây :
1. Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là
góc vuông (định nghĩa ) .
2. Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.
3. Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0
,đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 0 .
4. Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vuông góc với một trong hai
đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia ".
5. Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa
đường trung trực của đoạn thẳng.
Trang 7
6. Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều.
7. Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác.
8. Chứng minh dựa vào định lí Pitago
9. Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác
này có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
2.2.4. Chứng minh tam giác:
2.2.4a) Chöùng minh tam giaùc caân
Ñeå chöùng minh moät tam giaùc laø caân, ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch
sau:
1.1. Chöùng minh noù coù 2 goùc baèng nhau.
1.2. Chöùng minh noù coù 2 caïnh baèng nhau.
1.3. Chöùng minh noù coù moät ñöôøng trung tuyeán vöøa laø ñöôøng
cao hoaëc phaân giaùc.
2.2.4b) Chöùng minh tam giaùc ñeàu
Ñeå chöùng minh moät tam giaùc laø ñeàu, ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch
sau:
1.1. Chöùng minh tam giác có 3 caïnh baèng nhau.
1.2. Chöùng minh tam giác có coù 2 goùc baèng 600.
1.3. Chöùng minh tam giác caân coù 1 goùc baèng 600.
2.2.4c) Chöùng minh tam giaùc vuoâng:
Ñeå chöùng minh moät tam giaùc laø vuoâng, ta coù theå söû duïng moät trong caùc
caùch sau:
3.1. Söû duïng ñònh lí Pytago đảo.
3.2. Chöùng minh noù coù moät goùc vuoâng baèng caùch söû duïng caùc
caùch chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc.
3.3. Chöùng minh noù coù moät trung tuyeán baèng 1/2 caïnh töông öùng.
2.2.5. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau:
Muốn chứng minh rằng hai tam giác vuông bằng nhau ta có thể dùng một
trong những phương pháp sau:
1. Chứng minh hai tam giác ấy có hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi
một (c.g.c).
2. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
từng đôi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau c.g.c)
3. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một cạnh góc vuông
bằng nhau từng đôi một (định lí )
4. Chứng minh hai tam giác ấy có một cạnh góc vuông và một góc nhọn
bằng nhau từng đôi một (dẫn tới trường hợp bằng nhau g.c.g)
2.2.6. Chứng minh ba điểm thẳng:
Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những
phương pháp sau:
Trang 8
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối
nhau.
x
Ta có BAx + xAC = 180 0
B, A, C thẳng hàng.
B
A
C
2. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường
thẳng.
3. Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng
bằng tổng của hai đoạn thẳng kia.
A
C
B
B
A
C
;
AB = AC + CB
BC = BA + AC
A
B
C
AC = AB + BC
4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với
đường thẳng thứ ba
A
B
C
a
AB, AC cùng song song với a
hoặc BA, BC cùng song song với a
hoặc CA, CB cùng song song với a
A, B, C thẳng hàng .
5. Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh.
B
1
A
a
2
C
Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được Aˆ1 Aˆ 2 thì ba điểm B, A, C
thẳng hàng.
6. Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc
với đường thẳng thứ ba
AB, AC cùng vuông góc với a
A, B, C thẳng hàng.
hoặc BA, BC cùng vuông góc với a
hoặc CA, CB cùng vuông góc với a
7. Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba.
Trang 9
8. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, ... trong tam giác.
2.2.7. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những
phương pháp sau:
1. Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba
đi qua giao của hai đường thẳng trên.
2. Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng.
3. Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường
thẳng chứa các đường trung tuyến, các đường phân giác, các đường trung trực,
các đường cao của tam giác.
4. Ñöa veà vieäc chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng.
2.3. Một số bài toán áp dụng:
1. Bài toán 1.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a cho trước. Gọi I là một điểm trên
đường thẳng a sao cho AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một
điểm của đường thẳng a. Trên a lấy hai điểm B và C sao cho I là trung điểm của
đoạn BC và BC = AI.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
b. Gọi Bx là tia phân giác của góc ABC. Chứng minh rằng tia Bx không
cùng vuông góc với đường thẳng AC.
Giải
a.Vì AI là đoạn nhỏ nhất trong các đoạn nối điểm A với một điểm của
đường thẳng a nên AI BC.
A
Hơn nữa, I là trung điểm của BC
x
nên AI là đường trung trực của
K
đoạn BC.
Do đó AB = AC, nghĩa là tam a
giác ABC cân tại A.
B
I
C
b.Xét tam giác vuông AIB .
Ta thấy cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất,nên: AB > AI AB > BC.
Gọi K là giao điểm của Bx và AC.Ta cần chứng minh : BK không vuông góc
với AC. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử BK AC . Vì BK là phân giác của góc B nên tam giác ABC cân đỉnh B,
tức là BA = BC.
Vô lí, vì ở trên đã chứng minh được AB > BC.
Như vậy, giả sử BK AC là sai, nghĩa là BK không vuông góc với AC, hay
Bx không vuông góc với AC.
2. Bài toán 2.
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường
trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực của đoạn thẳng OB
cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
Trang 10
a) CE = OD;
b) CE CD;
c) CA = CB;
d) CA // DE;
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
a)Chứng minh CE = OD
Ta có : CE // OD (cùng vuông góc
với OB) suy ra Cˆ 1 Oˆ 1 (so le trong)
OCE COD (cạnh huyền góc nhọn)
suy ra CE = OD
Giải
y
B
E
C
1
b)Chứng minh CE CD
Ta có :CD // OE (cùng vuông góc
O 1
với OA)
D
A
x
BEC
ECD
suy ra
(so le trong).
0
Ta lại có BEC 90 nên ECD 90 0
Vậy CE CD.
c)Chứng minh CA = CB
Ta có : CD là đường trung trực của OA CO = CA. CE là đường trung trực
của OB CO = CB.
Do đó CA = CB.
d) Chứng minh CA // DE
Ta có CE = OD (theo câu a))
mà OD = DA nên CE = DA
Ta lại có ECD 90 0 (theo câu b))
Do đó ECD ADC (c.g.c) CDE ACD CA // DE (hai góc so le
trong bằng nhau.
e) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
Cách 1 : Theo câu d): CA // DE. Chứng minh tương tự ta cũng có: CB // DE.
Qua C ta có CA và CB cùng song song với DE nên theo tiên đề Ơ-clit thì ba
điểm A , C, B thẳng hàng.
Cách 2 : Ta có CO = CA OCA cân đường cao CD là đường phân giác
của góc OCA OCD ACD OCA 2 OCD .
Chứng minh tương tự , ta cũng có: OCE BCE OCB 2 OCE
Dođó:
OCA OCB 2 OCD 2 OCE 2(OCD OCE ) 2 ECD 2 90 0 180 0
Vậy ba điểm A , C, B thẳng hàng.
3. Bài toán 3.
Cho tam giác ABC,có trung tuyến AM, các điểm E,D thuộc các cạnh AB,AC
sao cho AE =
1
3
AB và AD =
1
3
AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng
quy.
Giải.
Trang 11
A
MB = MC
GT : AE =
AD =
1
3
1
3
E
AB
D
O
AC
B
Q
C
KL : AM, BD, CE đồng quy.
M
Lời giải (tóm tắt)
Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB
Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC
Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có MQ // BD
Xét tam giác AMQ có:
AD = DQ ( gt)
OA = OM
DO // MQ
Vậy O là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta có CE qua trung điểm O của AM.
Vậy AM , BD và CE đồng quy.
3. Kết quả đạt được:
Thoâng qua caùc tieát töï choïn giaùo vieân gôïi yù cho hoïc sinh veà noäi dung
saùng kieán treân. Kết quả nhìn chung khá khả quan, học sinh biết cách phân tích
đề và có tiến bộ trong lập luận chứng minh.
Về đầu năm tỉ lệ điểm yếu kém của học sinh qua các lần kiểm tra hình học
khá thấp, cụ thể bài kiểm tra hình học đầu năm trong học kì I ở lớp 7A2 và 7A3
năm học 2016 - 2017:
Toång soá
Tæ leä
hoïc sinh
Gioûi
Khaù
TB
Yeáu
Keùm
7A2 (45)
9
8
17
7
4
20%
17,8%
37,8%
15,6%
8,9%
7A3 (44)
5
7
14
10
8
11,4%
15,9%
31,8%
22,7%
18,2%
Tuy nhiên qua việc vận dụng các gợi ý cho học sinh khi giải bài toán hình
học cụ thề nêu trên thì qua quá trình cố gắng tìm tòi và phấn đấu của học sinh thì
tỉ lệ điểm của bài kiểm tra hình xét về điểm yếu kém thì có sự thay đổi đáng kể.
Sau đây là kết quả của một bài kiểm tra 1 tiết hình học gần nhất trong nửa đầu
học kì II naêm hoïc 2016 – 2017, ở lôùp 7A2 và 7A3 như sau:
Toång soá
Tæ leä
hoïc sinh
Gioûi
Khaù
TB
Yeáu
Keùm
7A2 (45)
20
12
14
0
0
44,4%
26,7%
31,1%
7A3 (44)
10
9
25
0
0
22,7%
20,5%
56,8%
Tuy đây không phải là kết quả cuối năm nhưng qua đó phần nào đánh giá
được sự tiến bộ cần được ghi nhận của các em.
C- KEÁT LUAÄN:
Trang 12
Nhờ áp dụng một số các phương pháp chứng đã nêu, trong quá trình dạy
học của bản thân cũng như quá trình học tập của học sinh tôi thu được một số
kết quả sau:
Học sinh hiểu bài nhanh hơn, không chỉ ngừng lại ở chỗ nắm vững kiến
thức cơ bản mà học sinh còn có khả năng hệ thống (theo dạng nhành cây), giúp
việc "phân tích ngược" khi chứng minh hình học. Từ đó học sinh tư duy, lí luận
cao, chặt chẽ và logic hơn.
Biểu hiện là từ một bài toán hay một dạng toán đã biết mà giáo viên đưa
ra các bài toán tương tự thì hầu hết các em làm được.Đặc biệt đã có những em
đã biết khai thác, phát triển bài toán và biết làm theo nhiều cách khác nhau.
Tuy nhieân ñeå hoïc sinh coù theå hoïc toát moân toaùn noùi chung vaø phaàn hình
hoïc noùi rieâng. Thì ñoøi hoûi giaùo vieân khoâng nhöõng coù phöông phaùp giaûng daïy
luoân saùng taïo phuø hôïp ñeå khuyeán khích loâi cuoán hoïc sinh say meâ maø baûn
thaân moãi hoïc sinh phaûi töï coù yù thöùc trong hoïc taäp.
Muoán nhö vaäy, ngöôøi giaùo vieân ngoaøi vieäc truyeàn thuï tri thöùc coøn caàn
truyeàn ñaït kinh nghieäm, gôïi yù cho hoïc sinh caùc tieáp caän tri thöùc; coù nhö vaäy,
môùi phaùt huy heát tính chuû ñoäng trong hoïc taäp cuûa hoïc sinh và tác động cũng
như lôi cuốn các em hứng thú với môn học nhiều hơn.
Vĩnh Hưng A, ngày 22 tháng 02 năm 2018
Người viết
Nguyễn Phát Triển
Trang 13
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT
PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tiêu chuẩn:
- Tính mới:............................................................../30 điểm
- Tính hiệu quả:....................................................../35 điểm
- Tính ứng dụng:............................................ ......../20 điểm
- Tính phù hợp với nhiệm vụ được giao:.............../10 điểm
- Về hình thức:....................................................../05 điểm
2. Đánh giá: .........................................................
............................, ngày ..... tháng .... năm 20...
CHỦ TỊCH HĐKH
(Ký tên và đóng dấu)
HIỆU TRƯỞNG
Họ và tên
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỢI
1. Kết quả chấm điểm: . . . . . . /100 điểm
2. Đánh giá: .........................................................
Vĩnh Lợi, ngày ..... tháng .... năm 20...
CHỦ TỊCH HĐKH
TRƯỞNG PHÒNG GD&ĐT
Trang 14
- Xem thêm -